【每日一练】2024-2025学年苏科版八年级数学上册第四周

第四周 周一 勾股定理的证明 1．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 2．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 3．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 【拓展思考】 4． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 第四周 周二 勾股定理 1．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 2．已知，如下图（左）长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 3．如上图（右），点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O．M，N分别是边BD、AC的中点． （1）求证：MN⊥AC； （2）当AC＝8cm，MN＝3cm时，求BD的长． 【拓展思考】 5．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　 　，AB＝　 　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 第四周 周三 勾股定理逆定理 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC的形状为　 　． 3．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　 　． 4．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　 　． 5．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【拓展思考】 6．如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2＝DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由． 第四周 周四 勾股数 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．7，9，11 C．6，9，12 D．0.3，0.4，0.5 2．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ x y 65 A．47 B．62 C．79 D．98 3．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　． 4．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，am2，，m是大于1的奇数，则b＝　 　（用含m的式子表示）． 【拓展思考】 5．【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股4，弦5； 当勾为5时，股12，弦13； 当勾为7时，股24，弦25． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝　 　，弦＝　 　． 【问题解决】 （2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性； （3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 第四周 周五 勾股定理的应用 1．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 2．有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（　　） A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2 3．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺． 4．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为 　 　寸． 【拓展思考】 5．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四周 周一 勾股定理的证明 1．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】依据题意，由中间小正方形的边长为（m﹣n），根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为（m2+n2），进而可以得解． 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①， ∵（m+n）2＝21， ∴m2+n2+2mn＝21②， ①+②得2（m2+n2）＝26， ∴大正方形的面积为：m2+n2＝13， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 2．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立． 【解答】证明：由已知可得， Rt△BAE≌Rt△EDC， ∴∠ABE＝∠DEC， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴△BEC是直角三角形， ∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形． 3．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可． （2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°， ∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°， 在Rt△ABC与Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）， ∴∠BAC＝∠EDC， ∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF， ∴∠AEF+∠BAC＝90°， ∴∠AFE＝90°， ∴DF⊥AB． （2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE， ∴a2b2•c•DF•c•EF•c•（DF﹣EF）•c•DEc2， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型． 【拓展思考】 4． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可； （2）根据直角三角形的面积公式求解即可； （3）根据小正方形的为1得出2ab＝12，再结合c2＝13即可求解． 【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4， 整理得，c2＝a2+b2； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵， ∴CD； （3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴c2＝13，（b﹣a）2＝1， ∴a2+b2﹣2ab＝1， ∴2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25， 即（a+b）2的值为25． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键． 第四周 周二 勾股定理 1．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 【分析】由直角三角形的性质可得AB2+AC2＝BC2＝25，即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5， ∴AB2+AC2＝BC2＝25， ∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是本题的关键． 2．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2． 解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）． 故选：C． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 3．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案． 【解答】解：设AC＝a，BC＝b， 由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴20＝62﹣2ab， ∴ab＝8， ∴△BCD的面积ab8＝4． 图中△BCD的面积为4． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O．M，N分别是边BD、AC的中点． （1）求证：MN⊥AC； （2）当AC＝8cm，MN＝3cm时，求BD的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定，结合N点是AC边上的中点，可证MN⊥AC； （2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得AM的长，根据即可求出BD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接AM，CM， ∵∠DAB＝∠DCB＝90°，M是边BD的中点， ∴，， ∴AM＝CM， 又∵N点是AC边上的中点， ∴MN⊥AC； （2）解：∵AC＝8cm，MN＝3cm，N点是AC边上的中点， ∴， 在Rt△AMN中，由勾股定理得， 由（1）知， ∴BD＝2AM＝10cm． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记各性质定理是解题的关键． 【拓展思考】 5．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　9　，AB＝　12　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，根据垂直平分线的性质得到AB＝BD，∠A＝∠D，根据题意、三角形内角和定理得到∠CBD＝∠A，根据勾股定理计算即可； （2）仿照（1）的作法解答． 【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D， ∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝2∠A， ∵∠BCA＝∠D+∠CBD， ∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A， ∴∠CBD＝∠A， ∴DC＝BC＝8， ∴AD＝DC+AC＝8+10＝18， ∴AE＝AD＝9， ∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1． ∴在直角△BCE和直角△AEB中， 由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92， 解得，AB＝12， 故答案为：9；12； （2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是边AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D． ∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴2∠A+∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠D+∠DBC， ∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC， ∵∠A＝∠D， ∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC， ∴DB＝DC＝c， 由题意得，DE＝AE， ∴EC＝AE﹣ACb， 在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2， 在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2， ∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2， 整理得，b． 【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 第四周 周三 勾股定理逆定理 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直角三角形的定义或勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一． 【解答】解；①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，故①是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故②不是直角三角形； ③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形； ④∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形． 能判断△ABC是直角三角形的个数有3个； 故选：C． 【点评】本题考查了利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理来判定一个三角形是不是直角三角形，是判定直角三角形的常见方法． 2．若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC的形状为　等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形　． 【分析】因为a，b，c为三边，根据（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，可找到这三边的数量关系． 【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0， ∴a＝b或a2+b2＝c2． 当只有a＝b成立时，是等腰三角形． 当只有第二个条件成立时：是直角三角形． 当两个条件都成立时：是等腰直角三角形． 综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握． 3．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　120　． 【分析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：三角形的三边长分别为6010，6024，6026． ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形． ∴三角形的面积10×24＝120． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，证得三角形为直角三角形是解题的关键． 4．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　36　． 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， 在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCDAB•BCAC•CD3×45×12＝36． 故答案为：36． 【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中． 5．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【解答】解：（1）连接AC，如图． 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm， ∴AC15． 即A、C两点之间的距离为15cm； （2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD AB•BCAC•CD 9×1215×8 ＝54+60 ＝114（cm2）． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键． 【拓展思考】 6．如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2＝DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，根据勾股定理的逆定理得出∠EAD＝90°，求出∠ACB＝90°，即可求出答案． 【解答】解：△ABC是等腰直角三角形， 理由是：∵△ACE≌△BCD， ∴AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD， ∵AD2+DB2＝DE2， ∴AD2+AE2＝DE2， ∴∠EAD＝90°， ∴∠EAC+∠DAC＝90°， ∴∠DAC+∠B＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∵AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和勾股定理的逆定理，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 第四周 周四 勾股数 1．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如下图（左），在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 3．在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如上图（右）所示放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝　 　°． 4．如下图（左）所示，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．7，9，11 C．6，9，12 D．0.3，0.4，0.5 【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵52+122＝132，∴是勾股数，符合题意； B、∵72+92≠112，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵62+92≠122，∴不是勾股数，不符合题意 D、∵0.3，0.4，0.5不是整数、，∴不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 2．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ x y 65 A．47 B．62 C．79 D．98 【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值． 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，（n≥2且n为正整数）， ∴当c＝n2+1＝65时， 解得：n＝8， ∴x＝16，y＝63， ∴x+y＝79， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 3．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　17，144，145　． 【分析】①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1；②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1；③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1；④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1；……，观察得出规律：第n组勾股数的第一个数为2n+1，第二个数为2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1，即可解决问题． 【解答】解：①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1． ②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1． ③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1． ④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1． …… 则第n组勾股数的第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 【点评】本题考查的是勾股数以及规律型问题，根据数据的关系得出规律是解题的关键． 4．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，am2，，m是大于1的奇数，则b＝　m　（用含m的式子表示）． 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，am2，， ∴b2＝c2﹣a2 ＝（m2）2﹣（m2）2 m4m2﹣（m4m2） m4m2m4m2 ＝m2， ∵m是大于1的奇数， ∴b＝m． 故答案为：m． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【拓展思考】 5．【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股4，弦5； 当勾为5时，股12，弦13； 当勾为7时，股24，弦25． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝　（n2﹣1）　，弦＝　（n2+1）　． 【问题解决】 （2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性； （3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）； （2）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案； （3）根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）； 故答案为：（n2﹣1），（n2+1）； （2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数） ∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2 ＝4m2+m4﹣2m2+1 ＝m4+2m2+1 ＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2， ∴a2+b2＝c2 ∴a、b、c为勾股数； （3）∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数， ∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a；2a+1． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 第四周 周五 勾股定理的应用 1．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为14尺，则B'C＝7尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝14尺，所以B'C＝7尺 在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2 ∴72+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝25， ∴这根芦苇长25尺， ∴水的深度是25﹣1＝24（尺）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 2．有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（　　） A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2 【分析】如图：连接AC，根据勾股定理可求得AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 【解答】解：连接AC，如图， ∵AB⊥CB， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3米，BC＝4米， ∴AC＝5米， ∵AD＝12米，CD＝13米， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（m2）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 3．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　4.55　尺． 【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得： x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 答：折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 4．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为 　101　寸． 【分析】过D作DE⊥AB于E，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r， 则DE＝10，，AE＝r﹣1， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得2r＝101， 所以门的宽度的和AB为101寸． 故答案为：101． 【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用问题，构建直角三角形是解答此题的关键． 【拓展思考】 5．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点， 在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km， 因为160＜200，所以A城要受台风影响； （2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米， ∴△ADG是等腰三角形， ∵AC⊥BF， ∴AC是DG的垂直平分线， ∴CD＝GC， 在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米， 由勾股定理得，CD120千米， 则DG＝2DC＝240千米， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）． 【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂． 学科网（北京）股份有限公司 $$