15.2　分式的运算 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

15.2.1　分式的乘除 第1课时　分式的乘除(一) 1.分式的乘法法则 分式乘分式,用分子的　积　作为积的分子,分母的　积　作为积的分母,用式子表示为·=. 2.分式的除法法则 分式除以分式,把除式的分子、分母　颠倒位置　后,与被除式相乘.用式子表示为÷=·=. 温馨提示:(1)分式的乘除法都能统一成乘法,然后约去公因式,化为最简分式或整式;(2)分式与分式相乘,若分子和分母是多项式,则先分解因式,看能否约分,然后再乘;(3)整式与分式相乘,可以直接把整式(整式可以看作分母是1的代数式)和分式的分子相乘作为分子,分母不变.当整式是多项式时,同样要先分解因式,便于约分;(4)分式的乘除的计算结果,要通过约分,化为最简分式或整式,且最简分式或整式应不含括号. 分式的乘除法及乘除混合运算 计算: (1)·;　 解:原式=. (2)·; 解:原式==. (3)2xy2÷; 解:原式=2xy2·=x2. (4)·; 解:原式=·=. (5)÷; 解:原式=· = =. (6)(xy-x2)÷·; 解:原式=-x(x-y)··=-y. (7)÷(a+1)·. 解:原式=·· =. 1.计算: (1)·;　 解:原式=. (2)-3xy÷; 解:原式=-. (3)·; 解:原式=-a2. (4)÷; 解:原式=. (5)÷·. 解:原式=. 分式的乘除法在生活中的应用 通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的半径为R,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为V=πa3(其中a为球的半径),那么: (1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少? 解:(1)根据球的体积公式可知: 西瓜瓤的体积V1=π(R-d)3, 整个西瓜的体积V2=πR3. (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比值是多少? (2)==. (3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算? (3)根据(2)可知R越大,则V1占V2的比例就越大,故买大西瓜合算. 2.已知a m布料能做b件上衣,2a m布料能做3b条裤子,则一件上衣的用料是一条裤子用料的　1.5　倍. 分式的化简求值 先化简,再求值: (1)÷,其中x=-; 解:原式=· =-. 当x=-时,原式=. (2)÷·,其中a=,b=-1. 解:原式=·· =. 当a=,b=-1时,原式==. 3.已知a=b+2 024,求代数式·÷的值. 解:原式=··(a-b)·(a+b) =2(a-b). ∵a=b+2 024,即a-b=2 024, ∴原式=2×2 024=4 048. $$第2课时　分式的乘除(二) 分式的乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别　乘方　.用式子表示为 =(n为正整数)　. 温馨提示:(1)分式乘方时,要首先确定乘方结果的　符号　,负数的偶次方为　正　,负数的奇次方为　负　;(2)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算　乘方　,再算　乘除　,有多项式时,应先分解因式,再约分. 分式的乘方运算 计算: (1); 解:(1)原式=.　 (2). (2)原式=-. 1.下列等式正确的是 (　A　) A.= B.= C.= D.= 2.计算: (1)=  　; (2)=  　; (3)=　-　; (4)= 　; (5)= 　; (6)=  　. 分式的乘除、乘方混合运算 计算: (1)·÷(-ab4); 解:原式=··=. (2)÷·(m2-n2)2; 解:原式=··(m+n)2(m-n)2=n2(m-n)4. (3)÷·. 解:原式=÷· =··=. 3.(1)·÷; 解:原式=··=-. (2)·(-c2)2÷; 解:原式=·c4÷ =·c4·=. (3)·÷; 解:原式=··(a+b)(a-b) =. (4)÷(x+y)·. 解:原式=·· = =. 分式的化简与求值 若m等于它的倒数,求÷·的值. 解:原式=-··=-. ∵m等于它的倒数,∴m=,解得m=±1. 当m=1时,原式=;当m=-1时,原式=-. 4.(1)已知+=0,求·÷的值; 解:原式=-··=-. ∵+=0, ∴解得∴原式=-=-. (2)化简求值:÷·,其中x=1,y=7. 解:原式=·· =. 当x=1,y=7时,原式=9. $$15.2.2　分式的加减 第1课时　分式的加减 1.同分母分式的加减法法则 同分母分式相加减,分母不变,把分子相　加减　.用式子表示为±= 　. 温馨提示:(1)注意分数线有括号的作用,分子相加减时,要注意添　括号　;(2)把分子相加减后,如果所得结果不是最简分式,要　约分　,化成　最简分式或整式　. 2.异分母分式的加减法法则 异分母分式相加减,先通分,变为　同分母　的分式,再加减.用式子表示为±=±=. 温馨提示:(1)异分母的分式相加减,先通分是关键.通分后,异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法;(2)异分母分式的加减法的一般步骤:①找最简公分母; ②通分;③进行同分母分式的加减运算;④把结果化成最简分式. 利用同分母分式的加减法法则进行计算 计算: (1)-; 解:原式===1. (2)-; 解:原式===. (3)+- ; 解:原式===. (4)+; 解:原式===2. (5)-; 解:原式===. (6)-. 解:原式=+=. 1.分式+的化简结果为(　C　) A. B.x-y C.x+y D.1 2.计算: (1)-; 解:原式=a-2. (2)+-; 解:原式=-m-2. (3)+-. 解:原式=-2. 利用异分母的分式加减法法则进行计算 计算: (1)+; 解:原式=+ =. (2)+; 解:原式=+ = =. (3)+-; 解:原式=-+ = = =. (4)-x2+2; 解:原式=-+ = =. (5)-a-1. 解:原式=-(a+1) =- = =. 3.计算-的结果为(　A　) A. B. C. D. 4.计算: (1)+;　 解:原式=. (2)-; 解:原式=. (3)+; 解:原式=. (4)-x-1. 解:原式=. 分式的加减运算的应用 已知=+,求实数A,B的值. 解:由已知,得 =, 即=, ∴∴ 5.已知a+=3,则a2-1+等于(　A　) A.6 B.7 C.8 D.9 6.已知=+,求3A-B的值. 解:由已知,得 =, 即=, ∴解得 ∴3A-B=3×2-3=3. $$第2课时　分式的混合运算 利用分式的运算法则进行分式的混合运算 计算: (1)·-÷; 解:原式=·-· =-=-. (2)÷; 解:原式=· =· =-· =-. (3)-·; 解:原式=-· =-·+·(a+b) =-+1=1. (4)÷. 解:原式=÷ =· =. 1.计算÷的结果是(　A　) A.- B. C.- D. 2.计算: (1)-÷;　 解:原式=. (2)(1+x); 解:原式=1. (3)·(a+2). 解:原式=. 分式的化简求值 先化简,再求值: (1)(2023·雅安)÷,其中a=2; 解:原式=· =·=. 当a=2时,原式==. (2) ÷，其中a为负整数且满足不等式3-a≤2(a+6); 解:原式=÷ =·=·=. 解3-a≤2(a+6),得a≥-3. ∵a为负整数,∴a=-3,-2,-1. 又∵a≠0,3,-3,-2,∴a=-1. 当a=-1时,原式==2. (3)÷,其中a满足a2+2a-3=0. 解:原式=÷ =÷ =·=2a(a+2)=2(a2+2a). ∵a2+2a-3=0,∴a2+2a=3, ∴原式=2×3=6. 3.先化简,再求值:÷,其中y满足y2+y-3=0. 解:原式=·=· =(y+2)(y-1) =y2+y-2. ∵y2+y-3=0,∴y2+y=3, ∴原式=3-2=1. 4.先化简:÷,再从0,1,-1,中选取一个合适的数代入求值. 解:原式=·=. ∵x+1≠0,x-1≠0,x≠0, ∴x≠±1,0, ∴当x=时,原式==8. 分式的大小比较 从火车上下来两个旅客,他们沿着同一方向到同一地点,甲旅客一半的路程以速度a行走,另一半的路程以速度b行走;乙旅客一半的时间以速度a行走,另一半的时间以速度b行走,问哪个旅客先到达目的地?(速度单位都相同,且a≠b) 解:设路程为单位“1”,则甲旅客所用时间为+=,乙旅客所用时间为. ∴-==. ∵a≠b,a>0,b>0, ∴-=>0, ∴>,∴乙旅客先到达目的地. 5.甲、乙两人两次到某粮店去买大米,两次的大米价格分别为每千克a元和b元,甲每次买100千克大米,乙每次买100元的大米,请问谁两次买的大米平均价格更低些?并说明理由. 解:甲的平均价格为=(元/千克). 乙的平均价格为=(元/千克). ∵-=≥0, ∴当a=b时,两人买的大米平均价格一样; 当a≠b时,乙买的大米平均价格更低些. $$15.2.3　整数指数幂 第1课时　整数指数幂 思考:am中指数m可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂am表示什么? 做一做,你发现了什么?a3÷a5=? 1.负整数指数幂的意义 一般地,当n是正整数时,a-n= 　(a≠0).这就是说,a-n(a≠0)是an的　倒数　. 温馨提示:(1)引入负整数指数幂后,指数的取值范围就可以推广到全体整数,以前所学的幂的运算性质仍然成立;(2)a-n(a≠0)是an的倒数,a可以是不等于0的数,也可以是不等于0的代数式.例如(2xy)-1= 　(xy≠0),(a+b)-5= 　(a+b≠0). 2.整数指数幂的运算性质 (1)am·an=　am+n　(m,n是整数); (2)(am)n=　amn　(m,n是整数); (3)(ab)n=　anbn　(n是整数). 温馨提示:=(a≠0,b≠0,n是正整数);=(a≠0,b≠0,m,n是正整数). 负整数指数幂在实数运算中的应用 (1)计算: ①2-3=  　; ②(-3)-2=  　; ③=  　; ④=　 -　; (2)计算:-(-2)0-+. 解:原式=2-1-3+2=0. 1.下列各数:①-22;②-(-2)2;③-(-2)-2;④-2-2,其中是负数的是 (　D　) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 2.计算: (1)(-3)0-(-5)+--; 解:原式=1+5+3-3-2=4. (2)+(-1)0-. 解:原式=2-1+1-=. 负整数指数幂的运用 化简下列各式,使其结果只含正整数指数幂: (1)(a-1b2c-2)-3; 解:原式=(a-1)-3·(b2)-3·(c-2)-3=a3b-6c6=. (2); 解:原式==27x12y6. (3)(2m2n-2)2·3m-3n5; 解:原式=4m4n-4·3m-3n5=12mn. (4)4x-1y2z÷(-2x-1y-2z-1)2; 解:原式=4x-1y2z÷4x-2y-4z-2=xy6z3. (5)a2b-3·(a-1b)3÷(ab)-1. 解:原式=a2b-3·a-3b3·ab=b. 3.计算:(a2b-2)-3=  　. 4.计算: (1)(m3n)-2·(2m-2n-3)-2; 解:原式=m-6n-2·m4n6=m-2n4 =. (2)(3a2bc-2)-2÷(-2a-2b-3)-1. 解:原式=a-4b-2c4·(-2a-2b-3) =-. $$第2课时　科学记数法 用科学记数法表示绝对值小于1的数 用科学记数法表示绝对值较小的数时,一般写成　a×10-n　的形式,其中n是正整数,1≤<10. 温馨提示:确定n的值的两种方法: ①n等于原数中左起第一个非0数前0的个数(包括小数点前的那个0); ②小数点向右移到第一个非0的数后,小数点移动了几位,n就等于几. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 用科学记数法表示下列各数: (1)0.008;　 解:(1)0.008=8×10-3. (2)-0.000 016; (2)-0.000 016=-1.6×10-5. (3)0.000 000 027 5. (3)0.000 000 027 5=2.75×10-8. 1.用科学记数法表示0.000 861,正确的是 (　C　) A.861×10-6 B.86.1×10-5 C.8.61×10-4 D.8.61×104 2.用科学记数法表示下列各数: (1)0.000 01; 解:(1)0.000 01=10-5. (2)0.000 000 204; (2)0.000 000 204=2.04×10-7. (3)-0.000 135; (3)-0.000 135=-1.35×10-4. (4)0.000 67. (4)0.000 67=6.7×10-4. 把用科学记数法表示的数还原 用小数表示下列各数: (1)3×10-6; 解:(1)3×10-6=0.000 003. (2)1.125×10-9; (2)1.125×10-9=0.000 000 001 125. (3)-8.7×10-3. (3)-8.7×10-3=-0.008 7. 3.用小数表示下列各数: (1)2×10-7; 解:(1)2×10-7=0.000 000 2. (2)3.14×10-5; (2)3.14×10-5=0.000 031 4. (3)-2.17×10-1; (3)-2.17×10-1=-0.217. (4)-7.08×10-3. (4)-7.08×10-3=-0.007 08. 科学记数法的应用 一根长约为1 m,直径为80 mm的光纤预制棒,可拉成至少400 km长的光纤.试问:1 cm2大约是这种光纤的横截面积的多少倍?(结果精确到百位,π取3.14) 解:光纤的横截面积为 1×π×÷(400×103)=1.256×10-8(m2). ∴10-4÷(1.256×10-8)≈8.0×103. 答:1 cm2大约是这种光纤的横截面积的8.0×103倍. 4.在科幻小说《三体》中,制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种具有超高强度纳米丝的“飞刃”.若“飞刃”的直径为0.000 92 dm,则“飞刃”的直径(dm)可用科学记数法表示为 (　A　) A.9.2×10-4 B.92×10-3 C.0.92×10-3 D.-9.2×104 5.我国自主研发的某型号手机处理器采用10 nm工艺,已知1 nm=0.000 000 001 m,则10 nm用科学记数法可表示为　10-8　m. $$