15.1　分 式 课件 2024-2025学年人教版八年级数学上册

15.1　分 式 15.1.1　从分数到分式 1.分式的概念 一般地,如果A,B表示两个整式,并且　B　中含有字母,那么式子 　叫做分式.分式中,A叫做　分子　,B叫做　分母　. 温馨提示:(1)分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母,如是整式而不能当作分式;(2)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是不是分式不能先化简,如是分式,与xy有区别,xy是整式,即只看形式,不能看化简的结果. 2.分式有意义、无意义、值等于零或值为正(负)的条件 (1)分式有意义的条件:　分母不等于零　. (2)分式无意义的条件:　分母等于零　. (3)分式的值等于零的条件:　分子等于零且分母不等于零　. (4)分式的值为正的条件:A,B　同号　. (5)分式的值为负的条件:A,B　异号　. 温馨提示:(1)分式有无意义与分母有关,与分子无关,分式要明确其是否有意义,就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零;(2)本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的,也就是说分式中分母的值不等于零;(3)必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值. 生活中的分式 填空: (1)长方形的面积为20 cm2,宽为a cm,则长方形的长为 　cm; (2)甲、乙两地相距100千米,某汽车的速度为v千米/时,则它从甲地到乙地所需时间为 　小时; (3)一项工程,甲单独做需x时,乙单独做需y时,则甲、乙两人一起合做需 　时. 1.现有游客m人,如果每n人住一个房间,结果还有一人无房住,则房间数为 (　A　) A.　 B.-1　 C.　 D.+1 分式的概念 下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? ,,,,,,, . 解:整式有:,,. 分式有:,,,. 2.下列代数式中,不属于分式的是 (　A　) A. B. C. D.- 3.代数式x,,,x2-,,中,属于分式的有(　B　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 分式有无意义的条件 填空: (1)当x　≠2　时,分式有意义;当x　为任意实数　时,分式有意义; (2)当x　=±2　时,分式无意义. 4.若代数式有意义,则实数x的取值范围是(　D　) A.x=-1 B.x=3 C.x≠-1 D.x≠3 5.若分式无意义,则x的值为　±2　. 分式的值为0的条件 当x取何值时,下列分式的值为0: (1); 解:(1)由题意,得解得x=-. 即当x=-时,分式的值为0. (2). (2)由题意,得解得x=3. 即当x=3时,分式的值为0. 6.若分式的值为零,则m的值为(　B　) A.m=±1 B.m=-1 C.m=1 D.不存在 7.当　x<8　时,分式的值为正数;当　4<x<8　时,分式的值为负数;当x=　0或1或2或5　时,分式的值为正整数. $$15.1.2　分式的基本性质 第1课时　分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个　不等于0　的整式,分式的值　不变　.用含整式A,B,C的式子表示为=,=(C≠0). 温馨提示:(1)基本性质中的A,B,C表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件,一般在解题过程中不另强调;C≠0是在解题过程中另外附加的条件,在运用分式的基本性质时,必须重点强调C≠0这个前提条件; (2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如:=,在变形后,字母x的取值范围变化了. 2.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;改变其中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数. 分式的基本性质的简单运用 根据分式的基本性质,完成下列各等式. (1)=(b≠0);　(2)=; (3)=(b≠0); (4)3x-2=; (5)=; (6)=. [方法点拨] (1)利用分式的基本性质判断分式是如何变形时,看分母如何变化,想分子如何变化;看分子如何变化,想分母如何变化.(2)利用分式的基本性质将分式变形时,一定要保证分子和分母所乘或除以的整式不能为零,且乘或除以的是同一个整式. 1.下列从左到右的变形一定正确的是 (　A　) A.= B.= C.= D.= 2.填空: (1)=; (2)=; (3)=; (4)=. 利用分式的基本性质对分式恒等变形 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数. (1); 解:(1)原式=. (2) (2)原式=. 3.不改变分式 的值,把它的分子和分母中的各项系数都化为整数,所得结果为(　B　) A. B. C. D. 分式的变号法则 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“-”号. (1); 解:(1)=-. (2); (2)=. (3); (3)=-. (4)-. (4)-=. 4.下列各式中,正确的是 (　A　) A.= B.= C.= D.= 5.不改变分式的值,使分子与分母的首项系数均为正,则下列式子变形正确的是 (　C　) A.= B.=- C.=- D.=- $$第2课时　分式的约分与通分 1.约分与最简分式 根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的　公因式　约去,叫做分式的约分.分子与分母没有　公因式　的分式,叫做最简分式. 温馨提示:约分的基本步骤: ①若分子、分母都是单项式,则约去系数的　最大公约数　,并约去公共字母的　最低次幂　; ②若分子、分母含有多项式,则先将多项式　分解因式　,然后约去分子、分母所有的　公因式　. 注意: ①约分前后分式的值要相等. ②约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. ③约分是对分子、分母的整体进行的,也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 2.通分与最简公分母 根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的　同分母　的分式,叫做分式的通分.一般取各分母的所有因式的　最高次幂　的积作公分母,它叫做最简公分母. 温馨提示:确定几个分式的最简公分母的一般步骤: (1)分母为多项式的先　分解因式　; (2)系数:各分式分母系数的　最小公倍数　; (3)字母:各分母的所有字母的　最高次幂　; (4)多项式:各分母所有多项式因式的　最高次幂　; (5)将(2)(3)(4)中的因式写成　积　的形式. 思考:分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?这些做法的根据是什么?   共同点 约分 通分 分数 找分子与分母的最大公约数 找所有分母的最小公倍数 分式 找分子与分母的公因式 找所有分母的最简公分母 依据 分数或分式的基本性质 利用分式的基本性质进行分式的约分 约分: (1); 解:原式==-. (2); 解:原式==. (3); 解:原式==-. (4); 解:原式==. (5). 解:原式==. 1.下列各式与相等的是(　B　) A. B. C. D. 2.约分: (1); 解:(1)原式=-=-. (2); (2)原式==. (3). (3)原式==2(x-y). 利用分式的基本性质进行分式的通分 通分: (1)与; 解:最简公分母是2a2b2c. ∴==, ==. (2)与; 解:最简公分母是(x-5)(x+5). ∴==, ==. (3)与. 解:最简公分母是x(x+y)(x-y). ∴===, ===. 3.分式与的最简公分母是(　D　) A.x4-y4 B.(x+y)2(x2-y2) C.(x-y)4 D.(x+y)2(x-y) 4.将分式,,通分后,它们分别变为 　, 　, 　. 先约分,再求值 先化简,再求值:,其中a=2,b=-. 解:原式= = =. 当a=2,b=-时,原式==. 5.先化简,再求值:,其中x=-2,y=3. 解:原式==. 当x=-2,y=3时,原式==-. $$