22.1一元二次方程教案2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

22.1 一元二次方程 导 学 案 密 封 线 【学习目标】 1．知道一元二次方程的定义，熟练地把一元二次方程整理成一般形式； 2．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项； 3．能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。 【重点】由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。 【难点】由实际问题列出一元二次方程，准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。 课堂导入 1、 什么叫一元一次方程？它的一般形式是什么？ 带着问题分析下面的案例 【教材助读】阅读课本回答下列问题 问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分析 我们已经知道可以运用方程解决实际问题． 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 整理可得 （1） 问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 分析 设这两年的年平均增长率为x． 已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是 万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的 倍，即 万册． 可列得方程 整理可得 ．（2） 2、思考、讨论 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 上述两个整式方程中都只含有______未知数，并且未知数的最高次数是____，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式： _________________ (a、b、c是已知数，且a≠0)。 其中叫做________，叫做_______________；叫做_______，叫做__________，叫做_________。 一、探究过程 探究点1：一元二次方程的定义及一般形式 问题1 关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？ 解：关于x的方程的二次项系数为_________, 因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零. 所以___________________,即_________________. 综上所述，关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是________. 问题2 将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项． (1)2x2＋3x＝x2－3x－2； (2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1； (3)4x2＝3x－＋1. 【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式， 其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项. 【针对训练】 1.若关于x的方程(k－3)x|k|-1－x－2＝0是一元二次方程，则k=_____. 2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解． (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 探究点2：一元二次方程的解 问题 若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值. 【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的等 量关系，通常运用整体代入的思想求解. 【针对训练】 已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求a，b的值． 探究点3：列一元二次方程 问题 列方程：某公司一月份营业额为10万元，三月份营业额为12.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤如下： 课堂小结 定义及一般形式 一般式___________________ 二次项系数为_____,一次项系数为____,常数项为____. 一元二次方程的根（解） 使方程左右两边_______相等的未知数的值. 根据实际问题列一元二次方程 分析 找 设 列方程 课堂教学设计 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 （1） （2） （3） （4） 例2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：　 （1）； （2）； （3）； （4）. 说明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征： （1）方程的右边为 ； （2）二次项系数不能为 。 例3、方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 例4 、已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。 【当堂检测】 1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. （1） （2） 2x(x-1)=3(x-5)-4 （3） 2、 关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值． 课后巩固 一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是的，在括号内划“×”） 1、5x2+1=0（ ） 2、3x2++1=0 （ ） 3、（ ） 4、4 x2+y2=0（ ） 5、 =2x （ ） 6、 =2 （ ） 二、填空题 1、将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________. 2、方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是_________， 一次项是__________，常数项是__________. 3、关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m______时，是一元一次方程. 三、选择题 1、方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和是（ ） A. B.－ C. D. 2、若关于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为（ ） A.m B.－bd C.bd－m D.－(bd－m) 3、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（ ） A.2 B.－2 C.0 D.不等于2 4、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（ ） A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0 5、关于x2=－2的说法，正确的是（ ） A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程 B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C.x2=－2是一个一元二次方程 D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解 学科网（北京）股份有限公司 $$