8.1 二分法与求方程近似解13题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 8.1 二分法与求方程近似解13题型分类 知识点1 函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 注：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 注：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点02 二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 注：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． （一） 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 题型1：求函数的零点 1-1．（2024高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 1-2．（2024高三上·江苏常州·开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 1-3．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数且，且，则的零点是（    ） A． B． C． D． 1-4．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 1-5．（2024高一上·全国·专题练习）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．2 D．4 题型2：根据零点求函数解析式的参数 2-1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高一下·江苏盐城·期中）已知函数，若函数只有一个零点，则a的值是 . 2-3．（2024高一下·江苏扬州·期中）已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . （二） 1.确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 2.解决这类判断函数零点的大致区间的题目，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 题型3：零点存在性定理的应用 3-1．（2024高一上·天津静海·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一上·贵州·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一上·河南·阶段练习）已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（    ） A． B． C． D．不能确定 3-4．（2024高一上·重庆·阶段练习）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． （三） 1判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 2.根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 题型4：求零点的个数 4-1．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）曲线与交点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4-2．（2024高三·全国·专题练习）函数零点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 4-3．（2024·广东中山·模拟预测）函数在区间上的零点个数为（    ） A．1个 B．4个 C．2个 D．0个 4-4．（2024高三上·四川内江·阶段练习）定义在R上的函数满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．506 B．507 C．1010 D．1011 4-5．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4-6．（2024高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4-7．（2024·四川雅安·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5：根据零点的个数求参数范围 5-1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高一上·河北保定·阶段练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 5-4．（2024高一上·河南洛阳·阶段练习）若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-5．（2024高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ． （四） 已知函数零点所在区间求参数的取值范围 根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 题型6：一次函数零点分布求参数范围 6-1．（2024高二·全国·单元测试）当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是 ． 6-2．（2024高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 6-3．（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 题型7：二次函数零点分布求参数范围 7-1．（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，函数． (1)若是奇函数，求a的值； (2)若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 7-3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于x的方程． (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足，求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 7-4．（2024高二下·浙江宁波·期中）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-5．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）方程的两个根均大于1，则实数m的取值范围是 ． 7-6．（2024高一上·天津·阶段练习）函数 (1)当时，求函数零点 (2)函数有两个零点，求m的取值范围； (3)函数在上有两个零点，求m的取值范围； 7-7．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8：指对幂函数零点分布求参数范围 8-1．（2024高一下·江苏盐城·期末）函数的零点为，且，，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 8-2．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 结合函数的对称性以及交点个数，数形结合 题型9：求零点的和 9-1．（2024高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（    ） A． B．2023 C． D．4046 9-2．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 9-3．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 题型10：比较函数零点的大小 10-1．（2024·山东·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 10-2．（2024高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 10-3．（2024高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． （六） 1. 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2.（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）． （2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）． 题型11：用二分法求近似解的条件 11-1．（2024高一·全国·课后作业）下列关于二分法的叙述中，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 11-2．（2024高一上·浙江杭州·期中）下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 11-3．（2024高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型12：用二分法求方程近似解的过程 12-1．（2024高一上·浙江丽水·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 12-2．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12-3．（2024高一上·山东菏泽·期末）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（    ）次区间中点的函数值． A．2 B．3 C．4 D．5 （七） 利用二分法求函数近似零点的流程图： 题型13：用二分法求函数零点的过程 13-1．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 13-2．（2024高一下·重庆永川·开学考试）已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 13-3．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375 一、单选题 1．（2024高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 2．（2024高一上·广东江门·期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·福建龙岩·期末）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 4．（2024高一上·广东深圳·期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·江西景德镇·期末）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）函数零点的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2024高一下·安徽滁州·期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·四川成都·期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 9．（2024高一上·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·河北保定·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一下·山西晋城·期中）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·四川成都·期中）已知函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·山东泰安·期中）已知函数，方程有三个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 15．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（    ） A．函数的两个零点可以分别在区间和内 B．函数的两个零点可以分别在区间和内 C．函数的两个零点可以分别在区间和内 D．函数在区间上单调 16．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（    ） A．当实数解的个数为1时， B．当实数解的个数为2时， C．当实数解的个数为3时， D．当实数解的个数为3时， 17．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（    ） A． B． C．5 D． 18．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知定义在上的奇函数，其周期为4，当时，，则（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．在上有9个零点 三、填空题 19．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 20．（2024高一上·辽宁大连·期中）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为 . （参考数据：，，，.） 21．（2024高一上·全国·课后作业）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 22．（2025·浙江·模拟预测）已知a，b，，二次函数有零点，则的最小值是 ． 23．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是 . 24．（2024·河北·模拟预测）已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为 25．（2024高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，若有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 26．（2024高一上·四川内江·阶段练习）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 27．（2024高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数. (1)若函数在和上各有1个零点，求实数m的取值范围； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围. 28．（2024·陕西·模拟预测）已知函数． (1)求及函数的定义域； (2)求函数的零点． 29．（2024高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 30．（2025·江苏南通·一模）设函数． (1)若，，求证：有零点： (2)若，，是否存在正整数m，n，使得不等式的解集为，若存在，求m，n；若不存在，说明理由； (3)若，非空集合，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 8.1 二分法与求方程近似解13题型分类 知识点1 函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 注：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 注：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点02 二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 注：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． （一） 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 题型1：求函数的零点 1-1．（2024高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】利用零点的定义求解. 【详解】令，解得， 故选:C. 1-2．（2024高三上·江苏常州·开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 【答案】 【分析】本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求． 【详解】函数的零点，即方程的所有根， 令，根据函数，方程的解是， 则方程的根，即为方程的根， 当时，，由，， 当时，，由，， 综上，函数所有零点构成的集合是. 故答案为：. 1-3．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数且，且，则的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，然后令，解之即可求解. 【详解】由题意可知：，整理化简可得：， 即，解得：或（舍），所以. 令可得：，所以函数的零点是， 故选：. 1-4．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 1-5．（2024高一上·全国·专题练习）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用换元法，根据函数的单调性列方程，求得的表达式，进而求得的零点. 【详解】根据题意，对任意，都有， 即． 因为是定义在上的单调函数，所以为定值， 令，，则， 由，得，， 在上单调递增，所以是唯一解， 则． 由得，即函数的零点为． 故选：A 题型2：根据零点求函数解析式的参数 2-1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，是方程的两个根，进而可以求. 【详解】依题意，是方程的两个根 代入可得， 解得 所以 故选：B 2-2．（2024高一下·江苏盐城·期中）已知函数，若函数只有一个零点，则a的值是 . 【答案】0或 【分析】运用零点概念，分类讨论计算即可. 【详解】函数，若函数只有一个零点,即只有一个根. 当，解得，满足题意. 当，解得，此时方程只有一个根，满足题意. 综上，a的值是0或. 故答案为：0或. 2-3．（2024高一下·江苏扬州·期中）已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . 【答案】 / 2 【分析】由结合正弦函数性质即可求解，将函数的所有零点转化成函数与图象上所有交点的横坐标，树形结合作出与图象，借助函数图象求得两函数所有交点的横坐标之和即可得解. 【详解】由题得， 所以即， 又，所以； 所以， 所以令，则有， 则函数的所有零点即为函数与图象上所有交点的横坐标， 作与图象如图所示， 由图可知与图象共有9个交点， 因为，所以点是图象的一个对称中心， 又点在直线上，所以点也是图象的对称中心， 所以两函数除点外的其余8个交点都关于点对称， 所以所有交点的横坐标的和为， 所以函数的所有零点之和为2. 故答案为：；2. 【点睛】思路点睛：求函数多个零点之和的问题常借助函数对称性解决，在图象能作出情况下还常结合图象去解决，故求函数的所有零点之和，可将问题转化成求两个已知函数与图象上的所有交点的横坐标之和，进而借助图象和函数对称性即可求解. （二） 1.确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 2.解决这类判断函数零点的大致区间的题目，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 题型3：零点存在性定理的应用 3-1．（2024高一上·天津静海·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理可得答案． 【详解】由于在单调递增， 又，，即， 函数的零点所在区间是， 故选：B． 3-2．（2024高一上·贵州·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理可判断出结果. 【详解】因为在上单调递增， 且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 3-3．（2024高一上·河南·阶段练习）已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由题意，易知在上都单调递增，进而可判断函数的单调性，结合零点的存在性定理即可求解. 【详解】易知函数在上都单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以，又因为函数连续不间断，由零点的存在性定理知， 函数在内有零点，即方程在必有实数根． 故选：B． 3-4．（2024高一上·重庆·阶段练习）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可判断出答案. 【详解】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又，， ，， 故在上有唯一零点，即， 故选：B （三） 1判断函数零点个数的六种常用方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (6)转化成两个函数图象的交点个数问题． 2.根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　 题型4：求零点的个数 4-1．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）曲线与交点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】作出曲线与图象，结合图象即可得出答案. 【详解】作出曲线与大致图象，可知，而， 由曲线与图象知，曲线与有个交点. 故选：A. 4-2．（2024高三·全国·专题练习）函数零点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】判断出函数单调性，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】单调递增，又，， 故在上有唯一的零点. 故选：B 4-3．（2024·广东中山·模拟预测）函数在区间上的零点个数为（    ） A．1个 B．4个 C．2个 D．0个 【答案】D 【分析】根据函数零点意义得，变形为，并探讨和的最值即可得解. 【详解】当时，由得即， 当时，恒成立，而恒成立， 因此不成立， 所以函数在区间上的零点个数为0. 故选：D. 4-4．（2024高三上·四川内江·阶段练习）定义在R上的函数满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．506 B．507 C．1010 D．1011 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【详解】由， 因此函数的周期为， 当时，令，显然可得或， 当时，函数的函数值由增加到，增加到， 而函数的函数值由增加到，增加到， 而我们知道函数与函数的增长速度不一样，且当自变量越大时，函数增的速度远大于函数的速度， 因此当时，函数只有两个零点， 且,, 由， 当时，由， 因为当时，， 所以此时，因此此时函数没有零点， 又，因此在上函数有个零点， 当时，有两个零点2和4， 当时，无零点，由函数的周期性可知：当时，有一个零点， 因此有上，有个零点． 故选：B 4-5．（2024高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断零点个数. 【详解】根据，所以其定义域为， 因为函数与函数在上都是增函数， 所以在上也是增函数； 又，， ，根据零点存在性定理在区间上存在唯一零点， 所以函数的零点个数为1个. 故选：A 4-6．（2024高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据函数解析式，结合其单调性求其值域，利用分类讨论思想，结合零点存在性定理，可得答案. 【详解】当时，易知单调递增，则； 当时，，则， 令，解得，令，解得， 当时，，令， 令，由函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，所以， 故函数在上无零点； 当时，， 令，则，化简可得， ，由对称轴， 当时，，当时，， 所以方程在有两个不相等的实数根， 故函数在上有两个零点； 当时，，令， 整理可得，易知该函数在上单调递减，则， 可得，由函数与函数在上单调递增， 则在上单调递增，所以， 故在上无零点. 综上所述，函数在其定义域内有两个零点. 故选：C. 4-7．（2024·四川雅安·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，设，根据已知作出函数的图象，结合零点存在定理以及函数的增长速度的快慢，即可得出答案. 【详解】    设， 设，则. 又，所以1是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点. 结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点. 综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点. 故选：C. 题型5：根据零点的个数求参数范围 5-1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令，则． ①当时，若；若，由，得． 所以由可得或． 如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意； ②当时，若，则；若，由，得． 所以由可得，当时，由，可得， 因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根， 若且，故； 若且，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C． 5-2．（2024高一上·河北保定·阶段练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围. 【详解】时，，函数在上单调递减，， 令可得，作出函数与函数的图象如图所示：    由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是． 故选：D． 5-3．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】根据题意,作出函数的图象,如图: 令，因为方程有6个相异的实数根, 所以方程有两个不等的实根， 所以, 解得或, 不妨设这两根, 则或, 当时，，且，所以无解； 当时， 令, 只需,即,解得, 终上所述：. 故答案为:. 5-4．（2024高一上·河南洛阳·阶段练习）若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点， 当时，函数至多两个零点， 因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，可得，必有，解得， 所以，，解得； 当时，由，可得或， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 5-5．（2024高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案. 【详解】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点， 当时，， 当时，在有最大值4， 画出函数的图象，如下图， 由图可知，. 故答案为：. （四） 已知函数零点所在区间求参数的取值范围 根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 题型6：一次函数零点分布求参数范围 6-1．（2024高二·全国·单元测试）当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据可求出结果. 【详解】设， 依题意可得，所以， 所以，得. 故答案为： 6-2．（2024高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可. 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 6-3．（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 【答案】1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 题型7：二次函数零点分布求参数范围 7-1．（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式组可求得结果. 【详解】由题意可知，由可得， 设， 则，解得：， 所以的取值范围为. 故选：D. 7-2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，函数． (1)若是奇函数，求a的值； (2)若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数结合奇函数的定义及性质，即可求解； （2）先求出， 再根据有两个负根，则，从而可求解. 【详解】（1）因为的定义域为， 且为奇函数，所以，即． 此时，的定义域为， 且，为奇函数， 所以． （2）因为的图象过点，则，解得． 令，得． 因为函数与x轴负半轴有两个不同交点， 所以方程有两个不相等的负根， 所以，解得． 所以， 所以的取值范围为． 7-3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于x的方程． (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足，求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构建函数，根据二次函数图象列式求解； （2）根据二次函数图象结合零点分布分析求解； （3）分“有两个正根”、“有一个正根，一个负根”和“有一个正根，另一根为0”三种情况，结合二次函数图象分析求解. 【详解】（1）设， 若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小， 则的大致图象如图1所示， 可得，即，解得， 所以实数m的取值范围为． （2）若方程有两个实根α，β，且满足，的大致图象如图2所示， 可得，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图3， 可得，解得； ②有一个正根，一个负根，此时如图4，可得，得； ③有一个正根，另一根为0，此时如图5， 可得，解得； 综上所述：当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为． 7-4．（2024高二下·浙江宁波·期中）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由得是的一个零点，从而将问题转化成在区间恰有一个非0的零点，再根据和两种情形进行分析，当时情形将零点求出即可判断是否符合；对于情形结合根的分布得，接着解该不等式即可，最后综合两种情形即可得解. 【详解】由题，所以是的一个零点， 因为函数在区间恰有两个零点， 所以函数在区间恰有一个非0的零点， 当，即时有一个零点， 将代入整理得即，解得， 故时有一个零点为，符合； 当，即时， 由根的分布情况得，即，解得，符合. 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 7-5．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）方程的两个根均大于1，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围. 【详解】,因为的两个实数根均大于1， 所以，解得，所以m的取值范围为． 故答案为：. 7-6．（2024高一上·天津·阶段练习）函数 (1)当时，求函数零点 (2)函数有两个零点，求m的取值范围； (3)函数在上有两个零点，求m的取值范围； 【答案】(1)1； (2)或； (3). 【分析】（1）把代入，求出零点. （2）利用判别式大于0，解不等式即得. （3）利用一元二次方程实根分布规律，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，，由，解得， 所以函数零点为1. （2）由函数有两个零点，得方程有两个不等实根， 因此，解得或， 所以m的取值范围是或. （3）由函数在上有两个零点，得，解得， 所以m的取值范围是. 7-7．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，由题意只需，解得且， 又时，，经检验满足题意，时，，经检验满足题意， 所以且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 题型8：指对幂函数零点分布求参数范围 8-1．（2024高一下·江苏盐城·期末）函数的零点为，且，，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【分析】利用函数的零点存在定理求解. 【详解】解：因为在上单调递增， 又， 所以， 故选：A 8-2．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围. 【详解】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得． 故选：B. 8-3．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得. 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. （五） 结合函数的对称性以及交点个数，数形结合 题型9：求零点的和 9-1．（2024高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（    ） A． B．2023 C． D．4046 【答案】A 【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值. 【详解】 由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标， 因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称， 所以线段的中点就是直线与的交点， 由，得，即线段的中点为， 所以. 故选：A 9-2．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案. 【详解】由题意，因为，所以为奇函数， 由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的， 所以的图象关于点对称. 而所表示的直线也关于点对称， 所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以. 故选：B. 9-3．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 故选：A 题型10：比较函数零点的大小 10-1．（2024·山东·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解. 【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点， 作出与，，的图象，    如图所示，可知 故选：C 10-2．（2024高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别令、、，根据函数定义域可得的范围，从而求出的范围可得答案. 【详解】令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 综上，. 故选：A. 10-3．（2024高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得；根据函数的单调性及零点存在定理可得，，即可得答案. 【详解】解：令，得，即； 因为，易知在上单调递增， 又因为，所以； ，易知在上单调递增， 又因为，，所以； 所以. 故选：B. （六） 1. 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2.（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）． （2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）． 题型11：用二分法求近似解的条件 11-1．（2024高一·全国·课后作业）下列关于二分法的叙述中，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 【答案】B 【分析】根据二分法的概念进行判断ABC选项，D选项，求零点的方法有多种. 【详解】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误； B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值， 可精确到小数点后任一位，B正确； C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号， 因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误； D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误． 故选：B． 11-2．（2024高一上·浙江杭州·期中）下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二分法的定义一一判定即可. 【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法， 对于A，显然在定义域上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在定义域上连续， 有，可以使用二分法，故B错误； 对于C，在定义域上连续， 且有， 可以使用二分法，故C错误； 对于D，， 且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确. 故选：D 11-3．（2024高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 题型12：用二分法求方程近似解的过程 12-1．（2024高一上·浙江丽水·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由于长度等于的区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为0.01时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数. 【详解】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6. 故选：B. 12-2．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过次后，区间长度变成，据此可列出不等式． 【详解】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半， 经过次后，区间长度变成，则，即，故对区间只需要分4次即可． 故选：C. 12-3．（2024高一上·山东菏泽·期末）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（    ）次区间中点的函数值． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二分法的性质可知，开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，根据精确度即可求得关于的不等式，从而得到答案. 【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半， 经过次二分法计算后，区间长度变为， 又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1， 所以，则，又，所以，又，故， 所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值． 故选：C. （七） 利用二分法求函数近似零点的流程图： 题型13：用二分法求函数零点的过程 13-1．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 13-2．（2024高一下·重庆永川·开学考试）已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及表格得，从而可求解. 【详解】易知在上单调递增， 由表格得，且， ∴函数零点在， ∴一个近似值为0.57． 故选:B． 13-3．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375 【答案】D 【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答. 【详解】由表格可知,方程的近似根在内, 又因为,故方程的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375. 故选: D. 一、单选题 1．（2024高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理结合题意求解即可. 【详解】当时，，不存在零点； 当时，是一次函数，必然单调， 故只需即可，即，解得或， 即的取值范围是∪， 故选：D 2．（2024高一上·广东江门·期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解． 【详解】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B 3．（2024高一上·福建龙岩·期末）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，且，可得， ∵与均关于点对称， 由图可设与的交点横坐标依次为， 根据对称性可得， 故函数在上所有零点之和为. 故选：B.    【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法 （1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数； （2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点； （3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 4．（2024高一上·广东深圳·期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“二分法”的处理过程写出第二次所取区间即可. 【详解】由题意，根据二分法取值，即判断或的符号， 所以第二次所取区间可能是或. 故选：A 5．（2024高一上·江西景德镇·期末）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上. 【详解】令， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， ， 所以在上有唯一零点，即，故， 所以方程的根落在区间上， 故选：B. 6．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）函数零点的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案. 【详解】在上单调递减， ， ，所以零点所在的区间是,所以该函数只有一个零点. 故选：B 7．（2024高一下·安徽滁州·期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由函数，且，可得， 所以，根据零点的存在性定理， 可得方程的近似解落在区间为. 故选：A. 8．（2024高一上·四川成都·期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断. 【详解】显然函数在上是连续不断的曲线， 由于，所以， 由零点存在性定理可得：的零点所在区间为， 所以方程在区间内一定有根. 故选：C. 9．（2024高一上·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点； 而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点； 故选：C 10．（2024高一上·河北保定·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果． 【详解】由题意作函数与的图象如下， ∵方程有四个不同的解，且， ∴关于对称，即， 当得或，则，故， 故选：A. 11．（2024高一下·山西晋城·期中）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出分段函数解析式，作出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】因为， ， 当时，或， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 因为方程有3个不同的实根， 所以有3个不同的交点，如图，    由可得， 又，解得， 所以. 故选：A 12．（2024高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下，    设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：A 13．（2024高一上·四川成都·期中）已知函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先画出函数的图象，利用数形结合，转化，再结合函数的单调性和定义域，即可求解. 【详解】如图，画出函数的图象， 的对称轴为，则， ，即，，得， ，当，得或，即 所以在上为单调减函数， 时，，当时，， 所以的取值范围是. 故选：B 14．（2024高一上·山东泰安·期中）已知函数，方程有三个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案. 【详解】，，即，即， 设，函数定义域为，， 函数为奇函数，， 不妨取，则，，. 故选：B. 二、多选题 15．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（    ） A．函数的两个零点可以分别在区间和内 B．函数的两个零点可以分别在区间和内 C．函数的两个零点可以分别在区间和内 D．函数在区间上单调 【答案】AB 【分析】根据给定条件，可得，，再分类讨论的正负性，结合零点存在性定理即可得解. 【详解】函数在区间上有且只有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，则在零点两侧函数值异号， 由于，，则当时，有， 若，则在上必有1个零点，而在及上有无零点及零点个数不能确定， 若，则在上必有1个零点，而在及上有无零点及零点个数不能确定， 因此，且， 若，则，，函数的两个零点分别在和内，A正确； 若，则，，函数的两个零点分别在和内，B正确； 显然函数的两个零点不可能分别在和内，否则，，矛盾，C错误； 函数在上不可能单调，否则函数在上最多只有1个零点，矛盾，D错误. 故选：AB 16．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（    ） A．当实数解的个数为1时， B．当实数解的个数为2时， C．当实数解的个数为3时， D．当实数解的个数为3时， 【答案】AC 【分析】把方程看作两个函数：和，在同一直角坐标系中画出图象分析即可判断选项. 【详解】根据题意，函数的图象且，如图所示： 当时，方程有一个解，故正确； 当或时，方程有两个解，故错误； 当时，方程有三个解，故正确，不正确. 故选：. 17．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分别求得函数在两段区间上的单调性，画出函数图象，根据方程根的个数可知方程的两个不相等的实数根，满足，即可得，可得，即可得出结论. 【详解】当时，. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由，得； 当时，单调递增，，如下图所示： 令，当或时，方程只有一解； 当时，方程有两解； 当时，方程有三解. 方程有四个不相等的实数根， 等价于关于的方程有两个不相等的实数根，，且. 令， 因为，所以， 即，得，此时， 故的取值范围为. 故选：AB 18．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知定义在上的奇函数，其周期为4，当时，，则（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．在上有9个零点 【答案】BD 【分析】利用函数的周期性与奇偶性计算函数值可判断A；求出时的范围，再利用奇偶性周期性求出函数在的值域可判断B；求出、可判断C；利用函数的周期性、奇偶性求出零点个数可判断D. 【详解】对于A，因为为R上的奇函数，所以，又其周期为4， 所以，故A错误； 对于B，因为为奇函数，所以，可得， 又因为周期为4，所以，可得， 所以，即， 可得的图象关于对称，所以，， 因为当时，为单调递增函数，所以， 又因为为奇函数，当时，所以， 再由的周期为4，可得的值域为，故B正确； 对于C，因为，， 所以在上不具备单调性，故C错误； 对于D，因为的周期为4，时，为单调递增函数， 所以时，为单调递增函数， 时，为单调递增函数， 又因为为奇函数，所以时，为单调递增函数， 时，为单调递增函数， 且，， ， 可得的大致图象，所以在上有9个零点，故D正确.    故选：BD. 【点睛】关键点点睛：利用函数的周期性、奇偶性解题是解题关键点. 三、填空题 19．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或.    20．（2024高一上·辽宁大连·期中）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为 . （参考数据：，，，.） 【答案】1.8/ 【分析】根据零点存在性定理结合二分法分析求解. 【详解】由题意可知：， ， 又因为函数在上连续， 所以函数在区间上有零点，约为. 故答案为：1.8. 21．（2024高一上·全国·课后作业）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 【答案】/0.625 【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】设， 则，， ∴第一次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第二次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第三次取区间的中点. 故答案为：. 22．（2025·浙江·模拟预测）已知a，b，，二次函数有零点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，则，根据二次函数零点可得，设，利用对勾函数可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】因为a，b，，设，则， 二次函数有零点， 则，可得， 设， 显然，可知在内单调递增， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 即，所以的最小值是. 故答案为：. 23．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用给定定义构造不等式，按分类讨论并结合函数大致图象，建立关系式求解即得. 【详解】由给定的定义知，为满足的整数解的和， 当时，在同一坐标系内作出函数和的大致图象，如图：   ，， 因此的解集包含，，不符合题意； 当时，，由，解得或， 在内有3个整数解，即，因此，符合题意； 当时，作出函数和的大致图象，如图，    若，又，且，所以不等式的整数解为． 只需满足，即，解得． 所以时，实数的取值范围为． 故答案为： 24．（2024·河北·模拟预测）已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为 【答案】 【分析】对于第一空，有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点，数形结合后可求的取值范围；对于第二空，根据图像的局部对称性可得 ，根据对数的运算性质可得，消元后利用单调性可求的范围. 【详解】因为，所以函数为奇函数，函数的图象如图所示， 有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点， 当直线与相切时， 则的判别式即（负值舍去）， 此时切点横坐标为， 当直线过时，， 结合下图可得当于函数与有7个交点，. 若方程（）有四个不同的解， 由题意及图象知，， 由题意， ∴， ∴，即， ∴，∴， 又，∴， 因为在上均为单调递增， 故在上单调递增， ∴，∴. 故答案为：，. 【点睛】思路点睛：函数零点的性质讨论，应根据图象的特征结合运算性质找到不同零点之间的相互关系后将目标代数式转化为单变量函数，再结合函数的单调性或导数可求相应的范围. 25．（2024高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，若有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法,设，根据复合函数的零点个数求实数的范围即可. 【详解】时,， 时,, 的值域为， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 设， , ,即， 故，， 方程有两个不同的零点，则，且 解得. 故答案为： 四、解答题 26．（2024高一上·四川内江·阶段练习）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可； （2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可. 【详解】（1）函数是偶函数， 故， 即，，故. （2），故， 若函数与的图象有且只有一个交点， 即在上只有一个解，故， 即，即， 设 故只有一个解，即， 当时，，则，不符合，故舍去； 当时，函数的对称轴为， 故在单调递减，且，故方程在无解； 当时，函数的对称轴为，且，， 故方程 在上有唯一解，符合题意， 综上所述，的取值范围是. 27．（2024高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数. (1)若函数在和上各有1个零点，求实数m的取值范围； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列出不等式组求解即得. （2）利用恒成立分离参数，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）由函数在和上各有1个零点， 得，即，解得， 所以实数m的取值范围是. （2），， 当时，成立，则； 当时，， 而，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 28．（2024·陕西·模拟预测）已知函数． (1)求及函数的定义域； (2)求函数的零点． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）利用的值求得，解分式不等式求得的定义域. （2）通过解对数方程求得正确答案. 【详解】（1）依题意， 所以，由得， 解得，所以的定义域为. （2）， 则，所以的定义域为， 令得， 所以，，则. 29．（2024高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)单调递增，. 【分析】(1)由于为奇函数，可得，即可得出； (2)利用单调性的定义，通过作差即可证明； (3)利用(2)求函数在上的单调性，再结合零点存在性定理即可得出m取值范围． 【详解】（1）为奇函数， ， ，即， ，整理得， （时，不合题意而舍去）． （2）由(1)，故， 设， 时，，，， ，即， 函数在上是减函数； （3）由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增， 又在R上单调递增， 在单调递增， 在区间上只有一个零点， ， 即， 解得. 【点睛】方法点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及有几个零点时，还需考虑函数的图象在参数范围不同时的交点个数； （3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题； （4）转化为两熟悉的函数图象交点问题，从而构建不等式求解. 30．（2025·江苏南通·一模）设函数． (1)若，，求证：有零点： (2)若，，是否存在正整数m，n，使得不等式的解集为，若存在，求m，n；若不存在，说明理由； (3)若，非空集合，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 (3) 【分析】（1）直接代入得到函数解析式，再利用零点存在性定理即可证明； （2）根据韦达定理得，则，根据数的性质得，解出即可； （3）首先求出，再代入得，最后分和的解是的解两大类讨论即可. 【详解】（1）若，则， 因为，所以. 又在上的图象是连续不断的， 所以有零点. （2）若，则， 因为不等式的解集为， 所以，其中一个充分条件为， 由②③得，，是方程的两个不等实根， 即，是方程的两个不等实根， 所以，得， 所以. 又因为， 所以，解得，此时符合①， 所以. （3）设，则，所以. 所以， . 设， 因为非空集合， 所以无实根或的解是的解. 若无实根，则 ，解得. 若的解是的解， 令，得或， 当时，，符合题意; 当时，，符合题意. 综上，， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键首先根据嵌套函数性质得到，然后再计算出，最后合理分类讨论即可. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$