第22章 相似形 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第22章 相似形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列命题中正确的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．任意两个直角三角形都相似 C．任意两个菱形都相似 D．任意两个正方形都相似 2．在中，，把的各边进行下列变换：①各边的长度分别扩大为原来的3倍；②各边的长度分别缩小为原来的；③各边的长度分别增加2；④各边的长度分别平方．其中得到的三角形与相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，是的边的中点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，若，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（    ） A．1：2 B． C．1：4 D． 5．如图，在中，直尺的边与重合，另一边分别交，于点，，其中点，，，，处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为2；则中边上的高为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=2，则CF的长为（     ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 7．如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是AB的中点，DE交AC于点F，则△CDF的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的高AD＝2，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，那么该正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③；④AD=AH，其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，点O是线段BD上一动点，EF、GH过点O，EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，GH∥BC，交AB于点G，交DC于点H，四边形AEOG的面积记为S，GB=，则S关于的函数关系图象是（  ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．若a∶b=3∶2，且b是a，c的比例中项，则b∶c等于 ． 12．已知点P是线段MN的黄金分割点，且MP＜PN，那么的值为 ． 13．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC= 米.    14．如图，点A在双曲线（k＜0）上，点B在x轴正半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为15，则k的值为 ． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．如图，已知路灯离地面的高度为，身高为的小明站在D处的影长为，那么此时小明离路灯的距离为多少米？ 16．晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与其影长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，并测得．已知李明直立时的身高为，求路灯的高度． 17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接AC，EC，EF，FC，且EC⊥EF． （1）求证：△AEF∽△BCE； （2）若AC=，求AB的长． 18．学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 19．如图，已知：在等腰中，顶角． （1）在AC上求作一点D，使（尺规作图，只保留作图痕迹）； （2）求证：点D是腰AC的一个黄金分割点． 20．如图，一广场上的灯柱的高为，是该广场上的一座建筑，小强站在F处发现自己的眼睛E、灯柱的顶端C和建筑的顶端A恰好在一条直线上，已知小强的眼睛到地面的高度，小强到灯柱的距离，灯柱到该建筑底端的距离，且F，D、B在同一水平线上，，，，请你帮助小强求出该广场上的建筑的高度． 21．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    22．位于陕西省北部神木县红碱淖景区的大门口，树立着一座精致的王昭君雕像．在当地人看来，当年王昭君就是走过神木大地，去完成和亲使命的．她因为远离家乡而伤心落泪，泪水也因此化作了一颗“沙漠明珠”——红碱淖．某校社会实践小组为了测量这座雕像（如图）的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，雕像的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到雕像的顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点、、、与雕像的底端在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该雕像的高度．（平面镜大小忽略不计）    23．综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接、，，则的值为_______． (2)如图2，在矩形中，，，点分别是上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列命题中正确的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．任意两个直角三角形都相似 C．任意两个菱形都相似 D．任意两个正方形都相似 【答案】D 【知识点】证明两三角形相似、相似多边形 【分析】利用两个角分别对应相等的两个三角形相似可判断A，B，利用各边对应成比例，各角对应相等的两个四边形相似可判断C，D，从而可得答案. 【详解】解：任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故A不符合题意； 任意两个直角三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故B不符合题意； 任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不一定相似，故C不符合题意； 任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方形都相似，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，相似四边形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键. 2．在中，，把的各边进行下列变换：①各边的长度分别扩大为原来的3倍；②各边的长度分别缩小为原来的；③各边的长度分别增加2；④各边的长度分别平方．其中得到的三角形与相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质对各项进行判断即可. 【详解】解：①各边的长度分别扩大为原来的3倍，新三角形与△ABC三边对应之比为3:1，相似，故选项符合题意； ②各边的长度分别缩小为原来的，新三角形与△ABC三边对应之比为1:3，相似，故选项符合题意； ③各边的长度分别增加2，新三角形与△ABC三边对应之比不相等，不相似，故选项不符合题意； ④各边的长度分别平方，新三角形与△ABC三边对应之比不相等，不相似，故选项不符合题意； ∴只有①②满足， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据三边对应成比例判定两个三角形相似. 3．如图，是的边的中点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，若，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】，， ，， 是的边的中点， ，， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（    ） A．1：2 B． C．1：4 D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、利用相似三角形的性质求解 【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的长，再根据 得到 ，然后利用相似三角形的性质来求解． 【详解】解：如下图， 设小方格的边长为1， ∵、分别是边长为1和2的等腰直角三角形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比． 5．如图，在中，直尺的边与重合，另一边分别交，于点，，其中点，，，，处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为2；则中边上的高为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，灵活应用相似三角形的性质是解题的关键． 过作于，交于，判定出后，利用相似三角形的比值关系求解即可． 【详解】过作于，交于，如图所示： 点，，，，处的读数分别为、、、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵直尺宽为， ∴， ∴， ∴， ∴中边上的高为； 故选：C． 6．如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=2，则CF的长为（     ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点 ∴EF=BC，EF∥BC ∴△EFG∽△BCG，且相似比为1：2 ∴CG=2FG=4 ∴CF=FG+CG=2+4=6． 故选D． 7．如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是AB的中点，DE交AC于点F，则△CDF的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求面积 【分析】根据相似三角形的判定求出△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质得出 ，，依次求出△AED、△AEF的面积，即可求出答案． 【详解】解： 连接AC，则AC过F， ∵四边形ABCD是正方形，边长为a， ∴AB=CD=a，AB∥CD， ∵E为AB中点， ∴AE=AB=a， ∵AB∥DC， ∴△AEF∽△CDF， ∴ ， ， ∵S△AED=a2， ∴S△AEF=a2， ∴S△CFD=4×a2， 故选B． 【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，能根据相似三角形的性质解题是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的高AD＝2，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，那么该正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用正方形的性质可知EH∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△AGE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长 【详解】解：设AD交GH于M． ∵四边形EFGH是正方形， ∴HG∥BC， ∴△AGH∽△ABC， 又∵AD⊥BC， ∴EH＝HG＝MD， ∴， 设EH＝x，则AM＝2−x， ∴， 解得：x＝， ∴EH＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，关键是找出相似三角形，列出比例式． 9．如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③；④AD=AH，其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由正方形的性质可得，，，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE，即可判断①；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH=DM=MH，由垂直平分线的性质可得AD=AH，即可判断④；由△MEA∽△HEG可求GH的长，即可判断③． 【详解】解：∵四边形ABCD是边长为的正方形，点E是BC的中点， ∴，，，， ∴， ∴∠CDE=∠BAE，DE=AE， ∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG， ∴， ∴∠BAE=∠BCF， ∴∠BCF=∠CDE， 又∵， ∴， ∴， ∴CF⊥DE，故①正确； ∵，， 由勾股定理得， ， ∵， ∴CH=2， ∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH， ∴△ECH∽△FCB， ∴， ∴， ∴CF=5， ∴HF=CF﹣CH=3， ∴，故②正确； 如图，过点A作AM⊥DE于点M， ∵，CH=2， 由勾股定理得， ， ∵，， ∴∠CDH=∠DAM， 又∵AD=CD，， ∴， ∴CH=DM=2，AM=DH=4， ∴MH=DM=2， 又∵AM⊥DH， ∴AD=AH，故④正确； ∵DE=5，DH=4， ∴HE=1， ∴ME=HE+MH=3， ∵AM⊥DE，CF⊥DE， ∴∠AME=∠GHE， ∵∠HEG=∠MEA， ∴△MEA∽△HEG， ∴， ∴， ∴HG=，故③错误． 综上，正确的有：①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，解题的关键是过点A作AM⊥DE于点M，构造全等三角形得到MH=DM． 10．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，点O是线段BD上一动点，EF、GH过点O，EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，GH∥BC，交AB于点G，交DC于点H，四边形AEOG的面积记为S，GB=，则S关于的函数关系图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形——动点问题、图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象 【分析】根据相似三角形的性质可得到DE的值，进而得到AE的值，根据面积公式计算即可； 【详解】∵ABCD 是矩形，EF∥AB，GH∥BC， ∴， ∴， ∵AB=4，BC=6，GB=， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 顶点坐标为， 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．若a∶b=3∶2，且b是a，c的比例中项，则b∶c等于 ． 【答案】3：2． 【知识点】成比例线段 【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得b2＝ac，即a:b=b:c，又由a：b＝3：2，即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即a:b=b:c， ∵a：b＝3：2， ∴b：c＝3：2． 故答案为：3：2． 【点睛】本题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形． 12．已知点P是线段MN的黄金分割点，且MP＜PN，那么的值为 ． 【答案】． 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的概念以及MP＜PN得到NP=MN和 ，代入计算即可． 【详解】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，且MP＜PN， ∴NP=MN ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 13．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC= 米.    【答案】// 【知识点】相似三角形应用举例 【详解】解：∵光是沿直线传播的， ∴AD∥BE，∴△BCE∽△ACD， ∴，即， 解得：BC=． 故答案为． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可． 14．如图，点A在双曲线（k＜0）上，点B在x轴正半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为15，则k的值为 ． 【答案】-10 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点A作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，由线段的比例关系求得△AOD的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于D，则AD∥OC， ∴＝＝， ∴， ∵△AOB的面积==15， ∴△AOD的面积=， 根据反比例函数k的几何意义得，＝5， ∴＝10， ∵k＜0， ∴k＝-10． 故答案为：-10． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，平行线截线段成比例，关键是利用比例求出三角形AOD的面积． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．如图，已知路灯离地面的高度为，身高为的小明站在D处的影长为，那么此时小明离路灯的距离为多少米？ 【答案】4米． 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质．利用中心投影的性质可判断，再根据相似三角形的性质求出的长，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 答：小明离路灯的距离为4米． 16．晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与其影长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，并测得．已知李明直立时的身高为，求路灯的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证和为等腰直角三角形，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：设长为， ∵， ∴，且为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度为． 17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接AC，EC，EF，FC，且EC⊥EF． （1）求证：△AEF∽△BCE； （2）若AC=，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用同角的余角判断出∠AFE=∠BEC，即可得出结论； （2）设AE=x，AF=y，则BE=x，AB=2x，BC=AD=2y，进而利用△AEF∽BCE，得出，即x2=2y2，再用勾股定理得出（2x）2+（2y）2=（2）2，即x2+y2=3，进一步求解即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EAF=∠CBE=90°， ∴∠AEF+∠AFE=90°， ∵EC⊥EF， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠BEC=90°， ∴∠AFE=∠BEC， ∵∠EAF=∠CBE=90°， ∴△AEF∽△BCE； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC， ∵E、F分别是AB、AD的中点 ∴AE=BE=AD， 设AE=x，AF=y， 则BE=x，AB=2x，BC=AD=2y， ∵△AEF∽BCE， ∴， ∴， ∴x2=2y2， ∵∠B=90°， ∴AB2+BC2=AC2， ∴（2x）2+（2y）2=（2）2， ∴x2+y2=3， ∴2y2+y2=3， 解得y=1，， ∴AE=，AF=1， ∵点E是AB的中点， ∴AB=2AE=2． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 18．学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度为30米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 19．如图，已知：在等腰中，顶角． （1）在AC上求作一点D，使（尺规作图，只保留作图痕迹）； （2）求证：点D是腰AC的一个黄金分割点． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D； （2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=72°，再利用DA=DB得到∠ABD=∠A=36°，所以∠DBC=36°，从而可判断∽，即可得到结论． 【详解】（1）如图，点D即为所求 （2）证明：由（1）得BD=AD ∴∠DBA=∠A=36° ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=36° ∴∠ABC=∠C ∴∠DBC=72°-∠ABD=36° ∴∽， ∴ ∴ ∵∠DBC=36°，∠C=72° ∴∠BDC=72° ∴∠C=∠BDC ∴BC=BD=AD ∴． ∴点D是腰AC的一个黄金分割点 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解答此题的关键． 20．如图，一广场上的灯柱的高为，是该广场上的一座建筑，小强站在F处发现自己的眼睛E、灯柱的顶端C和建筑的顶端A恰好在一条直线上，已知小强的眼睛到地面的高度，小强到灯柱的距离，灯柱到该建筑底端的距离，且F，D、B在同一水平线上，，，，请你帮助小强求出该广场上的建筑的高度． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，过点E作分别交于H、G，则四边形，四边形都是矩形，据此求出的长度，再证明，得到，代值计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作分别交于H、G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴该广场上的建筑的高度为． 21．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    【答案】宽为120米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键. 【详解】解：如图所示，过F作于G，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为120米.    22．位于陕西省北部神木县红碱淖景区的大门口，树立着一座精致的王昭君雕像．在当地人看来，当年王昭君就是走过神木大地，去完成和亲使命的．她因为远离家乡而伤心落泪，泪水也因此化作了一颗“沙漠明珠”——红碱淖．某校社会实践小组为了测量这座雕像（如图）的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，雕像的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到雕像的顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点、、、与雕像的底端在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该雕像的高度．（平面镜大小忽略不计）    【答案】米． 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】由和，可以证得 ，即可证得，从而等到与之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴该雕像的高度为米． 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题． 23．综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接、，，则的值为_______． (2)如图2，在矩形中，，，点分别是上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）设与交于点G，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）过点C作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$