第25章 锐角的三角比 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第25章 锐角的三角比 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（　　） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝ 2．在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是(　　) A．2=±4 B．(-3m2)·(-2m3)=6m6 C．(-tan60°-)-1=- D．(-a+2b)2=a2-4b2 4．在中，，如果，，那么的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 6．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（　　） A． B． C．m•cos∠1 D．m•sin∠1 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7． 8．计算：s ． 9．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是 10．如图，在等边三角形纸片△ABC中，将纸片折叠，点A落在BC边上的点D处，MN为折痕，当DN⊥NC时，CN=1，则A、D两点之间的距离为 . 11．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝ .； 12．已知、是锐角，若，那么、的关系是 . 13．如图：在中，，，，则 ． 14．如图△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD、BC交于点E，则DE的长是 ． 15．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= ． 16．中，，D、E分别是、上的点，，，，，则的值是 ．    17．如图：在矩形中，点E与点F分别在边与上，，连接，交于点G，且，连接，，若，则 ． 18．如图，点D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四边形BCED的面积为8，tan∠C=7，AC= ． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．计算： (1)． (2)． 20．如图，△ABC中，AB＝BC． （1）用直尺和圆规作△ABC的中线BD；（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BC＝6，BD＝4，求的值. 21．朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 22．如图，在南海一次演习中，驻岛屿A处的侦察兵发现一艘“敌舰”在正东方向的B处，立即通知在岛屿A处的驱逐舰前去拦截，“敌舰”沿北偏西方向以30的速度航行，C处在A处的正北方向，驱逐舰沿东北方向航行，恰好在上的D处截停“敌舰”，请问驱逐舰的航行速度是多少（结果精确到0.1．参考数据：，，，） 23．如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一个平面上，边AC与EF重合．AC＝6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动． (1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分∠ACG； (2)若AE＝0时，CD＝__________；AE＝3时，CD＝__________； (3)当点E从点A滑动到点C时，则点D运动的路径长是__________． 24．孔子是儒家学说的创始人，被联合国教科文组织评为“世界十大文化名人”之首．某地有一座孔子像，张雨和小婉想要利用所学知识测量这座孔子像的高度，如图，张雨站在孔子像旁的水平地面上处，小婉在之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点时，张雨刚好在平面镜内看到孔子像的顶端，此时测得，张雨的眼睛距地面高度；然后小婉沿前进至点处用测角仪测得孔子像顶端处的仰角，已知测角仪高度为，镜子与测角仪之间的距离，点、、、在同一水平线上，、、都垂直于．请你根据以上信息．求这座孔子像的高．（结果精确到，参考数据：，，）    25．如图1为一款可调握力器，图2是它的简化平面示意图，是水平调节杆，点O是弹簧的上端点，调节A处的螺旋调节器，弹簧下端点可在调节杆上的之间移动，从而使弹簧初始弹力在0~24N之间变化．已知弹簧下端点处于A点时，弹簧与调节杆成角，当其移动到B点时，弹簧与调节杆成角，O点到调节杆的距离为． (1)求当弹簧下端点从A点移动到B点时，弹簧长度的变化量； (2)事实上，在弹性限度内，弹簧弹力的变化量与弹簧形变量（即长度的变化量）成正比，即，其中为弹簧弹力的变化量，k为弹簧的劲度系数，单位为，为弹簧形变量，求弹簧的劲度系数k．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 26．如图所示，小亮家住在点 A 处，学校在位于小亮家正南方的点D处，由于在 A，D  之间有一个人工湖，小亮每天的上学路线只能沿着路到达学校，其中的段是一条东西走向的道路．在老师布置的数学综合实践活动中，小亮想利用所学的数学知识算出自己每天上学所走的路程比家到学校的最短距离多多少米． 综合实践报告 活动课题 测算家到学校的最短距离 活动工具 测角仪、皮尺 测量过程 步骤一：用皮尺先测得米，在点B处用测角仪，测得AB与正东方向的夹角为， 步骤二：继续用皮尺测得米，在点C处用测角仪，测得BC与正东方向的夹角为． 解决问题 根据以上数据求出小亮每天上学所走的路程比家到学校的最短距离多多少米．（精确到1米） （参考数据：，，；，，） 27．为方便同学们更好的放置自己的物品，某校新购进一批课桌便携式挂钩（图1）实践小组的同学把“挂钩到地面的距离的计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践研究，并形成了如下活动报告．请根据报告计算挂钩到地面的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，） 课题 挂钩到地面的距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测 过 程 及 计 算 调研内容及图示 相关数据及说明 如图2，课桌高度为．如图3，，， 计算结果 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 锐角的三角比 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（　　） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝ 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义解答即可． 【详解】解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB， 所以sinA，cosA=，tanA=， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答． 2．在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，将代入即可求得． 【详解】如图所示：在中，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键． 3．下列计算结果正确的是(　　) A．2=±4 B．(-3m2)·(-2m3)=6m6 C．(-tan60°-)-1=- D．(-a+2b)2=a2-4b2 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则以及整式的运算法则特殊角三角函数值即可求出答案． 【详解】A.∵=2,∴2=4,故A错误; B.(-3m2)·(-2m3)=(-3)×(-2)m2+3=6m5,故B错误; C.(-tan60°-)-1=(-2)-1==-=-,故C正确; D.(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2,故D错误. 【点睛】本题考查运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 4．在中，，如果，，那么的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理可求出AB的长，根据正弦函数的定义即可得答案． 【详解】∵，，， ∴AB==10， ∴sinA==， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型． 5．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，利用网格先求出、的面积，从而求出的长，再计算的正弦值． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∴，， 边上的高， 在中，， ∴， 故选D．    【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，利用的面积求出的长是解决本题的关键． 6．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（　　） A． B． C．m•cos∠1 D．m•sin∠1 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的正弦定义解题即可． 【详解】解：在Rt△ABC中， sin∠1＝， ， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正弦，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，将特殊角的三角函数值，代入计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8．计算：s ． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 9．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是 【答案】/ 【分析】过点B作，交延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得． 【详解】解：如图，过点B作，交延长线于点D， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切． 10．如图，在等边三角形纸片△ABC中，将纸片折叠，点A落在BC边上的点D处，MN为折痕，当DN⊥NC时，CN=1，则A、D两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】连接AD，证明△AND是等腰直角三角形，再在△DCN中解直角三角形求出DN，问题得解． 【详解】连接AD，根据等边三角形的性质可知∠C=60°， 根据折叠的性质有：AN=DN， ∵DN⊥NC， ∴∠CND=∠AND=90°，即△AND是等腰三角形三角形， ∵∠CND=90°，CN=1， ∴DN=CN×tan60°=， ∴AN=，即DN=， ∴在等腰Rt△AND中，AD==， 即A、D两点之间的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，灵活运用三角函数是解答本题的关键． 11．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝ .； 【答案】 【详解】试题解析：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵tanA=， ∴设a=x，则b=2x， 则c=． ∴sinA=． 12．已知、是锐角，若，那么、的关系是 . 【答案】互余 【分析】在∠α的边OA上取一点A，过点A作AB⊥x轴，根据正切和余切的定义进行计算求得当时两个角的关系. 【详解】解：如图：在∠α的边OA上取一点A，过点A作AB⊥x轴 在Rt△OAB中， ∴ 此时+=90° 即当一个角的正切值等于另一个角的余切值时，此时两个角的和为90° ∴α+β=90° 故答案为：互余 【点睛】本题考查正切、余切的定义，掌握锐角三家函数的定义是本题的解题关键. 13．如图：在中，，，，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，过点D作于点E，利用平行四边形的性质和解直角三角形得到，，勾股定理求出,即可得到答案． 【详解】解：过点D作于点E， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6 14．如图△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD、BC交于点E，则DE的长是 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算 再由旋转可得，，根据三角形外角和性质计算，根据含角的直角三角形的三边关系得和的长度，进而得到的长度，然后利用得到与的长度，于是可得. 【详解】如图，过点作于， ∵， ∴． ∵将绕点逆时针旋转，使点落在点处，此时点落在点处， ∴ ∵ ∴ 在中，∵ ∴ ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性质． 15．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= ． 【答案】 【详解】试题分析：∵DE=3，BD=5，DE⊥BC，∴． 又∵BD⊥DC，∴，即，解得． ∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=． 16．中，，D、E分别是、上的点，，，，，则的值是 ．    【答案】 【分析】过B作的平行线交的延长线于点M，过E作，由平行线分线段成比例可得，进而求得，由勾股定理可得，再证，得，求得，由勾股定理可得，由即可求解． 【详解】解：过B作的平行线交的延长线于点M，过E作，    ∵， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形以及三角形相似，关键是构造直角三角形并能将更多的已知线段集中． 17．如图：在矩形中，点E与点F分别在边与上，，连接，交于点G，且，连接，，若，则 ． 【答案】 【分析】过F作，结合已知条件，利用互余的性质证明，得到，可得，设，，得到方程组，解之得到，，求出相应线段，证明，得到，代入已知线段，即可求出． 【详解】解：如图，过F作， 在矩形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，设， ∴，设， ∴， ∴， ∴， 得：， ∴（负值舍去）， ∴， 代入得：， 解得：，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，加减消元法，勾股定理，解直角三角形，此题比较复杂，解题的关键是根据已知条件推导角的关系． 18．如图，点D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四边形BCED的面积为8，tan∠C=7，AC= ． 【答案】5 【分析】过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，由tan∠ACB=7，设CM=x，则AM=7x，AC=5x=AD，根据∠ABM=45°即得BM=AM=7x，BC=BM+CM=8x，而△NBC是等腰直角三角形，知CN=4x，由△DAE≌△CAN（AAS），即得DE=CN=4x，AE=3x，又四边形BCED的面积为8，列出方程，解方程再计算即可求解． 【详解】解：过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，如图： ∵tan∠ACB=7， ∴， 设CM=x，则AM=7x， ∴AC=AD， ∵∠ABM=45°， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴BM=AM=7x， ∴BC=BM+CM=8x， 在Rt△BCN中，∠NBC=45°， ∴△NBC是等腰直角三角形， ∴CN=BC=4x， ∵∠AED=∠ANC=90°，AD=AC，∠DAE=∠CAN， ∴△DAE≌△CAN（AAS）， ∴DE=CN=4x， 在Rt△DAE中，AE=， ∵四边形BCED的面积为8， ∴， ∴，即， 解得x=或x=-（舍去）， ∴AC=5x=5×=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查全等三角形、锐角三角函数、等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用含字母的式子表示相关线段的长度． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题． （2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题． 【详解】（1）解：原式＝31+2 1+1 2； （2）解：原式＝ 1 ． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 20．如图，△ABC中，AB＝BC． （1）用直尺和圆规作△ABC的中线BD；（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BC＝6，BD＝4，求的值. 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】分析：（1）过点B作AC的垂线交AC与点D，由等腰三角形三线合一的性质知BD也是AC边上的中线； （2）先根据勾股定理求出DC的长，再根据余弦函数的定义求解即可. 详解：（1）过点B作AC的垂线交AC与点D，BD即是BC边的中线； (2)∵AB=BC,∴∠A=∠C, ∴. . 点睛：本题考查了垂线的尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数值，熟练掌握尺规作图时解答（1）的关键，熟练掌握锐角三角函数的定义还是解（2）的关键. 21．朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．过点D作于点G，设米，先求得米，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【详解】解：如图所示：过点D作于点G，设米， 在中，， ∴米， 又米， ∴在矩形中，米，米， 在中，由 解得： 经检验，是方程的解． 答：大树的高度约为米． 22．如图，在南海一次演习中，驻岛屿A处的侦察兵发现一艘“敌舰”在正东方向的B处，立即通知在岛屿A处的驱逐舰前去拦截，“敌舰”沿北偏西方向以30的速度航行，C处在A处的正北方向，驱逐舰沿东北方向航行，恰好在上的D处截停“敌舰”，请问驱逐舰的航行速度是多少（结果精确到0.1．参考数据：，，，） 【答案】驱逐舰的航行速度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．设驱逐舰在上的处截停“敌舰”的时间为，则，在和中，依次表示出和，再根据速度=路程时间即可得解． 【详解】解：如图，作于点，则，， 设驱逐舰在上的处截停“敌舰”的时间为， ， 在中，， ， 在中，， ， 驱逐舰的航行速度， 答：驱逐舰的航行速度是． 23．如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一个平面上，边AC与EF重合．AC＝6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动． (1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分∠ACG； (2)若AE＝0时，CD＝__________；AE＝3时，CD＝__________； (3)当点E从点A滑动到点C时，则点D运动的路径长是__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N，利用AAS证明DEM≌DFN，可得DM=DN，即可得到结论； （2）当AE=0时，由ACD是等腰直角三角形，得AC=CD=6；从而可得CD的长度，当AE=3时，作EH⊥CD于点H，解ECD即可得到CD的长度； （3）由（1）知，CD平分∠ACG，从而可确定点D在射线CD上运动，通过起点和终点可以分析出点D是往返型运动，再确定在运动过程中CD的最大值和最小值即可求解． 【详解】（1）证明：过D点作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N， ∴∠DME＝∠DNF=90°， ∵∠ACG=90°， ∴∠MDN=90°， ∵DEF是等腰直角三角形 ∴∠EDF=90°，DE=DF， ∴∠EDM+∠MDF=∠MDF+∠FDN=90°， ∴∠EDM=∠FDN， ∴DEM≌DFN （AAS）． ∴ ∴点D在∠ACG的角平分线上． ∴CD是∠ACG的角平分线． （2）当AE=0时， ∵AC=6，ACD是等腰直角三角形， ∴AC=CD=6， ∴CD=． 当AE=3时，作EH⊥CD交CD于点H， CE=6-3=3， ∵∠ACD=45°， ∴EH=CH=CE=, 在EDF中，FE=6 ∴DE=FE=， 在EDH中，EH=， DE =， ∴DH= ==， ∴CD=CH+DH=+=． 故答案为：， （3）由（1）知，点D在∠ACG的平分线上运动，当点E从点A滑动到点C时，线段CD的长度先变长再变短． 当点E与点A重合时，CD最短=， 当DE⊥AC时，CD最长=6， 故点D的运动路径=）=． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，能够熟练全等三角形的判定和性质，以及分析动点的运动轨迹是解决本题的关键． 24．孔子是儒家学说的创始人，被联合国教科文组织评为“世界十大文化名人”之首．某地有一座孔子像，张雨和小婉想要利用所学知识测量这座孔子像的高度，如图，张雨站在孔子像旁的水平地面上处，小婉在之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点时，张雨刚好在平面镜内看到孔子像的顶端，此时测得，张雨的眼睛距地面高度；然后小婉沿前进至点处用测角仪测得孔子像顶端处的仰角，已知测角仪高度为，镜子与测角仪之间的距离，点、、、在同一水平线上，、、都垂直于．请你根据以上信息．求这座孔子像的高．（结果精确到，参考数据：，，）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确理解题意是关键；过点作于点，由题意得四边形是矩形，从而有，．再证明，得；在中，由正切函数关系建立方程即可求得． 【详解】解：如图，过点作于点．   ，，， 四边形是矩形， ，． 由题意，得，， ， ，即， ． 在中，， 解得； 答：这座孔子像的高约为． 25．如图1为一款可调握力器，图2是它的简化平面示意图，是水平调节杆，点O是弹簧的上端点，调节A处的螺旋调节器，弹簧下端点可在调节杆上的之间移动，从而使弹簧初始弹力在0~24N之间变化．已知弹簧下端点处于A点时，弹簧与调节杆成角，当其移动到B点时，弹簧与调节杆成角，O点到调节杆的距离为． (1)求当弹簧下端点从A点移动到B点时，弹簧长度的变化量； (2)事实上，在弹性限度内，弹簧弹力的变化量与弹簧形变量（即长度的变化量）成正比，即，其中为弹簧弹力的变化量，k为弹簧的劲度系数，单位为，为弹簧形变量，求弹簧的劲度系数k．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）由三角函数得，，求出和，由即可求解； （2）可得，代值计算，即可求解； 理解中的各个量，掌握解直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ，， O点到调节杆的距离为， ， ， ， ， ， 故弹簧长度的变化量为； （2）解：由（1）得 ， ， ()， 故弹簧的劲度系数为． 26．如图所示，小亮家住在点 A 处，学校在位于小亮家正南方的点D处，由于在 A，D  之间有一个人工湖，小亮每天的上学路线只能沿着路到达学校，其中的段是一条东西走向的道路．在老师布置的数学综合实践活动中，小亮想利用所学的数学知识算出自己每天上学所走的路程比家到学校的最短距离多多少米． 综合实践报告 活动课题 测算家到学校的最短距离 活动工具 测角仪、皮尺 测量过程 步骤一：用皮尺先测得米，在点B处用测角仪，测得AB与正东方向的夹角为， 步骤二：继续用皮尺测得米，在点C处用测角仪，测得BC与正东方向的夹角为． 解决问题 根据以上数据求出小亮每天上学所走的路程比家到学校的最短距离多多少米．（精确到1米） （参考数据：，，；，，） 【答案】小亮每天上学所走的路程比家到学校的最短距离多米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键．作于点，作于点，易得四边形为矩形，再利用解直角三角形相关计算得到、、、、进而得到、，最后根据计算求解，即可解题． 【详解】解：作于点，作于点， 易得四边形为矩形， 由题知，，米， 米， 米， 由题知，，米， 米， 米， 米，米， ， ， 米． 答：小亮每天上学所走的路程比家到学校的最短距离多米． 27．为方便同学们更好的放置自己的物品，某校新购进一批课桌便携式挂钩（图1）实践小组的同学把“挂钩到地面的距离的计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践研究，并形成了如下活动报告．请根据报告计算挂钩到地面的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，） 课题 挂钩到地面的距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测 过 程 及 计 算 调研内容及图示 相关数据及说明 如图2，课桌高度为．如图3，，， 计算结果 【答案】挂钩到地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活的运用所学知识解决实际问题； 由含的直角三角形的性质和勾股定理可得，再由三角函数求出，根据课桌的高度即可求解． 【详解】如图，过B作于F，延长交的延长线于G，则， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 课桌高度为， ， ， 答：挂钩到地面的距离约为. 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