2.4.2 圆的一般方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程 一、教学内容与解析 （一）教学内容 圆的一般方程. （二）内容解析 在学习了圆的标准方程，并能根据圆的标准方程求出圆心坐标、半径后，会用待定系数法求圆的一般方程.以圆的几何性质为基础，用代数方法研究圆的方程形式，首先从圆的标准方程着手，确定圆的圆心与圆的半径，从而写出圆的一般方程，并掌握这两种方程之间的转化. 二、教学目标及分析 （一）教学目标 1.理解圆的一般方程及其特点； 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化； 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程. （二）目标分析 1.使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程; 2.使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力; 3.理解轨迹方程的定义，通过题意求出轨迹方程. 三、教学重难点 重点：圆的一般方程 难点：圆的一般方程的运用 四、教学过程设计 问题一、什么是圆的一般方程？ 问题1、将圆的标准方程展开得到什么样的式子？ 师生活动：学生将几个不同的圆的标准方程展开，观察几个展开式的结构发现他们的共同点。教师总结出圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0． 问题2、形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？ 师生活动：教师利用两个二元二次方程讲解，方程与表示的图形都是圆吗？为什么？通过简单例子让学生掌握圆的一般方程的条件。 方程可化为， （1）当时，方程表示圆，圆心为，半径为； （2）当时，方程表示一个点 （3）当时，方程不表示任何图形 问题3、圆的一般方程 有何结构特征？ 问题4、当D=0，E=0或F=0时，圆的位置分别有什么特点？ 师生活动：学生观察或动手画出圆的图形回答上述两个问题，教师指导，特别是书写圆的一般方程时，要注意方程的结构特征。 例题1、已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？ 变式练习 一般地，已知点，则以线段AB为直径的圆方程如何？ 例2、求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 变式练习 方程表示的图形是一个圆，求a的取值范围. 例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 变式练习 已知点P（5，3），点M在圆上运动，求|PM|的最大值和最小值. 变式练习 1.求下列各圆的一般方程： (1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)． 2.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程． 五、课堂小结 1.任一圆的方程可写成的形式,但方程表示的曲线不一定是圆,当时,方程表示圆心为,半径为的圆. 2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ； （2）列方程组； （3）求系数； （4）小结. 3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系. 六、课后作业 教材P88习题2.4 A组复习巩固1-4 B组综合运用5-8 七、课后反思 第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$