2.4.1 圆的标准方程教学设计-2024-2025学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.1圆的标准方程 一、教学内容与解析 （一）教学内容 圆的标准方程. （二）内容解析 本节学习圆的标准方程，根据圆的几何定义转化成关于圆心坐标、半径的数量关系的标准方程.会用待定系数法和代入法求圆的标准方程.以圆的几何性质为基础,用代数方法研究圆的方程形式，首先从圆的标准方程着手，确定圆的圆心与圆的半径，从而写出圆的标准方程. 二、教学目标及分析 （一）教学目标 1、会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征 2、能根据所给条件求圆的标准方程 3、掌握点与圆的位置关系 （二）目标分析 1、从圆的几何性质着手，引出圆的标准方程，并能够结合代数方法求解圆的标准方程，从而为下一阶段学习圆的一般方程打下基础. 2、培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 3、利用点到圆心的距离与半径的关系，会判断点与圆的关系，解决相关问题 三、教学重难点 重点：圆的标准方程 难点：求圆的标准方程 四、教学过程设计 问题一、在平面几何中圆的定义是什么? 问题1、圆的几何要素有哪些？ 问题2、在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 师生活动：教师提问学生，引导学生在平面内建立平面直角坐标系，利用数量关系表示圆的定义 问题二、如何用方程表示圆？ 师生活动：教师板书圆的标准方程的推导过程，其实质就是两点间的距离公式的运用 问题1、设圆心坐标为A(a，b)，圆半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义x，y应满足什么关系？ 问题2、对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上，则点M的坐标满足方程；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程，那么点M一定在这个圆上吗？ 问题3、我们把方程称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？ 问题4、以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？ 例题1、判断下列方程是否能表示圆，若是,说出它的圆心坐标及半径大小;若不是,说出理由. （1）；（2） （3）；（4）； （5）；（6） 解：（1）是，圆心（a，b），半径为c （2） 不是 （3） 当m≤0时不是，当m＞0时是 （4） 是 （5） 是 （6） 不是 例题2、求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2（-2，-1）是否在这个圆上 解：圆的标准方程为 ，M1在圆上 ，M2不在圆上，在圆内 变式练习 求下列圆的标准方程 （1）圆心为C（-3,4），半径为5 （2）圆心为C（-8，3），且经过点M（-5，-1） 问题三、平面内的任意一点与圆有哪些位置关系?如何判断?从它们的坐标及方程上如何说明呢? 问题1、在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？ 问题2、在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？ 问题3、在直角坐标系中，已知点和圆C：，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？ 问题4、集合{(x，y)| }表示的图形是什么？ 师生活动：教师利用多媒体展示动图，学生完成思考，教师总结并板书结论 例3:△ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程. 解：方法一、待定系数法 方法二、几何性质法 例4:已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程. 解：方法一、待定系数法 方法二、几何性质法 变式训练： 1、求证：以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0． 2、圆(x＋1)2+(y－2)2=4的圆心、半径是 （ ） A.(1,－2),4 B.(1,－2),2 C.(－1,2),4 D.(－1,2),2 3、过点A(4,1)的圆C与直线相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为 . 4、一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程． 五、课堂小结 1.圆的标准方程的结构特点. 2.点与圆的位置关系的判定. 3.求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②代入法. 六、课后作业 教材P85练习 七、课后反思 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$