第二章 一元二次方程 一元二次方程定义与解法专练2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程定义与解法专练 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）下面关于的方程中：；；；为任意实数；一元二次方程的个数是 A. B. C. D. 2.（3分）如果关于的方程是关于的一元二次方程，那么的值为 A. B. C. D. 都不对 3.（3分）关于的方程必有一个根为 A. B. C. D. 4.（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 A. B. C. D. 5.（3分）若是方程的根，则的值为    A. B. C. D. 6.（3分）用配方法解方程，配方后的方程是 A. B. C. D. 7.（3分）某小区计划在一块长米，宽米的矩形空地上修两条小路，一条水平一条倾斜，剩余部分辟为绿地，并使绿地总面积为米为求路宽，下面列出的方程中，正确的是 A. B. C. D. 8.（3分）关于的方程均为常数，的解是，，则方程的解是 A. ， B. ， C. ， D. ， 9.（3分）亮亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是 A. B. C. D. 10.（3分）设、是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是 A. B. ， C. D. ， 二 、填空题（本大题共6小题，共18分） 11.（3分）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 12.（3分）若一元二次方程可化为，则的值为 ______ . 13.（3分）对于实数，，定义运算“”：例如，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则______． 14.（3分）根据图中的程序，当输入一元二次方程的根时，输出结果          ．    15.（3分）一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则三角形的周长为______． 16.（3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式每两队之间赛一场现计划安排场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请个球队参赛，根据题意，可列方程为______． 三 、解答题（本大题共10小题，共65分） 17. （16分）解方程．                                         ． 18. （6分）已知关于的方程．  求证：无论的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；  若方程的一根为，试求出的值和另一根． 19.（6分）对任意两个实数、，用表示其中较大的数，如． 解方程：； 解方程：． 20.（10分）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，当时，，；当时，，，故原方程的解为，，，． 解答问题： 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； 请利用以上知识解方程：； 已知实数，满足，试求的值． 21. （10分）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．  如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；  如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；  如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 22. （12分）我们可以用以下方法求代数式的最小值．      当时，有最小值  请根据上述方法，解答下列问题：  求代数式的最小值；  求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时的值；  求证：无论和取任何实数，代数式的值都是正数． 23.（12分）如图，在菱形 中，m、n、t分别是菱形 的两条对角线的长和边长，其中 ，这时我们把关于x的形如“ ”的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题： 1.填空： ①当 ， 时， ______； ②用含m，n的代数式表示 值， ______； 2.求证：关于x的“菱系一元二次方程” 必有实数根； 3.若 是“菱系一元二次方程” 的一个根，且菱形的面积是25， 是菱形 的 边上的高，求 的值； 4.在①问的基础上( )，以 所在的直线为x轴，以 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．是否在y轴上存在一点P，使得 为等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】B; 【解析】【分析】  此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键  利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程判断即可．  【解答】  解：关于的方程中：①当时就不是一元二次方程；  ②，是一元二次方程；  ③不是整式方程，不是一元二次方程；  ④为任意实数，是一元二次方程；  ⑤不是整式方程，不是一元二次方程，  ②④是一元二次方程，有个，  故选 2.【答案】C; 【解析】解：关于的方程是关于的一元二次方程，  ，  即  解得，  故选：  根据一元二次方程的定义解答即可．  此题主要考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 3.【答案】A; 【解析】解：、当时，，所以方程必有一个根为，所以选项正确；   B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以选项错误；   C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以选项错误；   D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以选项错误．   故选A．  分别把、、代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解．   该题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 4.【答案】D; 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，  ，  解得：．  故选：．  直接利用根的判别式进而分析得出的取值范围．  此题主要考查了根的判别式，正确得出关于的不等式是解题关键． 5.【答案】C; 【解析】【分析】  本题考查一元二次方程的根，代数式求值，运用了整体代入法，属于基础题．  根据题意，可求得的值，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．  【解答】  解：依题意得：，  则，  所以．  故选C． 6.【答案】D; 【解析】解：方程，  变形得：，  配方得：，即，  故选：  方程整理后，利用完全平方公式配方可得到结果．  此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7.【答案】D; 【解析】解：由题意可得，  ，  ，  故选：  根据题意可以列出相应的方程，然后化简即可解答本题．  此题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 8.【答案】B; 【解析】解：由题意知方程均为常数，的解是，，  对比所求方程可知，或，  解之可得所求方程的解为，，  故选B．  直接利用两方程的相似性对比得出所求方程的解的等式，进而求解．  本题考查了解一元二次方程的求解问题，属于基本题。 9.【答案】D; 【解析】解：设常数项为，  根据题意得，  解得，  所以的最大值为  故选：  设常数项为，利用判别式的意义得到，再解不等式得到的范围，然后在此范围内确定最大值即可．  本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10.【答案】C; 【解析】解：，   ，   整理得：，即，   解得：．  故选：．  根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．  此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 11.【答案】且; 【解析】【分析】  本题考查了一元二次方程的根的判别式，关键是熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．  由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，两个不等式的公共解即为的取值范围．  【解答】  解：关于的方程有两个不相等的实数根，  且，即，  解得且，  的取值范围为且．  故答案为且．    12.【答案】; 【解析】解：，  ，  ，，  解得  故答案为：  把方程化为一般式得到，然后对比原方程得到，，从而可求出的值．  此题主要考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 13.【答案】或; 【解析】【分析】  首先解方程，再根据，求出的值即可．  此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．  【解答】  解：，是一元二次方程的两个根，  ，  解得：或，  当，时，；  当，时，．  故答案为：或．  14.【答案】或; 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程和函数值的应用，能求出方程的解和读懂题意是解此题的关键，难度适中先求出的值，再根据程序代入求出即可．  【解答】解：，  得，．  当时，  当时，．  所以输出结果或．  故答案为或．  15.【答案】16; 【解析】解：解方程得、，   第三边的边长，   第三边的边长为．  这个三角形的周长是．  故答案为：．  首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．  本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 16.【答案】x（x-1）=21; 【解析】解：设有个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：  ，  故答案为：．  赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数为，即可列方程．  本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 17.【答案】解：，  解得，；  ，  ，  ，  所以，；  ，  ，  或，  解得，；  ，  或，  解得，．; 【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程．  利用直接开平方法解方程；  利用公式法解方程；  先移项得到，然后利用因式分解法解方程；  利用因式分解法解方程． 18.【答案】证明：，  无论的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．  解：将代入方程中，  ，即，  解得：．  原方程可化为，  解得：，．  故的值为，方程的另一根为．; 【解析】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及解一元二次方程，属于一般题．  代入数据求出的值，由可证出结论；  将代入到原方程中得到关于的一元一次方程，解方程可得出值，将值代入到原方程，解方程即可得出方程的另外一根．  19.【答案】解：依题意得：，  整理，得：，  解得：，；  ①当时，依题意得：，  整理，得：，  解得：舍去；  ②当x 0时，依题意得：，  整理，得：，  解得：．    ; 【解析】 本题考查了有理数大小比较和一元二次方程的解法解题的关键是正确理解“用表示其中较大的数”的含义．  根据新定义运算法则得到方程：，解方程即可；  根据新定义运算法则得到方程：或，解方程即可．             20.【答案】解：换元；  设，  则原方程变形为：，即，  解得：，，  当时，则，  ，  ，   ，，  经检验，，是原方程的解；  当时， 则，  ，    ，   ，，  经检验，，是原方程的解；  原方程的解为：，，，；  设，  则原方程变形为：，即，  解得，，  或不符合题意，舍去，  的值为．; 【解析】本题考查了高次方程的求解，换元法解一元二次方程，因式分解法和公式法解一元二次方程，在解题的过程中还用到了根的判别式，求解的关键时换元法的正确使用，即先进行适当换元降次，再利用反代法求解．  根据题目的变形可以看出运用了换元法的解题思想在解答这道题，故得出结论为换元法；  先设，代入原方程变为：，利用因式分解可将方程变为：，求出的值，再分别代入，利用公式法即可求出的值，注意判断的值是否符合题意；  先设，代入原方程变为：，利用因式分解可将方程变为：，求出的值，再分别代入，注意判断的值是否符合题意，若不符合题意要舍去． 21.【答案】解：是等腰三角形；  理由：是方程的根，  ，  ，  ，  ，  是等腰三角形；    方程有两个相等的实数根，  ，  ，  ，  是直角三角形；    当是等边三角形，  ，  可整理为：，  ，  解得：，．; 【解析】直接将代入得出关于，的等式，进而得出，即可判断的形状；  利用根的判别式进而得出关于，，的等式，进而判断的形状；  利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可．  此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式以及勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题的关键． 22.【答案】（1）解：-4x+2=-2•x•2+22-22+2=（x-2）2-2，  ∵（x-2）2≥0，  ∴（x-2）2-2≥-2，  ∴当x=2时，-4x+2有最小值-2；  （2）解：-+6x+9=-（-2•x•3+32）+32+9=-（x-3）2+18，  ∵（x-3）2≥0，  ∴-（x-3）2+18≤18，  ∴当x=3时，-+6x+9有最大值18；  （3）证明：2+10-6xy-6x-2y+11  =-6x+9+-2y+1+-6xy+9+1  =（x-3）2+（y-1）2+（x-3y）2+1，  ∵（x-3）2≥0，（y-1）2≥0，（x-3y）2≥0，  ∴（x-3）2+（y-1）2+（x-3y）2+1＞0，  ∴无论x和y取任何实数，代数式2+10-6xy-6x-2y+11的值都是正数．; 【解析】  模仿题干的例题配方，利用平方的非负性即可求解；  将多项式配方，根据平方的非负性求出多项式的最大值；  对多项式进行配方即可证明多项式的值总为正数．  此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解答该题的关键． 23.【答案】5；;见详解;5;或或或; 【解析】 【分析】 （1）由菱形的对角线互相垂直平分得出 、 的长，再利用勾股定理可得 ，从而得出答案； （2）此方程的判别式 ，结合 可得答案； （3） 代入方程得 ，据此知 ， ，结合 知 ，再由菱形面积是25知 ，即 ，求出 的值，从而得出答案； （4）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案． (1)小问详解： 解：①∵四边形 是菱形， ∴ ， 当 、 时， ， ， 则 ，即 ； ②由题意知 ， ， ， 则 ， ， 故答案为：5； ； (2)小问详解： 证明： ， 这里， ， ， ， ， ， ， 关于 的“菱系一元二次方程” 必有实数根； (3)小问详解： 解： 是“菱系一元二次方程” 的一个根， ， ， ， ， ， 菱形面积是25， ，即 ， ， 解得： (舍负)，即 ， ∵ ， ∴ ， ． (4)小问详解： 解：在 轴上存在一点 ，使得 为等腰三角形， 理由：设 ，由①得 ， ， 则 ， ， ， 若 ， ， 或 (舍去)， ； 若 ， ， 或 ， 或 ； 若 ， ， ， ． 综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ． 【点睛】 本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方程的根的判别式，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 第  页，共4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$