广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题

南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试 数学2024.9.18 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题，，，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题 C．和q都是真命题 D．和都是真命题 3．已知向量，满足，且，则（ ） A． B． C． D． 4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70% C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 5．已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则a=（ ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．与的图象有相同的对称轴 B．与的值域相同 C．与有相同的零点 D．与的最小正周期相同 10．已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ） A． B． C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．l上存在点E，使得为等边三角形 11．设函数，则（ ） A．当时，是的极小值点 B．恒有两个单调性相同的区间 C．当有三个零点时，可取得的整数有2个 D．点为曲线的对称中心 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，，且，则________． 13．已知，，则________． 14．在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色． ①若区域A，B，C，D涂2种颜色，区域E，F，G，H涂另外2种颜色，则有________种不同涂法． ②若区域A，B，C，D涂4种颜色（A、B、C、D涂的颜色互不相同），区域E，F，G，H也涂这4种颜色（E，F，G，H涂的颜色互不相同），则有________种不同涂法。 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，且，求的面积． 16．（本小题满分15分）已知函数，曲线在处的切线为直线l． （1）求直线l的方程； （2）求函数在闭区间上的最值． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，，平面PBD⊥平面ABCD． （1）证明：AD⊥平面PBD； （2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值． 18．（本小题满分17分）我省某市为吸引游客，推出免费门票项目．该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响．规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点． （1）若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望； （2）乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率． 19．（本小题满分17分）已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点． （1）求椭圆C的离心率； （2）证明：数列是等比数列； （3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$1 南宁市 2025 届普通高中毕业班摸底测试参考答案（含评分细则） （数 学） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D B C A C 二选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分。有两个 正确选项的仅选其中一个给 3 分；有三个正确选项的仅选其中一个给 2 分， 仅选其中两个给 4 分。 题号 9 10 11 答案 AD BC BCD 1.D i(1 7i) 7 iz     ，则 7 iz   ，故选 D． 2.B 当 1x  时 3 2x x ，所以 p 为真命题；当 0x  时 4 0x  ，所以 q为假命题， 则 q 是真命题,故选 B． 3.A 由 2 2 2   a b a b 得 2 2 2 24 4 4,4 4 4   a a b + b a a b + b ，两式相减得， 1 a b ，所以1 4 4 4 a b + ，则 1 4 a b ，故选 A． 4.D 成绩在[70,80)上频率为1 10 (0.01 0.02 0.02 0.03) 0.2      ，所以成绩在 [70,80)上有0.2 50 10  人，成绩在[50,60),[60,70),[80,90),[90,100]的人数分别为 5， 10，15，10 人，所以成绩在[80,90) 上的人数最多，A 正确；成绩不低于 70 分的学生所占比例为1 10(0.01 0.02) 0.7   ，B 正确；50 名学生成绩的平均分 为 55 0.1 65 0.2 75 0.2 85 0.3 95 0.2 78x            ，成绩的中位数为 80 分， 所以 50 名学生成绩的平均分小于其成绩的中位数，C 正确；50 名学生成绩 的极差在[30,50]上，不一定为 50，D 错误，故选 D ． 2 5.B 设 ( , )( 0)M x y y  ，则 , , 1 1 AM BM y y k k x x     由 . 2, 1 1 AM BM y y k k x x     整理得 2 2 1( 0) 2 y x y   ，故选 B ． 6.C 由题可 ' ' ' 1 1 ( ) 1 . , (0,1) ( ) 0; (1, ) ( ) 0, x f x m x f x x f x mx x         当 时， 当 时， 所以 f(x)在（0，1）上递减，在（1， ）上递增，则 min( )f x =f(1)=1-lnm0， 所以 m≤e，又 x ＞0，mx＞0,即 m＞0.则 0＜m≤e,故选 C. 7.A 由正三棱台 1 1 1ABC A B C 的侧面积为 6 得，等腰梯形 1 1ABB A 的面积为 2， 由 21 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 AB A B AB A B      得， 21 1 1 12 1A B A B  ，解得 1 1 1A B  ，则 1 13 3AB A B  ，将正三棱台 1 1 1ABC A B C 补成正三棱 锥P ABC ，如图所示，则 1 1 1 32 PA PA   .所以 1 2 2 PA  ，则 3 2 2 PA  ，过 P 作PO 平面 ABC，则 O 为△ABC 的中心，所以 3 2 2 3 sin 60 AO    ，则 3AO  ，易知 PAO 为 1AA 与平面 ABC 所成的角， 在Rt △ PAO中， 3 6 cos 3 3 2 2 AO PAO PA     ，故选 A． 8.C 因为 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 4 4 ( ) (2 ) 2 2 2 (2 ) 2(2 ) 2 2 2 x x x x g x g x x x x x x x                  ， 所以 ( )y g x 关于点(1,1)对称.要使 AB BC ，则 (1,1)B ,所以将 (1,1)B 代入 ( )f x ax 得 1a  ,当 1a  时 ( )f x x 关于点 (1,1)对称,显然 AB BC ,故选 C ． 9.AD sin , [2 π, 2 π] π ( ) sin , ( ), ( ) sin(2 ) cos 2 sin , [2 π π, 2 π] 2 x x k k f x x k g x x x x x k k            Z ， 在同一坐标系中作出 ( )f x 与 ( )g x 的图象，如图所示，  3 由图知， 0x  是 ( )f x 与 ( )g x 的图象相同的对称轴，A正确； ( )f x 的值域为[0,1]， ( )g x 的值域为[ 1,1] ，所以 ( )f x 与 ( )g x 的值域不同，B 错误； ( )f x 与 ( )g x 没有 相同的零点，C 错误; ( )f x 与 ( )g x 的最小正周期均为 π，D 正确，故选 AD． 10 .BC 易知 (1,0),F 准线 l的方程为 1x  ，则直线 1 0x y   经过焦点F ． 由 2 4 , 1 0, y x x y       整理得 2 6 1 0x x   ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 1 2 6x x  ，根据抛物线的定义可知， 1 2 2 8AB x x    ， A 错误；如图，过 ,A B作 ,AA l BB l   ，垂足为 ,A B ，则 2KF  ，又 45KFD  ， 所以|BF|=|BB1|，所以 '| | 2 | | 2 | |BD BB BF  ,B 正确；以 AF 为直径的圆的半 径为 2 AF r  ，易知四边形 AFOA为直角梯形，其中位线长为 2 OF AA  1 2 2 AA AF   ，所以以 AF 为直径的圆与 y 相切，C 正确； 当△ AEF 为等边三角形时， AF AE ，由抛物线的定义可知 AE l ，所以 45EAF  ，这与△ AEF 为等边三角形矛盾，所以 l上不存在点 E，使得△ AEF 为等边三角形，D 错误，故选 BC． 11．BCD 当 1a  时， 2( ) 3 2f x x x     ，令 ( ) 0f x  ，解得 1 2 2 1, 3 x x   ， 当 2 ( , ) (1, ) 3 x    时 ( ) 0f x  ，当 2 ( ,1) 3 x  时 ( ) 0f x  ;所以 ( )f x 在 2 ( , ) 3   和 (1, ) 上单调递减，在 2 ( ,1) 3  上单调递增，所以 1x  是 ( )f x 的极大值点，A 错误； 2( ) 3 2f x ax ax a     ，则 2 24 ( 3 ) 2 25 0a a a a        ，所以 ( ) 0f x  恒 4 有两个根，结合二次函数的图象可知， ( )f x 恒有两个相同的单调区间，B 正 确；由上得 2( ) 3 2 (3 2)( 1)f x ax ax a a x x         ，当 0a  时 ( )f x 在 2 ( , ) 3   和 (1, ) 上单调递减，在 2 ( ,1) 3  上单调递增，要使 ( )f x 有三个零点，则 2 22 ( ) 0, 3 27 3 (1) 0, 2 f a b a f b             解 3 22 3 22 , 2 27 2 27 a b b a a      即 ； 当 0a  时， ( )f x 在 2 ( , ) 3   和 (1, ) 上单调递增，在 2 ( ,1) 3  上单调递减， 要使 ( )f x 有三个零点，则 2 22 ( ) 0, 3 27 3 (1) 0, 2 f a b a f b             解 22 3 3 22 , 27 2 2 27 b a b a a      即 . 综上可知使得 ( )f x 有三个零点， b a 可取得的整数为﹣1，0，C 正确； 设 2( ) ( ) 3 2g x f x ax ax a     ，则 ( ) 6g x ax a    ，令 ( ) 0g x  得 1 6 x  因为 ( ) 6g x ax a    的零点为曲线 ( )f x 的对称中心的横坐标，所以点 1 1 ( , ( )) 6 6 f 为曲线 ( )y f x 的对称中心，D 正确，故选 BCD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．1 当 1n  得 3 1 2a a a  ，又 1 2 32, 1, 3a a a    得 3 2 1   ，解得 2   . 则 2 12n n na a a    , 4 2 32 2 1 3 5a a a         , 5 3 42 2 ( 3) 5 1a a a         ． 13． 3 5  由 tan 2 tan    得 sin cos 2 cos sin      ,所以 sin cos 2cos sin    . 则 1 sin( ) sin cos cos sin cos sin 5              ，所以 2 sin cos 5     . 所以 3 sin( ) sin cos cos sin 5           ． 14．① 24 （2 分） ② 216 （3 分） 若区域 A,B,C,D 涂 2 种颜色，区域 E,F,G,H 涂另外 2 种颜色，则 , , ,AC BD EG FH 同色，先选两种颜色涂 A,B,C,D 区域，则有 2 2 4 2C A 种涂法，区域 E,F,G,H 有 2 2A 种涂法，故有 2 2 2 4 2 2 24C A A  种涂 5 法．区域 A,B,C,D 涂 4 种颜色有 4 4 24A  种涂法，不妨设区域 A,B,C,D 分别 涂 , , ,a b c d 颜色,则区域 E,F,G,H 也涂这 4 种颜色有 ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ),a b c d a d b c a d c b ( , , , ),c d a b ( , , , ),c a b d ( , , , ),c b a d ( , , , ),d a b c ( , , , ),d a c b ( , , , ),d b a c 有 9 种涂法，共有 24 9 216  种涂法. 三、解答题：共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题 13 分) 设锐角△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c. 已知 2 bcsin2A=b2+c2－a2 . (1)求 A ;(2)若 a=2 2 ,且 2 c cosB=a sinC 求△ABC的 面积. 解: (1) 由 2 bcsin2A=b2+c2－a2得 2 2 bcsinAcosA=b2+c2－a2……1 分 【备注 1】正确写出应用二倍角公式给 1 分。 即 √2sin𝐴cos𝐴 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2 2𝑏𝑐 = cos𝐴 …………………………….…1 分 【备注 2】正确写出或体现应用余弦定理公式给 1 分。 在锐角△ABC中 cosA≠0,所以sin𝐴 = √2 2 ………………….…….....1 分(3 分） 【备注 3】见“sin𝐴 = √2 2 ”给 1 分 又0 < 𝐴 < 𝜋 2 ,所以𝐴 = 𝜋 4 . …………………………………………...2 分(5 分) 【备注 4】见“𝐴 = 𝜋 4 ”给 2 分 (2) 由√2𝑐cos𝐵 = 𝑎sin𝐶及正弦定理得√2sin𝐶cos𝐵 = sin𝐴sin𝐶….1 分 又 sinA≠0 所以√2cos𝐵 = sin𝐴 = √2 2 所以cos𝐵 = 1 2 .………..…..….1 分 【备注 5】见“cos𝐵 = 1 2 ”给 1 分. 又 0 < 𝐵 < 𝜋 2 ,所以𝐵 = 𝜋 3 ………………………………………….2 分(9 分) 【备注 6】见“𝐵 = 𝜋 3 ”给 2 分 则𝐶 = 𝜋 − 𝜋 4 − 𝜋 3 = 5𝜋 12 , 所以sin𝐶 = sin 5𝜋 12 = √6+√2 4 …………...…1 分(10 分) 6 由正弦定理得 𝑏 = 𝑎sin𝐵 sin𝐴 = 2√2× √3 2 √2 2 = 2√3 ……………...…….…1 分(11 分) 【备注 7】另解：写出“ 6 2c   ”给 1 分。 故𝛥𝐴𝐵𝐶面积为 1 2 𝑎𝑏sin𝐶 = 1 2 × 2√2 × 2√3 × √6+√2 4 = 3 + √3. …..2 分(13 分) 【备注 8】结果正确即可给 2分，若结果错误但正确写出面积公式可给 1分。 【备注 9】无其他解答过程，只正确写出正弦定理、余弦定理公式各给 1 分。 16. (本题 15分)已知函数 f(x)=(4x+1)ex , 曲线 y=f(x)在(0,f(0))处的切线为直线 l. (1)求直线 l的方程; (2)求函数 f(x)在闭区间[－2,1]上的最值. 解: (1)依题意,求导得 ' ( )f x =(4x+5)ex…………………….…......…2 分(2 分) 【备注 1】求导结果正确给 2 分 f(0)= e0 =1………………………………….…………..………...…1 分 则𝑓′(0) = 5𝑒0 = 5…………………………………………………1 分(4 分) 【备注 2】若不写“f(0)= e0 =1，则𝑓′(0) = 5𝑒0 = 5”;只正确写出切点坐标 (0,1)也给这 1 分。 所以直线 l的方程为 y=5x+1………………………………….….2 分(6 分) 【备注 3】直线方程结果正确给 2 分 (2)由(1)可知 ' ( )f x =(4x+5)ex 当 5 4 x   时 ' ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 5 ( , ) 4   上单调递增；………1 分 当 5 4 x   时 ' ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 5 ( , ) 4   上单调递减；………1 分(8 分) 【备注 4】正确写出“在 5 4 x   时 ( )f x 单调递增”、“ 在 5 4 x   时 ( )f x 在上单 调递减”给 1 分;写成闭区间 5 [ , ) 4   、 5 ( , ] 4   , 5 [ ,1] 4  、 5 [ 2, ] 4   也正确。 因为 5 4 5 ( ) 4e 4 f     , 2( 2) 7e ,f    (1) 5ef  ………………………3 分(11 分) 7 【备注 5】正确写出结果,每对一个给 1 分. 则 ( )f x 在闭区间[-2,1]上最大值为 5e, …………………..……2 分 最小值为 5 44e   .…………………………………………………2 分(15 分) 【备注 6】正确写出结果,每对一个给 2 分. 17. (本题 15分)如图,四棱锥 P-ABCD中,AB⊥BC , CD⊥BC, BC=CD= 2 ,AB= 2 2 ,平面 PBD⊥平面 ABCD (1)证明: AD⊥平面 PBD ; (2)若 PB=PD,四棱锥 P-ABCD 的体积为 2 , 求二面角 A-PB-D 的正弦值. 解：(1)取𝐴𝐵中点𝐸, 连接𝐷𝐸. …………….………..…1 分 【备注 1】只要体现有作图过程,可给 1 分 因为𝐴𝐵⟂𝐵𝐶, 𝐶𝐷⟂𝐵𝐶, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = √2, 𝐴𝐵 = 2√2, 则𝐵𝐶𝐷𝐸为正方形.则∠𝐷𝐸𝐴 = ∠𝐷𝐸𝐵 = 90∘, ∠𝐸𝐷𝐵 = 45∘. 在𝛥𝐴𝐸𝐷中, 𝐴𝐸 = 𝐷𝐸 = √2, 所以∠𝐸𝐷𝐴 = 45∘ 则∠𝐴𝐷𝐵 = 90∘即𝐴𝐷⟂𝐵𝐷. ………………….……………….…2 分(3 分) 【备注 2】本段 2 分中,若出现写出“𝐴𝐷⟂𝐵𝐷”或“∠𝐴𝐷𝐵 = 90∘”且前面 有必要的证明过程,就给 2 分; 若前面没有证明过程而直接写出“𝐴𝐷⟂𝐵𝐷” 或“∠𝐴𝐷𝐵 = 90∘”,统一给 1 分. 因为平面𝑃𝐵𝐷⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷, 平面𝑃𝐵𝐷 ∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 所以𝐴𝐷⟂平面𝑃𝐵𝐷. ………………………………………......…2 分(5 分) 【备注 3】本段 2 分中,若不写出“平面𝑃𝐵𝐷 ∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐷”而直接得结 果,则只给 1 分（即扣 1 分）. E P D C BA 8 (2)连接𝐶𝐸, 设𝐶𝐸 ∩ 𝐵𝐷 = 𝑂, 则𝑂为𝐵𝐷的中点, 连接𝑃𝑂. 因为𝑃𝐵 = 𝑃𝐷, 所以𝑃𝑂⟂𝐵𝐷. ………………..…..1 分(6 分) 【备注 4】见“𝑃𝑂⟂𝐵𝐷”给 1 分。 面 𝑃𝐵𝐷⟂面𝐴𝐵𝐶𝐷, 面𝑃𝐵𝐷 ∩面𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐷, 𝑃𝑂 ⊂面𝑃𝐵𝐷, 所以𝑃𝑂⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷. ……………………………………………1 分(7 分) 【备注 5】见“𝑃𝑂⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷”给 1 分。 由四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷体积为 2 , 则 1 3 × 1 2 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) ⋅ 𝐵𝐶 ⋅ 𝑃𝑂 = 2 即 1 3 × 1 2 × 3√2 × √2 × 𝑃𝑂 = 2, 解得𝑃𝑂 = 2. …………………2 分(9 分) 【备注 6】见结果正确“𝑃𝑂 = 2”给 2 分。 由 OE∥AD 可知𝑂𝐸,𝑂𝐵, 𝑂𝑃两两垂直, 以𝑂为原点, 𝑂𝐸,𝑂𝐵, 𝑂𝑃所在直线 分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴建立空间直角坐标系𝑂 − 𝑥𝑦𝑧, ….…….1 分(10 分) 【备注 7】见建系结果正确或图中正确标出建系结果，即可给 1 分。 则𝐴(2,−1, 0), 𝐸(1, 0, 0), 𝐵(0, 1, 0), 𝑃(0, 0, 2), 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, −1, −2), 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2, 2,0), 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 0, 0). 设平面𝑃𝐴𝐵的法向量为𝑚 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 由{ 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑚 = 0, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑚 = 0, 得{ 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 0, −2𝑥 + 2𝑦 = 0, 令𝑥 = 2, 则𝑚 = (2, 2, 1) 由𝑂𝐸//𝐴𝐷可知, 𝑂𝐸⟂平面𝑃𝐵𝐷, 所以𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ 是平面𝑃𝐵𝐷的法向量, 记为𝑛 = 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 0, 0) ………………………………………..……3 分(13 分) 【备注 8】本段 3 分,求两个法向量,对一个给 2 分，对两个给 3 分;若法向量 都不对，但写有数量积等于 0 如：“{ 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑚 = 0, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑚 = 0, ” (或外积法)，表示方法 正确，统一给 1 分 9 则cos⟨𝑚, 𝑛⟩ = 𝑚⋅𝑛 |𝑚|⋅|𝑛| = 2 3 ,故二面角𝐴 − 𝑃𝐵 − 𝐷正弦值为 √5 3 . ……....2分(15分) 【备注 9】结果正确即可给 2 分;若结果错误,但前面能正确写出求夹角原始 公式“cos⟨𝑚, 𝑛⟩ = 𝑚⋅𝑛 |𝑚|⋅|𝑛| ” 可给 1 分. 其他解法如下： 第一问解法二： 第二问解法二： 10 第二问解法三： 第二问解法四： 第二问解法五： 11 第二问解法六 18.(本题 17 分) 我省某市为吸引游客, 推出免费门票项目. 该市设置自然 风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机, 自然风光类抽中的概 率为 1 3 , 历史文化类、特色体验类抽中的概率均为 1 2 ,这三类抽奖之间互不影响. 规定凡在该市的景区游玩的游客, 每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一 次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点. (1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次, 设𝑋表示甲获得免费票景点个数, 求𝑋的分布列和数学期望； (2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖, 已知乙抽中 (至少抽中一 个), 求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率. 解: (1) 𝑋表示甲获得免费票景点个数, 则𝑋 = 0,1,2,3, …………..……1 分 12 则 𝑃(𝑋 = 0) = (1 − 1 3 ) × (1 − 1 2 ) × (1 − 1 2 ) = 1 6 ; ………………………1 分 𝑃(𝑋 = 1) = 1 3 × (1 − 1 2 ) × (1 − 1 2 ) + (1 − 1 3 ) × 𝐶2 1 (1 − 1 2 ) × 1 2 = 5 12 . …..1 分 𝑃(𝑋 = 2) = 1 3 × 𝐶2 1 × 1 2 × (1 − 1 2 ) + (1 − 1 3 ) × ( 1 2 ) 2 = 1 3 . ………………1 分 𝑃(𝑋 = 3) = 1 3 × 1 2 × 1 2 = 1 12 …………………………………….………1 分(5 分) 故 X 的分布列为 【备注 1】若仅给出分布列而没有前面的求解过程：表中数字全对时本 5 分 段共给 4 分（即扣掉过程分 1 分）；当表中概率数字不全对时，若表头第一 行数字全对给 1 分，第二行每个概率值对一个给 1 分（共不超过 3 分） 𝐸(𝑋) = 0 × 1 6 + 1 × 5 12 + 2 × 1 3 + 3 × 1 12 = 4 3 .. …………...........……3 分(8 分) 【备注 2】体现数学期望公式（乘积和，至少写有两项）给 1 分,结果正确 给 2分；如果没有过程只写正确结果 E(X)=4/3给 2分(扣求数学期望过程分). （2）设“乙抽中”为事件𝑀, “乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽 奖与抽中”分别为事件 𝑁1, 𝑀1, “乙在自然风光类、历史文化类抽奖机中抽 奖与抽中”分别为事件𝑁2, 𝑀2, “乙在历史文化类、特色体验类抽奖机中抽 奖与抽中”分别为事件𝑁3, 𝑀3.. ………………………………..….…1 分（9 分） 【备注 3】体现至少设出一个事件过程，可给 1 分。 则𝑃(𝑀1) = 𝑃(𝑁1)𝑃(𝑀1|𝑁1) = 1 3 × [1 − (1 − 1 3 ) (1 − 1 2 )] = 2 9 . …………1 分 𝑃(𝑀2) = 𝑃(𝑁2)𝑃(𝑀2|𝑁2) = 1 3 × [1 − (1 − 1 3 ) (1 − 1 2 )] = 2 9 .. ……………1 分 𝑃(𝑀3) = 𝑃(𝑁3)𝑃(𝑀3|𝑁3) = 1 3 × [1 − (1 − 1 2 ) (1 − 1 2 )] = 1 4 ….……1 分(12 分) 因事件 M1,M2,M3两两互斥, X 0 1 2 3 P 1 6 5 12 1 3 1 12 13 所以𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀1 ∪ 𝑀2 ∪ 𝑀3) = 𝑃(𝑀1) + 𝑃(𝑀2) + 𝑃(𝑀3). ……1 分 【备注 4】正确写出求互斥事件概率公式给 1 分. = 2 9 + 2 9 + 1 4 = 25 36 ..…………………………………………………….1 分(14 分) 【备注 5】结果正确给 1 分 则 𝑃(𝑀1|𝑀) = 𝑃(𝑀1𝑀) 𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑁1)𝑃(𝑀1|𝑁1) 𝑃(𝑀) . = 2 9 × 36 25 = 8 25 ………..….…2 分(16 分) 【备注 6】计算结果正确,给 1 分；若结果不对，但写出几何条件公式 “𝑃(𝑀1|𝑀) = 𝑃(𝑀1𝑀) 𝑃(𝑀) ”给 1 分. 故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为 8 25 . ………1 分(17 分) 【备注 7】作答正确给 1 分,若写出“ 8 25 为所求”也算作答正确. 19. (本题 17 分) 已知椭圆𝐶: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)经过点 3 , ) 2 b b （ 𝐴1, 𝐴2 为𝐶的左、右顶点, 𝑀,𝑁为𝐶上不同于𝐴1, 𝐴2的两动点.若直线𝐴1𝑀斜率与直线 𝐴2𝑁斜率比值恒为常数 7 5 , 按下面方法构造数列 {𝑏𝑛}: 𝐶的短半轴长为𝑏𝑛时, 直线𝑀𝑁与𝑥轴交于点𝑄𝑛(−𝑏𝑛+1, 0). (1)求椭圆𝐶的离心率; (2)证明: 数列{𝑏𝑛}是等比数列; (3)设顶点𝐴1到直线 𝑀𝑁的最大距离为𝑑, 证明: 𝑑 ⩽ 5 3 𝑏1. 解: (1)由椭圆𝐶经过点(−𝑏,− √3 2 𝑏)得 𝑏2 𝑎2 + 3𝑏2 4𝑏2 = 1,故 𝑏2 𝑎2 = 1 4 . ………......1 分 【备注 1】见“ 𝑏2 𝑎2 = 1 4 ”或“𝑎2 = 4𝑏2”或“𝑎 = 2𝑏”给 1 分。 则𝑒 = √ 𝑐2 𝑎2 = √1 − 𝑏2 𝑎2 = √3 2 ,所以椭圆𝐶离心率为 √3 2 . ………….......…2 分(3 分) 【备注 2】见结果正确给 2 分,若结果错误,但体现离心率公式正确给 1 分. (2)证明: 由(1)及题意可知𝐶: 𝑥2 4𝑏𝑛 2 + 𝑦2 𝑏𝑛 2 = 1, 𝐴1(−2𝑏𝑛 , 0), 𝐴2(2𝑏𝑛, 0)……1 分 【备注 3】写出“ 𝑥2 4𝑏𝑛 2 + 𝑦2 𝑏𝑛 2 = 1”给 1 分 14 设𝑀(𝑥1, 𝑦1), 𝑁(𝑥2, 𝑦2), 当直线𝑀𝑁斜率为 0 时𝑀,𝑁关于𝑦轴对称, 所以𝐴1𝑀斜率与𝐴2𝑁的斜率之商为﹣1.不合题意. ..…………….….1分(5分) 设𝑀𝑁方程为𝑥 = 𝑡𝑦 + 𝑚, …………………………………….……1 分 【备注 4】正确设出直线𝑀𝑁方程(可以其他形式)给 1 分. 因为𝑀𝑁不过顶点𝐴1, 𝐴2所以𝑚 ≠ ±2𝑏𝑛. 由{ 𝑥 = 𝑡𝑦 + 𝑚, 𝑥2 4𝑏𝑛 2 + 𝑦2 𝑏𝑛 2 = 1, 得(𝑡2 + 4)𝑦2 + 2𝑡𝑚𝑦 + 𝑚2 − 4𝑏𝑛 2 = 0. 则△= 4𝑡2𝑚2 − 4(𝑡2 + 4)(𝑚2 − 4𝑏𝑛 2) = 16(𝑡2𝑏𝑛 2 − 𝑚2 + 4𝑏𝑛 2) > 0 𝑦1 + 𝑦2 = − 2𝑡𝑚 𝑡2+4 , 𝑦1𝑦2 = 𝑚2−4𝑏𝑛 2 𝑡2+4 . ……………………………..……1 分(7 分) 【备注 5】至少正确写出韦达定理中一个式子,给 1 分. 所以𝑡𝑦1𝑦2 = 4𝑏𝑛 2−𝑚2 2𝑚 (𝑦1 + 𝑦2)……………………………………..…1 分 【备注 6】写出“𝑦1 + 𝑦2”与“𝑦1𝑦2”关系，给 1 分 则 𝑘𝐴1𝑀 𝑘𝐴2𝑁 = 𝑦1 𝑥1+2𝑏𝑛 ⋅ 𝑥2−2𝑏𝑛 𝑦2 . ………………………………………..….…1 分 【备注 7】正确写出直线斜率公式给 1 分. = (𝑡𝑦2 + 𝑚 − 2𝑏𝑛)𝑦1 (𝑡𝑦1 + 𝑚 + 2𝑏𝑛)𝑦2 = 𝑡𝑦2𝑦1 + (𝑚 − 2𝑏𝑛)𝑦1 𝑡𝑦2𝑦1 + (𝑚 + 2𝑏𝑛)𝑦2 = 4𝑏𝑛 2 − 𝑚2 2𝑚 (𝑦1 + 𝑦2) + (𝑚 − 2𝑏𝑛)𝑦1 4𝑏𝑛 2 − 𝑚2 2𝑚 (𝑦1 + 𝑦2) + (𝑚 + 2𝑏𝑛)𝑦2 = 2𝑏𝑛−𝑚 2𝑏𝑛+𝑚 ⋅ (2𝑏𝑛+𝑚)(𝑦1+𝑦2)−2𝑚𝑦1 (2𝑏𝑛−𝑚)(𝑦1+𝑦2)+2𝑚𝑦2 = 2𝑏𝑛−𝑚 2𝑏𝑛+𝑚 . ……………………….…1 分(10 分) 【备注 8】见能化简到“ 𝑘𝐴1𝑀 𝑘𝐴2𝑁 = 2𝑏𝑛−𝑚 2𝑏𝑛+𝑚 ”或“ 𝑘𝐴2𝑁 𝑘𝐴1𝑀 = 2𝑏𝑛+𝑚 2𝑏𝑛−𝑚 ”并前面有必要的 化简过程才给 1 分. = 7 5 所以𝑚 = − 1 3 𝑏𝑛. ………………………………………………1 分(11 分) 则直线𝑀𝑁方程为𝑥 = 𝑡𝑦 − 1 3 𝑏𝑛,即𝑀𝑁经过点(− 1 3 𝑏𝑛, 0)…….….1 分 15 【备注 9】正确写出“𝑀𝑁经过点(− 1 3 𝑏𝑛, 0)”给 1 分. 因为𝑀𝑁与𝑥轴交于点𝑄𝑛(−𝑏𝑛+1, 0),所以−𝑏𝑛+1 = − 1 3 𝑏𝑛, 𝑏𝑛+1 𝑏𝑛 = 1 3 . 所以数列{𝑏𝑛}是以 1 3 为公比的等比数列. ………………………….....1分(13分) (3) 证明: 由(2)可知, 𝑏𝑛 = ( 1 3 ) 𝑛−1 𝑏1. ………………………...….1 分(14 分) 所以{𝑏𝑛}是递减数列,则𝑏𝑛 = ( 1 3 ) 𝑛−1 𝑏1 ⩽ 𝑏1 ……………………...1 分 【备注 10】见“𝑏𝑛 = ( 1 3 ) 𝑛−1 𝑏1 ⩽ 𝑏1”给 1 分. 顶点𝐴1(−2𝑏𝑛, 0)到直线𝑀𝑁: 𝑡𝑦 − 𝑥 − 1 3 𝑏𝑛 = 0距离为 𝑑 = |2𝑏𝑛− 1 3 𝑏𝑛| √𝑡2+1 = 5𝑏𝑛 3√𝑡2+1 ⩽ 5𝑏𝑛 3 ,当𝑡 = 0时取等号; ……………........…1 分(16 分) 【备注 11】见“𝑑 = |2𝑏𝑛− 1 3 𝑏𝑛| √𝑡2+1 ”或“𝑑 ⩽ 5𝑏𝑛 3 ”给 1 分. 故𝑑 ⩽ 5 3 𝑏1. …………………........................................................…1 分(17 分)