四川省成都石室中学2024-2025学年高三上学期第二次周考数学试卷

石室中学高2025届高三复习数学周考试题（2） 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置. 1.已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 2. 设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.若，则（     ） A． B． C． D． 4.已知函数为偶函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（     ） A． B． C． D．2 5.已知函数的值域为，则( ) A．0 B．1 C．2 D． 6.已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 7.已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（     ） A． B．1 C． D．3 8. 已知都是定义在R上的函数，，，，在有穷数列中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（     ） A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件 C． D． 10.已知函数，则以下说法正确的是（     ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若的值域是，则 11.已知点在圆外，过点A作直线AM，AN与圆O相切，切点分别为M，N，若，则（     ） A． B． C． D．当时， 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 若，则________ 13.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ． 14. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1． (1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 16.（15分）定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为. (1)求；(2)已知函数不存在最小值，求的取值范围. 17. (15分)如图,在四棱锥中,平面. (1)求的长;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值. 18.(17分)已知平面内一动圆过点,且该圆被轴截得的弦长为4,设其圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)梯形的四个顶点均在曲线上,,对角线与交于点，求直线的斜率. 19. (17分) 牛顿法( Newton's method)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则 L与x轴的交点的横坐标记为，称为r 的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知. (1)若给定，求r的二阶近似值； (2)设 ①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系； ②证明：.（参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石室中学高2025届高三复习数学周考试题（2）答案 DBAA CDCB ACD ABD ACD -512 2 8.设，则，故单调递减，所以， 又，解得，则数列，其前n项和，因为，所以，故，故选B 11. 由于AM，AN与圆O相切，且，故,，由,得，故，故，即，当且仅当等号成立，故A正确 ，当且仅当时等号成立，B错误 令，则，C正确， 当时,， 由于，故，由于，故，当且仅当等号成立。故选：AC 14. 根据题意，， 在上单调递增，在上恒成立， 令，，则可写为，， 根据题意在上的最小值非负，解得. 故答案为： 15.(13分)（1） 由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1， 日均阅读时间的平均数为：（分钟） …………5分 （2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人， 的可能取值为：0，1，2 则    所以的分布列为： 0 1 2 ………..13分 16.（15分）（1） 解得且，又，，所以不等式解集 …………..6分 （2）由（1）可知，有， …………..7分 所以当时，； 当时， 当，即时，，所以不存在最小值； 当，即时，，因为不存在最小值， 所以，解得，综上，的取值范围是. …………..15分 17.（15分）由平面，平面，有，所以. 又，所以，又，平面，所以平面. 由平面，所以所以. 由平面，平面，有，故. 又，故 ………….7分 （2）以为坐标原点，为，轴的正方向，以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系. 由，得为正三角形，故 又，， 设平面的法向量， 由，即，取，得到平面的一个法向量 又，设直线与平面所成角的大小为， 则所以直线与平面所成角的正弦值为 ………….15分 18.(17分) （1）设圆心为，由题意可得：， 整理可得，，所以曲线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率不存在，且不为0，设 联立方程，消去x可得， 则，可得，可知直线， 联立方程，消去x可得， 由题意可知：，即， 且，可得，同理可得：， 则， 因为，则，即，整理可得 由题意可知：点不在直线上，则，即， 可得，即，所以直线的斜率 19. (17分) （1）函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以. （2）①由（1）知，，则， ，求导得， 令，求导得，在上单调递增， 函数在上单调递增，， 由，得，且，则， ，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值. ②由①知，，令，求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递减， 而，因此，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$