精品解析：沪科版2023-2024学年七年级数学下册期末考试复习卷一

2023-2024沪科版七年级下学期数学期末考试复习卷一 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. D. 2. 若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a－3＞b－3 B. －2a＞－2b C. D. 3. 新冠病毒平均直径为毫米，但它以飞沫传播为主，而飞沫的直径是大于5微米的，所以N95或医用口罩能起到防护作用，用科学记数法表示毫米是（　　） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 4. 将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 5. 下列多项式能用完全平方公式分解是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若二次三项式是一个完全平方式，则k的值是( ) A. 5 B. C. D. 5或 8. 如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 10. 如图：，平分，平分，，则下列结论： ①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 64的算术平方根是___________，立方根是__________． 12. 已知，则代数式的值为_____． 13. 关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是____________． 14. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则______ 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）； （2） ． 16. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点移动到点处，点分别移动到点处． （1）请画出平移后的三角形； （2）试说明：三角形是由三角形如何平移得到的； （3）若连接，则这两条线段之间的关系是_________． 19. 阅读下列材料，完成后面任务． 完全平方公式的变形及其应用 我们知道，完全平方公式有： ． 在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ； ． 根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如： 已知，，求 的值． 解： ． 任务： （1）已知，则 ． （2）已知，求值． 20. 若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”． （1）请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余； （2）已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”． 21. 如图，已知，，求证：． （1）请将下面证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（_______________）． 又∵（_______________）， ∴______________（等角的补角相等）， ∴（_______________）， ∴（_______________）； （2）若平分，于点，，求度数． 22. 学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 23. 如图为北斗七星的位置图，如图将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，顺次首尾连接，若恰好经过点，且，，在一条直线上，若，，． （1）求的度数． （2）计算度数是______． （3）连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024沪科版七年级下学期数学期末考试复习卷一 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，，是有理数， 是无理数， 故选：C． 2. 若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a－3＞b－3 B. －2a＞－2b C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：．， ，故本选项符合题意； ．， ，故本选项不符合题意； ．，当时， ，故本选项不符合题意； ．， 当时，成立 ，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 3. 新冠病毒平均直径为毫米，但它以飞沫传播为主，而飞沫的直径是大于5微米的，所以N95或医用口罩能起到防护作用，用科学记数法表示毫米是（　　） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示毫米为毫米． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意把x，y的值均扩大为原来的3倍，然后约分化简与原式进行比较即可． 【详解】解：由题意得：＝，无法确定， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 5. 下列多项式能用完全平方公式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，注意．根据完全平方公式的结构特点即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，无法分解因式，故此选项不合题意； C、该多项式不是完全平方公式的结构，无法分解因式，故此选项不合题意； D、第三项不是正数，无法分解因式，故此选项不合题意； 故选：A． 6. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，求出x值，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程两边都乘以x﹣1，得：a＋1＋x＝0， ∵方程有增根， ∴x＝1， 将x＝1代入整式方程，得：a＋1＋1＝0， 解得：a＝﹣2， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7. 若二次三项式是一个完全平方式，则k的值是( ) A. 5 B. C. D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】根据首末两项是x和的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍也就是，由此对应求得的数值即可． 【详解】解：∵是一个多项式的完全平方， ∴，即，解得：或． 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式问题，关键要根据完全平方公式的结构特征进行分析，两数和的平方加上或减去它们乘积的2倍，就构成完全平方式，在任意给出其中两项的时候，未知的第三项均可求出，要注意积的2倍符号，有正负两种情形，不可漏解． 8. 如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质及折叠的性质． 根据平行线的性质、折叠的性质得到，进而求出，结合“比大”求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵长方形纸条折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果． 【详解】解：由，可得：， ∵关于x的不等式组最多有2个整数解， ∴或无解， ∵不等式组的整数解最多时为：1，2， ∴，解得：； 解，得：， ∵方程的解为非正数， ∴，解得：， 综上：， 符合条件的的整数值为：，和为； 故选B． 【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键． 10. 如图：，平分，平分，，则下列结论： ①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，，结合平角的定义可判断①；根据平行线的性质得到，，，结合得到，可判断②；通过角平分线的定义和平行线的性质综合判断出，即可判断③④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴，故③正确； 故正确的有①②③④， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，关键是理清图中角之间的和差关系． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 64的算术平方根是___________，立方根是__________． 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根的概念求解． 【详解】解：64的算术平方根为=8，立方根为=4， 故答案为：8，4． 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，掌握立方根和算术平方根的概念是解答本题的关键． 12. 已知，则代数式的值为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值， 根据利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程求解，由分式方程的解为正数，满足且，确定出m的范围即可． 【详解】去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为正数 ∴且， 解得：且， 故答案为：且. 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分式方程的解为正数包含两个含义：①所得整式方程的解不是增根，即使分式分母不为0，②解为正数． 14. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则______ 【答案】或 【解析】 【分析】分，两类讨论结合平行线性质求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴或， 当时， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴ ， 故答案为或． 【点睛】本题考查平行线性质求角，解题的关键是分类讨论． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）； （2） ． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握运算法则和公式的运用． （1）根据正整数指数幂，零指数幂的定义计算即可； （2）先计算乘方，再根据同底数幂的乘除法计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 16. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：，图见解析； 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】， 解不等式①得． 解不等式②得． ∴原不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图： 【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，在解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号，后运用平方差公式，完全平方公式，因式分解，约分化简即可. 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，灵活运用公式法因式分解，约分是解题的关键． 18. 在正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点移动到点处，点分别移动到点处． （1）请画出平移后的三角形； （2）试说明：三角形是由三角形如何平移得到的； （3）若连接，则这两条线段之间的关系是_________． 【答案】（1）图见解析 （2）三角形是由三角形向左平移5个单位再向下平移2个单位得到 （3）平行且相等 【解析】 【分析】（1）观察点A平移到点，系先向左移动5个单位，然后再向下平移2个单位得到，仿此可画出点与点，然后再把三点连接起来构成． （2）由（1）的分析可知，向左平移5个单位再向下平移2个单位可得到． （3）根据图形平移时，对应点平移距离相等可得到结论． 【小问1详解】 平移后的三角形如图所示． 【小问2详解】 将点A、B、C先向左平移5个单位，然后再向下平移2个单位，得到点，然后连接，即可得到三角形． 【小问3详解】 连接， 根据平移的性质可知，，． 故答案为：平行且相等． 【点睛】本题考查了平移的作图、平移的性质，解题的关键是理解平移的特点和性质． 19. 阅读下列材料，完成后面的任务． 完全平方公式的变形及其应用 我们知道，完全平方公式有： ． 在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ； ． 根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如： 已知，，求 的值． 解： ． 任务： （1）已知，则 ． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值． （1）利用完全平方公式列等式，再利用等式的性质计算； （2）利用完全平方公式列等式，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 20. 若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”． （1）请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余； （2）已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”． 【答案】（1）6不是，39是；证明见解析 （2），或， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键． （1）根据“尼尔数”的定义，设点表示的数为，则，，数，令，解方程，如果的解中有能被整除的自然数，那么是“尼尔数”，否则不是；同理可判断是不是“尼尔数”；令是自然数，然后证明被除余即可； （2）设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数，根据两个“尼尔数”的差是列出方程，整理，得，根据、都是自然数，求出、的值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设点表示的数为，则，， 数． 令， ， ， 不能被整除， 不是“尼尔数”； 令， ， ， 是能被整除的自然数， 是“尼尔数”； 令是自然数， ， 而， 所有“尼尔数”一定被除余； 【小问2详解】 解：设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数， 根据题意，得， 整理，得． 、都自然数， ，或， 解得，或， 当时，，， 当时，，． 故这两个“尼尔数”是，或，． 21. 如图，已知，，求证：． （1）请将下面证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（_______________）． 又∵（_______________）， ∴______________（等角的补角相等）， ∴（_______________）， ∴（_______________）； （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和判断，以及根据平行线的性质求角的度数问题，掌握平行线的性质和判断是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判断即可求解； （2）根据垂直和平行，即可求出，且，只要求出的度数即可求出答案，根据平行线的性质，角平分线的性质即可求出，由此即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 故答案是：两直线平行，同旁内角互补；∠FAC=∠2；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 22. 学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）元和元 （2）有3种方案，详见解析，最省钱方案为：购买平板电脑台，学习机台 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题中的等量关系，列出方程组和不等式组是解本题的关键． （1）设购买台平板电脑和台学习机各需元，元，根据题意列出方程组，求出方程组解得到与的值，即可得到结果； （2）设购买平板电脑台，学习机台，根据“购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍”列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设购买台平板电脑和台学习机各需元，元，根据题意得： ， 解得：， 答：购买台平板电脑和台学习机各需元和元； 【小问2详解】 解：设购买平板电脑台，学习机台， 根据题意得：， 解得：， 只能取正整数， ，，， 当时，；时，；时，； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元， 则方案最省钱． 23. 如图为北斗七星的位置图，如图将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，顺次首尾连接，若恰好经过点，且，，在一条直线上，若，，． （1）求的度数． （2）计算的度数是______． （3）连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由， 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）延长交于，进而解答即可； （3）根据平行线的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ； 【小问2详解】 解：延长交于， ∵， ∴， 可得： ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$