专题04 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 2．如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面周长为，高为，则蚂蚁所走过的最短路径是（   ） A． B． C． D． 3．如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（    ）cm． A．3 B．5 C． D．10 5．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    6．如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 7．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 8．有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2米，高是5米，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需 米（π取3）． 9．如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是，高为，一只壁虎在距底面的A处，上底面边缘C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为多少米？    10．今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长24cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？    【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（    ）    A． B．10 C． D． 2．一只蚂蚁从长是，宽是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若，，，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A．13 B．12 C．7 D． 4．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（　　） A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 5．如图，点是正方体的一个顶点，点是正方体一条棱的中点，已知正方体的棱长为3cm．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 6．如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 7．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为 ． 8．如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 ． 9．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形的地毯上爬行，地毯上堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个等腰直角三角形，且，斜边上的高为，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．    (1)如图1，______________，______________． (2)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (3)在图②中，线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是____________________________． (4)问题解决：在图②中，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 10．如图，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒外顶点开始以的速度在盒子的外部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒外顶点A以相同的速度在盒外壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？    【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（    ）． A．100 B．110 C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 7．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 8．（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 9．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 10．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图是一张直角三角形纸片，已知，，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕长为（    ）． A． B． C． D． 3．在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点重合，则的长为（    ） A．2 B．6 C． D． 4．如图，在中，，现将沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长等于 ． 6．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 7．如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 8．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线将纸片折叠，使点B与点D重合．若直线与的交点为E，则的长是 ． 9．如图，在等腰三角形中，，，点O为的中点，点D是线段上的动点（点D不与点O，B重合），将沿直线折叠得到，连接． (1)若，，求的长； (2)若，则 ； (3)若是等边三角形，请直接写出的值． 10．如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 2．如图长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则△的面积为（    ） A．6 B． C． D．12 3．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 4．在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 5．已知直线l为长方形的对称轴，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，点D的对应点恰好落在对称轴l上．则点到边的距离是 ． 6．如图，在长方形中，，点E在上，并且，若将长方形纸片沿折叠，使点B恰好落在上，则 ． 7．如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 8．如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 9．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 10．如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（18-19八年级下·安徽铜陵·期末）在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=    （      ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 7．（2021·江苏南通·二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为 ． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为 . 9．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 10．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 1．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（    ） A． B． C． D． 3．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（　　）    A． B． C． D． 4．如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 5．如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是 ． 6．如图，线段 ，点 在 上，且 ． 以 为顶点作等边三角形 ，连接 、． 当 最小时，的边长最小是 ． 7．如图，在中，是的中点，．点是线段上一动点，以为边在它的左侧作等边三角形，点是的中点，连接．    （1）当点运动至中点时， ； （2）当最小时， ． 8．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 9．如图，在中，，点D是平面内一点，满足，延长交直线于点E，过点A作交延长线于点F． (1)如图1，若平分，，求的长； (2)如图2，延长交于点G，若，求证：； (3)如图3，以为边构造等边三角形，若，连接，当最小时，直接写出的面积． 10．中，，，点是直角边所在直线上一点，连接，以为直角边向上作等腰，，，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上，且时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出___________；___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时： ①请你由观察、猜想直接写出___________； ②请你规范、严谨的证明：． (3)如图3，当点在线段的延长线上，且时，点为线段上任意一点，以为斜边向上做等腰，，，连接，已知，请你直接写出当长度最短时，线段的值为___________． 【经典例题八 勾股定理常考模型综合】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 6．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A． 2．如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面周长为，高为，则蚂蚁所走过的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， 由题意得：，，， ； 即蚂蚁走过的最短路径为：； 故选：C． 3．如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在圆柱的侧面展开图中，，，设， ∵点移动的最短距离为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴圆柱的底面周长为：． 故选：C． 4．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（    ）cm． A．3 B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，，作； ∵底面周长为8cm， ∴， ∵， ∴cm， ∴cm， 故选：B． 5．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 6．如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解， 【详解】解：展开成平面，连接， 则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ∴，， 在中，， 故答案为：． 7．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【答案】/分米 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴． ∴这圈金属丝的周长最小为． 故答案为：． 8．有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2米，高是5米，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需 米（π取3）． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用--最短路径问题，先将圆柱侧面展开，得到长方形，再利用勾股定理求出长方形的对角线，即为梯子的最短距离． 【详解】如图，油罐的侧面展开图为长方形， ∵油罐的底面半径是2米， ∴米， ∵高为5米，即， ∴米， ∴梯子最短为13米， 故答案为：13． 9．如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是，高为，一只壁虎在距底面的A处，上底面边缘C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为多少米？    【答案】它爬行的最短路线长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把圆柱进行展开，得和的值，根据勾股定理进行列式，即可作答． 【详解】解：如图所示：    由题意可得：，， 则 答：它爬行的最短路线长为． 10．今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长24cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？    【答案】装饰带的长度最短是． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点，    ∵，， ∴装饰带的长度， 答：装饰带的长度最短是． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（    ）    A． B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，将长方体纸箱按照不同方式展开，分别根据勾股定理求出不同展开图中的长，再找到其中最短者即为蚂蚁所行的最短路程．解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答． 【详解】解：如图（1）所示：    图一： ； 如图（2）所示： ． 由于， 所以最短路径为10． 故选：． 2．一只蚂蚁从长是，宽是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，最短路线问题，把长方体侧面按照三种方式展开，分别求出最短路线的长度，比较即可求解，正确找到蚂蚁所行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：当长方体的侧面按图展开时，如图， 则； 当长方体的侧面按图展开时，如图， 则， 当长方体的侧面按图展开时，如图， 则， ∵， ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 故选：． 3．如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若，，，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A．13 B．12 C．7 D． 【答案】A 【分析】此题考查长方体的展开图，解题关键在于掌握路径最短问题．将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：如图，这只蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：A． 4．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（　　） A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．首先把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可计算，此题展开图有三种，要分类讨论． 【详解】解：第一种：由题意得展开图，如图①所示：   ，， （厘米）； 第二种：如图②：   ，， （厘米）； 第三种：如图③，   ，， （厘米）， ， 蚂蚁爬行的最短路程是（厘米）． 故选：B． 5．如图，点是正方体的一个顶点，点是正方体一条棱的中点，已知正方体的棱长为3cm．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】正方体侧面展开为长方形，由两种爬行的路线确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短和勾股定理可求出两种路径长，比较即可．本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图， 按图1的路线爬行， 按图1的路线爬行， ∵ 爬行的最短距离为． 故答案为：． 6．如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，   ，， ，， ，， 则所走的最短路径的长是； 第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，   ，， ，， 所以走的最短路径的长是； 第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，   ，，， ， 则所走的最短路径的长是； ， 所走的最短路径的长是． 故答案为：． 7．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题，将立体图形问题转化成平面问题，作出长方体展开图是求解的关键；将长方体展开，分情况讨论，第一种是蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点，连接展开图的点求出长度；第二种情况是，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点，连接展开图点，求出长度，再对比最小距离即可求解． 【详解】解：①如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ②如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ∵ ∴最短路径为10， 故答案是：10． 8．如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，分两种情况，一是沿长方体正面、右侧面爬行，二是沿长方体底面、后侧面爬行，将长方体展开，连接，用勾股定理求出，比较大小即可得到最短路程． 【详解】解：分两种情况： ①如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ， 爬行的最短路程是， 故答案为：25． 9．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形的地毯上爬行，地毯上堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个等腰直角三角形，且，斜边上的高为，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．    (1)如图1，______________，______________． (2)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (3)在图②中，线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是____________________________． (4)问题解决：在图②中，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)　　 (2)见解析 (3)两点之间线段最短 (4) 【分析】（1）过点作的垂线，交于点，根据等腰三角形的判定，可求得，，结合勾股定理可求得的长度． （2）结合（1）的计算结果，根据几何体展开图作图方法作图即可． （3）根据线段的性质即可求得答案． （4）在侧面展开图中，可求得，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，过点作的垂线，交于点．    ∵为等腰直角三角形，且， ∴． 又， ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：　　 （2）   （3）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． （4）在侧面展开图中 ． 根据勾股定理可知 ． 所以，这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形、勾股定理，牢记等腰三角形的判定及性质、勾股定理的定义是解题的关键． 10．如图，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒外顶点开始以的速度在盒子的外部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒外顶点A以相同的速度在盒外壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？    【答案】 【分析】如图（见解析），设昆虫甲从盒外顶点开始在盒子的外部沿棱向下爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需要，根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设昆虫甲从盒外顶点开始在盒子的外部沿棱向下爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需要， 由题意得：， ∵长方体的棱长分别为，， ，，， 在中，，即， 解得，    答：昆虫乙至少需要才能捕捉到昆虫甲． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离， 故选：A． 2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（    ）． A．100 B．110 C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接交与点Q，则小虫沿着的路线爬行时路程最短． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交与点Q，则，此时小虫沿着的路线爬行时路程最短， ∵，高，水深，， ∴，， ∴， 在直角中，， 即最短路线长为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理—最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点，    过作交的延长线于， 则四边形是矩形， ，， 连接，则即为最短距离， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：是侧面展开图的一半， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处， ，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故选：A．    【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解；如图所示，将圆柱展开， 作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F， 由题意得，，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】26 【分析】 本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：26． 8．（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角中，， ∴ ∴最短路线长为cm. 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 10．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点睛】 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 2．如图是一张直角三角形纸片，已知，，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变化、勾股定理，利用勾股定理可以求得的长，由折叠得，，设，在中利用勾股定理即可得到的长，继而得的长．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，， ∴，，， ∴在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴折痕长为． 故选：B． 3．在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点重合，则的长为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠性质以及勾股定理，设，则，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵折叠 ∴ ∵ ∴设，则 ∴在中， 即 解得 故选：C 4．如图，在中，，现将沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 利用勾股定理先求得的长，设，表示，再根据翻折变换的性质可得，然后求出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵中，， ∴由勾股定理得，， ∴， 设，则， ∵直角边沿直线折叠落在斜边上，且与重合， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， 即． 故选：A． 5．如图，中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长等于 ． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识．根据勾股定理求得，由题意得，，则的周长等于，即可求解． 【详解】在中， ∵，，， ∴， 由折叠过程可得，， 则的周长等于． 故答案为：7． 6．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【答案】/0.875 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，解答本题的关键要明确：在折叠过程中，对应角和对应边相等．点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 点是直角边的中点， ， 根据折叠的性质，得， ， 设为，则：， 在中：， 解得：， 故答案为：． 8．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线将纸片折叠，使点B与点D重合．若直线与的交点为E，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．设，由折叠性质得到，，，，，根据，得到，得到，根据，运用根据勾股定理得到，，即得根据勾股定． 【详解】设， 由折叠知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．如图，在等腰三角形中，，，点O为的中点，点D是线段上的动点（点D不与点O，B重合），将沿直线折叠得到，连接． (1)若，，求的长； (2)若，则 ； (3)若是等边三角形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，以及勾股定理，理解题意，灵活运用是关键． （1）根据已知条件可知，由折叠可知，，则，为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求得的长； （2）根据折叠可知，则，，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得的度数； （3）根据已知条件得，由等腰三角形的性质可知，得为直角三角形，再根据勾股定理可得，，即可求得结论． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）若是等边三角形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴且过O点， 即， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理可得：， ∵点O为的中点， ∴， ∴； 10．如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1) (2)为等腰三角形时，的值为5或或8 (3)为或10 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，连接，    在中，，，， 则， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，，即， 解得：， ； （2）解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图2，   ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 2．如图长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则△的面积为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，通过平行线的性质和折叠的性质证明，得到，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，则． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选B． 3．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】∵， ∴， ∴根据勾股定理得， 根据折叠可得：， ∴， 设，则， 在中：，即， 解得：， 故答案为：B． 4．在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理等知识．注意分类讨论．由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当在上时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ， 当在上时，是直角三角形，如图1所示：    设， 由翻折的性质得：， ， ， 在中， ， 解得：，即， ； 当在上时，是直角三角形，如图2所示： 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴．    综上，的长为或7． 故选：C． 5．已知直线l为长方形的对称轴，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，点D的对应点恰好落在对称轴l上．则点到边的距离是 ． 【答案】1或9/9或1 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，先根据折叠前后对应边相等，利用勾股定理求出，再分点在长方形内部与外部两种情况，画出图形，即可求解．注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设直线l与交于点M，与交于点N， 直线l为长方形的对称轴， ，，， 由折叠的性质可得， ． 分两种情况，当点在长方形内部时，如图： ； 当点在长方形外部时，如图： ； 综上可知，点到边的距离是1或9． 故答案为：1或9． 6．如图，在长方形中，，点E在上，并且，若将长方形纸片沿折叠，使点B恰好落在上，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了图形的折叠、含角的直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，设将长方形纸片沿折叠，使点B恰好落在上的点F处，由折叠可知，由等边对等角得到由长方形的性质得到，，则，即可得到则，，由勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，设将长方形纸片沿折叠，使点B恰好落在上的点F处， 由折叠可知， ∵ ∴ 在长方形中，，， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴ 故答案为： 7．如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：． 8．如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程的思想解题．根据题意证明，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴， 在中，，即 解得：． 故答案为：． 9．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 10．如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2． 【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=4，EF=8， 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64． 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义. 2．（18-19八年级下·安徽铜陵·期末）在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可得到结论. 【详解】∵Rt△中，，， ∴2=18 故选B. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容. 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=    （      ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，即可求出值． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，斜边AB＝2， ∴AC2＋BC2＝AB2＝4， 则AB2＋BC2＋AC2＝AB2＋（BC2＋AC2）＝4＋4＝8． 故选D． 【点睛】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解得，由，可证明，结合题意证明，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，F为中点， ，DE=1 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2021·江苏南通·二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题． 【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG， ∵AB＝AC，, ∴点D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵BA⊥AG， ∴∠BAG＝90°， ∴∠BAD+∠GAF＝90°， ∴∠GAF＝∠ABD， 又∵AF＝BE，AG＝CB， ∴△AGF≌△CBE（SAS）， ∴GF＝CE， ∵FB＝FC， ∴BF+CE＝BF+GF， ∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小， ∴GF+BF的最小值时线段BG的长， ∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6， ∴BG＝ 即BF+CE的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为 . 【答案】 【分析】把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，根据旋转的性质可得CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，然后求出∠EAF=45°，从而得到∠EAF=∠DAE，再利用“边角边”证明△AEF和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，再求出△CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根据等腰直角三角形的性质求出点A到BC的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴∠ACB=∠B=45°， 由旋转的性质得，CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°， ∵∠DAE=45°， ∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=90°-∠DAE=45°， ∴∠EAF=∠DAE， 在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED（SAS）， ∴EF=DE， ∵∠ECF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴△CEF是直角三角形， ∴EF= =5， ∴BC=CE+DE+BD=4+5+3=12， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴点A到BC的距离为×12=6， ∴△ABC的面积=×12×6=36． 故答案为：36. 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 9．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 1．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得，可看作两直角边分别为和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，然后根据两点之间线段最短得到当与共线时，为最小，即的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 可看作两直角边分别为和1的的斜边长， 可看作两直角边分别是和2的的斜边长． ∴求的最小值即求的最小值， 当与共线时，为最小，即的长． 连接， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是5． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 2．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【详解】解：如图所示：作点关于直线的对称点，再连接，交直线于点 则此时最小，过点作延长线于点， ，，， ，则， 在中，， 则的最小值为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 3．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：    根据勾股定理：， ， 故， 故选：B． 4．如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角想性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键，过点作于点，由角平分线的性质得出，再证明是等腰直角三角形，得出得出，继而得解． 【详解】如图，过点作于点．当点与点重合时，最小， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ 所以． 故选：C． 5．如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 构造，，证明，则最小值等于最小值，易得当点在线段上时最小，易得时，的值最小． 【详解】 解：如图，作，， ， ， ， 易得当点在线段上时最小， 即点在线段上， 易得时，的值最小， 此时． 故答案为：2.4． 6．如图，线段 ，点 在 上，且 ． 以 为顶点作等边三角形 ，连接 、． 当 最小时，的边长最小是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，含角的三角形的性质，勾股定理等知识，将绕点C顺时针旋转得到可知，，当点、Q、B三点共线时，取最小，且最小值即为线段的长度．再由垂线段最短可知：当时，的边长最小，过作，利用含角的三角形的性质求解和等面积法求解即可．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， 将绕点C顺时针旋转得到，则有，， ∴，， ∴， ∴当点、Q、B三点共线时，取最小，且最小值即为线段的长度． 此时，由垂线段最短可知：当时，的边长最小， 过作，如下图所示，此时， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵ 即的边长最小是， 故答案为：． 7．如图，在中，是的中点，．点是线段上一动点，以为边在它的左侧作等边三角形，点是的中点，连接．    （1）当点运动至中点时， ； （2）当最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理以及含30度角的直角三角形等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，可证，根据即可求解；（2）以为边在它的左侧作等边三角形，则是点关于直线的对称点，可得；进一步可推出四边形是平行四边形，根据即可求解； 【详解】解：（1）连接，如图所示：    ∵是的中点， ∴ ∵三角形是等边三角形，点是的中点， ∴ ∴ 当点运动至中点时， ∴ （2）由（1）可知：，故点在垂直于的直线上运动， 以为边在它的左侧作等边三角形，如图所示：    则是点关于直线的对称点， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ 故答案为：①② 8．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． 根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，则，再利用勾股定理得到答案． 【详解】解：由题意得： ，两点关于射线对称， ， 为定值，要使周长最小， 即最小， 如图，当点为与射线的交点时，周长最小， ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 9．如图，在中，，点D是平面内一点，满足，延长交直线于点E，过点A作交延长线于点F． (1)如图1，若平分，，求的长； (2)如图2，延长交于点G，若，求证：； (3)如图3，以为边构造等边三角形，若，连接，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）证明，设，则，在中，，则，即可求出答案； （2）过点C作交延长线于点N，连接，证明，则，证明，则得到，即可得到，证明结论； （3）连接，证明在以点D为圆心，为半径的圆上，进一步得到，则点M在过点A与夹角为的直线上，当时，的值最小，过点C作于点H，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴ （2）证明：过点C作交延长线于点N，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ （3）的面积是． 连接， ∵， ∴在以点D为圆心，为半径的圆上，， ∵， ∴ ∴， ∴点M在过点A与夹角为的直线上， ∴时，的值最小， 过点C作于点H，如图， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ 10．中，，，点是直角边所在直线上一点，连接，以为直角边向上作等腰，，，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上，且时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出___________；___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时： ①请你由观察、猜想直接写出___________； ②请你规范、严谨的证明：． (3)如图3，当点在线段的延长线上，且时，点为线段上任意一点，以为斜边向上做等腰，，，连接，已知，请你直接写出当长度最短时，线段的值为___________． 【答案】(1)6，2 (2)①2；②见解析 (3)4.8 【分析】（1）证明，得出，即可； （2）同（1）证明，得出，即可； （3）补全图形，作，可求，，当时，长度最短，设直线交于点S，证，得出，利用等积法求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 故答案为：6；2； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：2； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：补全图形，作，取中点O，连接、、， ∵，， ∴， ∵，   ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，长度最短，如图所示， 此时，，， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，熟练运用全等三角形的判定证明三角形全等． 【经典例题八 勾股定理常考模型综合】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示：   是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点C作于点D，结合等边三角形的性质和勾股定理可求出的长．画出以线段，，的长为边组成的三角形为，且令，，，过点作于点H，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 如图，令，，，过点作于点H， 设，则． ∵，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    4．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点C作，且在上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质可证得，得到，则．连接，则，当点B，F，共线时，m的值最小．根据等边三角形的性质与勾股定理即可解答． 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．   是等边三角形，，， ，， ， ，， ， ， ∴． 连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 即m的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线，将线段进行转化是解题的关键． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，延长至点，使，证明，根据性质得，，过点作交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，最后由勾股定理，垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长至点，使， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 【答案】5或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示： 则， ， 平分， ， 又， ∴， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示： 同①得：， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可． 【详解】解：连结，如图， ①∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，所以①正确； ②∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 所以②正确； ③∵， ∴， ∴ ， 所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点D作交的延长线于点F，过点B作于H，根据条件证明，根据，设，即可求解． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点F，过点B作于H， ∵ ∵，， ∵， 设，则 ∴， 解得：（负值舍去） 故答案为：． 【点睛】本题是一道综合性较强的几何综合题，有一定的难度；主要考查了全等三角形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】（），；（），证明见解析；（）． 【分析】（）连接，证明，得到，即得，可得点在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （）如图，过点作交延长线与，连接，可得是等腰直角三角形，即得，进而可得，，得到，，即得，再由勾股定理即可求证； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， 证明可得，，又由可得，在中，由，可得，即得 ，得到，最后根据即可求解． 【详解】解：（）如图，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，有最小值，此时， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，； （），证明如下： 如图，过点作交延长线与，连接， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， ∴； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知． 【详解】（1）①和均为等边三角形， ，，， ， ． ． 为等边三角形， ， 点，，在同一直线上， ， ， ，； ②， ，； （2）和均为等腰直角三角形， ，，． ， ， ，， 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ， ， ， 又，， ， ； （3）如图3， 由（1）知， ， ， ， ， 如图4， 同理求得， ， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识． 学科网（北京）股份有限公司 $$