2.1等式性质与不等式性质（第1课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 1. 不等关系与不等式 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如：多与少、大与小、轻与重、不超过和不少于等。反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。 等式：指的是用等号“=”连接起来的式子. 不等式指的是用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子. 引言 设该路段行驶的汽车速度为v，则0<v≤40 Q1-1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设三角形三边分别为a，b，c，则  a+b>c,   a−b<c 设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂 线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ A B C P Q Q1-2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 5 【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， ≥20，求出不等式的解，即可求出定价 单价涨了多少个0.1元 销量少了多少个2000元 单价涨了多少元 所以用不等式表示为： 某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t，则x、y应满足的不等关系是(　　) A．x＋y>120 B．x＋y<120 C．x＋y≥120 D．x＋y≤120 C　 练一练 7 若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 A B C D E(FGH) A B C D E F G H a b 当a=b时 综上， 正方形ABCD的面积S= 四个直角三角形的面积和S' = S与S’有什么样的不等关系，如何表示？ S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 探究 追问：如何利用代数形式的逻辑证明重要不等式？ 证明： 重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 【证】： 对点练习 2. 比较两个实数的大小 Q2-1: 如何比较实数1与2的大小？ Q2-2: 如何比较实数a与b的大小？ 由于数轴上的点与实数一一对应，利用数轴判断实数的大小关系；设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B. 当点A在B的左边时 当点A在B的右边时 当点A和点B重合时 A B B A A(B) a<b a>b a=b 作差法 a<b⟺ a−b<0 a>b⟺ a−b>0 a=b⟺ a−b=0 比较和的大小. 【解】运用作差法： 2＞0， ＞ 作差 变形 定号 结论 典例精析 【解】运用作差法： 对点练习 拓展：作商法 练习 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 (　　) A．M>N　　　　　 B．M＝N C．M<N D．与x有关 A　 18 [解析]　2. x2＋y2＋1－2(x＋y－1) ＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0， ∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)． 比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小； A 将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系. [解析]　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0， ∴M>N，故选A． 若A=+3与B=+2,则A与B的大小关系是(　　) A.A>B B.A<B C.A≥B D.不确定 解析：由于A-B=+3->0, 所以A>B,故选A. 解析：各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形, 还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所 对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2, 故x应满足的不等关系为 $$