15.3 分式方程课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

15.3　分式方程 第1课时　分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有　未知数　的方程叫做分式方程. 温馨提示:(1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知数; (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程; (3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 2.解分式方程的思想 将分式方程化为　整式方程　,具体做法是“去分母”,即方程两边乘　最简公分母　,将其转化为整式方程. 3.解分式方程产生增根的原因 解分式方程:=. 解:方程两边同乘(x+5)(x-5),得x+5=10,解得x=5. 检验:将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,但不是原分式方程=的解,实际上,这个分式方程无解.在这里,我们把x=5称为原分式方程的增根. 4.解分式方程的一般步骤 (1)去分母:在分式方程的两边乘　最简公分母　,将原方程化成整式方程. (2)解方程:解这个整式方程. (3)检验:把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则原分式方程无解; (4)下结论:写出原分式方程的根的情况(解是什么或无解). 简记为:“一化二解三检验”. 注意:分式方程解的检验是必不可少的步骤. 分式方程的定义 下列方程中:①=1;②=0;③=;④+=5,是分式方程的有(　D　) A.①②　　 B.②③　　 C.③④　　 D.②③④ 1.下列方程:①=3;②=3;③=;④+=5,其中是分式方程的有　②③④　.(填序号) 解分式方程 解下列方程: (1)=1+; 解:方程两边同乘2(x-4),得1=2(x-4)-2(2x-3). 解这个整式方程,得x=-. 检验:当x=-时,2(x-4)≠0, ∴x=-是原分式方程的解. (2)-=0; 解:方程两边同乘x(x-1),得6x-(x+5)=0. 解这个整式方程,得x=1. 检验:当x=1时,x(x-1)=0, ∴x=1是原分式方程的增根, ∴原分式方程无解. (3)-=; 解:原方程可变形为:-=, 方程两边同乘x(x-2),得 (2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2, 解得x=-, 检验:当x=-时,x(x-2)≠0, ∴x=-是原分式方程的解. (4)+=; 解:原方程可变形为: +=, 方程两边同乘(x+1)(x-1),得 5(x-1)+3(x+1)=6,解得x=1. 检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0, ∴x=1是原分式方程的增根, ∴原分式方程无解. (5)=-. 解:原方程可变形为: =-, 方程两边同乘(x-1)2(x+1)2,得 3(x+1)2=2(x-1)2+(x-1)(x+1).解得x=-. 检验:当x=-时,(x-1)2(x+1)2≠0, ∴x=-是原分式方程的解. 2.解分式方程=-2时,去分母变形正确的是(　D　) A.-1+x=-1-2(x-2) B.1-x=1-2(x-2) C.-1+x=1+2(2-x) D.1-x=-1-2(x-2) 3.分式方程+=1的解为(　A　) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 4.解分式方程: (1)+1=; 解:方程两边同乘(x+2),得 3+x+2=2x, 解得x=5. 检验:当x=5时,x+2≠0, ∴x=5是原分式方程的解. (2)-=1. 解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得 x(x+1)-2=(x+1)(x-1), 解得x=1. 检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0, ∴x=1是原分式方程的增根, ∴原分式方程无解. 分式方程中的含参问题(选讲) (1)若关于x的方程=无解,则m的值为(　D　) A.0　　 B.4或6　　C.6　　D.0或4 (2)若关于x的分式方程2-=的解为正数,则k的取值范围为(　B　) A.k<2 B.k<2且k≠0 C.k>-1 D.k>-1且k≠0 (3)m为何值时,关于x的方程+=会产生增根? 解:方程两边同乘(x+2)(x-2),得 2(x+2)+mx=3(x-2), 整理,得(m-1)x=-10. ∵原方程有增根, ∴(x-2)(x+2)=0,即x=2或x=-2. 把x=2代入(m-1)x=-10,解得m=-4; 把x=-2代入(m-1)x=-10,解得m=6. ∴当m=-4或m=6时,方程会产生增根. 5.已知关于x的分式方程-2=的解为正数,则k的取值范围为(　B　) A.-2<k<0 B.k>-2且k≠-1 C.k>-2 D.k<2且k≠-1 6.(1)(2024·成都石室)若关于x的分式方程=3有增根,则m的值为　-2　; (2)若关于x的分式方程-1=无解,则m的值为　0或1　. 7.阅读下面的材料: 在学习“可以化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中,老师提出一个问题:若关于x的分式方程=1的解为正数,求a的取值范围. 经过独立思考与分析,小杰与小哲开始交流解题思路如下: 小杰说:解这个关于x的分式方程,得x=a+4,由题意可得a+4>0,所以a>-4. 小哲说:你考虑不全面,还必须保证x≠4,即a+4≠4才行. (1)请回答:　小哲　的说法是正确的,并简述正确的理由是　分式的分母不为0　　; (2)参考对上述问题的讨论,解决下面的问题: 若关于x的方程+=3的解为非负数,求m的取值范围. 解:(2)去分母,得x+m-3m=3(x-3), 整理,得-2x=2m-9,解得x=. ∵该分式方程的解为非负数, ∴≥0且≠3,解得m≤且m≠. $$第2课时 分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的步骤 (1)审题; (2)设未知数; (3)找出相等关系,列出分式方程; (4)解这个分式方程; (5)检验,看方程的解是否满足方程并符合题意; (6)写出答案. 2.工程问题 (1)基本关系:工作总量=工作时间 工作效率. (2)根据题意填空. 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 表格法分析如下: 设乙单独完成这项工程需要x个月,工作总量为“1”. 工作时间(月) 工作效率 工作总量(“1”) 甲队 乙队 根据等量关系:甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”,可列出方程 + =1 . 根据等量关系:甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”,则合作的工作效率是 + ,根据等量关系可列出方程 1+ =1 . 3.行程问题 (1)基本关系:路程=速度 时间 (2)根据题意填空. 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?(这里的字母v,s表示已知数据) 设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km所用时间为 h,提速后列车的平均速度为 (x+v) km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程 = . 4.销售问题 (1)基本关系:总价=单价 数量. (2)根据题意填空. 某商店准备购进甲、乙两种商品,甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元,用2 000元购进甲种商品和用1 200元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元. 设甲种商品每件的进价是x元,则乙种商品每件的进价是 (x-20) 元.根据等量关系购买的甲种商品的数量=乙种商品的数量,可列出方程 = . 若设甲种商品购进x件,则乙种商品购进 x 件.根据等量关系甲种商品的进价= 乙种商品的进价+20元 ,可列出方程 =+20 . 分式方程在工程问题中的应用 某工厂计划生产3 000个零件,若每天比原计划多生产15个零件,则生产3 300个零件所需的时间与原计划时间相同. (1)求原计划每天生产的零件个数; 解:(1)设原计划每天生产零件x个.依题意,得 =.解得x=150. 经检验,x=150是原分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每天生产的零件个数为150个. (2)为了提前完成生产任务,工厂在安排若干台旧设备按原计划正常生产的同时,增加2台新设备参与共同生产,经过10天完成计划的90%.已知每台新设备的效率是每台旧设备的1.2倍,求旧设备的台数. (2)设旧设备有y台.依题意,得 10=3 000 90%. 解得y=3. 经检验,y=3是原分式方程的解,且符合题意. 答:旧设备有3台. 1.某家具厂要在开学前赶制540套桌凳,为了尽快完成任务,厂领导合理调配,加强第一线人力,使每天完成的桌凳比原计划多2套,结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳?设原计划每天完成x套桌凳,则所列方程正确的是 ( C ) A.-=3 B.-=3 C.-=3 D.-=3 2.(2023 乐山)为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时,由于志愿者的加入,实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵? 解:设原计划每天种植梨树x棵,则实际每天种植梨树(1+20%)x棵,根据题意,得 -=2,解得x=500. 经检验,x=500是所列方程的解,且符合题意. 答:原计划每天种植梨树500棵. 分式方程在行程问题中的应用 已知“太原南-北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间. 解:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时,则“和谐号”列车的行驶时间为x小时, 根据题意,得=+40,解得x=. 经检验,x=是原分式方程的解. ∴x+=(小时). 答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时. 3.一艘轮船在静水中的速度为30km/h,它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等,江水的流速为多少?设江水流速为vkm/h,则符合题意的方程是 ( A ) A.= B.= C.= D.= 4.为保证运动会期间各场馆用电设施的正常运行,某市供电局为此进行了电力抢修演练.现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修.维修工人骑摩托车先行出发,10分钟后,抢修车装载完所需材料再出发,结果他们同时到达体育馆,已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍,求摩托车的速度. 解:设摩托车的速度为x千米/时,则抢修车的速度为1.5x千米/时. 依题意,得-=,解得x=40. 经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意. 答:摩托车的速度为40千米/时. 分式方程在销售问题中的应用 为了加强学生的体育锻炼,某班计划购买部分绳子和实心球,已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元,且用84元购买绳子的数量与用360元购买实心球的数量相同. (1)绳子和实心球的单价各是多少元? 解:(1)设绳子的单价为x元,则实心球的单价为(x+23)元. 根据题意,得=,解得x=7. 经检验,x=7是原分式方程的解,且符合题意, ∴x+23=30. 答:绳子的单价为7元,实心球的单价为30元. (2)如果本次购买的总费用为510元,且购买绳子的数量是实心球数量的3倍,那么购买绳子和实心球的数量各是多少? (2)设购买实心球的数量为m个,则购买绳子的数量为3m条, 根据题意,得7 3m+30m=510,解得m=10, ∴3m=30. 答:购买绳子30条,购买实心球10个. 5.某体育用品商店出售毽球,有批发和零售两种售卖方式,小明打算为班级购买毽球,如果给每个人买一个毽球,就只能按零售价付款,共需80元;如果小明多购买5个毽球,就可以享受批发价,总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同,则小明班级共有多少名学生?设班级共有x名学生,依据题意列方程,得 ( B ) A.50 = 40 B.40 = 50 C.40 = 50 D.50 = 40 6.如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染. 进货单 (第6题) 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下: 李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%. 王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件. 请你求出乙商品的进价,并帮他们补全进货单. 解:设乙商品的进价为x元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x元/件,根据题意,得 -=40,解得x=40. 经检验,x=40是原分式方程的解. ∴(1+50%)x=60,=80,=120. 补全进货单如下表: 商品 进价(元/件) 数量(件) 总金额(元) 甲 60 120 7 200 乙 40 80 3 200 $$