第三章 代数式 3.1列代数式表示数量关系-2024-2025学年七年级上学期《七年级上册数学题型大全精讲》（人教版2024）

人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第三章 代数式 3.1列代数式表示数量关系 学习目标 1.能根据实际问题情境用含字母的式子表示简单的数量关系，初步理解用字母表示数更具有一般性； 2.能用代数式表示简单数量关系，感悟用数学符号表示数量关系的作用，发展符号意识； 3.根据实际情境理解反比例关系。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——代数式的书写问题 题型2——代数式的意义 题型3——根据实际问题列代数式 题型4——反比例关系问题 题型5——代数式的规律探究 知识详解 知识点1：字母表示数 字母表示数的特点： （1） 任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2） 限制性：字母的取值受现实问题条件的限制；比如：分母不能为0等； （3） 确定性：字母虽然可以代表任意的数，但字母的取值一旦确定，式子的值也就随之确定； （4） 一般性：字母表示数能更准确地反映数学规律。 名师点拨： （1） 字母虽然可以表示任意的数，但字母所能代表的数受实际问题的限制: 例如，长方形的面积=(表示长，表示宽)，这里的、只能取大于0的数，而不能取负数或0； （2） 长方形的面积=(表示长，表示宽) 这里的、虽然可以取任意的正数，但当它们一旦确定了，那这个长方形的面积也就确定了，而不能再随便取了． 知识点2：代数式 1. 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫作代数式。 名师点拨 单独一个数或字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： · 数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“·”代替或者省略不写； · 除法运算中，用分数线代替除号“÷”； · 数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； · 带分数一般写成假分数； · 代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 3. 代数式的意义： 同一个代数式在不同情况下，代表的意义也不同。 4. 列代数式的步骤： （1） 审题，分析条件，找出条件中包含的数量关系； （2） 用含有数字、字母、运算符号的式子表示（1）中的数量关系。 5. 常用的数量关系： · 行程问题：速度×时间=路程 · 工程问题：工作效率×工作时间=工作总量 · 购物问题：单价×数量=总价 · 打折问题：标价×折扣=售价，售价-成本=利润，成本×利润率=利润 知识点3：反比例关系 1. 反比例关系：两个相关的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且这两个量的乘积一定，这两个量之间的关系就叫作反比例关系。 2. 表示方法：用表示成反比例关系的量，表示它们的积，且不为0，它们之间的反比例关系可以用表示，其中叫做比例系数。 典例大全 题型1 代数式的书写问题 例题1．下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 2．下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 4．下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 题型2 代数式的意义 例题2．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 【变式训练】 1．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 2．某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 3．代数式用语言叙述正确的是（    ） A．a与的平方差 B．a的平方与4的差乘以b的平方 C．a与的差的平方 D．a的平方与b的平方的4倍的差 4．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（    ） A．原价减去5元后再打6折 B．原价打6折后再减去5元 C．原价减去5元后再打4折 D．原价打4折后再减去5元 题型3 列代数式 例题3．用含x的代数式填空： ①若某商店销售了50件单价为x元的商品，则销售额为 元． ②若某商店销售售价为x元/件的衬衫所得的销售额为2100元，则商店销售该衬衫的数量为 件． ③某商店准备将一款玩具降价销售．调查发现售价每降低1元，平均每周可多卖出20件．降价前每周可卖出200件，若降价x元，则现在每周可卖出 件． ④某短款传统服饰的进价为80元/件，售价为100元/件，销售x件该服饰可获得的利润为 元． 【变式训练】 1．两个边长分别为，的正方形按如图两种方式放置，图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则大正方形的面积为 （用m，n的代数式表示）． 2．某服装店新开张，第一天销售服装件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2倍少10件，则第三天销售了 ． 3．“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 4．为了丰富班级的课余活动，王老师预购置副羽毛球拍和个羽毛球，已知买一副羽毛球拍要元，买一个羽毛球要元．王老师一共要花 元（用含、的式子表示）． 题型4 反比例关系 例题4．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．小明的年龄和妈妈的年龄 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【变式训练】 1．下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 2．下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数； B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长； C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积； D．货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量． 3．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系 4．下列说法正确的是（    ） A．等边三角形的面积与边长成反比例 B．人的身高与体重成正比例 C．车在行驶中，速度与时间成反比例 D．面积为8平方厘米的长方形的长与宽成反比测 题型5 用代数式表示数学规律 例题5．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示规律铺地面，则第n个图形有 块白色地砖． 【变式训练】 1．有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 2．按图示的方法搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要5根小棒，那么搭10个三角形需要( )根小棒，搭n个三角形需要( )根小棒． 3．观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来： ． 4．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 题型检测 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 2．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 3．“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打8折 D．在原价的基础上减去元后再打折 4．关于代数式的意义说法错误的是（    ） A．表示7与a的和 B．表示7与a的积 C．表示单价为7元的钢笔买了a支的总价 D．表示长a宽7的长方形的面积 5．有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系 7．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题） 9．下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号） 10．学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元，表示 ． 11．现有a根长度相同的火柴棒，分别按照图①②摆放时，火柴棒都全部用完．若这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状，则a的最小值为 ． 12．一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 13．若与成反比例关系，与成正比例关系，则与成 关系. 14．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 三、解答题（本大题共6小题） 15．根据下列语句列代数式： (1)b的倍的相反数； (2)比a与b的积的2倍小5的数； (3)一件商品原价为a元，现按原价的九折销售，则售价是多少元？ 16．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 17．请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义： (1)； (2)； (3) 18．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 19．【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，这样的图各点我们称为正方形网格点．图都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． 表1 表2 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 图① 图② 边上的点数 多边形面积 (1)【观察发现】当内部有1个点时，图2格点多边形边上的点数和面积统计如表1．请完成表格1，并归纳与之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图3的格点图中，分别画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，然后将所画图形的面积填写在表格2中．归纳与之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含，的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图1中图形的面积． (4)【拓展应用】若把正方形网格点改成如图4的三角形形网格点，设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．用上述的推理思维写出用含，的代数式来表示：______ 20．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第三章 代数式 3.1列代数式表示数量关系 学习目标 1.能根据实际问题情境用含字母的式子表示简单的数量关系，初步理解用字母表示数更具有一般性； 2.能用代数式表示简单数量关系，感悟用数学符号表示数量关系的作用，发展符号意识； 3.根据实际情境理解反比例关系。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——代数式的书写问题 题型2——代数式的意义 题型3——根据实际问题列代数式 题型4——反比例关系问题 题型5——代数式的规律探究 知识详解 知识点1：字母表示数 字母表示数的特点： （1） 任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2） 限制性：字母的取值受现实问题条件的限制；比如：分母不能为0等； （3） 确定性：字母虽然可以代表任意的数，但字母的取值一旦确定，式子的值也就随之确定； （4） 一般性：字母表示数能更准确地反映数学规律。 名师点拨： （1） 字母虽然可以表示任意的数，但字母所能代表的数受实际问题的限制: 例如，长方形的面积=(表示长，表示宽)，这里的、只能取大于0的数，而不能取负数或0； （2） 长方形的面积=(表示长，表示宽) 这里的、虽然可以取任意的正数，但当它们一旦确定了，那这个长方形的面积也就确定了，而不能再随便取了． 知识点2：代数式 1. 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫作代数式。 名师点拨 单独一个数或字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： · 数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“·”代替或者省略不写； · 除法运算中，用分数线代替除号“÷”； · 数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； · 带分数一般写成假分数； · 代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 3. 代数式的意义： 同一个代数式在不同情况下，代表的意义也不同。 4. 列代数式的步骤： （1） 审题，分析条件，找出条件中包含的数量关系； （2） 用含有数字、字母、运算符号的式子表示（1）中的数量关系。 5. 常用的数量关系： · 行程问题：速度×时间=路程 · 工程问题：工作效率×工作时间=工作总量 · 购物问题：单价×数量=总价 · 打折问题：标价×折扣=售价，售价-成本=利润，成本×利润率=利润 知识点3：反比例关系 1. 反比例关系：两个相关的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且这两个量的乘积一定，这两个量之间的关系就叫作反比例关系。 2. 表示方法：用表示成反比例关系的量，表示它们的积，且不为0，它们之间的反比例关系可以用表示，其中叫做比例系数。 典例大全 题型1 代数式的书写问题 例题1．下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A、数字与数字相乘不能用点或省略乘号，应该写成，不符合题意； B、符合代数式书写格式，符合题意； C、应改写成，不符合题意； D、应改写成，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式，熟练掌握代数式的书写原则是解题的关键．根据代数式的书写原则：数字在字母前，乘号省略；带分数要用假分数；除号要用分数；再结合所给的选项进行判断即可． 【详解】解：的正确写法是，故A不符合题意； 的正确写法是，故B不符合题意； 的写法是正确的，故C符合题意； 的正确写法，故D不符合题意； 故选：C． 2．下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，一般数字因数要放在字母因数的前面，除法要写成分数的形式，带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写规范进行解答即可． 【详解】解：对于选项A，正确的书写为，除法要写成分数形式，不符合题意； 对于选项B，正确的书写为，数字放在字母前面，省略乘号，不符合题意； 对于选项C，书写正确，符合题意； 对于选项D，正确的书写为，带分数要化成假分数，不符合题意； 故选：C． 3．下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、正确书写形式为，故本选项错误； B、书写形式正确，故本选项正确； C、正确书写形式为个，故本选项错误； D、正确书写形式为，故本选项错误． 故选：B． 4．下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 【详解】解；根据代数式的书写规则可知，只有书写规范，符合题意， 故选：B． 题型2 代数式的意义 例题2．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式．根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得． 【详解】解：A、若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意； B、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意； C、若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意； D、某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 2．某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 【答案】A 【分析】根据代数式的实际意义进行解答即可，准确理解代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：将原价x元的衣服以元出售就是把原价打8折后再减去7元． 故选：A． 3．代数式用语言叙述正确的是（    ） A．a与的平方差 B．a的平方与4的差乘以b的平方 C．a与的差的平方 D．a的平方与b的平方的4倍的差 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握代数式的运算顺序是解题的关键．根据代数式的运算顺序用语言叙述即可． 【详解】解：代数式用语言叙述为：a的平方与b的平方的4倍的差， 故选：D． 4．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（    ） A．原价减去5元后再打6折 B．原价打6折后再减去5元 C．原价减去5元后再打4折 D．原价打4折后再减去5元 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的实际应用，表示原价打六折后的售价，则表示原价在原价打六折后的基础上再降价5元，据此可得答案． 【详解】解：∵表示原价打六折后的售价， ∴表示原价在原价打六折后的基础上再降价5元， 故选B． 题型3 列代数式 例题3．用含x的代数式填空： ①若某商店销售了50件单价为x元的商品，则销售额为 元． ②若某商店销售售价为x元/件的衬衫所得的销售额为2100元，则商店销售该衬衫的数量为 件． ③某商店准备将一款玩具降价销售．调查发现售价每降低1元，平均每周可多卖出20件．降价前每周可卖出200件，若降价x元，则现在每周可卖出 件． ④某短款传统服饰的进价为80元/件，售价为100元/件，销售x件该服饰可获得的利润为 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式． ①根据销售额等于销售单价销售数量列式即可； ②根据销售额销售单价等于销售数量列式即可； ③根据现在每周可卖出的数量等于降价前可卖出的数量降低的价钱数列式即可； ④根据利润等于（售价进价）销售数量列式即可． 【详解】解：根据题意得： ①销售额为元； ②销售数量为件； ③现在每周可卖出的数量为：件； ④利润为：元． 故答案为：；；；． 【变式训练】 1．两个边长分别为，的正方形按如图两种方式放置，图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则大正方形的面积为 （用m，n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式．根据题意，用含，的代数式表示出和，进一步用和表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， ， 所以， 则， 即大正方形的面积为． 故答案为：． 2．某服装店新开张，第一天销售服装件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2倍少10件，则第三天销售了 ． 【答案】件 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的代数式．根据题意可以用代数式表示出第三天的销量，从而可以得出结果． 【详解】解：由题意可得，第二天的销量为：件， 则第三天的销量为：件； 故答案为：件． 3．“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积，代数式表示式，正方形面积，由门洞的通过面积等于正方形的面积加两个圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：该门洞的通过面积为 (平方米)， 故答案为：． 4．为了丰富班级的课余活动，王老师预购置副羽毛球拍和个羽毛球，已知买一副羽毛球拍要元，买一个羽毛球要元．王老师一共要花 元（用含、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据费用一副羽毛球拍的单价数量一个羽毛球的单价数量，即可用含、的式子表示出王老师要花的费用．正确理解各数量之间的关系是解题的关键． 【详解】解：王老师一共要花元． 故答案为：． 题型4 反比例关系 例题4．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．小明的年龄和妈妈的年龄 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【答案】D 【详解】本题考查成反比例关系的判定，关键是就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例．按成反比例关系的定义判定即可． 【解答】解：A、已经读了的页数未读的页数这本书的总页数（一定），和一定，所以已经读了的页数与未读的页数不成比例； B、妈妈的年龄与小明的年龄差一定，所以小明的年龄和妈妈的年龄不成比例； C、出勤人数：总人数出勤率（一定），商一定，所以出勤人数和总人数成正比例； D、平行四边形的底高平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以平行四边形的底和高成反比例． 故选：D． 【变式训练】 1．下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查了变量间是否成反比例关系，列出关系式，根据定义判断即可． 【详解】解：A．正方形的面积与边长之间的关系为，不是反比例关系； B．等边三角形中，周长与边长之间的关系为，不是反比例关系； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系为，不是反比例关系； D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系为，故为反比例关系； 故选：D． 2．下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数； B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长； C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积； D．货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例关系，正确区分正比例关系与反比例关系是解题关键．判断一个关系是否是反比例关系，首先看看两个变量是否具有反比例关系．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．根据定义分析即可． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系，故A错误； B、等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长成一次关系关系；故B错误； C、一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积成正比例关系；故C错误； D、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故D正确． 故选D 3．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系 【答案】B 【分析】分别利用反比例关系、正比例关系关系分别分析得出答案． 【详解】解：A.一个人的体重与他的年龄成正比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； B、圆的周长与直径成正比例关系，该说法正确，故本选项符合题意； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； D、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B 4．下列说法正确的是（    ） A．等边三角形的面积与边长成反比例 B．人的身高与体重成正比例 C．车在行驶中，速度与时间成反比例 D．面积为8平方厘米的长方形的长与宽成反比测 【答案】D 【分析】根据正比例关系，反比例关系的定义，即可判断． 【详解】解：选项，等边三角形的面积与边长的关系可表示为，是正比例关系，故选项错误，不符合题意； 选项，人的身高与体重不一定是正比例关系，故选项错误，不符合题意； 选项，车在行驶中，速度与时间的关系可表示为，路程不确定，不可以确实速度与时间的关系，故选项错误，不符合题意； 选项，面积为8平方厘米的长方形的长与宽的关系可表示为，是反比例关系，故选项正确，符合题意． 故选：． 题型5 用代数式表示数学规律 例题5．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示规律铺地面，则第n个图形有 块白色地砖． 【答案】/ 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 根据图示，第1个图形有白色地砖6块；第2个图形有白色地砖（块；第3个图形有白色地砖（块；．．；第5个图形白色地砖的块数：（块；；第个图形白色地砖的块数：块．据此解答． 【详解】解：第1个图形有白色地砖6块， 第2个图形有白色地砖（块）， 第3个图形有白色地砖（块）， 第5个图形白色地砖的块数：（块）， 第个图形白色地砖的块数：块， 故答案为：． 【变式训练】 1．有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查找规律，根据所给的这列数，将他们形式化统一，从符号、分子、分母三个方面找寻规律即可得到答案，熟练掌握常见数字规律是解决问题的关键． 【详解】解：一列数 符号规律：奇数项为正、偶数项为负，故； 分子规律：从第二项开始，后一项与前一项的差是4，故； 分母规律：； 综上所述，这列数的规律是， 故答案为：． 2．按图示的方法搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要5根小棒，那么搭10个三角形需要( )根小棒，搭n个三角形需要( )根小棒． 【答案】 21 / 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现根数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的图形，可以发现火柴棒的根数的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 搭1个三角形需要的小棒为：根， 搭2个三角形需要的小棒为：根， 搭3个三角形需要的小棒为：根， 搭个三角形需要的小棒为： 根， ∴搭10个三角形需要的小棒为：根， 故答案为：21；． 3．观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来： ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示数字规律，通过观察等式的变形即可求解． 【详解】由题意得：该规律用含自然数的等式表示出来为， 故答案为：． 4．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． （ 1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式； （ 2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】解：（1）∵第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（ 1）得，第个等式：， 故答案为：． 题型检测 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式，熟练掌握代数式的书写原则是解题的关键．根据代数式的书写原则：数字在字母前，乘号省略；带分数要用假分数；除号要用分数；再结合所给的选项进行判断即可． 【详解】解：的正确写法是，故A不符合题意； 的正确写法是，故B不符合题意； 的写法是正确的，故C符合题意； 的正确写法，故D不符合题意； 故选：C． 2．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 3．“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打8折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的含义，根据式子得到先减去元，再打折即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 元表示：在原价的基础上减去元后再打8折， 故选：C． 4．关于代数式的意义说法错误的是（    ） A．表示7与a的和 B．表示7与a的积 C．表示单价为7元的钢笔买了a支的总价 D．表示这个长方形的面积 【答案】A 【分析】本题考查代数式的意义，列代数式．分别列出每个选项中的代数式，进行判断即可．正确的翻译句子，列出代数式，是解题的关键． 【详解】解：A、可列代数式为，与题干不符，符合题意； B、可列代数式为，不符合题意； C、可列代数式为，不符合题意； D、可列代数式为，不符合题意； 故选A． 5．有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出后一个数是前一个数的倍是解题的关键．观察不难发现，后一个数是前一个数的倍，根据此规律写出即可，再根据指数与序数的关系写出第n个数即可． 【详解】解：由，4，，16，，…，可知，后一个数是前一个数的倍， 所以，第n个数是． 故选：B． 6．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系 【答案】B 【分析】分别利用反比例关系、正比例关系关系分别分析得出答案． 【详解】解：A.一个人的体重与他的年龄成正比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； B、圆的周长与直径成正比例关系，该说法正确，故本选项符合题意； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； D、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了反比例关系、正比例关系关系，正确得出关系关系是解题关键． 7．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，主要要明确题中给出的文字语言包含的运算关系，根据题意的先求倍数，然后求差，最后求平方列出代数式，即可解题． 【详解】解：a的3倍是， a的3倍与b的差是， a的3倍与b的差的平方是， 故选：D． 8．用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，要注意长方形窗框的横条有3条，观察图形求出长方形窗框的竖条长度是解答本题的关键．根据长方形窗框的横条长度求出长方形窗框的竖条长度，再根据长方形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵长方形窗框的横条长度为， ∴长方形窗框的竖条长度为， ∴长方形窗框的面积为：， 故选∶C． 二、填空题（本大题共6小题） 9．下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键，利用代数式的书写要求判断即可． 【详解】解：①应该写成，故原写法格式不正确； ②应该写成，故原写法格式不正确； ③，书写正确； ④应该写成，故原写法格式不正确， 综上所述，格式书写正确的有③， 故答案为：③． 10．学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元，表示 ． 【答案】买来个足球和个篮球一共花多少钱 【分析】本题考查了代数式，根据运算顺序写出表示的意义即可． 【详解】解：表示买来个足球和个篮球一共花多少钱， 故答案为：买来个足球和个篮球一共花多少钱． 11．现有a根长度相同的火柴棒，分别按照图①②摆放时，火柴棒都全部用完．若这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状，则a的最小值为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查图形规律，设图①、图②、图③中分别m个、个、个小正方形，根据正方火柴的数量与总的火柴棒列出关系式，再结合其均为正整数即可求得对应的m、n和p对应的值，即可求得a的最小值． 【详解】解：设图①、图②、图③中分别m个、个、个小正方形（m、n、p为正整数）， 由图形的规律知，，， ∴， ∵m、n、p均是正整数， ∴当，，时a的值最小， 此时，， 故答案为：22． 12．一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】 根据题目中的数据，可以发现奇数个数都是负数、偶数个数都是正数、整数部分的绝对值是按照1，2，3，4，…，在变化，分数部分的分子是一些连续的奇数，分母部分是对应的个数的平方加1，然后即可写出第n个数． 【详解】 解：∵一组数：，，，，，，…， ∴这列数可以表示为：，，，，…， ∴这组数的第n个数为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，表示出第n个数． 13．若与成反比例关系，与成正比例关系，则与成 关系. 【答案】反比例 【分析】根据y与z成反比例，可得出；z与x成正比例，可得出z=k′x，两式结合即可得出y与x的关系． 【详解】由y与z成反比例,可得出；z与x成正比例,可得出z=k′x，两式结合得：，故y与x的关系是反比例关系.故答案为反比例. 【点睛】本题考查反比例关系的定义，解题的关键是掌握反比例关系的定义. 14．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【分析】本题考查由表格求反比例关系的解析式，解题的关键是掌握反比例关系的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 三、解答题（本大题共6小题） 15．根据下列语句列代数式： (1)b的倍的相反数； (2)比a与b的积的2倍小5的数； (3)一件商品原价为a元，现按原价的九折销售，则售价是多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)元 【分析】此题考查了列代数式，解答此类题正确分析数量关系，理清顺序，列出相应的代数式，同时要求学生注意代数式的书写格式：数字与字母或字母与字母相乘时，乘号省略，且数字要写在字母的前面；除法要写成分数形式；后面有单位，代数式为加减运算的一定要将代数式加上括号，且在后面带上单位等． （1）先求出的倍，再求出它们的相反数； （2）先求出与的积的2倍，再减去5； （3）根据题意可得售价为元． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：根据题意可得； （3）解：根据题意可得售价是元． 16．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 17．请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)一个边长为米的正方体钢块的体积是立方米； (2)某款价格为元的钢笔在“双十一”加价后的售价是元； (3)巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克力糖和2千可奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混合糖每千克的平均价格为元． 【分析】本题考查代数式的实际意义． （1）根据立方可以和正方体的体积联系即可； （2）根据代数式表示比x增加赋予实际意义即可； （3）根据代数式的特点赋予实际意义即可． 【详解】（1）解：一个边长为米的正方体钢块的体积是立方米； （2）解：某款价格为元的钢笔在“双十一”加价后的售价是元； （3）解：巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克力糖和2千可奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混合糖每千克的平均价格为元． 18．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键． （1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值； （2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出； （3）代入即可求出结论． 【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要个三角形． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16； （2）解：由（1）可知：． 故答案为：； （3）解：当时，， ∴摆成第2021个图案需要个三角形． 19．【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，这样的图各点我们称为正方形网格点．图都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． 表1 表2 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 图① 图② 边上的点数 多边形面积 (1)【观察发现】当内部有1个点时，图2格点多边形边上的点数和面积统计如表1．请完成表格1，并归纳与之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图3的格点图中，分别画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，然后将所画图形的面积填写在表格2中．归纳与之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含，的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图1中图形的面积． (4)【拓展应用】若把正方形网格点改成如图4的三角形形网格点，设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．用上述的推理思维写出用含，的代数式来表示：______ 【答案】(1)4.5； (2)见详解；6，10，4，6； (3)，11.5 (4) 【分析】本题主要考查图形规律和应用，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题． （1）由表格中的数据，找出规律即可得出结论； （2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论； （3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形的面积即可； （4）根据题意画出部分图形，结合图形找到规律，即可获得答案． 【详解】（1）解：观察表中数据，可得规律：多边形的面积边上的点数的一半， 故可完成表格如下， 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 4.5 归纳与之间的关系式为：． 故答案为：4.5；； （2）画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，如下图所示： 将所画图形的面积填写在表格2中，如下所示： 图① 图② 边上的点数 6 10 多边形面积 4 6 归纳与之间的关系式为：． 故答案为：6，10，4，6；； （3）设格点多边形内部的点数为，边上的点数为， 则格点多边形的面积为， ∵图形中，，， ∴，即图形中的面积为11.5； （4）设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为， 画出若干个图形如下， 绘制表格并填写如下， 内部的点数 0 0 1 2 3 边上的点数 5 7 7 6 10 多边形面积 1.5 2.5 3.5 4 7 结合表格，可写出用含，的代数式来表示：． 故答案为：． 20．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 【答案】(1)21；36；51 (2) 【分析】本题考查了图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律： （1）先观察图形的规律，然后填写表格； （2）根据纵向数字之间的关系可得到规律； 正确得到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：对于三角形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于四边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于五边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 则表格如下： 第n个多边形数类型 三角形数 3 6 10 15 21 四边形数 4 9 16 25 36 五边形数 5 12 22 35 51 （2）解：根据表格的前几列可得： 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推可得： 当时，， 表格如下： 第n个多边形数类型 … 三角形数 3 6 10 15 21 28 … a 四边形数 4 9 16 25 36 49 … b 五边形数 5 12 22 35 51 70 … 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$