第三单元《倍数和因数》（拔尖卷）2024-2025学年北师大版数学五年级上册单元同步跟踪必刷卷（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级上册单元同步跟踪必刷卷（拔尖卷） 第三单元 倍数与因数 考试时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 评卷人 得 分 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）（2024五上·坪山期末）从198里面减去（　　），可以使得到的数同时是2，3和5的倍数。 A．8 B．18 C．28 D．38 2．（2分）（2024五上·坪山期末）甲、乙、丙三个不相等的数，甲数是乙数的因数，丙数是乙数的倍数，那么甲数是丙数的（　　）。 A．倍数 B．因数 C．公倍数 D．无法确定 3．（2分）（2024五上·坪山期末）哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是（　　）。 A．10=2+8 B．16=3+13 C．14=5+9 D．8=7+1 4．（2分）一筐鸡蛋，2个2个地数、3个3个地数、4个4个地数、5个5个地数，都正好数完，这筐鸡蛋至少有（　　）个。 A．30 B．60 C．90 D．120 5．（2分）（2022五上·婺城期末）用一定数量的小正方形去拼长方形，正好摆出了三种不同的长方形（含正方形），每次都用上所有的小正方形。则小正方形的个数一定（　　）。 A．是质数 B．是3的倍数 C．有3个因数 D．有5个或者6个因数 评卷人 得 分 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分）（2023·鹿泉）所有的偶数都是合数，所有的质数都是奇数。 7．（2分）（2023五上·惠阳期末）自然数不是奇数就是偶数，不是合数就是质数。（　　） 8．（2分）（2023五上·青岛期末）一个数是12的倍数，它一定也是3和4的倍数。（　　） 9．（2分）（2021五上·惠城期中）每一个合数的因数个数都是偶数。（　　） 10．（2分）（2019五上·东源期末）用 ， ， ，三张数字卡片组成的同时是2，3和5的倍数的最小三位数是120。 评卷人 得 分 三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共14分) 11．（3分）（2024五上·东源期末）在1～10中，既不是合数也不是质数的是　 　，既是奇数又是合数的是　 　；既是偶数又是质数的是　 　． 12．（1分）（2023五上·惠城月考）面积是24㎡的长方形，如果长和宽都是整厘米数，这样的长方形有　 　种。 13．（4分）（2023五上·惠来月考）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式，例如：4=2+2，6=3+3，8=3+5……。那么，20=　 　+　 　，30=　 　+　 　。 14．（2分）（2023五上·兰溪月考）从0、4、5、8、9中选取三个数字组成能被3整除的数。在这些数中最大的是　 　，最小的数是　 　。 15．（1分）（2023五上·期末）朵朵家的门牌号是一个四位数，最高位是4的最小倍数，百位上的数是10以内最大的奇数，十位是最小的质数，个位是7的最大因数。朵朵家的门牌号是　 　。 16．（1分）（2020五上·罗湖期中）修改3475中的一个数字，使这个四位数既是3的倍数又是5的倍数，修改后的四位数是　 　。 17．（1分）（2019五上·武侯期末）小于100的三个连续的自然数，其中最小的是3的倍数，中间的是5的倍数，最大的是7的倍数，这三个连续的自然数是　 　。 18．（1分）（2019五上·深圳期中）一个五位数35a2a能被3整除，它的末尾三个数字组成的三位数a2a能被2整除，这个五位数是　 　。 评卷人 得 分 四、解决问题(共12题；共66分) 19．（5分）（2023五上·福田）军区准备派出侦察队前往前线侦察敌情，这个侦察队共有45人。上级要求侦察时要进行分组执行，每组人数必须一样，且不能一人单独行动。那么这个侦察队有几种分组方法？ 20．（5分）五（1）班50多名学生参加跳绳比赛，进行分组，按每组7人，恰好分完，五（1）班参加跳绳比赛的学生分了多少组？ 21．（5分）中秋节当天，某食品店做了95个月饼进行销售，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 22．（5分）学校买来65盆鲜花，每5盆摆一个圆圈，能整好摆完吗？如果每3盆摆一个圆圈，至少需要拿走几盆花？如果每9盆摆一个圆圈，至少需要再买多少盆花？ 23．（6分）体育课上，五（1）班50名同学站成一列，同学们从前往后报数：1、2、3……49、50。 （1）（3分）所报的数是2的倍数的同学去跳绳，参加跳绳的有多少人？ （2）（3分）余下的同学中，所报的数是3的倍数的同学去踢毽子，参加踢毽子的有多少人？ 24．（5分）小林和小华去看十四运的比赛，他们两个的座位号之和是20，差不超过10，已知他们的座位号都是质数，他们的座位号分别是多少？ 25．（5分）一块长方形空地的周长是28米，它的长和宽都是整数米，且长是偶数，宽是质数，现在在这块空地内铺满草坪，铺草坪的面积是多少平方米？ 26．（6分）（2023五上·上蔡期中）用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少? 27．（6分）（2023五上·罗湖月考）食品店制作了45个馒头，如果每2个装一袋，能整好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 28．（6分）妈妈去文具店买文具。文具店里的笔记本每本8元，尺子每套4元，钢笔每支10元，妈妈各买了一些，付给营业员100元，找回25元，你能很快地判断出找回的钱对吗？写出你的判断理由。 29．（6分）爸爸今天拍了一些照片，比40张多，比50张少，放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。这些照片有多少张？ 30．（6分）笑笑用一根24厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长和宽刚好是整厘米数，且是两个质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级上册单元同步跟踪必刷卷（拔尖卷） 第三单元 倍数与因数 考试时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）（2024五上·坪山期末）从198里面减去（　　），可以使得到的数同时是2，3和5的倍数。 A．8 B．18 C．28 D．38 【答案】B 【规范解答】解：选项A，198-8=190，190是2、5的倍数，不是3的倍数； 选项B，198-18=180，180同时是2，3和5的倍数； 选项C，198-28=170，170是2、5的倍数，不是3的倍数； 选项D，198-38=160，160是2、5的倍数，不是3的倍数。 故答案为：B。 【思路点拨】同时是2、3、5的倍数的数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，个位是0；分别用198减去各选项的数，然后判断得数是否同时是2、3、5的倍数。 2．（2分）（2024五上·坪山期末）甲、乙、丙三个不相等的数，甲数是乙数的因数，丙数是乙数的倍数，那么甲数是丙数的（　　）。 A．倍数 B．因数 C．公倍数 D．无法确定 【答案】B 【规范解答】解：甲数是乙数的因数，则乙数是甲数的倍数，又知“ 丙数是乙数的倍数 ”，则丙是乙、甲的倍数，甲和乙都是丙的因数。 故答案为：B。 【思路点拨】整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a ；如果整数a能被整数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 3．（2分）（2024五上·坪山期末）哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是（　　）。 A．10=2+8 B．16=3+13 C．14=5+9 D．8=7+1 【答案】B 【规范解答】解：选项A， 10=2+8，10是偶数，2是质数，但是8是合数，与题意不符； 选项B， 16=3+13，16是偶数，3和13都是质数，与题意相符； 选项C， 14=5+9，14是偶数，5是质数，9是合数，与题意不符； 选项D， 8=7+1，8是偶数，7是质数，1既不是质数也不是合数，与题意不符。 故答案为：B。 【思路点拨】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；分别判断各选项的数据即可。 4．（2分）一筐鸡蛋，2个2个地数、3个3个地数、4个4个地数、5个5个地数，都正好数完，这筐鸡蛋至少有（　　）个。 A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【规范解答】4=2×2 2、3、4、5的最小公倍数是：2×2×3×5=60。 故答案为：B。 【思路点拨】根据题意可知，这筐鸡蛋个数是2、3、4、5的最小公倍数，用分解质因数的方法求最小公倍数，从质因数中，先找到几个数公有的质因数，再找到独有的质因数，它们相乘的积，就是这几个数的最小公倍数，据此解答。 5．（2分）（2022五上·婺城期末）用一定数量的小正方形去拼长方形，正好摆出了三种不同的长方形（含正方形），每次都用上所有的小正方形。则小正方形的个数一定（　　）。 A．是质数 B．是3的倍数 C．有3个因数 D．有5个或者6个因数 【答案】D 【规范解答】解：小正方形的个数一定有5个或者6个因数。 故答案为：D。 【思路点拨】要摆出了三种不同的长方形（含正方形），有以下两种情况：①需要3组不同的长和宽，此时小正方形个数的因数是6个；②需要2组不同的长和宽及一组正方形的边长，此时小正方形个数的因数是5个。 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分）（2023·鹿泉）所有的偶数都是合数，所有的质数都是奇数。 【答案】错误 【规范解答】解：2是偶数，也是质数。 故答案为：错误。 【思路点拨】；除了1和本身外还有其它因数的数是合数；只有1和本身两个因数的数是质数；2既是偶数，也是质数。 7．（2分）（2023五上·惠阳期末）自然数不是奇数就是偶数，不是合数就是质数。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：1既不是合数也不是质数。原题说法错误。 故答案为：错误。 【思路点拨】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 8．（2分）（2023五上·青岛期末）一个数是12的倍数，它一定也是3和4的倍数。（　　） 【答案】正确 【规范解答】解：12÷3=4，一个数是12的倍数，它一定也是3和4的倍数，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【思路点拨】12是3和4的倍数，所以一个数是12的倍数，它一定也是3和4的倍数。 9．（2分）（2021五上·惠城期中）每一个合数的因数个数都是偶数。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：如：4的因数有1、4、2，有3个，是奇数个； 6的因数有1、6、2、3，有4个，是偶数个；所以一个合数的因数个数可能是偶数也可能是奇数。 故答案为：错误。 【思路点拨】一个合数的因数个数可能是偶数也可能是奇数。 10．（2分）（2019五上·东源期末）用 ， ， ，三张数字卡片组成的同时是2，3和5的倍数的最小三位数是120。 【答案】正确 【规范解答】解：三张数字卡片组成的同时是2，3和5的倍数的最小三位数是120。原题说法正确。 故答案为：正确。 【思路点拨】同时是2、3、5的倍数的数的个位数字一定是0，组成的符合要求的数只有120，210，然后确定最小的数即可。 三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共14分) 11．（3分）（2024五上·东源期末）在1～10中，既不是合数也不是质数的是　 　，既是奇数又是合数的是　 　；既是偶数又是质数的是　 　． 【答案】1；9；2 【规范解答】解：1～10中质数有：2，3，5，7； 1～10中合数有：4，6，8，9，10； 1～10中既不是质数，也不是合数的是：1； 1～10中既是奇数，又是合数的是：9； 1～10中既是偶数，又是质数的是：2． 故答案为：1；9；2． 【思路点拨】根据题意可知，先写出1~10中的质数和合数，然后按条件找出既是奇数又是合数的数，既是偶数又是质数的数，据此解答. 12．（1分）（2023五上·惠城月考）面积是24㎡的长方形，如果长和宽都是整厘米数，这样的长方形有　 　种。 【答案】4 【规范解答】解：24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6，这样的长方形有4种。 故答案为：4。 【思路点拨】写出24的因数，共有4组，则这样的长方形有4种。 13．（4分）（2023五上·惠来月考）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式，例如：4=2+2，6=3+3，8=3+5……。那么，20=　 　+　 　，30=　 　+　 　。 【答案】3；17；11；19 【规范解答】解：20=3＋17（答案不唯一）； 30=11＋19（答案不唯一）。 故答案为：3；17；11；19。 【思路点拨】依据100以内的质数表填空。 14．（2分）（2023五上·兰溪月考）从0、4、5、8、9中选取三个数字组成能被3整除的数。在这些数中最大的是　 　，最小的数是　 　。 【答案】840；405 【规范解答】解：从0、4、5、8、9中选取三个数字组成能被3整除的数。在这些数中最大的是840，最小的数是405。 故答案为：840；405。 【思路点拨】各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。由此根据数字特征结合3的倍数特征确定最大的和最小的三位数即可。 15．（1分）（2023五上·期末）朵朵家的门牌号是一个四位数，最高位是4的最小倍数，百位上的数是10以内最大的奇数，十位是最小的质数，个位是7的最大因数。朵朵家的门牌号是　 　。 【答案】4927 【规范解答】解：4的最小倍数是4，10以内最大的奇数是9，最小是质数是2，7的最大因数是7，门牌号是4927。 故答案为：4927。 【思路点拨】一个数最小的倍数是本身，没有最大的倍数；奇数是不能被2整除的数；质数是只有1和本身两个因数的数；一个数最大的因数是本身，最小的因数是1。 16．（1分）（2020五上·罗湖期中）修改3475中的一个数字，使这个四位数既是3的倍数又是5的倍数，修改后的四位数是　 　。 【答案】2475 【规范解答】 修改3475中的一个数字，使这个四位数既是3的倍数又是5的倍数，修改后的四位数是2475。 故答案为：2475。 【思路点拨】观察这个数字可知，这个四位数的末尾是5，则这个数是5的倍数，要求它还是3的倍数，将四个数字相加是16，减去1或增加2，就是3的倍数，据此修改数字，此题答案不唯一。 17．（1分）（2019五上·武侯期末）小于100的三个连续的自然数，其中最小的是3的倍数，中间的是5的倍数，最大的是7的倍数，这三个连续的自然数是　 　。 【答案】54、55、56 【规范解答】100以内，3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99； 100以内，7的倍数有：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98； 100以内，5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95； 由此可知，满足条件的三个连续自然数是54、55、56。 故答案为：54、55、56。 【思路点拨】根据题意可知，先分别写出100以内3、5、7的倍数，然后找出符合条件的连续三个自然数。 18．（1分）（2019五上·深圳期中）一个五位数35a2a能被3整除，它的末尾三个数字组成的三位数a2a能被2整除，这个五位数是　 　。 【答案】35424 【规范解答】解：五位数35a2a能被3整除，它的末尾三个数字组成的三位数a2a能被2整除，说明a可能是0、2、4、6、8； 3＋5＋2 =8＋2 =10 10＋0×2=10，不能被3整除，排除； 10＋2×2 =10＋4 =14，不能被3整除，排除； 10＋4×2 =10＋8 =18，能被3整除； 10＋6×2 =10＋12 =22，不能被3整除，排除； 10＋8×2 =10＋16 =26，不能被3整除，排除； 所以a=4，这个五位数是35424。 故答案为：35424。 【思路点拨】个位上是0、2、4、6、8，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2和3的倍数。 四、解决问题(共12题；共66分) 19．（5分）（2023五上·福田）军区准备派出侦察队前往前线侦察敌情，这个侦察队共有45人。上级要求侦察时要进行分组执行，每组人数必须一样，且不能一人单独行动。那么这个侦察队有几种分组方法？ 【答案】解：45的因数有1、45、3、15、5、9，因为每组人数必须一样，且不能一人单独行动，则这个侦察队的分组方法有：①平均分成3组，每组15人、②平均分成15组，每组3人、③平均分成5组，每组9人、④平均分成9组，每组5人。 【思路点拨】先写出45的因数，有1、45、3、15、5、9，因为每组人数必须一样，且不能一人单独行动，那么就排除1和45，则剩余的数就是分的组数和平均每组的人数。 20．（5分）五（1）班50多名学生参加跳绳比赛，进行分组，按每组7人，恰好分完，五（1）班参加跳绳比赛的学生分了多少组？ 【答案】解：56÷7=8（组） 答：五（1）班参加跳绳比赛的学生分了8组。 【思路点拨】五（1）班50多名学生参加跳绳比赛，依据乘法口诀：七八五十六可知：56÷7=8组。 21．（5分）中秋节当天，某食品店做了95个月饼进行销售，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】解：每2个装一袋，不能正好装完；每5个装一袋，能正好装完；理由见详解 【思路点拨】个位上是0或者5的数是5的倍数；95是5的倍数，不是2的倍数，所以每2个装一袋，不能正好装完；每5个装一袋，能正好装完。 22．（5分）学校买来65盆鲜花，每5盆摆一个圆圈，能整好摆完吗？如果每3盆摆一个圆圈，至少需要拿走几盆花？如果每9盆摆一个圆圈，至少需要再买多少盆花？ 【答案】解：（1）因为65是5的13倍，所以每5盆摆一个圈，能正好摆完； （2）因为65÷3 =21......2（盆），所以如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花； （3）因为大于65且是9的整数倍的最小数是72，72 - 65=7 （盆）所以如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。 【思路点拨】第一问：个位上是0或5的数是5的倍数，65是5的倍数，所以能正好摆完； 第二问：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。可以用65除以3求出商和余数，余数就是至少需要拿走的盆数； 第三问：找出大于65的且是9的倍数的最小数，然后减去65即可求出至少需要再买的盆数。 23．（6分）体育课上，五（1）班50名同学站成一列，同学们从前往后报数：1、2、3……49、50。 （1）（3分）所报的数是2的倍数的同学去跳绳，参加跳绳的有多少人？ （2）（3分）余下的同学中，所报的数是3的倍数的同学去踢毽子，参加踢毽子的有多少人？ 【答案】（1）解：1-50之间2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50，共25个。 答：参加跳绳的有25人。 （2）解：余下的数是3的倍数的数有3、9、15、21、27、33、39、45，共8个。 答：参加踢毽子的有8人。 【思路点拨】（1）个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，找出1-50之间2的倍数即可确定参加跳绳的人数； （2）各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。找出余下的数字中3的倍数即可确定参加踢毽子的人数。 24．（5分）小林和小华去看十四运的比赛，他们两个的座位号之和是20，差不超过10，已知他们的座位号都是质数，他们的座位号分别是多少？ 【答案】解：13+7=20 13-7=6 答：他们的座位号分别是7号和13号。 【思路点拨】质数是只有1和本身两个因数的数。和是20的质数有3和17、7和13，根据差不超过10可以确定他们的座位号。 25．（5分）一块长方形空地的周长是28米，它的长和宽都是整数米，且长是偶数，宽是质数，现在在这块空地内铺满草坪，铺草坪的面积是多少平方米？ 【答案】解：28÷2=14（米） 12+2=14 12×2=24（平方米） 答：铺草坪的面积是24平方米。 【思路点拨】用周长除以2求出长与宽的和是14。14是偶数，长是偶数，那么宽也是偶数，因为又是质数，所以宽是2，长是12，由此计算面积即可。 26．（6分）（2023五上·上蔡期中）用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少? 【答案】解：40÷2=20(厘米) 相加是20的只数和合数的组合有：2+18；5+15；9+11 当长和宽是2和18时，面积是：18×2=36(平方厘米) 当长和宽是5和15时，面积是：15×5=75(平方厘米) 当长和宽是9和11时，面积是：11×9=99(平方厘米) 99＞75＞36，所以长方形的面积最大可能是99平方厘米。 答：围成的长方形的面积最大可能是99平方厘米。 【思路点拨】首先用长方形周长÷2求出长宽之和；再找到所有相加是20的一个质数和一个合数的组合；再根据长方形面积=长×宽，将符合要求的长和宽的数值代入计算，再进行比较找到最大的面积。 27．（6分）（2023五上·罗湖月考）食品店制作了45个馒头，如果每2个装一袋，能整好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】解：45不是2的倍数，每2个装一袋，不能正好装完；45是3的倍数，如果每3个装一袋，能正好装完。 【思路点拨】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；所以45不是2的倍数，每2个装一袋，不能正好装完；45是3的倍数，如果每3个装一袋，能正好装完。 28．（6分）妈妈去文具店买文具。文具店里的笔记本每本8元，尺子每套4元，钢笔每支10元，妈妈各买了一些，付给营业员100元，找回25元，你能很快地判断出找回的钱对吗？写出你的判断理由。 【答案】解：答：找回的钱不对。付给营业员100元，找回25元，说明买文具用了75元。钢笔每支10元，价钱可能是10，20，30，40元等，末尾是0，由此可推断出笔记本和尺子总价钱的末尾是5。8的倍数末尾是8，6，4，2，0，而4的倍数末尾是4，8，2，6，0，两个数的末尾相加不会出现5，所以找回25元不对。 【思路点拨】用去的钱=付出的钱-找回的钱；分别写出4、8、10的倍数的个位数字，都没有数字5，则判断找回的钱是错误的。 29．（6分）爸爸今天拍了一些照片，比40张多，比50张少，放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。这些照片有多少张？ 【答案】解：比40大但比50小的数中4的倍数有44，48。 44+1=45（张），45+1=46（张），46不是5的倍数。 48+1=49（张），49+1=50（张），50正好是5的倍数。 所以有49张照片。 答：这些照片有49张。 【思路点拨】根据题意可知，先写出比40大但比50小的数中4的倍数，然后根据条件，分别求出两个数，如果是5的倍数即可。 30．（6分）笑笑用一根24厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长和宽刚好是整厘米数，且是两个质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：24÷2=12（厘米） 5+7=12 5×7=35（平方厘米） 答：这个长方形的面积是35平方厘米。 【思路点拨】铁丝的长度就是长方形的周长，用周长除以2求出长与宽的和。然后根据质数的特征确定长和宽，再计算面积即可。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$