第2章 一元二次方程—— 一元二次方程的实际应用问题 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程的实际应用问题 Target1 一元二次方程实际应用 举一反三 · 题型1 数字问题 例1.（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数． 【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（　　） A．10（x+3）+x＝x2 B．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2 C．10（x﹣3）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝（x﹣3）2 【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　　． · 题型2 传播问题 例2.（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2-1】（2022•长兴县校级期中）截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为 　 ；n轮感染后，被感染的活禽只数为 　 　只．（用含n的代数式表示） 【变式2-2】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【变式2-3】（2022秋•武汉月考）某种传染病，传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干人． （1）现有一人患病，开始两天共有225人患病，求一人传染给几个人？ （2）两天后人们有所察觉，这样平均一人一天以少传染5人的速度递减，求再经过两天后，共有几人患病？ · 题型3 树枝分叉问题 例3.（2022•河西区期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？ 若设每个枝干长出x个小分支． （Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表： ①主干的数目为 　 　； ②从主干中长出的枝干的数目为 　 　；（用含x的式子表示） ③又从上述枝干中长出的小分支的数目为 　 　；（用含x的式子表示） （Ⅱ）完成问题的求解． 【变式3-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43 【变式3-2】（2018秋•同安区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（　　）小分支． A．7根 B．6根 C．5根 D．4根 【变式3-3】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 · 题型4 握手问题（比赛、互赠贺卡） 例4.（2022秋•市北区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都彼此握了一次手，有 人统计一共握了 66 次手，求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为 x ，则根据题意可列方程 【变式4-1】（2022 秋•胶州市校级月考）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛， 赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排 15 场比赛，则八年级班级的个数为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【变式4-2】（2022•市南区校级开学）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1056 张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A ． x(x +1) = 1056 B ． x(x —1) = 1056 × 2 C ． x(x —1) = 1056 D ． 2x(x +1) = 1056 【变式4-3】（2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ · 题型5 增长率问题 例题5.（2022 秋•市北区校级期末）某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准 化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2022 年区政府已 投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2024 年投资 7.2 亿元人民币，设每年 投资的增长率 x ，根据题意，可列方程为 . 【变式5-1】（2022 秋•李沧区校级期末）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快 速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止 2023 年底某市汽车拥有量为 19.6 万辆．已知 2021 年底该市汽车拥有量为 10 万辆，如果设 2021 年底至 2023年底该市汽车拥有量的年均增长率为 x ，那么根据题意列出的方程为 ( ) A .10(1 + x)2 = 19.6 B.10(1 + 2x) = 19.6 C .10(1 - x)2 = 19.6 D .10(1 - 2x) = 19.6 【变式5-2】（2022 秋•市北区校级期末）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价 由 560 元降为 315 元，已知第二次降价的百分率是第一次的 2 倍，求第一次降价的百分率．第一次降价的百分率为 x ，下面所列的方程中正确的是 ( ) A .560(1+ x)2 = 315 B .560 (1- x)2 = 315 C.560(1- 2x)2 = 315 D .560 (1- x)(1-2x) = 315 【变式5-3】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个。设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A.50(1+x)2=182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+2x)＝182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)=182 【变式5-4】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．20% B．11% C．22% D．44% · 题型6 几何相关问题 例6-1.（2022 秋•胶州市校级月考）如图，在一块长为16m ，宽为10m 的矩形空地中，修 建 2 条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135m2设道路的宽度为 x m ，则可列方程为 ( ) A . 16 × 10 -10x -16x = 135 B. (16 - x)(10 - x) + x2 = 135 C . (16 - x)(10 - x) = 135 D ． 16x + 10 = 135 例6-2.（2022•峄城区期末）有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为　 　． 例6-3.（2023春·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？ 【变式6-1】（2022 秋•崂山区期中）如图，一张长方形纸板长 40cm ，宽 30cm ，剪掉 2 个小 正方形和2 个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒， 若纸盒底面 ABCD 的面积等于 300cm2 ，设剪掉的小正方形边长为x cm ，则根据题意可得方 程 ( ) A .(20 - x)(30 - 2x) = 300 B.(20 - x)(30 - x) = 300 C.(20 - 2x)(30 - x) = 300 D.(20 - 2x)(30 - 2x) = 300 【变式6-2】（2022 秋•青岛期中）在一幅长 60m，宽 40m 的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，要使观光小道的总面积是 2816m2，设观光小道的宽为 x m，那 么 x 满足的方程是 ( ) A. 2x(60 + 2x) + 2x(40 + 2x) = 2816 B.(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816 C.(60 + 2x)(40 + 2x) - 2400 = 2816 D.x(60 + 2x) + x(40 + 2x) = 2816 【变式6-3】（2023春·重庆大渡口·九年级校考期末）（1）如图1，在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为40m，宽为30m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ · 题型7 利润问题 例7.（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（　　） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 【变式7-1】（2022春•乳山市期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　 　元． 【变式7-2】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以2元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍． （1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出 　 　件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【变式7-3】（2023秋季·市南区期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 混合训练 1. 已知长方形硬纸板 ABCD 的长 BC 为 40cm ， 宽 CD 为 30cm ，按如图所示剪掉 2 个小正方形和2 个小长方形（即图中阴影部分），剩余部 分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 x cm （纸板的厚度忽略不 计） （1） EF = cm ， GH = cm ； (用含 x 的代数式表示) （2）若折成的长方体盒子底面M 的面积为 300cm2 ，则剪掉的小正方形的边长 cm . 2.（2022 秋•市南区期中）如图，用长为 22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最 大可用长度为 14 米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱 笆花圃时，在 BC 上用其他材料做了宽为 1 米的两扇小门. （1）设花圃的一边 AB 长为 x 米，请你用含 x 的代数式表示另一边 AD 的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为 45m2 ，求此时花圃的长与宽. 3.（2022.青大附中九年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆． (1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润． (2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？ 4.（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值． 培优训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝5cm，E是AD上一点，DE＝3cm，连接BE、CE．点P从点C出发，沿CE方向向点E匀速运动，运动速度2cm/s，同时点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，运动速度均为1cm/s，连接PQ． 设点P、Q的运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，△PQC是等腰三角形？ （2）设五边形ABQPE的面积为（cm2），求与t之间的函数关系式． （3）是否存在某一时刻t，使得S五边形ABQPE∶S矩形ABCD＝23∶50？若存在，求出t值，并求出此时PQ的长；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 一元二次方程的实际应用解析版 Target1 一元二次方程实际应用 举一反三 · 题型1 数字问题 例1.（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数． 【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数＝1008列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可． 【解答】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6﹣x）， 根据题意可知，[10（6﹣x）+x][10x+（6﹣x）]＝1008， 即x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4， ∴6﹣x＝4，或6﹣x＝2， ∴10（6﹣x）+x＝42或10（6﹣x）+x＝24， 答：这个两位数是42或24． 【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（　　） A．10（x+3）+x＝x2 B．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2 C．10（x﹣3）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝（x﹣3）2 【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可． 【解答】解：根据题意，可得10（x﹣3）+x＝x2， 故选：C． 【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　84　． 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4）， 依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4， 整理得：x1＝4，x2＝﹣5． 又∵x为非负整数， ∴x＝4， ∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84． 故答案为：84． · 题型2 传播问题 例2.（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】根据“有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎”列方程即可得到答案． 【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝169， 即（1+m）2＝169． 解得：m1＝12，m2＝﹣14（不合题意，舍去）． 故选：B． 【变式2-1】（2022•长兴县校级期中）截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为 　（x+1）2＝36　；n轮感染后，被感染的活禽只数为 　6n　只．（用含n的代数式表示） 【分析】可设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只，则第一轮后共有1+x只感染，两轮后有1+x+x（1+x）知感染，列出方程求解即可； 【解答】解：设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只， 则由题意知：1+x+x（1+x）＝36 整理得：（x+1）2＝36 解得x1＝5，x2＝﹣7（舍去） n轮感染后，被感染的活禽只数为（5+1）n＝6n 故答案为：（x+1）2＝36；6n 【变式2-2】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝81， 整理得（1+x）2＝81， 则x+1＝9或x+1＝﹣9， 解得x1＝8，x2＝﹣10（舍去）， ∴（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【变式2-3】（2022秋•武汉月考）某种传染病，传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干人． （1）现有一人患病，开始两天共有225人患病，求一人传染给几个人？ （2）两天后人们有所察觉，这样平均一人一天以少传染5人的速度递减，求再经过两天后，共有几人患病？ 【分析】（1）设每天一人传染了x人，根据题意可得：第一天患病的人数为1+1×传播的人数；第一天患病人数将成为第二天的传染源，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225； （2）根据题意可得：再过两天的患病人数＝225+225×（原来的传播人数﹣5）+前3天一共患病的人数×（第3天的传播人数﹣5）． 【解答】解：（1）设每天一人传染了x人，由题意得： 1+x+（1+x）×x＝225， （1+x）2＝225， ∵1+x＞0， ∴1+x＝15， x＝14． 答：每天一人传染了14人； （2）再过两天的患病人数＝225+225×（14﹣5）+[225+225×（14﹣5）]×（14﹣5﹣5）＝11250． 答：共有11250人患病． · 题型3 树枝分叉问题 例3.（2022•河西区期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？ 若设每个枝干长出x个小分支． （Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表： ①主干的数目为 　 　； ②从主干中长出的枝干的数目为 　 　；（用含x的式子表示） ③又从上述枝干中长出的小分支的数目为 　 　；（用含x的式子表示） （Ⅱ）完成问题的求解． 【分析】（I）根据主干为1及每个枝干长出x个小分支，即可得出各小问的结论； （II）根据主干+枝干数目+枝干数目×枝干数目＝91，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：①主干的数目为1； ②从主干中长出的枝干的数目为x； ③又从上述枝干中长出的小分支的数目为x2； 故答案为：①1；②x；③x2； （Ⅱ）依题意，得：1+x+x2＝91， 整理，得：x2+x﹣90＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每个枝干长出9个小分支． 【变式3-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43 【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程得：x2+x+1＝43． 故选：B． 【变式3-2】（2018秋•同安区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（　　）小分支． A．7根 B．6根 C．5根 D．4根 【分析】设每个枝干长出x根小分支，则可表示出主干、枝干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【解答】解：设每个枝干长出x根小分支， 根据题意可得：1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0， 分解因式得：（x+6）（x﹣5）＝0， 解得：x＝5或x＝﹣6（舍去）， ∴每个枝干长出5根小分支， 故选：C． 【变式3-3】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：1+x+x2＝57， 整理得：x2+x﹣56＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 故选：B． · 题型4 握手问题（比赛、互赠贺卡） 例 4.（2022 秋•市北区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有 人统计一共握了 66 次手，求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为 x ，则根据题意可列方程 【解答】解：设这次会议到会人数为 x ， 依题意 . 故答案为 = 66 . 【变式 4-1】（2022 秋•胶州市校级月考）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛， 赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排 15 场比赛，则八年级班级的个数为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【解答】解：设八年级有 x 个班， 依题意得 ，整理得： x2 - x - 30 = 0 ， 解得： x1 = 6 ， x2 = -5 （不合题意，舍去）. 故选： B . 【变式 4-2】（2022•市南区校级开学）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1056 张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A ． x(x +1) = 1056 B ． x(x —1) = 1056 × 2 C ． x(x —1) = 1056 D ． 2x(x +1) = 1056 【解答】解： :全班有 x 名同学， :每名同学要送出 (x —1) 张； 又: 是互送照片， : 总共送的张数应该是 x(x —1) = 1056 . 故选： C . 【变式4-3】（2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 【分析】（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，根据“一共组织30场比赛”列出方程并解答； （2）根据计分规则计算总积分． 【解答】解：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛， 依题意得，x（x﹣1）＝30， 解方程得，x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， （2）（10﹣4﹣2）×3+4×1+2×0＝16， 答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分． · 题型5 增长率问题 例题5.（2022 秋•市北区校级期末）某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准 化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2022 年区政府已 投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2024 年投资 7.2 亿元人民币，设每年 投资的增长率 x ，根据题意，可列方程为 . 【解答】解：根据题意得 5(1 + x)2 = 7.2 ， 故答案为： 5(1 + x)2 = 7.2 . 【变式5-1】（2022 秋•李沧区校级期末）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快 速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止 2023 年底某市汽车拥有量为 19.6 万辆．已知 2021 年底该市汽车拥有量为 10 万辆，如果设 2021 年底至 2023年底该市汽车拥有量的年均增长率为 x ，那么根据题意列出的方程为 ( ) A ． 10(1 + x)2 = 19.6 B ． 10(1 + 2x) = 19.6 C ． 10(1 - x)2 = 19.6 D ． 10(1 - 2x) = 19.6 【解答】解：根据题意得10(1 + x)2 = 19.6 ， 故选： A . 【变式5-2】（2022 秋•市北区校级期末）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价 由 560 元降为 315 元，已知第二次降价的百分率是第一次的 2 倍，求第一次降价的百分率． 第一次降价的百分率为 x ，下面所列的方程中正确的是 ( ) A ． 560(1+ x)2 = 315 B ．560 (1一 x)2 = 315 C ． 560(1一 2x)2 = 315 D ．560 (1一 x)(1一 2x) = 315 【解答】解： 由题意可得， 560(1 一 x)(1 -2x) = 315 ，故选： D . 【变式5-3】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个。设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A.50(1+x)2=182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+2x)＝182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)=182 【解答】解： 由题意可得，B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182 ，故选： B . 【变式5-4】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．20% B．11% C．22% D．44% 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答案． 【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2＝1+44%， 解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选：A． · 题型6 几何相关问题 例6-1.（2022 秋•胶州市校级月考）如图，在一块长为16m ，宽为10m 的矩形空地中，修 建 2 条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135m2设道路的宽度为 x m ，则可列方程为 ( ) A . 16 × 10 -10x -16x = 135 B. (16 - x)(10 - x) + x2 = 135 C . (16 - x)(10 - x) = 135 D ． 16x + 10 = 135 【解答】解：根据题意，得 (16 - x)(10 - x) = 135 ， 故选： C . 例6-2（2022•峄城区期末）有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为　5cm　． 【分析】本题设纸盒的高为xcm，表示出纸盒底面的长和宽，根据面积为600cm2即可列出一元二次方程求解． 【解答】解：设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，可列方程： （40﹣2x）（30﹣2x）＝600， 解得：x1＝5，x2＝30（舍去）， ∴纸盒的高为5cm， 例6-3（2023春·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？    【答案】鸡舍的边长、分别是9米，10米． 【分析】设的长度为米，则的长度为米，的长度为米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米，的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 即，， 答：鸡舍的边长、分别是9米，10米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键． 【变式6-1】（2022 秋•崂山区期中）如图，一张长方形纸板长 40cm ，宽 30cm ，剪掉 2 个小 正方形和2 个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒， 若纸盒底面 ABCD 的面积等于 300cm2 ，设剪掉的小正方形边长为x cm ，则根据题意可得方 程 ( ) A ． (20 - x)(30 - 2x) = 300 B ． (20 - x)(30 - x) = 300 C ． (20 - 2x)(30 - x) = 300 D ． (20 - 2x)(30 - 2x) = 300 【解答】解： : 剪掉的小正方形边长为 x cm ， : 折成的纸盒底面 ABCD 是长为cm ，宽为 的长方形. 依题意得： (20 - x)(30 - 2x) = 300 . 故选： A . 【变式6-2】（2022 秋•青岛期中）在一幅长 60m ，宽 40m 的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是 2816m2 ，设观光小道的宽为 x m ，那 么 x 满足的方程是 ( ) A ． 2x(60 + 2x) + 2x(40 + 2x) = 2816 B ． (60 + 2x)(40 + 2x) = 2816 C ． (60 + 2x)(40 + 2x) - 2400 = 2816 D ． x(60 + 2x) + x(40 + 2x) = 2816 【解答】解：根据题意得： (60 + 2x)(40 + 2x) - 60× 40 = 2816 ， 即 (60 + 2x)(40 + 2x) - 2400 = 2816 ， 故选： C . 【变式6-3】（2023春·重庆大渡口·九年级校考期末）（1）如图1，在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为40m，宽为30m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用平移的性质得到等式，求解即可； （2）设道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的二分之一列得方程解答． 【详解】解：（1）设道路的宽度是，则 ， 解得（舍去）， 答：道路的宽度为； （2）设道路的宽度为，则 解得（不合题意，舍去）， 答：道路的宽度为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． · 题型7 利润问题 例7.（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（　　） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值． 【解答】解：根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200， 整理得：x2﹣150x+5600＝0． 解得：x1＝70，x2＝80． 当x＝70时，利润率100%＝40%＜50%，符合题意； 当x＝80时，利润率100%＝60%＞50%，不合题意，舍去． 所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元． 故选：A． 【变式7-1】（2022春•乳山市期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　50　元． 【分析】设售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解，结合“从消费者的角度考虑”取舍后可得． 【解答】解：设售价为x元， 根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000， 解得：x＝50或x＝80， 从消费者的角度考虑， x＝80舍去， 答：这种台灯的售价应定为50元． 故答案为：50． 【变式7-2】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以2元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍． （1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出 　450　件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【分析】（1）直接利用每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，进而得出当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出的件数； （2）利用销量×每件利润＝800，进而得出等式求出答案． 【解答】解：（1）∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件， ∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500﹣10450（件）； 故答案为：450； （2）设定价x元， 由题意得：（x﹣2）（50010）＝800， 解得：x1＝4，x2＝6， ∵售价不能超过批发价的2.5倍， ∴x＝4， 答：定价为4元． 【变式7-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可； （2）利用总利润单件利润销售数量，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：或（舍）； ∴四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； ∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键． 1. 已知长方形硬纸板 ABCD 的长 BC 为 40cm ， 宽 CD 为 30cm ，按如图所示剪掉 2 个小正方形和2 个小长方形（即图中阴影部分），剩余部 分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 x cm （纸板的厚度忽略不 计）混合训练 （1） EF = cm ， GH = cm ； (用含 x 的代数式表示) （2）若折成的长方体盒子底面M 的面积为 300cm2 ，则剪掉的小正方形的边长 cm . 【解答】解：（1）依题意得： EF = cm ， GH = 故答案为： (30 — 2x) ； (20 — x) . （2）依题意得： (30 — 2x)(20 — x) = 300 ， 整理得： x2 -35x + 150 = 0 ， 解得： x1 = 5 ， x2 = 30 ， 当 x = 5 时， 30 — 2x = 30 — 2× 5 = 20 > 0 ，符合题意； 当 x = 30 时， 30 — 2x = 30 — 2× 30 = —30 < 0 ，不符合题意，舍去， : 剪掉的小正方形的边长为 5cm . 故答案为：5 . 2.（2022 秋•市南区期中）如图，用长为 22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最 大可用长度为 14 米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱 笆花圃时，在 BC 上用其他材料做了宽为 1 米的两扇小门. （1）设花圃的一边 AB 长为 x 米，请你用含 x 的代数式表示另一边 AD 的长为 24 — 3x 米； （2）若此时花圃的面积刚好为 45m2 ，求此时花圃的长与宽. 【解答】解：（1）设宽 AB 为 x ， 则长 AD = BC = 22 — 3x + 2 = (24 — 3x) 米； （2） 由题意可得： (22 — 3x + 2)x = 45 ， 解得： x1 = 3 ； x2 = 5 ，: 当 AB = 3 时， BC = 15 > 14 ，不符合题意舍去， 当 AB = 5 时， BC = 9 ，满足题意.答：花圃的长为 9 米，宽为 5 米. 3.（2022.青大附中九年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆． (1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润． (2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？ 【答案】(1)平均每周的销售利润是万元 (2)每辆汽车的售价定为万元更合适 【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，即可求出当售价为万元辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润一辆汽车的利润销售数量列式计算； （2）设每辆汽车降价万元，根据每辆的盈利销售的辆数万元，列方程求出的值，进而得到每辆汽车的售价． 【详解】（1）解：∵当售价为万元辆时，平均每周销量为：（辆， ∴平均每周利润为：（万元）， 答：平均每周的销售利润是万元； （2）解：设每辆汽车的售价是万元， ． 化简，得， ， 解得：，， 由于希望增大销量，定价万元售价更合适， 答：每辆汽车的售价定为万元更合适． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键． 4.（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值． 【分析】（1）设打x折销售，根据利润率10%，列方程可得结论； （2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售m%，依此列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%， 由题意得：10%， x≥8.8， 答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%； （2）由题意得：5000（1m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000， 5（1）（50m+m﹣40）＝49， m2﹣5m﹣6＝0， m1＝6，m2＝﹣1（舍）． 培优训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝5cm，E是AD上一点，DE＝3cm，连接BE、CE．点P从点C出发，沿CE方向向点E匀速运动，运动速度2cm/s，同时点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，运动速度均为1cm/s，连接PQ． 设点P、Q的运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，△PQC是等腰三角形？ （2）设五边形ABQPE的面积为（cm2），求与t之间的函数关系式． （3）是否存在某一时刻t，使得S五边形ABQPE∶S矩形ABCD＝23∶50？若存在，求出t的值，并求出此时PQ的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或或；（2）；（3）存在，， 【解析】 【分析】（1）是等腰三角形有三种情况：①PQ=PC；②CP=CQ；③PQ=CQ列式求解即可； （2）根据可得函数关系式； （3）根据题意列出方程求得t的值，得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）是等腰三角形有三种情况： ①PQ=PC；②CP=CQ；③PQ=CQ 过点P作PM⊥BC于点M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4cm ∵DE＝3cm， ∴ ∴，, 由题意得，PC=2tcm，BQ=tcm ∴CQ=BC-BQ=(5-t)cm， ∵AD//BC ∴ ∴， ∴ 又 ∴ 又， ∴= ①CP＝PQ时， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符合题意，舍去 ∴ ②CP＝CQ时， ∴； ③PQ＝CQ时， 解得，， 经检验，，是原方程的根，但不符合题意，舍去 ∴ 综上，当或或时，△PQC是等腰三角形； （2）由（1）图得， ． （3根据题意得， 解得：（舍去） 在中， 由勾股定理得： 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$