13.5　逆命题与逆定理 课件2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

第13章 全等三角形 13.5　逆命题与逆定理 第1课时　互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命 题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把 其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它 的 ⁠. 注意：（1）每一个命题都有逆命题； （2）原命题正确，它的逆命题未必正确，一个假命题 的逆命题可能是真命题. 结论　 条件　 逆命题　 知识导航 2. 互逆定理 如果一个定理的 也是定理，那么这两个定理 叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的 ⁠ ⁠. 注意：（1）互逆定理是一种特殊的互逆命题，即原命 题与逆命题都是定理； （2）一个定理不一定有逆定理，因为一个定理的逆命 题可能是假命题，也可能是真命题. 逆命题　 逆 定理　 知识导航 题型一　互逆命题的概念　 已知下列命题：①若 a ≤0，则 ＝－ a ；②若 ma2 ＞ na2，则 m ＞ n ；③两直线平行，内错角相等. 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　C　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 典例导思 [思维点拨] 要确定互逆命题，首先要找出每个命题的条 件和结论，再将条件和结论互换；互逆命题的真假无必 然联系，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题， 而原命题是假命题，其逆命题也可能是真命题. 典例导思 1. 下列命题中，逆命题是假命题的是（　D　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 平方根等于它本身的数是0 D. 全等三角形的对应角相等 D 典例导思 2. 写出命题“互为倒数的两个数乘积为1”的逆命 题： ⁠. 如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数 　 典例导思 3. 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假. （1）如果 a ＝ b ，那么 a2＝ b2； 解：（1）逆命题为：如果 a2＝ b2，那么 a ＝ b .它是 假命题. （2）相等的两个角一定是对顶角； 解：（2）逆命题为：如果两个角是对顶角，那么这两 个角相等.它是真命题. 典例导思 （3）如果 ＝ ，那么 a ＝ b . 解：（3）逆命题为：如果 a ＝ b ，那么 ＝ .它是真 命题. 典例导思 题型二　互逆定理的概念　 写出下列定理的逆命题，并判断两者是否互为逆定理. （1）等腰三角形的两底角相等； 解：（1）逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.它是真命题，与原定理互为逆定理. （2）三角形的外角和等于360°； 解：（2）逆命题为：外角和等于360°的多边形是三角形.它是假命题，与原定理不互为逆定理. 典例导思 （3）等角的余角相等. 解：（3）逆命题为：如果两个角的余角相等，那么这 两个角相等，它是真命题，与原定理互为逆定理. [方法总结] 判断一个定理是否有逆定理的基本步骤：① 确定定理的逆命题；②判断逆命题的真假. 典例导思 4. 下列定理中，没有逆定理的是（　C　） A. 内错角相等，两直线平行 B. 全等三角形对应边相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 C 典例导思 5. 命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是 ⁠ ，这两个命题 （填 “是”或“不是”）互逆定理. 互 为补角的两个角的和为180°　 是　 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.5　逆命题与逆定理 第2课时　线段垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ⁠. 　图1 相等　 符号语言： 如图1，已知线段 AB ，若直线 l ⊥ AB ，垂足为 C ，且 AC ＝ CB ，点 P 在直线 l 上，则 PA ＝ PB . 知识导航 2. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的 上. 　图2 符号语言： 如图2，已知线段 AB ， P 是平面内一点，且 PA ＝ PB . 则点 P 在 AB 的垂直平分线 l 上. 垂直平分线　 知识导航 注意：（1）要证明一条直线是线段的垂直平分线，只 需证明这条直线上的两点到线段两个端点的距离相等； （2）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 知识导航 题型一　线段垂直平分线的性质定理的应用 （1）如图1，∠ C ＝90°， AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ，连结 AD ，若∠ CAD ＝20°，则∠ B 等于 （　C　） 图1 A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° C 典例导思 （2）如图2，在△ ABC 中， BC 边上两点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 的垂直平分线上，若 BC ＝24，则△ ADE 的周 长为（　C　） 图2 A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 　　 C 典例导思 （3）已知，如图3，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝ 120°， BC ＝8cm， AB 的垂直平分线交 BC 于点 M ，交 AB 于点 D ， AC 的垂直平分线交 BC 于点 N ，交 AC 于点 E ，则 BN 的长为 ⁠. 图3 cm　 典例导思 [思维点拨] 遇到线段的垂直平分线，常常连结垂直平分 线上的点和线段的端点作为辅助线，然后应用垂直平分 线的性质，转化为等腰三角形解决问题. 典例导思 （第1题） 1. 如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连结 BD . 若 AC ＝6， AD ＝2，则 BD 的长为（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 C 典例导思 2. 如图，∠ BAC ＝105°， AB ＝ AC ，若 MP 和 NQ 分别 垂直平分 AB 和 AC ，则∠ PAQ 的度数是（　C　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 45° （第2题） C 典例导思 3. （2023·辽宁）如图，在△ ABC 中， E 是 BC 边上的一 点，连结 AE ， BD 垂直平分 AE ，垂足为 F ，交 AC 于点 D ，连结 DE . （1）若△ ABC 的周长为19，△ DEC 的周长为7，求 AB 的长； （第3题） 典例导思 解：（1）∵ BD 是线段 AE 的垂直平 分线， ∴ AB ＝ BE ， AD ＝ DE . ∵△ ABC 的周长为19，△ DEC 的周长 为7， ∴ AB ＋ BE ＋ EC ＋ CD ＋ AD ＝19， CD ＋ EC ＋ DE ＝ CD ＋ EC ＋ AD ＝ 7， ∴ AB ＋ BE ＝19－7＝12，∴ AB ＝6. （第3题） 典例导思 （2）若∠ ABC ＝35°，∠ C ＝50°，求∠ CDE 的度数. 解：（2）∵∠ ABC ＝35°，∠ C ＝50°， ∴∠ BAC ＝180°－35°－50°＝95°. 在△ BAD 和△ BED 中， ∴△ BAD ≌△ BED （S. S. S. ）， ∴∠ BED ＝∠ BAC ＝95°， ∴∠ CDE ＝∠ BED －∠ C ＝95°－50°＝45°. （第3题） 典例导思 题型二　线段垂直平分线的性质定理的逆定理的应用 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AE ＝ AD ，且 BD 和 CE 交于点 O ，求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 典例导思 [分析] 要证点 O 在 BC 的垂直平分线上，只需证明 OB ＝ OC ，即证明∠ OBC ＝∠ OCB . 又已知 AB ＝ AC ，则∠ ABC ＝∠ ACB ，结合 AE ＝ AD 的条件，可通过证明△ ABD ≌△ ACE ，得∠ ABD ＝∠ ACE ，则命题可证. 典例导思 证明：在△ ACE 和△ ABD 中， ∵ AC ＝ AB ，∠ A ＝∠ A ， AE ＝ AD ， ∴△ ACE ≌△ ABD （S. A. S. ）， ∴∠ ACE ＝∠ ABD . ∵ AC ＝ AB ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ， ∴∠ ABC －∠ ABD ＝∠ ACB －∠ ACE ， 即∠ OBC ＝∠ OCB ，∴ OB ＝ OC ， ∴点 O 在 BC 的垂直平分线上. 典例导思 [方法总结] 要证明某点在线段的垂直平分线上，只需证 明该点与线段两端点间的距离相等即可.证明时，可通 过结论，采用逆推的办法，结合已知条件，层层递进， 找到解决问题的突破口. 典例导思 4. A 、 B 、 C 分别表示三个村庄并且构成了一个三角 形，在社会主义新农村建设中，为丰富群众生活，拟建 一个文化活动中心，要求三个村庄到活动中心的距离相 等，则活动中心 P 的位置应是（　C　） A. △ ABC 三边中线的交点 B. △ ABC 三条内角平分线的交点 C. △ ABC 三边垂直平分线的交点 D. △ ABC 三边高的交点 C 典例导思 5. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 上一 点， BD ＝ BC ，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E ，求 证： BE 垂直平分 CD . （第5题） 典例导思 证明：∵∠ ACB ＝90°， DE ⊥ AB ， ∴∠ ACB ＝∠ BDE ＝90°. 在Rt△ BDE 和Rt△ BCE 中， ∴Rt△ BDE ≌Rt△ BCE ， ∴ ED ＝ EC . ∴点 E 在线段 DC 的垂直平分线上. ∵ BD ＝ BC ， ∴点 B 在线段 DC 的垂直平分线上. ∴ BE 垂直平分 CD . （第5题） 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.5　逆命题与逆定理 第3课时　角平分线 1. 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的 相等. 注意：角平分线的性质定理必须满足两个条件：①点在 角平分线上；②过这点作角两边的垂线. 距离　 知识导航 符号语言： 如图，若 OC 平分∠ AOB ，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB ，则 PD ＝ PE . 注意：（1）不能直接得到 OE ＝ OD ； （2）角是一个轴对称图形，对称轴是角平分线所在的 直线. 知识导航 2. 角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到 相等的点在角的平分线上. 拓展：三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形 三边的距离相等. 注意：“距离”指点到角两边的垂线段的长度. 角两边距离　 知识导航 符号语言： 如图，在∠ AOB 中，若 PC ⊥ OA 于点 C ， PD ⊥ OB 于 点 D ，且 PC ＝ PD ，则点 P 在∠ AOB 的平分线 OE 上， 即 OP 平分∠ AOB . 知识导航 题型一　角平分线的性质定理的应用　 （1）如图1，在Rt△ ABC 中，∠ A ＝90°，∠ ABC 的平分线交 AC 于点 D ， AD ＝3， BC ＝10，则△ BDC 的面积是（　A　） 图1 A. 15 B. 12 C. 30 D. 10 A 典例导思 （2）如图2，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ， BD ＝ CD . 求证：∠ B ＝∠ C . 　图2 证明：∵ AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ， ∴ DE ＝ DF . 在Rt△ BDE 和Rt△ CDF 中， ∵ BD ＝ CD ， DE ＝ DF ， ∴Rt△ BDE ≌Rt△ CDF （H. L. ）. ∴∠ B ＝∠ C . 典例导思 如图，在四边形 ABCD 中， BC ＞ BA ， AD ＝ DC ， BD 平分∠ ABC . 求证：∠ BAD ＋∠ C ＝180°. 典例导思 证明：如答案图，过点 D 作 DE ⊥ BA 交 BA 的延长线于点 E ，过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F . ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴ DE ＝ DF . 在Rt△ AED 和Rt△ CFD 中， ∵ AD ＝ CD ， DE ＝ DF ， ∴Rt△ AED ≌Rt△ CFD （H. L. ）， ∴∠ EAD ＝∠ C . ∵∠ BAD ＋∠ EAD ＝180°， ∴∠ BAD ＋∠ C ＝180°. （答案图） 典例导思 [方法点拨] 若题目中存在角平分线，可添加角平分线上 的点到角两边的垂线段，构造全等三角形，为进一步解 题创造条件. 典例导思 1. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， AB ＝4， AC ＝2，若△ ACD 的面积等于3，则△ ABD 的面积为 （　C　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 12 （第1题） C 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ， AC 、 BC 分别平分∠ BAD 和∠ ABE . 点 C 在线段 DE 上.若 AD ＝5， BE ＝2，则 AB 的长是 ⁠. （第2题） 7　 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝60°，∠ BAC 、∠ ACB 的 平分线 AE 、 CF 相交于点 O . 求证： OE ＝ OF . 　 （第3题） （答案图） 典例导思 证明：如答案图，过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ， OM ⊥ BC 于点 M ， ON ⊥ AB 于点 N ，连结 OB . ∵ AE 平分∠ BAC ， CF 平分∠ ACB ， ∴ OH ＝ ON ， OH ＝ OM . ∴ OM ＝ ON . ∴ BO 平分∠ ABC . （答案图） 典例导思 （答案图） 又∵∠ OEM ＝∠ ABC ＋ ∠ BAC ＝60°＋ ∠ BAC ，∠ OFN ＝∠ BAC ＋ ∠ ACB ＝ （∠ BAC ＋∠ ACB ）＋ ∠ BAC ＝ ×（180°－∠ ABC ）＋ ∠ BAC ＝60°＋ ∠ BAC ， 典例导思 ∴∠ OEM ＝∠ OFN . 在△ ONF 和△ OME 中， ∵∠ OFN ＝∠ OEM ， ∠ ONF ＝∠ OME ＝90°， ON ＝ OM ， ∴△ ONF ≌△ OME （A. A. S. ）. ∴ OE ＝ OF . （答案图） 典例导思 （1）若点 P 到直线 BA 的距离是5 cm， 求点 P 到直线 BC 的距离； 题型二　角平分线的性质定理的逆定理的应用 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的平分线与∠ ACE 的 平分线交于点 P ， PD ⊥ AC 于点 D ， PH ⊥ BA 于点 H ， 连结 AP . 典例导思 （答案图） （1）解：过点 P 作 PF ⊥ BE 于点 F ， 如答案图. ∵ BP 平分∠ ABC ， PH ⊥ BA ， PF ⊥ BE ， ∴ PH ＝ PF ＝5 cm. ∴点 P 到直线 BC 的距离为5 cm. 典例导思 （2）证明：∵ CP 平分∠ ACE ， PD ⊥ AC ， PF ⊥ BE ， ∴ PF ＝ PD . 又∵ PF ＝ PH ，∴ PD ＝ PH . ∵ PD ⊥ AC ， PH ⊥ BA ， ∴点 P 在∠ HAC 的平分线上. （2）求证：点 P 在∠ HAC 的平分线上. 　　　 典例导思 [思维点拨] 要证明某射线是角平分线，除了运用角平分 线的定义外，常过其上一点向角的两边作垂线，再证明 垂线段相等即可. 典例导思 4. 如图，在∠ AOB 的内部作射线 OM ，过点 M 分别作 MA ⊥ OA 于点 A ， MB ⊥ OB 于点 B ， MA ＝ MB ，连结 AB ，若∠ MAB ＝20°，则∠ AOM 的度数为（　B　） A. 15° B. 20° C. 30° D. 40° （第4题） B 典例导思 5. 如图， CA ＝ CB ，点 E 在 BC 上，且 CE ＝ CD ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°， AE 的延长线交 BD 于点 F ，连结 CF . （1）求证： AE ＝ BD ； 证明：（1）在△ ACE 与△ BCD 中， ∵ CA ＝ CB ，∠ ACE ＝∠ BCD ， CE ＝ CD ， ∴△ ACE ≌△ BCD （S. A. S. ）， ∴ AE ＝ BD . （第5题） 典例导思 （2）求证： FC 平分∠ AFD . 　 （第5题） 典例导思 证明：（2）如答案图，过点 C 作 CG ⊥ AF ， CH ⊥ BD ，垂足分别为 G 、 H . ∵由（1）知，△ ACE ≌△ BCD ， ∴∠ CAG ＝∠ CBH . 在△ ACG 与△ BCH 中， ∵∠ CAG ＝∠ CBH ，∠ AGC ＝∠ BHC ＝90°，AC ＝ BC ， ∴△ ACG ≌△ BCH （A. A. S. ）， ∴ CG ＝ CH ，∴ FC 平分∠ AFD . （答案图） 典例导思 $$