13.4　尺规作图 课件 2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

第13章 全等三角形 13.4　尺规作图 第1课时　尺规作图（一） 1. 尺规作图 只用 和没有刻度的 ⁠作几何图形的方法 称为尺规作图. 2. 作一条线段等于已知线段 先画一条射线，再在射线上用 截取一条线段， 使它等于已知线段. 3. 作一个角等于已知角先画一条射线，再根据三角形全 等判定中的“ ”定理用尺规作一个角等于已 知角. 圆规　 直尺　 圆规　 S. S. S. 　 知识导航 4. 作已知角的平分线 （1）如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别 交 OA 、 OB 于点 D 、 E ； （2）分别以点 D 、 E 为圆心，大于 DE 长为半径在角 的内部画弧，交于点 C ； （3）作射线 OC ，射线 OC 就是 ∠ AOB 的平分线. 知识导航 题型一　作一条线段等于已知线段　 如图，△ ABC 为等腰三角形，△ BDC 为等边三角 形， CA ＝ CB . （1）用尺规完成以下作图：以 AC 为边，在 AC 右侧作等边△ ACE ， AE 交 BD 于点 F ；（保留作图痕迹，不写作法和结论） 典例导思 （1）解：如答案图1，分别以 A 、 C 为圆心， AC 的长为半径，在 AC 右侧作弧，交于点 E ，连结 CE 、 AE ， AE 交 BD 于点 F . （答案图1）　　 典例导思 （2）在（1）所作的图形中，连结 CF . 求证： CF 平分 ∠ ACB . 典例导思 （2）证明：如答案图2，连结 CF 、 DE . ∵△ ACE ，△ BCD 是等边三角形， ∴ BC ＝ CD ， AC ＝ CE ，∠ CDB ＝∠ CEA ＝60°， ∠ DCB ＝∠ ECA ＝60°. ∵ AC ＝ BC ，∴ CD ＝ CE ， ∴∠ CDE ＝∠ CED ， ∴∠ CDB －∠ CDE ＝ ∠ CEA －∠ CED ， 即∠ EDB ＝∠ DEA ， （答案图2） 典例导思 ∴ DF ＝ EF ， ∴△ CDF ≌△ CEF （S. S. S. ）， ∴∠ DCF ＝∠ ECF . ∵∠ DCB ＝∠ ECA ＝60°， ∴∠ DCB －∠ DCF ＝∠ ECA －∠ ECF ， 即∠ BCF ＝∠ ACF ， ∴ CF 平分∠ ACB . （答案图2） 典例导思 1. 如图，已知线段 a 和 b （ a ＞ b ）. （第1题） 求作：线段 c ，使 c ＝ a － b . 作法：如答案图， （1）作射线 AM ； （2）在射线 AM 上截取线段 AB ＝ a ； （3）在线段 AB 上截取线段 AC ＝ b . 线段 BC 就是所求作的线段 c . （答案图） 典例导思 题型二　作一个角等于已知角　 如图， AB ∥ CD ，连结 AC ，点 E 在 AC 上，连结 ED ， EF 平分∠ AED . （1）用尺规完成下列基本作图：以点 E 为顶点， ED 为 一边，在∠ AED 内作∠ DEG ，使它等于∠ D （保留作 图痕迹，不写作法）； 典例导思 解：（1）如答案图，∠ DEG 即为所求作. （答案图） 典例导思 （2）在（1）的条件下，若∠ A ＝30°，∠ D ＝70°，求∠ FEG 的度数. 解：（2）∵∠ A ＝30°， AB ∥ CD ， ∴∠ C ＝∠ A ＝30°. ∵∠ D ＝70°， ∴∠ AED ＝∠ C ＋∠ D ＝100°， ∠ DEG ＝∠ D ＝70°. ∵ EF 平分∠ AED ， ∴∠ DEF ＝ ∠ AED ＝50°， ∴∠ FEG ＝∠ DEG －∠ DEF ＝70°－50°＝20°. 典例导思 2. 如图，用尺规作图作∠ AOC ＝∠ AOB 的第一步是以 点 O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交 OA 、 OB 于点 E 、 F ，那么第二步的作图痕迹② 的作法是（　D　） （第2题） D A. 以点 F 为圆心， OE 长为半径画弧 B. 以点 F 为圆心， EF 长为半径画弧 C. 以点 E 为圆心， OE 长为半径画弧 D. 以点 E 为圆心， EF 长为半径画弧 典例导思 3. 如图，已知∠α，求作一个角∠β，使∠β＝180°－ 2∠α. （第3题）　 典例导思 （3）以 OC 为一边，在∠ COB 的内侧作∠ COD ＝∠α， 则∠ AOD ＝2∠α. 所以∠ BOD 就是所求作的∠β. （答案图） 作法：如答案图， （1）作∠ AOB ＝180°； （2）以 OA 为一边，在 OA 的上侧作∠ AOC ＝∠α； 典例导思 题型三　作已知角的平分线　 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ ABC ＝72°. （1）用直尺和圆规作∠ ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ；（保留作图痕迹，不要求写作法） 典例导思 解：（1）作图如答案图所示. （答案图） 典例导思 （2）在（1）中作出∠ ABC 的平分线 BD 后，求∠ BDC 的度数. （2）∵ AB ＝ AC ，∠ ABC ＝72°， ∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝72°. ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ DBC ＝36°. ∴∠ BDC ＝180°－36°－72°＝72°. 典例导思 [分析] （1）用尺规作出角平分线，重在规范作图； （2）通过等腰三角形的性质，可以得到∠ ACB ＝∠ ABC ＝72°，再根据角平分线的性质，得到∠ DBC 的度 数，最后根据三角形的内角和公式，进而求得∠ BDC 的度数. 典例导思 [方法总结] 尺规作图时，必须遵循基本作图的步骤，对 于较复杂的几何作图题，可采取假设已经作出的方法先 画出草图，再根据草图分析作图. 典例导思 （第4题） 4. 已知：∠ AOB ，求作：∠ AOB 的平分线.作法：①以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA 、 OB 于点 M 、 N ；②分别以点 M 、 N 为圆心，大于 MN 的长为 半径画弧，两弧在∠ AOB 内部交于点 C ； ③画射线 OC . 射线 OC 就是所求作的∠ AOB 的平分线.上述作图用到了全等三角形的判定 方法，这个方法是 ⁠. S. S. S. 　 典例导思 5. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ CAB ＝50°，按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧，分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F ；②分别以点 E 、 F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G ；③作射线 AG ，交 BC 边于点 D ，则∠ ADC 的度数为 ⁠. 65°　 （第5题） 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.4　尺规作图 第2课时　尺规作图（二） 1. 经过一已知点作已知直线的垂线 （1）经过已知直线上一点作已知直线的垂线，其实质 是先作 的平分线，再反向延长射线； （2）经过已知直线外一点作已知直线的垂线，其实质 是以直线外这一点为圆心，作能与直线相交于两点的 弧，再作以已知点为顶点、以两交点为底边端点的等腰 三角形顶角的 ⁠. 平角　 平分线　 知识导航 2. 作已知线段的垂直平分线 根据尺规作角平分线的方法找到两个到线段两端点距 离相等的点，再画出过这两点的直线就是线段的垂直 平分线. 知识导航 题型一　经过已知直线上一点作已知直线的垂线 如图，已知：线段 b 、 c （ b ＜ c ）. 求作：△ ABC ，使∠ C ＝90°， AC ＝ b ， AB ＝ c . [分析] 根据垂线的作法作两条互相垂直的直线，再根据 题意截取相应的线段，即可作出相应的三角形. 典例导思 （3）在直线 CE 上截取 CA ＝ b ； （4）以点 A 为圆心，以线段 c 的长为半径画弧，交直线 CD 于点 B ； （5）连结 AB ，△ ABC 即为所求作的三角形. （答案图） 作法：如答案图所示. （1）作直线 CD ； （2）过点 C 作直线 CE ⊥ CD ； 典例导思 [方法总结] 本题的实质是已知斜边和一直角边作直角三 角形，可以先作出直角，再截取线段.作图题一般先画 出草图，在草图上寻找作法. 典例导思 1. 如图，作已知锐角α的余角. （第1题）　　　 典例导思 即∠ AOD ＝90°－∠α. （答案图） 作法：如答案图所示，∠α的一边在直线 BC 上，顶点为 O ，另一边在直线 OA 上， 则∠ AOB ＝∠α. 过点 O 作 OD ⊥ OB ，则∠ AOD 即为所求作的角， 典例导思 题型二　经过已知直线外一点作已知直线的垂线 如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝70°. （1）作∠ ABC 的平分线 BM ，交 AC 于点 M ； （2）过点 M 作 BC 的垂线，垂足为 N . 要求：（1）（2）用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹. 解：（1）（2）如答案图所示. （答案图） 典例导思 [分析] （1）用圆规以点 B 为圆心，任意长为半径画 弧，再以弧与∠ B 两边的交点 D 、 E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧的交点为点 P ，连结 BP 并延 长，与 AC 交于点 M ， BM 就是所求作的角平分线； （2）以点 M 为圆心，大于点 M 到 BC 的距离为半径画 弧，与直线 BC 交于 F 、 G 两点；分别以点 F 、 G 为圆 心，大于 FG 的一半长为半径画弧，两弧交于点 H ，连 结 MH ，交 BC 于点 N ，直线 MN 即为点 M 到直线 BC 的 垂线，垂足为点 N . 典例导思 [方法总结] 掌握角平分线的作法，弄清过直线外一点作 已知直线的垂线的原理、方法是解决问题的关键. 典例导思 2. 过直线 l 外一点 A 作直线 l 的垂线，下列作法中正确的 是（　C　） A. 过点 A 作 AB ⊥ l 于点 B ，则线段 AB 即为所求 B. 过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B ，则射线 AB 即为所求 C. 过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B ，则直线 AB 即为所求 D. 以上作法都不正确 C 典例导思 3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，试作出斜边 AB 上 的高. （第3题） 典例导思 （2）分别以点 M 、 N 为圆心，以大于 MN 的长为半径 画弧，两弧交于点 P ； （3）连结 CP ，交 AB 于点 D ，则 线段 CD 即是△ ABC 的斜边 AB 上 的高. （答案图） 作法：如答案图所示. （1）以点 C 为圆心，以大于点 C 到 AB 的距离为半径画 弧，交 AB 于点 M 、 N ； 典例导思 题型三　作已知线段的垂直平分线　 如图，四边形 ABCD 是长方形，用直尺和圆规作出 ∠ A 的平分线与 BC 边的垂直平分线的交点为 Q （不写 作法，保留作图痕迹）.连结 QD ，在新图形中，你发现 了什么？请写出一条. 典例导思 [分析] 根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法 作出点 Q 的位置，进而利用垂直平分线的性质得出结论 即可. 解：如答案图所示. 发现： DQ ＝ AQ 或者∠ QAD ＝ ∠ QDA 等. （答案图） 典例导思 [方法总结] 将线段垂直平分线的作法与垂线的作法、角 平分线的作法联系起来，形成一个有机的整体，这是掌 握基本作图的重要手段. 典例导思 4. 如图，已知线段 a 、 h ，求作：△ ABC ，使 AB ＝ AC ， BC ＝ a ， BC 边上的高 AD ＝ h . 　 （第4题） （答案图） 解：如答案图所示. （答案图） 典例导思 $$