13.3　等腰三角形 课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第13章 全等三角形 13.3　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 1. 等腰三角形 （1）等腰三角形的定义 的三角形叫做等腰三角形.等腰三角 形中相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ⁠， 两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 ⁠ ⁠. 有两条边相等　 腰　 底边　 顶角　 底 角　 知识导航 （2）等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的 相等（简写成“ ⁠ ”）； 性质2：等腰三角形 、 及 ⁠ 互相重合（简称“ ”）. 注意：“等边对等角”的适用条件只能是在同一个三角 形中；“三线合一”对于腰上的高、腰上的中线、底角 的平分线则不一定成立. 两底角　 等 边对等角　 底边上的高　 中线　 顶 角的平分线　 三线合一　 知识导航 2. 等边三角形 （1）等边三角形的定义 的三角形是等边三角形. （2）等边三角形的性质 ①等边三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形 的性质外，还具有各个角 ，并且 ⁠ 的性质； ②等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴，每边 的高线所在的直线是对称轴. 三条边都相等　 都相等　 每一个角 都等于60°　 三　 知识导航 题型一　“等边对等角”性质的应用　 （1）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大 30°，则这个等腰三角形的顶角度数是（　C　） A. 80° B. 40° C. 80°或40° D. 无法确定 C 典例导思 （2）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图2，这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA 、 OB 组成，两根棒在点 O 相连并可绕点 O 转动，点 C 固定， OC ＝ CD ＝ DE ，点 D 、 E 可在槽中滑动，若∠ BDE ＝75°，则∠ CDE 的度数是（　D　） D A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 典例导思 1. （2024·巴川）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠1＝42°，则∠ CDE 的度数为（　C　） A. 12° B. 15° C. 21° D. 25° C 典例导思 2. （1）若等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角 为 ⁠； （2）若等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边 的夹角是 ⁠； （3）若等腰三角形的两个内角之和为110°，则顶角的 度数是 ⁠. 40°或100°　 40°　 40°或 70°　 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中，点 E 在 AB 上，连结 CE ，满足 AC ＝ CE ，线段 CD 交 AB 于点 F ，连结 AD . （1）若∠ DAF ＝∠ BCF ，∠ ACD ＝∠ BCE ，求证： AD ＝ BE ； （第3题） 典例导思 （1）证明：∵∠ D ＋∠ DAF ＝∠ BCF ＋∠ B ， ∠ DAF ＝∠ BCF ， ∴∠ D ＝∠ B . 在△ ACD 和△ ECB 中， ​ ∴△ ACD ≌△ ECB （A. A. S. ）， ∴ AD ＝ BE . （第3题） 典例导思 （第3题） （2）若∠ ACD ＝24°， EF ＝ CF ，求∠ BAC 的度数. （2）解：∵ AC ＝ CE ，∴∠ AEC ＝∠ BAC . ∵ EF ＝ CF ，∴∠ AEC ＝∠ ECF ， ∴∠ AEC ＝∠ ECF ＝∠ BAC . 在△ ACE 中，∠ AEC ＋∠ BAC ＋∠ ACE ＝180°， 即∠ AEC ＋∠ BAC ＋∠ ECF ＋∠ ACD ＝ 180°， 3∠ BAC ＋∠ ACD ＝180°. ∵∠ ACD ＝24°， ∴∠ BAC ＝52°. 典例导思 题型二　“三线合一”性质的应用　 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 M 、 N 分别在 BC 所在的直线上，且 AM ＝ AN . （1）那么 BM ＝ CN 吗？请说明理由； 解：（1） BM ＝ CN . 理由如下： 过点 A 作 AD ⊥ MN 于点 D . ∵ AB ＝ AC ， AM ＝ AN ， ∴ BD ＝ CD ， MD ＝ ND . ∴ MD － BD ＝ ND － CD ，即 BM ＝ CN . 典例导思 （2）若∠ MAB ＝15°，∠ BAN ＝45°，求∠ BAC 的 度数. （2）∵ AB ＝ AC ， AM ＝ AN ， ∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∠ MAD ＝∠ NAD ， ∴∠ NAC ＝∠ MAB ＝15°. 又∵∠ BAN ＝45°， ∴∠ BAC ＝∠ BAN －∠ NAC ＝45°－15°＝30°. 典例导思 [分析] （1）首先过点 A 作 AD ⊥ MN 于点 D ，利用等腰 三角形“三线合一”的性质，易得 BD ＝ CD ， MD ＝ ND ，再由等式的性质可得结论；（2）由等腰三角形 “三线合一”的性质，易求得∠ NAC ＝∠ MAB ＝15°， 又由∠ BAN ＝45°，即可求得∠ BAC 的度数. 典例导思 [思维点拨] “三线合一”是解决等腰三角形和等边三角 形问题的重要依据，是一条常用的辅助线，解题时要加 以重视. 典例导思 4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝100°， AD 是 BC 边上的中线， CE 平分∠ BCA 交 AB 于点 E ， AD 、 CE 相交于点 F ，则∠ CFA 的度数是（　C　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° （第4题） C 典例导思 5. 如图，已知在△ ABC 中， AB ＝2 AC ，∠1＝∠2， DA ＝ DB . 求证： DC ⊥ AC . （第5题）　　　 典例导思 证明：如答案图，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E . ∵ DA ＝ DB ， DE ⊥ AB ， ∴ AE ＝ EB ＝ AB ，∠ AED ＝90°. ∵ AB ＝2 AC ，∴ AC ＝ AB . ∴ AC ＝ AE . 在△ ACD 和△ AED 中， ∵ AC ＝ AE ，∠2＝∠1， AD ＝ AD ， ∴△ ACD ≌△ AED （S. A. S. ）， ∴∠ ACD ＝∠ AED ＝90°， ∴ DC ⊥ AC . （答案图） 典例导思 题型三　等边三角形性质的应用　 如图，△ ABC 为等边三角形，点 M 是射线 BC 上任 意一点，点 N 是射线 CA 上任意一点，且 BM ＝ CN ， BN 与 AM 相交于点 Q ，求∠ AQN 的度数. 典例导思 ①当点 Q 在△ ABC 的内部时. ∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝∠ BAC ＝60°， AB ＝ BC . 在△ AMB 和△ BNC 中， ∴△ AMB ≌△ BNC （S. A. S. ），∴∠ BAM ＝∠ CBN . ∵∠ AQN ＝∠ ABQ ＋∠ BAQ ， ∴∠ AQN ＝∠ ABQ ＋∠ CBQ ＝∠ ABM ＝60°. 解：分情况讨论： 典例导思 ②当点 Q 在△ ABC 的外部时，如答案图. （答案图） 同理可得△ AMB ≌△ BNC （S. A. S. ）， ∴∠ M ＝∠ N ， 则∠ AQN ＝180°－∠ QAN －∠ N ＝180°－ ∠ MAC －∠ M ＝∠ ACM ＝180°－∠ ACB ＝120°. 综上，∠ AQN 的度数为60°或120°. 典例导思 6. （2023·山东）在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 边 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 DE ＝ EC . （第6题） 典例导思 （1）如图1，当 E 为 AB 中点时，求证： CB ＝2 BD ； （第6题） 典例导思 （1）证明：∵△ ABC 为等边三角形， E 为 AB 中点， ∴2 BE ＝ AB ＝ BC ， CE 平分∠ ACB ， ∠ ABC ＝∠ A ＝∠ ACB ＝60°. ∴∠ BCE ＝30°. ∵ ED ＝ EC ， ∴∠ EDC ＝∠ ECD ＝30°， ∴∠ DEB ＝∠ ABC －∠ EDC ＝60°－30°＝30°， ∴ BD ＝ BE ，∴ CB ＝2 BD . （第6题） 典例导思 （2）如图2，若 AB ＝12， AE ＝2，求 CD 的长. （2）解：如答案图，过点 E 作 EF ∥ BC ，交 AC 于点 F ， 　（答案图） （第6题） 典例导思 ∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ AFE ＝∠ ACB ＝∠ ABC ＝60°，△ AEF 为等边 三角形， ∴∠ EFC ＝∠ EBD ＝120°， EF ＝ AE . ∵ ED ＝ EC ，∴∠ EDB ＝∠ ECB . ∵ EF ∥ BC ，∴∠ ECB ＝∠ FEC ， ∴∠ EDB ＝∠ FEC . 　（答案图） 典例导思 ​在△ BDE 和△ FEC 中， ∴△ BDE ≌△ FEC （A. A. S. ）， ∴ BD ＝ EF ， ∴ AE ＝ BD ＝2， ∴ CD ＝ BC ＋ BD ＝12＋2＝14. 　（答案图） 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.3　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 1. 等腰三角形的判定方法 （1）定义法： ⁠的三角形是等腰三 角形. （2）等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边 .（简写成“ ⁠ ”） 注意：“等角对等边”的使用前提是在一个三角形中， 它可以作为证明两条线段相等的依据. 有两条边相等　 也相等　 等角对 等边　 知识导航 2. 等边三角形的判定方法 （1）定义法： ⁠的三角形是等边三 角形. （2）判定定理1： ⁠的三角形是等边三 角形. （3）判定定理2：有一个角等于60°的 ⁠三角形 是等边三角形. 三条边都相等　 三个角都相等　 等腰　 知识导航 题型一　等腰三角形的判定　 （2023·湖北）如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， E 是 BC 上一点， BE ＝ CD ， EF ∥ AD 交 AB 于点 F ，交 CA 的延 长线于点 P ， CH ∥ AB 交 AD 的延 长线于点 H . （1）求证：△ APF 是等腰三角形； 典例导思 （1）证明：∵ EF ∥ AD ，∴∠1＝∠4， ∠2＝∠ P . ∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠1＝∠2， ∴∠4＝∠ P ，∴ AF ＝ AP ， 即△ APF 是等腰三角形. 典例导思 （2）猜想 AB 与 PC 的大小有什么关系？并证明你的 猜想. 典例导思 （2）解： AB ＝ PC . 证明如下： ∵ CH ∥ AB ， ∴∠5＝∠ B ，∠ H ＝∠1. ∵ EF ∥ AD ， ∴∠1＝∠3，∴∠ H ＝∠3. 在△ BEF 和△ CDH 中， ​ （答案图） 典例导思 （答案图） ∴△ BEF ≌△ CDH （A. A. S. ），∴ BF ＝ CH . ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠ H ， ∴ AC ＝ CH ，∴ AC ＝ BF . ∵ AB ＝ AF ＋ BF ， PC ＝ AP ＋ AC ， AF ＝ AP ， ∴ AB ＝ PC . 典例导思 [误区点拨] “等角对等边”是对同一个三角形中的两个 角来说的，不在同一个三角形中的两个角相等，所对的 边不一定相等. 典例导思 1. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°， BD 平分 ∠ ABC 交 AC 于点 D ，则图中的等腰三角形有（　D　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 （第1题） D 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中， ED ∥ BC ，∠ ABC 和∠ ACB 的 平分线分别交 ED 于点 F 、 G ，若 FG ＝2， ED ＝6，则 DB ＋ EC 的值为（　B　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 （第2题） B 典例导思 3. 如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上，点 D 在 AB 边上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE ，过点 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于点 G . 求证：△ ABC 是等腰三角形. （第3题） 典例导思 证明：∵ DG ∥ AC ， ∴∠ GDF ＝∠ CEF ， 在△ GDF 和△ CEF 中， ∴△ GDF ≌△ CEF （A. S. A. ）. ∴ DG ＝ CE . 又∵ BD ＝ CE ，∴ DG ＝ BD ， ∴∠ DBG ＝∠ DGB . （第3题） 典例导思 ∵ DG ∥ AC ，∴∠ DGB ＝∠ ACB ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ，∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形. （第3题） 典例导思 题型二　等腰三角形性质和判定的综合应用 如图，在△ ABC 中 AB ＝ AC ， D 为 CA 延长线上一 点，且 DE ⊥ BC 于点 E ，交 AB 于点 F . （1）求证：△ ADF 是等腰三 角形； 典例导思 证明：（1）∵ AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ C . ∵ ED ⊥ BC ， ∴∠ D ＋∠ C ＝90°，∠ B ＋ ∠ BFE ＝90°， ∴∠ D ＝∠ BFE . ∵∠ DFA ＝∠ BFE ，∴∠ D ＝∠ DFA ， ∴ AD ＝ AF ，∴△ ADF 是等腰三角形. 典例导思 （2）如图2，在（1）的条件下，若 F 为 AB 中点.求证： DF ＝2 FE . 典例导思 证明：（2）如答案图，过点 A 作 AG ⊥ DE 于点 G ， ∵ AD ＝ AF ， AG ⊥ DF ， ∴ GF ＝ DF . ∵ AG ⊥ DE ， BE ⊥ DE ， ∴∠ AGF ＝∠ BEF ＝90°. ∵ F 为 AB 中点， ∴ AF ＝ BF . ​ 　（答案图） 典例导思 在△ AGF 和△ BEF 中， ​ ∴△ AGF ≌△ BEF （A. A. S. ）， ∴ EF ＝ FG ，∴ DF ＝2 FE . 　（答案图） 典例导思 4. 如图，在等腰Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，点 D 、 E 分别在边 AB 、 CB 上， CD ＝ DE ，∠ CDB ＝∠ DEC ，过点 C 作 CF ⊥ DE 于点 F ，交 AB 于点 G . （1）求证：△ ACD ≌△ BDE ； （第4题） 典例导思 证明：（1）∵∠ CDB ＝∠ DEC ， ∴180°－∠ CDB ＝180°－∠ DEC ， 即∠ ADC ＝∠ BED . ∵ AC ＝ BC ，∴∠ A ＝∠ B . 在△ ACD 与△ BDE 中， ​ ∴△ ACD ≌△ BDE （A. A. S. ）. （第4题） 典例导思 （2）求证：△ CDG 为等腰三角形. 证明：（2）由（1）知△ ACD ≌△ BDE ， ∴∠ ACD ＝∠ BDE . ∵∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，∴∠ A ＝∠ B ＝45°， ∴∠ CDG ＝45°＋∠ ACD ＝∠ BDE ＋∠ CDF ， ∴∠ CDF ＝45°. ∵ CF ⊥ DE ，∴∠ DFC ＝90°，∴∠ DCF ＝45°. 又∵ DC ＝ DE ，∴∠ DCE ＝∠ DEC . （第4题） 典例导思 ∵∠ DCE ＝∠ DCF ＋∠ BCG ＝45°＋∠ BCG ，∠ DEC ＝∠ B ＋∠ BDE ＝45°＋∠ BDE ， ∴∠ BCG ＝∠ BDE ，∴∠ ACD ＝∠ BCG . ∵∠ CDG ＝45°＋∠ ACD ， ∠ CGD ＝45°＋∠ BCG ， ∴∠ CDG ＝∠ CGD ，∴ CD ＝ CG ， ∴△ CDG 为等腰三角形. （第4题） 典例导思 题型三　等边三角形的判定 如图，在等边△ ABC 中，点 P 在△ ABC 内，点 Q 在 △ ABC 外，且∠ ABP ＝∠ ACQ ， BP ＝ CQ ，猜想△ APQ 是什么形状的三角形？并说明理由. 典例导思 解：△ APQ 为等边三角形，理由如下： ∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ AC . 在△ ABP 与△ ACQ 中，​ ∴△ ABP ≌△ ACQ （S. A. S. ）. ∴ AP ＝ AQ ，∠ BAP ＝∠ CAQ . ∵∠ BAC ＝∠ BAP ＋∠ PAC ＝60°， ∴∠ PAQ ＝∠ CAQ ＋∠ PAC ＝60°， ∴△ APQ 是等边三角形. 典例导思 [方法点拨] 判断一个三角形是等边三角形有三种方法： ①证三边相等（定义法）；②证三个内角相等；③先证 其为等腰三角形，再证它有一个内角为60°. 典例导思 5. 如图，在等边△ ABC 中， D 、 E 分别为 AC 、 AB 上的 两点，下列结论：①若 AD ＝ AE ，则△ ADE 是等边三 角形；②若 DE ∥ BC ，则△ ADE 是等边三角形.其中正 确的是（　C　） （第5题） C A. ① B. ② C. ①② D. 都不对 典例导思 6. 已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM ，△ CBN 都是等边三角形， AN 交 MC 于点 E ， BM 交 CN 于 点 F ，连结 EF . （1）求证： AN ＝ BM ； （第6题） 典例导思 证明：（1）∵△ ACM ，△ CBN 都是等边三角形， ∴ AC ＝ MC ， BC ＝ NC ， ∠ ACM ＝∠ NCB ＝60°， ∴∠ ACM ＋∠ MCN ＝∠ NCB ＋∠ MCN ， 即∠ ACN ＝∠ MCB . （第6题） 典例导思 在△ ACN 和△ MCB 中， ∴△ ACN ≌△ MCB （S. A. S. ）， ∴ AN ＝ BM . （第6题） 典例导思 （2）求证：△ CEF 为等边三角形. 证明：（2）∵△ ACN ≌△ MCB ，∴∠ CAN ＝∠ CMB . 又∵∠ MCF ＝180°－∠ ACM －∠ NCB ＝180°－60°－60°＝60°， ∴∠ MCF ＝∠ ACE . （第6题） 典例导思 在△ CAE 和△ CMF 中， ∴△ CAE ≌△ CMF （A. S. A. ）， ∴ CE ＝ CF ，∴△ CEF 为等腰三角形. 又∵∠ ECF ＝60°， ∴△ CEF 为等边三角形. （第6题） 典例导思 $$