13.2　三角形全等的判定 课件 2024--2025学年华东师大版八年级数学上册

第13章 全等三角形 13.2　三角形全等的判定 第1课时　全等三角形及其判定条件 1. 全等三角形的定义 能够完全 的两个三角形是全等三角形. 2. 全等三角形的性质 两个全等三角形的 相等， 相等； 反之，若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等， 那么这两个三角形 ⁠. 重合　 对应边　 对应角　 全等　 知识导航 符号语言： 如图，若△ ABC ≌△ DEF ， 则 AB ＝ DE ， BC ＝ EF ， AC ＝ DF ， ∠ A ＝∠ D ，∠ B ＝∠ E ，∠ C ＝∠ F . 知识导航 温馨提示： 对应元素 确定方法 知识导航 3. 图形变换与全等三角形 一个三角形经过平移、旋转或翻折后，得到的三角形与 原三角形是 ⁠. 全等三角形常见的典型类型： 　 全等形　 知识导航 4. 三角形全等的条件 如果两个三角形只有一组或两组对应相等的元素（边或 角），那么这两个三角形 全等. 不一定　 知识导航 题型一　全等三角形的性质　 （1）如图1，点 D 、 E 在△ ABC 的边 BC 上，△ ABD ≌△ ACE ，其中 B 、 C 为对应顶点， D 、 E 为对应 顶点，下列结论不一定成立的是（　A　） 图1 A A. AC ＝ CD B. BE ＝ CD C. ∠ ADE ＝∠ AED D. ∠ BAE ＝∠ CAD 典例导思 （2）如图2，△ ABC ≌△ ADE ，线段 BC 的延长线过点 E ，与线段 AD 交于点 F ，∠ AED ＝108°，∠ CAD ＝ 12°，∠ B ＝48°，则∠ DEF 的度数为 ⁠. 图2 36°　 典例导思 [知识总结] 解答本节习题应掌握以下两个方面的知识： ①当两个三角形全等时，通常要把表示对应顶点的字母 写在对应的位置上；②如果已知两个三角形全等，则对 应角相等，对应边相等（对应角所对的边是对应边）. 典例导思 1. 下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全 等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等； ④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的有 （　A　） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ A 典例导思 2. 如图，若△ ABC ≌△ ADE ，则下列结论中一定成立 的是（　B　） （第2题） B A. AC ＝ DE B. ∠ BAD ＝∠ CAE C. AB ＝ AE D. ∠ ABC ＝∠ AED 典例导思 3. （1）如图，已知△ ABC ≌△ ADE ，若 AB ＝7， AC ＝3，则 BE 的值为 ⁠； [第3（1）题]　　　 4　 典例导思 （2）（2023·安徽）如图，△ ABC ≌△ DBE ， BD ⊥ AB ，∠ C ＝40°，∠ D ＝20°， AC 、 DE 交于点 F ，则∠ AFE 的度数是 ⁠. [第3（2）题] 50°　 典例导思 题型二　图形变换中的全等三角形　 （1）如图1，Rt△ ABC 沿直角边 BC 所在的直线向 右平移得到△ DEF ，下列结论中错误的是（　D　） 图1 D A. △ ABC ≌△ DEF B. ∠ DEF ＝90° C. AC ＝ DF D. EC ＝ CF 　　　 典例导思 （2）如图2，将△ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转40°得到 △A'B'C，若 AC ⊥A'B'，则∠ A 等于（　A　） 图2 A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° A 典例导思 [方法总结] 解决此类问题时要抓住图形变换（旋转、平 移、轴对称）得到的图形与原图形全等，灵活应用全等 三角形的性质解决问题. 典例导思 4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 边 上，将△ CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的 点 E 处.若∠ A ＝26°，则∠ CDE ＝ ⁠. （第4题） 71°　 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.2　三角形全等的判定 第2课时　边角边 “边角边”基本事实 分别相等的两个三角形全等.简记为S. A. S. （或边角边）. 符号语言： 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， 两边及其夹角　 ∴△ ABC ≌△ DEF （S. A. S. ）. 知识导航 注意：（1）应用时一定要保证相等的角必须是分别对 应相等的两边的夹角，即“两边一夹角”，切不可出现 “边边角”的错误；例如：如图所示的两个三角形的两 组边及一条边的对角分别相等，很明显这两个三角形不 全等. 知识导航 （2）证明三角形全等时要把已知条件尽可能用符号在 图形上标出来，有利于引导正确的解题思路； （3）在确定相等的边或角时，一定要注意题目中的隐 含条件，同时要注意公共边、公共角的应用. 知识导航 题型一　利用“S. A. S. ”证明三角形全等　 如图，在△ ABC 和△ ADE 中，∠ BAC ＝∠ DAE ， AB ＝ AE ， AC ＝ AD ，连结 BD 、 CE ，试说明△ ABD ≌△ AEC . 典例导思 [分析] 已知条件有两边对应相等，由∠ BAC ＝∠ DAE 结合图形，可得∠ DAB ＝∠ CAE ，故可利用“S. A. S. ”得到结论. 解：∵∠ DAE ＝∠ BAC ， ∴∠ DAE －∠ BAE ＝∠ BAC －∠ BAE ， 即∠ DAB ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ AEC 中， ∵ AB ＝ AE ，∠ DAB ＝∠ CAE ， AD ＝ AC ， ∴△ ABD ≌△ AEC （S. A. S. ）. 典例导思 1. 如图， AD ＝ BC ，要得到△ ABD 与△ CDB 全等，可 以添加的条件是（　B　） A. AB ∥ CD B. AD ∥ BC C. ∠ A ＝∠ C D. ∠ ABC ＝∠ CDA （第1题） B 典例导思 2. 如图， AC ＝ BD ，∠1＝∠2，则△ ABC ≌ ⁠ ，其判定依据是 ⁠. （第2题） △BAD S. A. S. 　 典例导思 3. （2023·苏州）已知：如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在同一 直线上， AB ＝ DC ， EA ＝ FD ，∠ A ＝∠ D ， EC 与 FB 交于点 G . （1）求证：△ EAC ≌△ FDB ； （第3题） 典例导思 （1）证明：∵ AB ＝ DC ， ∴ AB ＋ BC ＝ CD ＋ BC ， ∴ AC ＝ BD ， 在△ AEC 和△ DFB 中， ​ ∴△ AEC ≌△ DFB （S. A. S. ）. （第3题） 典例导思 （2）若∠ A ＝70°，∠ F ＝60°，求∠ BGC 的度数. （2）解：∵△ AEC ≌△ DFB ， ∴∠ E ＝∠ F ＝60°，∠ ACE ＝∠ DBF . ∵∠ A ＝70°， ∴∠ DBF ＝∠ ACE ＝180°－∠ A －∠ E ＝ 180°－70°－60°＝50°， ∴∠ BGC ＝180°－∠ ACE －∠ DBF ＝ 180°－50°－50°＝80°. （第3题） 典例导思 题型二　全等三角形判定（S. A. S. ）与性质的综合 运用 （2023·湖南）已知：如图，在△ ABC 和△ ADE 中，∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，点 C 、 D 、 E 在同一直线上，连结 BD . （1）求证：△ BAD ≌△ CAE ； 典例导思 （1）证明：∵∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°， ∴∠ BAC ＋∠ CAD ＝∠ EAD ＋∠ CAD ， ∴∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ BAD 和△ CAE 中， ​ ∴△ BAD ≌△ CAE （S. A. S. ）. 典例导思 （2）请判断 BD 、 CE 有何大小、位置关系，并证明. （2）解： BD ＝ CE ， BD ⊥ CE ，证明如下： 由（1）知，△ BAD ≌△ CAE ， ∴ BD ＝ CE ，∠ ABD ＝∠ ACE . ∵∠ ABD ＋∠ DBC ＝45°， ∴∠ ACE ＋∠ DBC ＝45°， ∴∠ DBC ＋∠ DCB ＝∠ DBC ＋∠ ACE ＋∠ ACB ＝90°， ∴∠ BDC ＝180°－（∠ DBC ＋∠ DCB ）＝90°. 即 BD ⊥ CE . 典例导思 4. 如图， AC 平分∠ DCB ， CB ＝ CD ， DA 的延长线交 BC 于点 E ，若∠ EAC ＝49°，则∠ BAE 的度数 为 ⁠. （第4题） 82°　 典例导思 5. 如图，点 D 在△ ABC 的外部，点 E 在 BC 边上， DE 与 AB 交于点 O ，∠1＝∠2， AB ＝ AD ， BC ＝ DE . （1）求证： AC ＝ AE ； （第5题） 典例导思 （1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ BOD －∠2＝∠ BOD －∠1. ∵∠ B ＝∠ BOD －∠2， ∠ D ＝∠ BOD －∠1， ∴∠ B ＝∠ D . 在△ ABC 和△ ADE 中， ∴△ ABC ≌△ ADE （S. A. S. ）， ∴ AC ＝ AE . （第5题） 典例导思 （2）若∠ C ＝50°，∠ BAE ＝20°，求∠ D 的度数. （2）解：∵ AC ＝ AE ， ∴∠ AEC ＝∠ C ＝50°. ∵∠ BAE ＝20°， ∴∠ B ＝∠ AEC －∠ BAE ＝50°－20°＝ 30°. ∵△ ABC ≌△ ADE ， ∴∠ D ＝∠ B ＝30°. （第5题） 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.2　三角形全等的判定 第3课时　角边角与角角边 1. “角边角”基本事实 两角及其 分别相等的两个三角形全等.（可以 简写成“角边角”，用字母表示为“A. S. A. ”） 符号语言： 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， 夹边　 ∴△ ABC ≌△ DEF （A. S. A. ）. 知识导航 2. “角角边”定理 两角分别相等且其中一组等角的 ⁠相等的两个三 角形全等.（可以简写成“角角边”，用字母表示为“A. A. S. ”） 符号语言： 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， 对边　 ∴△ ABC ≌△ DEF （A. A. S. ）. 知识导航 注意：（1）两个三角形，如果具备两个角和一边对应 相等，则可判断其全等，但其中“对应”必不可少； （2）三个角分别相等的两个三角形 （选填 “一定”或“不一定”）全等. 不一定　 知识导航 题型一　利用“A. S. A. ”证明三角形全等　 （2023·湖南）如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ，垂足分别是 D 、 E ， AD 、 CE 交于点 H ， AE ＝ CE . （1）求证：△ AEH ≌△ CEB ； 典例导思 （1）证明：∵ AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ AEC ＝∠ BEC ＝∠ ADB ＝90°， ∴∠ B ＋∠ BAD ＝90°＝∠ B ＋∠ BCE ， ∴∠ BAD ＝∠ BCE . 在△ AEH 和△ CEB 中， ​ ∴△ AEH ≌△ CEB （A. S. A. ）. 典例导思 （2）若 BE ＝6， CH ＝2，求线段 AE 的长. （2）解：∵△ AEH ≌△ CEB ， ∴ AE ＝ CE ， BE ＝ EH ＝6. ∵ CH ＝2， ∴ AE ＝ CE ＝ EH ＋ CH ＝8. 典例导思 1. 如图，点 D 、 E 分别在线段 AB 、 AC 上， CD 与 BE 相 交于点 O ，已知 AB ＝ AC ，现添加以下的条件仍无法判 定△ ABE ≌△ ACD 的是（　C　） （第1题） C A. AD ＝ AE B. ∠ B ＝∠ C C. CD ＝ BE D. BD ＝ CE 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中，点 D 为 AB 边上一点， DE ∥ BC 交 AC 于点 E ，点 F 为 BC 延长线上一点， BF ＝ AD ，∠ ACF ＝∠ ADF . （1）求证： AE ＝ FD ； （第2题） 典例导思 （1）证明：∵∠ ACF ＝∠ ADF ， ∴∠ B ＋∠ A ＝∠ B ＋∠ F ， ∴∠ A ＝∠ F . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ ADE ＝∠ B ， 在△ ADE 和△ FBD 中， ∠ A ＝∠ F ， AD ＝ FB ，∠ ADE ＝∠ B ， ∴△ ADE ≌△ FBD （A. S. A. ），∴ AE ＝ FD . （第2题） 典例导思 （2）若∠ FDB ＝80°，∠ B ＝70°，求∠1的度数. （2）解：∵∠ FDB ＝80°，∠ B ＝70°， ∴∠ F ＝30°， ∴∠ ACF ＝∠ ADF ＝∠ B ＋∠ F ＝100°， ∴∠1＝∠ F ＋∠ ACF ＝130°. （第2题） 典例导思 题型二　利用“A. A. S. ”证明三角形全等 如图，点 E 在△ ABC 的边 AC 上，且∠ ABE ＝∠ C ， AF 平分∠ BAE 交 BE 于点 F ， FD ∥ BC 交 AC 于点 D . （1）求证：△ ABF ≌△ ADF ； 典例导思 （1）证明：∵ FD ∥ BC ， ∴∠ ADF ＝∠ C . ∵∠ ABF ＝∠ C ， ∴∠ ABF ＝∠ ADF . ∵ AF 平分∠ BAE ， ∴∠ BAF ＝∠ DAF . 在△ ABF 和△ ADF 中， ∴△ ABF ≌△ ADF （A. A. S. ）. 典例导思 （2）若 BE ＝9， AB ＝7， AE ＝5，求△ EFD 的周长. （2）解：∵△ ABF ≌△ ADF ， ∴ AD ＝ AB ＝7， BF ＝ DF . ∵ AE ＝5， ∴ DE ＝ AD － AE ＝7－5＝2， ∴△ EFD 的周长＝ EF ＋ DF ＋ DE ＝ EF ＋ BF ＋ DE ＝ BE ＋ DE ＝9＋2＝11. 典例导思 3. 如图，在△ ABC 与△ CDE 中， AC ＝ CE ， AB ∥ DE ，∠ ACB ＝∠ CED ，若 BD ＝2， DE ＝6，则 AB 的 长为 ⁠. （第3题） 4　 典例导思 4. （2023·江苏）（1）如图1，已知：在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，直线 m 经过点 A ， BD ⊥直线 m ， CE ⊥直线 m ，垂足分别为点 D 、 E . 求证： DE ＝ BD ＋ CE ； （第4题） 典例导思 （第4题） （1）证明：∵ BD ⊥ DE ， CE ⊥ DE ， ∴∠ BDA ＝∠ CEA ＝90°. ∵∠ BAC ＝90°， ∴∠ BAD ＋∠ CAE ＝∠ BAD ＋∠ ABD ＝90°， ∴∠ ABD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ CAE 中，​ ∴△ ABD ≌△ CAE （A. A. S. ）， ∴ BD ＝ AE ， DA ＝ CE ，∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE . 典例导思 （第4题） （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 、 A 、 E 三点都在直线 m 上，并且有∠ BDA ＝∠ AEC ＝∠ BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问 （1）中结论 DE ＝ BD ＋ CE 是否成立？若成立，请你给 出证明；若不成立，请说明理由. 典例导思 （2）解：成立，证明如下： ∵∠ BDA ＝∠ AEC ＝∠ BAC ＝α， ∴∠ BAD ＋∠ CAE ＝180°－α， 且∠ DBA ＋∠ BAD ＝180°－α， ∴∠ DBA ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ CAE 中， ∴△ ABD ≌△ CAE （A. A. S. ）， ∴ BD ＝ AE ， DA ＝ CE ， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE . （第4题） 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.2　三角形全等的判定 第4课时　边边边 1. 边边边公理 三边分别相等的两个三角形 ⁠. （可以简写成“边边边”，用字母表示为“S. S. S. ”） 全等　 知识导航 符号语言： 如图，在△ ABC 和△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF （S. S. S. ）. 知识导航 注意：在所给的两个三角形中，如果有两边对应相等， 又没有角对应相等时，往往通过寻找或构造另一组边也 相等，从而利用“S. S. S. ”证明全等. 知识导航 2. 全等三角形的判定方法 对应相 等元素 两边一角 两角一边 三角 三边 两边 及其 夹角 两边及 其中一 边的对 角　　 两角及 其夹边 两角及 其中一 角的对 边　　 是否 全等 一定 （S. A. S. ） 不一定 一定 （A. S. A. ） 一定 （A. A. S. ） 不一 定 一定 （S. S. S. ） 知识导航 题型一　利用“S. S. S. ”证明三角形全等 如图，已知：点 A 、 F 、 C 、 D 在同一条直线上， BC ＝ EF ， AB ＝ DE ， AF ＝ CD . 求证： 典例导思 （1） BC ∥ EF ； 证明：（1）∵ AF ＝ CD ， ∴ AF ＋ CF ＝ CD ＋ CF ，∴ AC ＝ DF . 在△ ABC 与△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF （S. S. S. ）， ∴∠ BCA ＝∠ EFD ， ∴ BC ∥ EF . 典例导思 （2） CE ＝ BF . 证明：（2）∵△ ABC ≌△ DEF ，∴∠ A ＝∠ D ， 在△ ABF 与△ DEC 中， ∴△ ABF ≌△ DEC （S. A. S. ）， ∴ CE ＝ BF . 典例导思 [思维点拨] 当已知两个三角形的两条边对应相等，证明 两个三角形全等时，可以考虑探索第三边相等或探索已 知边的夹角相等，用“S. S. S. ”或“S. A. S. ”证明两 个三角形全等. 典例导思 1. 如图， AC ＝ AD ， BC ＝ BD ，那么全等三角形的对 数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （第1题） C 典例导思 2. 如图， AB ＝ DC ， AC ＝ DB ，根据“S. S. S. ”得到 全等的三角形是 ， ⁠ ，在此基础上还可以得到全等的三角形是 ⁠ ⁠. （第2题） △ ABD ≌△ DCA 　 △ ABC ≌△ DCB 　 △ ABO ≌△ DCO 典例导思 3. （2023·安徽）如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 为 CD 的中点，连结 AE 、 BE ，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F . （1）求证：△ DAE ≌△ CFE ； 证明：（1）∵ AD ∥ BC ， ∴∠ ADC ＝∠ ECF . ∵ E 是 CD 的中点， ∴ DE ＝ CE . 在△ DAE 与△ CFE 中， ​ （第3题） ​ ∴△ DAE ≌△ CFE （A. S. A. ）. 典例导思 （2）若 AB ＝ BC ＋ AD ，求证： BE ⊥ AF . 证明：（2）由（1）知，△ DAE ≌△ CFE ， ∴ AE ＝ EF ， AD ＝ CF . ∵ AB ＝ BC ＋ AD ，∴ AB ＝ BC ＋ CF ，即 AB ＝ BF ， 在△ ABE 与△ FBE 中， ∴△ ABE ≌△ FBE （S. S. S. ）， ∴∠ AEB ＝∠ FEB ＝90°，∴ BE ⊥ AF . （第3题） 典例导思 题型二　“S. S. S. ”的综合运用 如图，已知 AB ＝ DC ， DB ＝ AC . 求证：∠ ABD ＝∠ DCA . 典例导思 证明：如图，连结 AD . 在△ BAD 和△ CDA 中， ​ ∴△ BAD ≌△ CDA （S. S. S. ）， ∴∠ ABD ＝∠ DCA . 典例导思 [方法归纳] 本题作辅助线的意图是构造全等的三角 形，即两个三角形的公共边，构造公共边是常添的辅 助线之一. 典例导思 4. 如图， AB ＝ AD ， BC ＝ DC ，求证：∠ ABC ＝∠ ADC . （第4题） 典例导思 证明：如图，连结 AC . 在△ ABC 和△ ADC 中， ​ ∴△ ABC ≌△ ADC （S. S. S. ）， ∴∠ ABC ＝∠ ADC . 典例导思 5. 如图， AD 为△ ABC 的一条中线， AE ＝ AB ， AF ＝ AC ，连结 EF ， EF ＝2 AD ，求证：∠ EAF ＋∠ BAC ＝ 180°. （第5题） 　 典例导思 证明：如答案图，延长 AD 至点 H ，使 HD ＝ AD ，连结 CH ， ∵ BD ＝ CD ， AD ＝ HD ， ∠ ADB ＝∠ HDC ， ∴△ ADB ≌△ HDC （S. A. S. ）， ∴∠ BAD ＝∠ CHD ， AB ＝ HC ， （答案图） 典例导思 又∵ AC ＝ AF ， ∴△ AHC ≌△ FEA （S. S. S. ）， ∴∠ EAF ＝∠ HCA . ∵∠ HCA ＋∠ CHD ＋∠ CAD ＝180°， ∴∠ EAF ＋∠ BAC ＝180°. （答案图） ∴∠ BAC ＝∠ BAD ＋∠ CAD ＝∠ CHD ＋∠ CAD . ∵ EF ＝2 AD ， HA ＝2 AD ，∴ EF ＝ HA . ∵ AE ＝ AB ， AB ＝ HC ，∴ HC ＝ AE . 典例导思 $$第13章 全等三角形 13.2　三角形全等的判定 第5课时　斜边直角边 1. 直角三角形全等的判定“H. L. ” ⁠分别相等的两个直角三角形全 等.（可以简写成“斜边、直角边”，用字母表示为 “H. L. ”） 斜边和一条直角边　 知识导航 符号语言： 如图，∠ C ＝∠ F ＝90°， 在Rt△ ABC 和Rt△ DEF 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ DEF （H. L. ）. 知识导航 2. 直角三角形全等的五种判定方法 （1） ；（2） ⁠； （3） ；（4）A. A. S. ；（5）H. L. . S. S. S. 　 S. A. S. 　 A. S. A. 　 知识导航 题型一　运用“H. L. ”证明直角三角形全等 如图，已知 AD 、 AF 分别是两个钝角△ ABC 和△ ABE 的高，如果 AD ＝ AF ， AC ＝ AE . 求证： BC ＝ BE . 典例导思 证明：在Rt△ ADC 和 Rt△ AFE 中， ∴Rt△ ADC ≌Rt△ AFE （H. L. ）， ∴ CD ＝ EF . 在Rt△ ABD 和Rt△ ABF 中， ∴Rt△ ABD ≌Rt△ ABF （H. L. ）. ∴ BD ＝ BF . ∴ BD － CD ＝ BF － EF ， 即 BC ＝ BE . 典例导思 [误区点拨] 使用“H. L. ”时要注意格式与条件，一定 是“一条直角边与一条斜边分别相等”，若是“两直角 边对应相等”，应使用“S. A. S. ”来判定. 典例导思 1. 下列命题不正确的是（　B　） A. 有两直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C. 有一直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全 等 D. 有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B 典例导思 2. 如图，已知 AB ⊥ CD ，垂足为 B ， BC ＝ BE ，若直接 应用“H. L. ”来判定△ ABC ≌△ DBE ，则需要添加的 一个条件是 ⁠. （第2题） AC ＝ DE 　 典例导思 3. 如图，已知Rt△ ABC ，∠ ACB ＝90°， CA ＝ CB ， D 是 AC 上一点， E 在 BC 的延长线上，且 AE ＝ BD ， BD 的延长线与 AE 交于点 F . 试猜想 BF 与 AE 有何特殊的位 置关系，并说明理由. （第3题） 典例导思 解：猜想： BF ⊥ AE . 理由如下： ∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ ACE ＝∠ BCD ＝90°. 又∵ BC ＝ AC ， BD ＝ AE ， ∴Rt△ BDC ≌Rt△ AEC （H. L. ）. ∴∠ CBD ＝∠ CAE . 又∵∠ CAE ＋∠ E ＝90°， ∴∠ CBD ＋∠ E ＝90°. ∴∠ BFE ＝90°，即 BF ⊥ AE . （第3题） 典例导思 题型二　直角三角形全等的综合运用 如图，已知 DE ⊥ AC 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， AD ＝ CB ， DE ＝ BF ，求证： AB ∥ DC . 典例导思 证明：∵ DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ， ∴∠ DEA ＝∠ BFC ＝∠ DEC ＝∠ BFA ＝90°. 在Rt△ ADE 和Rt△ CBF 中， AD ＝ CB ， DE ＝ BF ， ∴Rt△ ADE ≌Rt△ CBF （H. L. ）， ∴ AE ＝ CF . ∴ AE ＋ EF ＝ CF ＋ EF ，即 AF ＝ CE . 在△ ABF 和△ CDE 中， ∵ BF ＝ DE ，∠ BFA ＝∠ DEC ， AF ＝ CE ， ∴△ ABF ≌△ CDE （S. A. S. ）， ∴∠ BAC ＝∠ DCA ，∴ AB ∥ DC . 典例导思 [方法点拨] 在证一次全等不能解决问题时，可考虑证两 次全等或三次全等，证第一次全等是为证第二次全等准 备边或角相等的条件.在分析问题时，可“执因索 果”，也可“执果索因”，这样可使问题简化. 典例导思 4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC 于点 D ， DE ⊥ AB 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， DE ＝3 cm，则 BF 的长为 ⁠cm. （第4题） 6　 典例导思 5. 如图， AB ＝ AE ， BC ＝ ED ， AF ⊥ CD 于点 F ，∠ B ＝∠ E . 求证： F 是 CD 的中点. （第5题） 典例导思 证明：如答案图，连结 AC 、 AD . 在△ ABC 和△ AED 中， ∴△ ABC ≌△ AED （S. A. S. ）， ∴ AC ＝ AD . ∵ AF ⊥ CD ，∴∠ AFC ＝∠ AFD ＝90°. 在Rt△ ACF 和Rt△ ADF 中， ∴Rt△ ACF ≌Rt△ ADF （H. L. ）， ∴ CF ＝ DF ，即 F 是 CD 的中点. （答案图） 典例导思 $$