精品解析：浙教版2023-2024学年九年级下学期期末数学试题

九年级全册综合练习卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 3个球都是黑球 B. 3个球都是白球 C. 三个球中有黑球 D. 3个球中有白球 2. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 如图所示， 是由经过位似变换得到，点O是位似中心，点 D，E，F分别是的中点，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望小学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为，弦∥弦，，，则，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25 8. 对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 10. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 圆锥的底面周长为，高为4cm，则该圆锥的全面积是 _____ ；侧面展开扇形的圆心角是 ______ . 12. 直角三角形两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____． 13. 如图，在中，，，为上一点且，于，连接，则的值等于__________． 14. 如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=____________. 15. 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm． 16. 二次函数(其中m>0),下列命题：①该图象过点(6，0)；②该二次函数顶点在第三象限；③当x>3时，y随x的增大而增大；④若当x<n时，都有y随x的增大而减小，则.正确的序号是____________. 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. (1)计算：2sin30°+cos30°•tan60°. (2)已知，且a+b=20，求a，b的值. 18. 小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 19. 如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C在一条直线上，BC＝22m．在点B、C分别测得气球A的仰角为30°、63°，求气球A离地面的高度．（精确到个位）（参考值：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0） 20. 如图，矩形ABCD的四个顶点在正三角形EFG的边上.已知△EFG的边长为2，设边长AB为x，矩形ABCD的面积为S. 求：(1)S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. (2)S的最大值及此时x的值. 21. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 3 m -1 0 -1 0 3 … 其中，m =___________． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________． 22. 如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，． （1）在图中，求作的外接圆；（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹） （2）求点B的坐标与的值； （3）若A，O位置不变，将点B沿x轴正半轴方向平移使得为等腰三角形，请直接写出平移距离． 23. 如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F (1)求证：； (2)求证：; (3)若,求的值. 24. 综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．如图①：点为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，，如图② （一）填一填，做一做： （1）图②中，_______．线段 _______． （2）图②中，试判断的形状，并给出证明． 剪一剪、折一折：将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图③、图④． （二）填一填 （3）图③中阴影部分周长为_______． （4）图③中，若，则_______°． （5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有_______对； （6）如图④点落在边上，若，则_______用含，代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级全册综合练习卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 3个球都是黑球 B. 3个球都是白球 C. 三个球中有黑球 D. 3个球中有白球 【答案】B 【解析】 【分析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的3个球的颜色进行分析即可. 【详解】袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球， 故选项A、C、D都是可能事件，不符合题意，选项B是不可能事件，符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查了确定事件及随机事件，把握相关概念，正确进行分析是解题的关键. 2. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】∵△ABC∽△A′B′C′, ∴ 又∵AB＝8，A’B’＝6， ∴= . 故选B. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，难度不大 3. 如图所示， 是由经过位似变换得到的，点O是位似中心，点 D，E，F分别是的中点，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，根据位似变换得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴与的周长比是． 故选：A． 4. 如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握圆的面积和正方形的面积，用正方形的面积减去圆的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积为：， 故选：A． 5. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望小学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：列举出所有情况，看各路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可． 详解：画树状图，得 ∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种， ∴实际这样的机会是. 故选B． 点睛：此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情形．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6. 已知的半径为，弦∥弦，，，则，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时，过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时，过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 综上，，之间的距离为或， 故选D． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握圆的垂径定理是解题的关键，解题中注意分类讨论． 7. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， 又S△DOE：S△COA=1：25， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴， ∴S△BDE与S△CDE的比是1：4， 故选B． 8. 对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，然后再确定抛物线的顶点坐标的取值范围，据此即可得出答案. 【详解】解：由题意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1， ∴2a-1>0， ∴<0， ， ∴抛物线的顶点在第三象限， 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线顶点坐标公式，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键. 9. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°．故选A． 10. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 圆锥的底面周长为，高为4cm，则该圆锥的全面积是 _____ ；侧面展开扇形的圆心角是 ______ . 【答案】 ①. ②. 216° 【解析】 【详解】见下图： 根据圆的周长可知，解得：.根据勾股定理可知： ，即 ，解得：.则该圆锥的全面积是： .因为底圆的周长就是圆锥侧 面展开扇形的弧长，所以，解得：n=216°. 故答案为：和216°. 【点睛】圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底圆面积之和.利用侧面展开扇形的面积或弧长均可以求出其圆心角的度数.本题的关键是抓住通过通过底圆周长求出圆的半径，再由底圆半径r和锥高h构成的直角三角形求出斜边长（即圆锥的母线长l），在此基础上本题的问题可解答. 12. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解． 【详解】直角三角形的斜边， 所以它的内切圆半径. 故答案为2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）． 13. 如图，在中，，，为上一点且，于，连接，则的值等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 由平行线分线段成比例得出，设，则，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵， ， ， 设， ∵，， ∴，， ， ∴． 故答案为：． 14. 如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=____________. 【答案】 【解析】 【分析】连接AD,过M作MG⊥AD于G,根据正六边形的相关性质，求得AD,MD的值，再根据∠CDG=60°，求出DG,MG的值，最后利用勾股定理求出AM的值. 【详解】解：连接AD,过M作MG⊥AD于G,则由正六边形可得， AD=2AB=4，∠CDA=60°， 又MD=CD=1， ∴DG=,MG=, ∴AG=AD-DG=, ∴AM= 故答案为． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 15. 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm． 【答案】8 【解析】 【详解】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=8﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=8﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴． ∴C△EBF==C△HAE=8． 考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形. 16. 二次函数(其中m>0),下列命题：①该图象过点(6，0)；②该二次函数顶点在第三象限；③当x>3时，y随x的增大而增大；④若当x<n时，都有y随x的增大而减小，则.正确的序号是____________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】先将函数解析式化成交点时后，可得对称轴表达式，及与x轴交点坐标，由此可以判断增减性. 【详解】解：， 对称轴为， ①，故该函数图象经过，故正确； ②，， 该函数图象顶点不可能第三象限，故错误； ③，则当时，y随着x的增大而增大，故此项错误； ④当时，即，y随着x的增大而减小，故此项正确. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键. 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. (1)计算：2sin30°+cos30°•tan60°. (2)已知，且a+b=20，求a，b的值. 【答案】(1)； (2) a=8，b=12 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）设=k，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，求出k的值，即可求出a，b的值. 【详解】（1）原式= =1+ =； （2）设=k，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，得 2k+3k=20, ∴k=4, ∴a=8,b=12. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，比例的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键. 18. 小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏不公平.理由见解析. 【解析】 【分析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】不公平， 列表如下： 4 5 6 4 8 9 10 5 9 10 11 6 10 11 12 由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数有5种结果，和为奇数的有4种结果， 所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为， 由≠知这个游戏不公平. 【点睛】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C在一条直线上，BC＝22m．在点B、C分别测得气球A的仰角为30°、63°，求气球A离地面的高度．（精确到个位）（参考值：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0） 【答案】气球A离地面的高度约为18m． 【解析】 【分析】如图，过点A作AD⊥l，设AD＝x，根据锐角三角函数即可求出BD，再根据锐角三角函数列出方程即可求出结论． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥l， 设AD＝x， 则BD＝＝＝x， 又∵，，BC＝22m， ∴tan63°＝＝2， ∴AD＝x＝8+4≈18m， 答：气球A离地面的高度约为18m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和锐角三角函数是解决此题的关键． 20. 如图，矩形ABCD的四个顶点在正三角形EFG的边上.已知△EFG的边长为2，设边长AB为x，矩形ABCD的面积为S. 求：(1)S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. (2)S的最大值及此时x的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，CD=AB，CD∥AB，由平行可以得到△CDE也为正三角形，所以DE=CD=x，DF=2-x.根据等边三角形的性质得到∠F=60°，得 AD=，再根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB，CD∥AB， 又△EFG为正三角形， ∴△CDE也为正三角形. ∴DE=CD=x，∴DF=2-x. 又在正三角形EFG中，可得∠F=60°， ∴AD==， ∴S=AB·AD=x·= （2）由， ∴当x=1时，S取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键． 21. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 3 m -1 0 -1 0 3 … 其中，m =___________． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________． 【答案】（1）0；（2）图见解析；（3）答案不唯一，合理即可；（4）①3,3；②2；③-1＜a＜0． 【解析】 【分析】（1）观察表格，根据对称性即可得m=0； （2）根据表格描点，画出图象即可； （3）观察图象，写出函数的两条性质即可，可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可； （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴的交点数，即可判断根的个数；②观察函数图像可得函数图像与y=2的交点数，即可判断根的个数；③方程有4个实数根，说明函数图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围． 【详解】解：（1）观察表格，可知根据对称性可知：（-2,m）与（2,0）是关于对称轴的对称点． ∴m=0； （2）根据表格描点，画出图象即可： （3）①含有有最低点；②图像关于y轴，成轴对称； （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴有3个交点，所以对应方程有3个实数根； ②由图象可知，函数图像与直线y=2有两个交点，所以方程有2个实数根； ③方程有4个实数根，说明函数的图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围是-1＜a＜0． 故答案是：①3，3；②2；③-1＜a＜0． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解答此题的关键． 22. 如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，． （1）在图中，求作的外接圆；（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹） （2）求点B的坐标与的值； （3）若A，O位置不变，将点B沿x轴正半轴方向平移使得为等腰三角形，请直接写出平移距离． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、个单位，或个单位时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，尺规作图； （1）作的垂直平分线交于一点M，以点M为圆心，为半径画圆，则圆M即为所求； （2）如图，作，垂足为H，在中，由，得到，求出点B的坐标为，根据，求出，在中，由，得到，进而即可求解； （3）①当时， ②当时，③当时，三种情况分别求解即可 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 如图，作，垂足为H， 在中，∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵， ∴， 在中，∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 ①当时， ∵， ∴， ∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位， ②当时， ∵， ∴， 过作轴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴． ∴点B沿x轴正半轴方向平移个单位， ③当时， ∵， ∴， 过作轴． ∵B的坐标为， ∴， ∴， ∴点B沿x轴正半轴方向平移个单位， 综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、个单位，或个单位时，为等腰三角形． 23. 如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F (1)求证：； (2)求证：; (3)若,求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】 【分析】（1）由D点为中点，易知OD垂直平分BC，又因AB为直径，所以∠ACB=90°，所以；（2）因为D点为中点，所以，可得，即有；（3）利用与，可得，设CD=，则DE=，，又因为，得到，所以，得到，就有 【详解】(1)证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径 ∴即∠BFO=90° 又∵AB为的直径 ∴ ∴ (2)证明：∵D为弧BC的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ 即 (3)解：∵， ∴ 设CD=，则DE=， 又∵ ∴ ∴ 所以 又 ∴ 即 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、相似三角形证明与性质、三角函数的计算等知识点，综合程度比较高，第三问的关键在于将∠CDA换成∠CBA，利用三角形相似求得sin∠CBA 24. 综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．如图①：点为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，，如图② （一）填一填，做一做： （1）图②中，_______．线段 _______． （2）图②中，试判断的形状，并给出证明． 剪一剪、折一折：将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图③、图④． （二）填一填 （3）图③中阴影部分的周长为_______． （4）图③中，若，则_______°． （5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有_______对； （6）如图④点落在边上，若，则_______用含，的代数式表示）． 【答案】（1），（2）是等边三角形（3）；（4）（5）（6） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，四边形是矩形，得出，，，由折叠的性质得出，，得出，得出，，因此，； （2）证明得出，即可得出是等边三角形； （3）由折叠的性质得出，，得出图③中阴影部分的周长的周长； （4）由折叠的性质得出，，求出，得出，即可得出结果； （5）证明，即可得出结论； （6）设，则，证明，得出，设 ，，则，，得出，解得：，得出． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，四边形是矩形， ，，， 将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处， ，， ， ，， ，； 故答案为，； （2）是等边三角形，理由如下： 在与中，， ， ， ， 是等边三角形； （3）∵将图②中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， 图③中阴影部分的周长的周长； 故答案为； （4）将图②中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， ， ， °， ； 故答案为； （5）如图③， ， ，， ， 图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有对， 故答案为； （6）设，则，， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， 解得：， ∴； 故答案为． 【点睛】这道题主要考查三角形的全等和相似，涉及的知识点比较多，但都是常用的知识点，是一道非常好的练习题目，必须熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$