第22章 相似形 章节整合练习（12个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第22章 相似形 章节整合练习（12个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点6．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点7．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点8．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点12．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 章节题型整合练习 一．比例的性质 1．（2023秋•舒城县期末）已知，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•蚌埠期中）若，则的值为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•蒙城县期末）已知，则　　． 4．（2023秋•蒙城县校级期末）已知，求的值． 二．比例线段 5．（2022秋•潜山市期末）2和8的比例中项是　　． 6．（2022秋•濉溪县校级期末）若，，则线段，的比例中项是 　　． 7．（2023秋•安庆期末）已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•霍邱县期末）已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 三．黄金分割 9．（2023秋•金安区期末）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•蜀山区校级月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•霍邱县期末）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中为4米，则约为 　　米．（结果精确到一位小数） 12．（2022秋•大观区校级期中）如图，在中，点是线段的黄金分割点，且，．求证：． 四．平行线分线段成比例 13．（2023秋•界首市期中）如图，直线，直线、分别与直线、、相交于点、、和点、、，若，，，则　　 A． B． C．4 D． 14．（2022秋•宿松县校级期末）如图，直线．若，，，则的长为 　　． 15．（2023秋•庐江县期末）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长． 五．相似图形 16．（2023秋•泗县期中）任意下列两个图形不一定相似的是　　 A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等边三角形 17．（凤阳县模拟）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于　　； ②当菱形的“接近度”等于　　时，菱形是正方形． （2）设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义． 六．相似三角形的性质 18．（2023秋•蜀山区校级月考）若两个相似三角形的面积之比为1：2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C． D．4：1 19．（2024•阜阳一模）如图，在中，，点，分别是和上一点，沿着将折叠，使得点落在上，点的对应点为点． （1）若，则四边形的形状是 　　； （2），，若与相似，则的长为 　　． 20．（2023秋•花山区校级期中）如图，，，，，为中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 　　． 21．（2023秋•宿松县期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度．若人与标尺的水平距离，人与旗杆的水平距离，标尺的长度，根据测量结果，试求旗杆的高度． 七．相似三角形的判定 22．（2023秋•金安区校级期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•金安区校级月考）如图，在中，，，点、分别是边，上的点，连接，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则的长为　　． 24．（2023秋•庐阳区校级期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点、、、、都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 　　． 25．（2022秋•金安区校级期末）如图，与中，，，求证：． 八．相似三角形的判定与性质 26．（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，，，为边上一点，且，为上一点，若，则的长为 　　． 27．（2024•金寨县模拟）如图，在中，，是上的一点，且，过点作，交于点，射线交于点，交的延长线于点，则　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•金安区校级期末）如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 九．相似三角形的应用 29．（2023•庐阳区一模）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•亳州月考）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：与相交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 　　． 31．（2023秋•贵池区月考）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即，从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即，从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑的高度． 32．（2023秋•金安区校级月考）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 一十．作图-相似变换 33．（2022秋•大观区校级期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）经过平移，可使的顶点与坐标原点重合，请直接写出此时点的对应点坐标；（不必画出平移后的三角形） （2）在网格内画△，使得△，相似比为． 34．（2023秋•萧县期末）网格中每个小正方形的边长都是1． （1）将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； （2）在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 一十一．位似变换 35．（2023秋•界首市期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于　　 A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 36．（2023秋•金寨县期末）如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长为　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•桐城市月考）如图，在平面直角坐标系中，与△是位似图形，位似中心是原点，已知点、，则与△的相似比是 　　． 38．（2020秋•包河区校级月考）如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． 一十二．作图-位似变换 39．（2024•包河区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形△，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形△，并直接写出点坐标； 40．（2023秋•霍邱县期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形△，使它与的相似比为． （2）写出的坐标， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形 章节整合练习（12个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点6．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点7．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点8．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点12．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 章节题型整合练习 一．比例的性质 1．（2023秋•舒城县期末）已知，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【解答】解：， ，， 、、选项不符合题意，选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 2．（2022秋•蚌埠期中）若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 3．（2023秋•蒙城县期末）已知，则　　． 【分析】根据比例的性质，即可解答． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键熟记比例的性质． 4．（2023秋•蒙城县校级期末）已知，求的值． 【分析】利用设法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ，，， ． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 二．比例线段 5．（2022秋•潜山市期末）2和8的比例中项是　　． 【分析】根据比例的基本性质，，设其比例中项是，则其比例中项可求． 【解答】解：设其比例中项是， ， ． 故答案为． 【点评】考查了比例中项的概念：如果一个比例式中的两个内项相同，则是比例中项．注意一个正数的平方根有两个． 6．（2022秋•濉溪县校级期末）若，，则线段，的比例中项是 　6　． 【分析】根据比例中项的定义可得，代入可求得． 【解答】解：设是线段，的比例中项， 是、的比例中项线段， ， 舍去）． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的性质是解题的关键，即如果是、的比例中项则有． 7．（2023秋•安庆期末）已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长　　 A． B． C． D． 【分析】首先设，由线段，可求得的值，又由是与的比例中项，列方程即可求得线段的长． 【解答】解：设，则， 是，的比例中项， ， 即， 解得：， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了比例中项的定义，掌握比例中项的概念是解题的关键． 8．（2023秋•霍邱县期末）已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【分析】（1）设，，，再代入求解得到，即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段的长． 【解答】解：（1）设，，， ，即， 解得：， ，，； （2）由（1）知，，又因为是，的比例中项， ，即， ， ， ． 【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． 三．黄金分割 9．（2023秋•金安区期末）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 【分析】由黄金分割知：，由此可求得的长． 【解答】解：为的黄金分割点， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 10．（2023秋•蜀山区校级月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 【分析】黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案． 【解答】解：由黄金分割比，根据题意可得， ， ， 故选：． 【点评】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，熟记黄金分割比是解决问题的关键． 11．（2023秋•霍邱县期末）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中为4米，则约为 　2.5　米．（结果精确到一位小数） 【分析】由题意得，即可得出答案． 【解答】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比， ， （米， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，其中． 12．（2022秋•大观区校级期中）如图，在中，点是线段的黄金分割点，且，．求证：． 【分析】利用点是线段的黄金分割点得到，而，所以，然后判断得到结论． 【解答】证明：点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 而， ， ． 【点评】此题考查了黄金分割点、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键． 四．平行线分线段成比例 13．（2023秋•界首市期中）如图，直线，直线、分别与直线、、相交于点、、和点、、，若，，，则　　 A． B． C．4 D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，进而求出． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 14．（2022秋•宿松县校级期末）如图，直线．若，，，则的长为 　14.4　． 【分析】由，得到，代入数据即可得到结果． 【解答】解：， ， 即： ， 故答案为：14.4． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键． 15．（2023秋•庐江县期末）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【分析】利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【解答】解：， ， ， ，， ， ， ． 【点评】此题考查平行线分线段成比例，掌握其性质是解题的关键． 五．相似图形 16．（2023秋•泗县期中）任意下列两个图形不一定相似的是　　 A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等边三角形 【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解． 【解答】解：、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意 、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意； 、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以符合题意； 、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键． 17．（凤阳县模拟）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于　40　； ②当菱形的“接近度”等于　　时，菱形是正方形． （2）设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义． 【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形； （2）不合理，举例进行说明． 【解答】解：（1）①内角为， 与它相邻内角的度数为． 菱形的“接近度” ． ②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形． （2）不合理． 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等． 合理定义方法不唯一． 如定义为， 越接近1，矩形越接近于正方形； 越大，矩形与正方形的形状差异越大； 当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形． 【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度” 越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键． 六．相似三角形的性质 18．（2023秋•蜀山区校级月考）若两个相似三角形的面积之比为1：2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C． D．4：1 【分析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应边上高的比等于相似比，由此即可得到答案． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比为1：， ∴这两个三角形对应边上的高之比为1：． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质． 19．（2024•阜阳一模）如图，在中，，点，分别是和上一点，沿着将折叠，使得点落在上，点的对应点为点． （1）若，则四边形的形状是 　四边形是菱形　； （2），，若与相似，则的长为 　　． 【分析】（1）根据图形翻折变换的性质得出，故可得出，，，再由可知，故可得出，故可得出，据此可得出结论； （2）设，则，再分与两种情况求出的值即可． 【解答】解：（1）点，分别是和上一点，沿着将折叠，使得点落在上，点的对应点为点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：四边形是菱形； （2），，， 设，则， 由（1）知，， ， 当时，，即， 解得，即； 当时，，即， 解得，即， 综上所述，的长为或3， 故答案为：或3． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，菱形的判定，翻折变换，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 20．（2023秋•花山区校级期中）如图，，，，，为中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 　6　． 【分析】连接，可证，是的中点，可得，当时，最短，所以此时最短，求出最短值即可求出的最小值． 【解答】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最短，此时最小， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及相似三角形的判定及性质，勾股定理等，再根据“垂线段最短”，作出辅助线，进行正确求解是解题的关键． 21．（2023秋•宿松县期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度．若人与标尺的水平距离，人与旗杆的水平距离，标尺的长度，根据测量结果，试求旗杆的高度． 【分析】由题意可知，可得，，进而可知，，得，代入已知边得长度即可求解． 【解答】解：由题意可知， ，， ，， ， ，，，则， ， 即：旗杆的高度为． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意可知，可得，，进而可知，，得，代入已知边得长度即可求解，利用相似三角形的性质列比例关系是解决问题的关键． 七．相似三角形的判定 22．（2023秋•金安区校级期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【解答】解：在中，，，， 在、、选项中的三角形都没有，而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， 因为，所以选项中的三角形与相似． 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 23．（2023秋•金安区校级月考）如图，在中，，，点、分别是边，上的点，连接，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则的长为　或2　． 【分析】根据折叠的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：将沿翻折得到， ， ， ， 以点、、为顶点的三角形与相似， 或，即或， 解得：或2， 故答案为：或2． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 24．（2023秋•庐阳区校级期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点、、、、都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 　　． 【分析】利用两边成比例夹角相等，证明三角形相似． 【解答】解：观察图象可知，， ，，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 25．（2022秋•金安区校级期末）如图，与中，，，求证：． 【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为，所以，即．问题得证． 【解答】证明：， ， ． （2分） ，（3分） ． （5分） 【点评】此题考查了相似三角形的判定，内容单一，简单． 八．相似三角形的判定与性质 26．（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，，，为边上一点，且，为上一点，若，则的长为 　　． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的长，即可求出的长，再证和相似，即可求出的长． 【解答】解：过点作于点， ， ， ， ，，， ， 由勾股定理得，， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 又，， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 27．（2024•金寨县模拟）如图，在中，，是上的一点，且，过点作，交于点，射线交于点，交的延长线于点，则　　 A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质及三角形相似的判定方法得，，由平行线分线段成比例定理，，，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定及性质；掌握判定方法及性质进行线段比例转换是解题的关键． 28．（2023秋•金安区校级期末）如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【分析】（1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，据此代值计算即可． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 九．相似三角形的应用 29．（2023•庐阳区一模）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离　　 A． B． C． D． 【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【解答】解：如图：过作于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 30．（2023秋•亳州月考）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：与相交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 　4.8　． 【分析】先证明△，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，即可得到答案． 【解答】解：， ，， ， 又点到的距离为，点到的距离为， ， ． 故答案为：4.8． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键． 31．（2023秋•贵池区月考）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即，从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即，从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑的高度． 【分析】设，则，证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设，则， ，， ， ， ，即， 同理可证， ，即， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ， 该古建筑的高度为． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，证明，得到，同理得到，进而建立方程是解题的关键． 32．（2023秋•金安区校级月考）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：，， ， ，， ，， ，， ， 答：路灯的高度为． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 一十．作图-相似变换 33．（2022秋•大观区校级期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）经过平移，可使的顶点与坐标原点重合，请直接写出此时点的对应点坐标；（不必画出平移后的三角形） （2）在网格内画△，使得△，相似比为． 【分析】（1）根据平移的性质可得答案． （2）根据相似三角形的性质作图即可． 【解答】解：（1）由题意得，是向左平移3个单位，向下平移3个单位使顶点与坐标原点重合， 此时点的对应点坐标为． （2）如图，△即为所求． 【点评】本题考查作图平移变换、相似变换，熟练掌握平移的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 34．（2023秋•萧县期末）网格中每个小正方形的边长都是1． （1）将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； （2）在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【分析】（1）根据网格结构，点向右平移3个单位，向上平移2个单位得到，然后根据此规律找出点、的位置，顺次连接即可； （2）根据网格结构，作出，，的三角形即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求作的三角形； （2）如图所示，即为所求作的三角形． 【点评】本题考查了利用相似变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出相应的点的位置是解题的关键． 一十一．位似变换 35．（2023秋•界首市期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于　　 A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【分析】理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换． 【解答】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选：． 【点评】本题考查了位似变换，理解位似变换的定义是解答本题的关键． 36．（2023秋•金寨县期末）如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：与是位似图形，位似比为， ， ， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点． 37．（2023秋•桐城市月考）如图，在平面直角坐标系中，与△是位似图形，位似中心是原点，已知点、，则与△的相似比是 　　． 【分析】根据位似图形的概念得到△，根据点、的坐标求出相似比． 【解答】解：与△是位似图形， △， 点、， 与△的相似比是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键． 38．（2020秋•包河区校级月考）如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． 【分析】（1）易得四边形为矩形，再利用平行线分线段成比例得到，加上，所以，从而可判断四边形为正方形； （2）解：作于，交于，如图，利用三角形面积公式先计算出，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法求出，设，则，，证明，然后利用相似比得到，最后利用相似比求出即可． 【解答】（1）证明：，，， 四边形为矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 而， ， 四边形为正方形； （2）解：作于，交于，如图， 的面积， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，即，解得， 即的长为． 【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．也考查了相似三角形的判定与性质． 一十二．作图-位似变换 39．（2024•包河区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形△，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形△，并直接写出点坐标； 【分析】（1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据位似图形的概念作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求， 由图知，点的坐标为； （2）如图所示，△即为所求，点坐标为． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换与位似变换，解题的关键是掌握轴对称变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 40．（2023秋•霍邱县期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形△，使它与的相似比为． （2）写出的坐标， 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求 （2）由图可得，． 【点评】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$