第25章 锐角的三角比 章节整合练习（7个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第25章 锐角的三角比 章节整合练习（7个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点3．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点4．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点5．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点6．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点7．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 一．锐角三角函数的定义 1．（2023秋•长宁区校级期中）在中，，，，则的正切值为　　 A． B． C． D． 2．（2023•徐汇区一模）在中，，，．下列四个选项，正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•黄浦区期中）在中，，如果，，那么　　． 4．（2022秋•青浦区校级期中）在中，，，，则　　． 5．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且． （1）当时，连接，求的余切值； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）连接，若为等腰三角形，求的长． 二．特殊角的三角函数值 6．（2022•思明区校级一模）的值等于　　 A．1 B． C． D．2 7．（2023秋•崇明区期中）计算：　　． 8．（2023秋•闵行区校级月考）在中，，，，下列说法正确的是　　 A．的正切值为 B．的正弦值为 C． D． 9．（2022秋•长宁区校级期中）在中，，，则的度数为 　　． 10．（2023秋•黄浦区期末）计算：． 11．（2023秋•青浦区校级期中）． 三．解直角三角形 12．（2023秋•松江区期末）在中，已知，，，那么的长为　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•静安区期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2024•静安区校级模拟）在△ABC中有一点P，满足∠PAB＝∠CBP＝∠ACP，则点P被称为△ABC的“布卡洛点”，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是△ABC的一个“布卡洛点”，则cot∠ACP＝　　． 15．（2024•静安区校级模拟）在△中，，，，的垂直平分线交于，则　　． 16．（2022秋•青浦区期末）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，． （1）求的值； （2）求线段的长． 17．（2023秋•长宁区期末）如图，在四边形中，，，，垂足为点，，． （1）求的值； （2）联结交于点，如果，求的长． 四．解直角三角形的应用 18．如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直、、在同一条直线上），设，那么拉线的长度为　　 A． B． C． D． 19．（松江区二模）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为，，那么晾衣架两顶点、之间的距离为　　． 20．（2024•浦东新区三模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：， 21．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 22．（2024•上海模拟）如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米． （1）求的度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积． 23．（2023•奉贤区三模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点都放置在水平地面时，恰好与的最高点重合．此时，的高度为，则　　；如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点与的垂直高度差为 　　． 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 24．（2020秋•浦东新区期中）一段公路路面的坡度为．如果某人沿着这段公路向上行走了，那么此人升高了　　 A． B． C． D． 25．（徐汇区期末）如果一斜坡的坡比是，那么该斜坡坡角的余弦值是　　 ． ． ． ． 26．（2024•闵行区）小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是 　　． 27．（2023秋•浦东新区期末）小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 　　米． 28．（2022秋•嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡长为13米，它的坡度为，，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）． 求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：，， 29．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 30．（2023秋•浦东新区校级月考）如图，某人在一个建筑物的顶部观察另一个建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即，那么建筑物的高度为　　米． 31．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为　　米． A． B． C． D． 32．（2024•浦东新区校级开学）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为　　． 33．（2021秋•徐汇区期末）无人机在空中点处观察地面上的小丽所在位置点处的俯角是，那么小丽在地面点处观察空中点处的仰角是　　 A． B． C． D． 34．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，、、三点共线．从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为；从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为．（点、都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：， 35．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上、两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决：（1）请用含的代数式表示仰角； （2）如果、、在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 七．解直角三角形的应用-方向角问题 36．如图，为了测量一河岸相对两电线杆，间的距离，在距点15米的处测得，则，间的距离应为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 37．（2022秋•闵行区期末）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶5海里到处，再从处向正东方向行驶8海里到处，此时这艘船与出发点处相距 　　海里． 38．（2020秋•虹口区校级期末）如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为　　． 39．（2022秋•崇明区期末）如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的北偏东方向，如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，， 40．（2023秋•普陀区月考）如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向140千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：，，， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 锐角的三角比 章节整合练习（7个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点3．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点4．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点5．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点6．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点7．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 一．锐角三角函数的定义 1．（2023秋•长宁区校级期中）在中，，，，则的正切值为　　 A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得的长度，然后根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：在中，，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数定义及勾股定理，结合已知条件求得的长度是解题的关键． 2．（2023•徐汇区一模）在中，，，．下列四个选项，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可． 【解答】解：如图，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握是解题的关键． 3．（2022秋•黄浦区期中）在中，，如果，，那么　　． 【分析】根据，于是得到，即可求出． 【解答】解：在中，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握定义及定理是解本题的关键． 4．（2022秋•青浦区校级期中）在中，，，，则　2　． 【分析】先根据勾股定理求出的值，再求即可． 【解答】解：在中，，，， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，若，则的正弦等于的对边比斜边，的余弦等于的邻边比斜边，的正切等于的对边比邻边．的余切等于的邻边比对边，，，，． 5．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且． （1）当时，连接，求的余切值； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）连接，若为等腰三角形，求的长． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再由三角形的中位线定理求出、的长，由锐角三角函数的定义即可求出的余切值； （2）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出、的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式； （3）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，点在边上，过点作于点，可求出的长度，由的长可判断出的位置，进而可求出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答． 【解答】解：（1），， ， ，， ，（1分） ，（1分） 在中，；（2分） （2）过点作于点，设， ， ， ， ， ，，（1分） ， 又可证， ，（1分） ， ；（2分） （3），， ， 若为等腰三角形，只有或两种可能．（1分） 当时，点在边上，过点作于点（如图① 可得：，即点在中点， 此时与重合， ；（2分） 当时，点在的延长线上， 过点作于点，（如图② 可证： ， 是直角三角形， ， ， ， ． ， ， ， ，，（2分） 综上所述，为6或7． 【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大． 二．特殊角的三角函数值 6．（2022•思明区校级一模）的值等于　　 A．1 B． C． D．2 【分析】根据解答即可． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握． 7．（2023秋•崇明区期中）计算：　1　． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值，进而计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 8．（2023秋•闵行区校级月考）在中，，，，下列说法正确的是　　 A．的正切值为 B．的正弦值为 C． D． 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出各个三角函数值即可． 【解答】解：，，， ， ．的正切值为，选项错误； ．的正弦值为，选项错误； ．，选项错误； ．，选项正确； 故选：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及勾股定理，能根据锐角三角函数的定义分别求出各个三角函数值是解题的关键． 9．（2022秋•长宁区校级期中）在中，，，则的度数为 　85　． 【分析】根据特殊角的三角函数，，确定，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：85． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 10．（2023秋•黄浦区期末）计算：． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2023秋•青浦区校级期中）． 【分析】把特殊角的三角函数值代入原式计算即可． 【解答】解：原式， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数运算，零指数幂运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 三．解直角三角形 12．（2023秋•松江区期末）在中，已知，，，那么的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义进行选择即可． 【解答】解：，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三个三角函数的定义是解题的关键． 13．（2023秋•静安区期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点在直线上，过点作轴于点，则点的坐标为，在中，利用勾股定理，可求出的长，再通过解直角三角形，可求出，，及的值． 【解答】解：当时，， 点在直线上． 过点作轴于点，则点的坐标为，如图所示． 在中，，，， ， ，，，． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解直角三角形，通过构造直角三角形，求出，，及的值是解题的关键． 14．（2024•静安区校级模拟）在△ABC中有一点P，满足∠PAB＝∠CBP＝∠ACP，则点P被称为△ABC的“布卡洛点”，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是△ABC的一个“布卡洛点”，则cot∠ACP＝　2　． 【分析】证明△ABP∽BCP，推出，从而得到，，即可得解． 【解答】解：如图： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵点P是△ABC的一个“布卡洛点”， ∴∠PAB＝∠CBP＝∠ACP， ∴∠ABC﹣∠CBP＝∠ACB﹣∠ACP，即∠ABP＝∠BCP， ∴△ABP∽△BCP， ∴， ∴，， ∵∠PAB＝∠ACP，∠PAB+∠CAP＝90°， ∴∠ACP+∠CAP＝90°， ∴∠APC＝180°﹣（∠ACP+∠CAP）＝90°， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15．（2024•静安区校级模拟）在△中，，，，的垂直平分线交于，则　　． 【分析】作于，作的垂直平分线交于，交于，解直角三角形得出，由勾股定理得出，解直角三角形得出，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得出答案． 【解答】解：如图：作于，作的垂直平分线交于，交于， ， 在△中，，， ， ， 由勾股定理可得：， 在△中，， ， ， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，根据余弦的定义求出是解题的关键． 16．（2022秋•青浦区期末）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，． （1）求的值； （2）求线段的长． 【分析】（1）根据，，可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据的长，从而可以得到的长，再利用勾股定理可以得到的长，然后即可求得的值； （2）根据题意和等腰三角形的性质，可以得到，然后即可计算出的长． 【解答】解：（1），，， ， 解得， 在中，， ， ， 在中，， ； （2），平分， ，， ， 又， ， ， 即． 解得． 【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17．（2023秋•长宁区期末）如图，在四边形中，，，，垂足为点，，． （1）求的值； （2）联结交于点，如果，求的长． 【分析】（1）借助于即可解决问题． （3）先求出的长，再借助于即可解决问题． 【解答】解：（1）， ． ，， ，， ． ， ， 又，， ． （2）联结交于点，如图所示， 在中， ， ，， ． 在中， ， 则， ， 则． 又，， ， ， 则， 解得． 故的长为1． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理和相似三角形的巧妙运用是解题的关键． 四．解直角三角形的应用 18．如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直、、在同一条直线上），设，那么拉线的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据同角的余角相等得，由，即可求出的长度． 【解答】解：，， ，， ， 在中，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 19．（松江区二模）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为，，那么晾衣架两顶点、之间的距离为　　． 【分析】由图可得：两点之间的距离是较长对角线的长；根据已知可分别求得较短和较长的对角线的长，则不难求得的长． 【解答】解：连接、交于点，作于点， ，， ， 由勾股定理得： ， 由勾股定理得： 在直角三角形中， 晾衣架两顶点、之间的距离为 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形的应用及菱形的性质，解题的关键是正确的构造直角三角形并求解． 20．（2024•浦东新区三模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：， 【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ，， ， ， 此时点到地面的距离约为； （2）一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口， 理由：如图：当，且时，设交于点， 由题意得：，， ， 在中，， ， ， 入口宽度为， ， ， 一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答． 【解答】解：，，， ，， 由题意得： ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键． 22．（2024•上海模拟）如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米． （1）求的度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积． 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可； （2）利用三角形的面积解题即可． 【解答】解：（1）因为，米，米， 所以（米， 因为米，米， 所以， 所以是直角三角形，． （2）图中阴影部分的面积（平方米）． 【点评】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 23．（2023•奉贤区三模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点都放置在水平地面时，恰好与的最高点重合．此时，的高度为，则　8　；如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点与的垂直高度差为 　　． 【分析】如图2，连接，延长交于，作于，由圆的半径为，得，设，利用勾股定理即可求出长；作，求出、的水平距离，如图3，连接，过作水平线，与过的铅垂线交于，利用三角函数，即可求出． 【解答】解：如图2，连接，延长交于，作于， 由圆的半径为，得， 的高度为， ， 设， ， ，， ，，， ，即， ，即． 故答案为：8； 如图2，作， ， ， 如图3，连接，过作水平线，与过的铅垂线交于， 由图2得，且， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角的综合应用，准确找到三角形的边角关系是解题关键． 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 24．（2020秋•浦东新区期中）一段公路路面的坡度为．如果某人沿着这段公路向上行走了，那么此人升高了　　 A． B． C． D． 【分析】已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度． 【解答】解：如图，中，，米． 设，则，根据勾股定理，得： ， 解得（负值舍去）． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力，难度不大，注意掌握坡度的定义及数形结合思想的应用． 25．（徐汇区期末）如果一斜坡的坡比是，那么该斜坡坡角的余弦值是　　 ． ． ． ． 【分析】根据坡比坡角的正切值，设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值． 【解答】解：如图所示： 由题意，得：， 设竖直直角边为，水平直角边为， 则斜边， 则． 故选：． 【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键． 26．（2024•闵行区）小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是 　　． 【分析】由勾股定理求出小明行走的水平距离，由坡比的定义即可计算． 【解答】解：由勾股定理得：小明行走的水平距离是（米， 这个斜坡的坡比． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角，关键是掌握斜坡的坡比的定义． 27．（2023秋•浦东新区期末）小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 　50　米． 【分析】设坡度的高为米，根据勾股定理，列方程求解． 【解答】解：设坡度的高为米，则水平距离为：米， 则：， 解得：， 故答案为：50． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 28．（2022秋•嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡长为13米，它的坡度为，，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）． 求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：，， 【分析】根据坡度的概念，设米，则米，根据勾股定理列出方程，解方程求解，然后根据余切的定义列出算式，求出． 【解答】解：由题意，得：，， 在中，， 设米，则米， ， ， ， ， 米，米， 在中，， ，米， ， （米， 答：斜坡改进后的起点与原起点的距离为4.1米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 29．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【分析】（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 【解答】解：（1）斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； （2）作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 30．（2023秋•浦东新区校级月考）如图，某人在一个建筑物的顶部观察另一个建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即，那么建筑物的高度为　81　米． 【分析】如图：过点作，垂足为，可知四边形是矩形，即；然后再解直角三角形可得，，最后根据线段的和差即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为，可知四边形是矩形， ， ，， ，， ，， （米． 故答案为：81． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并正确解直角三角形成为解题的关键． 31．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为　　米． A． B． C． D． 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可． 【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高，测角仪高为1.5米， 故旗杆的高为米． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 32．（2024•浦东新区校级开学）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为　米　． 【分析】根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得，然后可得出的度数，进而根据的正切值可得出的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离． 【解答】解：如图， 由题意得：，米， ， ， （米， 故答案为：米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的知识及俯角的定义． 33．（2021秋•徐汇区期末）无人机在空中点处观察地面上的小丽所在位置点处的俯角是，那么小丽在地面点处观察空中点处的仰角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论． 【解答】解：因为从点看点的俯角与从点看点的仰角互为内错角，大小相等． 所以无人机在空中点处观察地面上的小丽所在位置点处的俯角是， 小丽在地面点处观察空中点处的仰角是． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯角的定义． 34．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，、、三点共线．从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为；从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为．（点、都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：， 【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：，， 在中，，， （米， 在中，，， （米， 米， 米， 的长为米； （2）设米， 在中，， （米， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 山峰高度的长约为10.2米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及字模型相似三角形是解题的关键． 35．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上、两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决：（1）请用含的代数式表示仰角； （2）如果、、在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【分析】（1）延长交于，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图：延长交于， 由题意得：， ， ， ， ； （2）延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 在中，， （米， 在中，， （米， ， ， 解得：， 米， 米， 大楼的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 七．解直角三角形的应用-方向角问题 36．如图，为了测量一河岸相对两电线杆，间的距离，在距点15米的处测得，则，间的距离应为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】根据已知，利用已知角的正切函数求解即可． 【解答】解：因为，，在直角中， 所以． 故选：． 【点评】正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 37．（2022秋•闵行区期末）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶5海里到处，再从处向正东方向行驶8海里到处，此时这艘船与出发点处相距 　7　海里． 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【解答】解：如图： ， ， ，海里， 海里，海里， （海里）， （海里）， 故答案为：7． 【点评】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答． 38．（2020秋•虹口区校级期末）如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为　　． 【分析】作于点，根据题目条件得出、、，再分别求出、、的长，从而得出答案． 【解答】解：如图所示，过点作于点， 由题意知，，， 则， ， 在中，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解． 39．（2022秋•崇明区期末）如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的北偏东方向，如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，， 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，再根据正切的定义求出． 【解答】解：在中，，海里， 则（海里）， 在中，， ， （海里）， 答：还需航行的距离的长约为30海里． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 40．（2023秋•普陀区月考）如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向140千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：，，， 【分析】过点作于点，先解，设，则，，解，进而求得，，进而根据，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点作于点， 点在点的西北方向， ， ，， 点在点的北偏东方向， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ， ， ， （千米） 答：从地到地实际行驶的路程是213.1千米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$