【每日一练】2024-2025学年苏科版九年级数学上册第四周

第四周 周一 直线与圆的位置关系 1．如下图（左），两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是　 　． 2．如上图（右），已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有公共点时，则r的取值范围是 　 　． 3．如下图（左），在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 　 　； （2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由． 4．如上图（右），△ABC中，∠ACB＝90°，BC，AC＝2， （1）若⊙C切AB于D，求⊙C半径及切线AD的长； （2）直接写出⊙C与线段AB有两个公共点时半径r的取值范围． 5．已知圆心O到直线m的距离为d，⊙O的半径为r． （1）当d、r是方程x2﹣9x+20＝0的两根时，判断直线m与⊙O的位置关系？ （2）当d、r是方程x2﹣4x+p＝0的两根时，直线m与⊙O相切，求p的值． 【拓展思考】 6．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：图中的P（1，3）是“垂距点”． （1）在点A（2，2），B（，），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 　 　； （2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标； （3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 　 　． 第四周 周二 切线的判定与性质 1．如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（　　） A．3 B．4 C． D． 2．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O切线； （2）若DE＝3，CE＝2，求⊙O的半径． 4．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，作直径AB，过B作BC∥PO交⊙O于点C． （1）求证：PC为的切线； （2）连接AC交PO于M，若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长． 【拓展思考】 5．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥OA于点O，AE⊥BC于点E．∠D＝2∠ACB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AE＝3BE，CD＝5，求⊙O的半径． 第四周 周三 切线长定理 1．如下图（左），四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 2．如上图（右），PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　 　cm． 3．如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 4．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝12cm，求△PEF的周长． 【拓展思考】 5．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8． （1）判断△OBC的形状，并证明你的结论； （2）求BC的长； （3）求⊙O的半径OF的长． 第四周 周四 三角形内切圆与内心 1．如下图（左），点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 2．如上图（右），△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 3．如下图（左），点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 　 　． 4．如上图（右），点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．求证：DE＝DB． 5．如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点． （1）求证：四边形ODCE是正方形； （2）如果AB＝5，AC＝3，求内切圆⊙O的半径． 【拓展思考】 6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）求证：DE＝CD； （3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径． 第四周 周五 正多边形与圆 1．若一个正n边形的每个内角为150°，则这个正n边形的边数是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 　 　． 4．如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝　 　． 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 【拓展思考】 6．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． （1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 　 　； （2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四周 周一 直线与圆的位置关系 1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是　8≤AB≤10　． 【分析】根据已知条件和图形分析可得当AB是大圆直径时AB的值最大，从而可得AB的最大值；进一步分析可得当AB与小圆相切的时，AB最小，利用勾股定理可得AB的最小值；若大圆的弦AB与小圆有公共点，即AB与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答． 【解答】解：当AB是大圆直径时AB的值最大，最大值为10． 当AB与小圆相切时AB最小． ∵小圆的半径为3，大圆半径为5， ∴AB＝28． ∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交， ∴8≤AB≤10． 故答案为：8≤AB≤10． 【点评】本题考查了判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 2．如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有公共点时，则r的取值范围是 　1≤r≤5　． 【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到HMCM＝1，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【解答】解：过M作MH⊥AC于H， ∵CM＝2，∠ACB＝30°， ∴HMCM＝1， ∵AM＝5，⊙M与线段AC有交点， ∴r的取值范围是1≤r≤5， 故答案为：1≤r≤5． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 3．如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 　（3，2）　； （2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，以AB为半径的圆为所求，然后根据网格的特征可求出点M的坐标； （2）先利用勾股定理求出MA，即得⊙M的半径为r，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离d＝3，然后比较d与r的大小即可得出⊙M于y轴的位置关系． 【解答】解：（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，则以点M为圆心，以AM为半径的圆为所求，如图所示： 根据网格的特征可得：点M的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． （2）⊙M于y轴相交，理由如下： 由勾股定理得：MA， 即⊙M的半径为r， ∵⊙M的圆心M的坐标为（3，2）， ∴点M到y轴的距离d＝3， ∵d＜r， ∴⊙M于y轴相交． 【点评】此题主要考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握过三点圆的圆心的位置，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC，AC＝2， （1）若⊙C切AB于D，求⊙C半径及切线AD的长； （2）直接写出⊙C与线段AB有两个公共点时半径r的取值范围． 【分析】（1）根据已知和勾股定理求出AB的长，根据面积公式求出⊙C的半径，根据勾股定理求出AD的长； （2）观察图形可以得到⊙C与线段AB有两个公共点时半径r的取值范围． 【解答】解：（1）作CD⊥AB于D， ∠ACB＝90°，BC，AC＝2， 由勾股定理得：AB＝5， AC×BCAB×CD， CD＝2， 在直角三角形ADC中，AD2＝AC2﹣CD2， AD＝4， （2）∵CD＝2，BC， ∴⊙C与线段AB有两个公共点时，2＜r． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，正确通过圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键． 5．已知圆心O到直线m的距离为d，⊙O的半径为r． （1）当d、r是方程x2﹣9x+20＝0的两根时，判断直线m与⊙O的位置关系？ （2）当d、r是方程x2﹣4x+p＝0的两根时，直线m与⊙O相切，求p的值． 【分析】（1）首先解方程求出d和r的值，再分两种情况讨论即可判断出直线m与⊙O的位置关系； （2）当直线m与⊙O相切，则d＝r，由此可求出p的值． 【解答】解：（1）解方程x2﹣9x+20＝0得 d＝5，r＝4或d＝4，r＝5， 当d＝5，r＝4时，d＞r，此时直线m与⊙o相离； 当d＝4，r＝5时，d＜r，此时直线m与⊙o相交； （2）当直线m与⊙O相切时，d＝r，即16﹣4p＝0， 解得：p＝4． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 【拓展思考】 6．只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图①，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 　 　． （2）在图①中线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向三角形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，AB＝3，BD＝4．求BC的长． 6．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：图中的P（1，3）是“垂距点”． （1）在点A（2，2），B（，），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 　A，B　； （2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标； （3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 　r＜5　． 【分析】（1）将各点横、纵坐标的绝对值相加，取和为4的点即是所求； （2）设函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），根据“垂距点”的定义可得出|a|+|2a+3|＝4，解之即可得出a值，进而可得出“垂距点”的坐标； （3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），画出该函数图象，分⊙T与DE相切及⊙T过点F两种情况求出r值，结合题意，即可得出r的取值范围． 【解答】解：（1）∵|2|+|2|＝4，||+||＝4，|﹣1|+|5|＝6≠4， ∴是“垂距点”的点为A，B． 故答案为：A，B． （2）设函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标（a，2a+3）， 依题意得：|a|+|2a+3|＝4． ①当a＞0时，a+（2a+3）＝4， 解得：a， ∴此时“垂距点”的坐标为（，）； ②当a＜0时，﹣a+（2a+3）＝4， 解得：a＝1（不合题意，舍去）； ③当a时，﹣a﹣（2a+3）＝4， 解得：a， ∴此时“垂距点”的坐标为（，）． ∴综上所述，函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标是（，）或（，）． （3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0）， 当x＞0，y＞0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0＜x＜4）； 当x＜0，y＞0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4＜x＜0）； 当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0）； 当x＞0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0＜x＜4）， 画出该函数图象，如图所示． 当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，易证△DNT为等腰直角三角形， ∴TNTD|4﹣1|； 当⊙T过点F（﹣4，0）时，⊙T上不存在“垂距点”， 此时r＝FT＝|1﹣（﹣4）|＝5． ∴若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是r＜5． 故答案为：r＜5． 【点评】本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征以及相切，解题的关键是：（1）根据“垂距点”的定义，判定给出点是否为“垂距点”；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用特殊值法，找出r的取值范围． 第四周 周二 切线的判定与性质 1．如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】设⊙O与PB相切于点C，连接OC，由切线的性质得出PB⊥OC，由直角三角形的性质得出OP＝2OC＝2×2＝4即可． 【解答】解：设⊙O与PB相切于点C，连接OC，如图所示： ∵⊙O与PB相切于点C， ∴PB⊥OC，OC＝2， ∵∠APB＝30°， ∴OP＝2OC＝2×2＝4； 故选：B． 【点评】本题考查切线的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的性质，属于中考常考题型． 2．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OMOA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠B＝30°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴直线AD是⊙O的切线． （2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M， ∴AM＝EM， ∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°， ∴∠OAM＝30°， ∴OMOA10＝5， ∴AM5， ∴AE＝2AM＝2×510． 【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大． 3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O切线； （2）若DE＝3，CE＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）由DE⊥AC，AB是⊙O的直径，得∠E＝∠ACB＝90°，则DE∥BC；连接OD，由∠BAD＝∠CAD，得，则OD垂直平分BC，所以∠ODE＝∠OFC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）由∠CFD＝∠FDE＝∠E＝90°，证明四边形CFDE是矩形，则BF＝CF＝DE＝3，DF＝CE＝2，由勾股定理得（OB﹣2）2+32＝OB2，求得OB，则⊙O的半径长为． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AC交AC的延长线于点E，AB是⊙O的直径， ∴∠E＝∠ACB＝90°， ∴DE∥BC； 连接OD， ∵AD平分∠BAC交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴OD垂直平分BC， ∵DE∥BC， ∴∠ODE＝∠OFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠CFD＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴BF＝CF＝DE＝3，DF＝CE＝2， ∵∠OFB＝90°，OD＝OB， ∴OF2+BF2＝OB2，OF＝OD﹣2＝OB﹣2， ∴（OB﹣2）2+32＝OB2， 解得OB， ∴⊙O的半径长为． 【点评】此题重点考查切线的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，作直径AB，过B作BC∥PO交⊙O于点C． （1）求证：PC为的切线； （2）连接AC交PO于M，若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长． 【分析】（1）连接OC，利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，平行线的性质，全等三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形的面积公式求得线段OM的长，再利用三角形的中位线定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠PAO＝90°． ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B． ∵BC∥PO， ∴∠COP＝∠OCB，∠AOP＝∠B， ∴∠COP＝∠AOP． 在△COP和△AOP中， ， ∴△COP≌△AOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OAP＝90°， ∴OC⊥PC． ∵OC为⊙O的半径， ∴PC为的切线； （2）解：∵⊙O的半径为3， ∴OA＝OB＝3． ∵PA＝4， ∴PO5． 由（1）知：△COP≌△AOP， ∴PA＝PC，∠CPO＝∠APO， ∴PM⊥AC，AM＝MC． ∵PA•AOPO•AM， ∴PA•AO＝PO•AM， ∴4×3＝5AM， ∴AM． ∴OM， ∵AM＝MC，OA＝OB， ∴OM为△ABC的中位线， ∴BC＝2OM． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 【拓展思考】 5．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥OA于点O，AE⊥BC于点E．∠D＝2∠ACB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AE＝3BE，CD＝5，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据余角的性质得到∠COD＝∠OAE，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠ACB，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设BE＝x，AE＝3x，OA＝OB＝OC＝r，得到OE＝r﹣x，根据勾股定理得到r＝5x，得到OE＝4x，过C作CH⊥OD于H，根据全等三角形的性质得到CH＝OE＝4x，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵OD⊥OA，AE⊥BC， ∴∠AOE+∠COD＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠COD＝∠OAE， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACB， ∴∠AOE＝∠OAC＝∠ACB＝2∠ACB， ∵∠D＝2∠ACB， ∴∠AOE＝∠D， ∵∠COD+∠D+∠OCD＝180°，∠AOE+∠OAE+∠AEO＝180°， ∴∠OCD＝∠OAE＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝3BE， ∴设BE＝x，AE＝3x，OA＝OB＝OC＝r， ∴OE＝r﹣x， ∵r2＝（3x）2+（r﹣x）2 解得r＝5x， ∴OA＝OC＝5x， ∴OE＝4x， 过C作CH⊥OD于H， 在△AOE与△OCH中， ， ∴△AOE≌△OCH（AAS）， ∴CH＝OE＝4x， ∵S△CDO， ∴OD， ∴OC， 故⊙O的半径为：． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键． 第四周 周三 切线长定理 1．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 【分析】根据切线长定理得到AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，进而求出AD+BC，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F， ∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF， ∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25， ∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50， 故选：D． 【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 2．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　20　cm． 【分析】利用切线长定理，可以得到：PA＝PB，AE＝EC，FC＝FB，据此即可求解 【解答】解：∵PA，PB是圆的切线． ∴PA＝PB 同理，AE＝EC，FC＝FB． 三角形PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+PF+CF+EC＝PE+AE+PF+FB＝PA+PB＝2PA＝20cm． 故答案是20． 【点评】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键． 3．如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 【分析】设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，求出四边形BMON是正方形，求出BM＝BN＝3，根据切线长定理求出EM＝EP，FP＝FN，最后求出△BEF的周长＝BM+BN，代入求出即可． 【解答】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON， 则∠OMB＝∠ONB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∵ON＝OM， ∴四边形MBNO是正方形， ∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆， ∴BM＝BN＝OM＝ONAB6＝3， 由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN， ∴△BEF的周长为BF+EF+BE ＝BF+PF+PE+BE ＝BF+FN+EM+BE ＝BN+BM ＝3+3 ＝6． 【点评】本题考查了切线长定理，正方形的性质和判定，正方形的内切圆的应用，解此题的关键是求出△BEF的周长＝BN+BM和求出BM的长，注意：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 4．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝12cm，求△PEF的周长． 【分析】根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，代入PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF即可求出答案． 【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B， ∴PA＝PB＝12， ∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点， ∴EB＝EQ，FQ＝FA， ∴△PEF的周长是：PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF， ＝PE+EB+PF+FA＝PB+PA＝12+12＝24， 答：△PEF的周长是24． 【点评】本题主要考查对切线长定理的理解和掌握，能根据切线长定理得出PA＝PB、EB＝EQ、FQ＝FA是解此题的关键． 【拓展思考】 5．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8． （1）判断△OBC的形状，并证明你的结论； （2）求BC的长； （3）求⊙O的半径OF的长． 【分析】（1）由切线长定理，易得∠OBE＝∠OBF∠EBF，∠OCG＝∠OCF∠GCF，又由AB∥CD，则可求得∠BOC＝90°； （2）由BO＝6，CO＝8，利用勾股定理即可求得BC的长； （3）利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得⊙O的半径OF的长． 【解答】（1）答：△OBC是直角三角形． 证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G， ∴∠OBE＝∠OBF∠EBF，∠OCG＝∠OCF∠GCF， ∵AB∥CD， ∴∠EBF+∠GCF＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴△OBC是直角三角形； （2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8， ∴BC10； （3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G， ∴OF⊥BC， ∴OF4.8． 【点评】此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 第四周 周四 三角形内切圆与内心 1．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【分析】根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝50°，根据内心的概念得到∠CAB+∠ABC＝100°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵∠AIB＝130°， ∴∠IAB+∠IBA＝50°， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝100°， ∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝80°， 故选：D． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 2．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 【分析】由切线长定理可知AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，再根据线段的和差即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC， ∵AD＝3，BE＝2，CF＝4， ∴AF＝3，BD＝2，CE＝4， ∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝5，AC＝AF+FC＝7， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键． 3．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 　20°　． 【分析】连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°， ∵OB＝OC， ∴， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．求证：DE＝DB． 【分析】连接BE，由三角形的内心得出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB＝∠DBE，即可得出结论． 【解答】证明：连接BE ∵E是△ABC的内心 ∴∠BAD＝∠CAD ∠ABE＝∠CBE 又∵∠CBD＝∠CAD ∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝∠CAD+∠CBE ∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝∠CAD+∠CBE ∴∠BED＝∠DBE ∴△BDE是等腰三角形 ∴DE＝DB 【点评】本题考查了三角形的外心与内心、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键． 5．如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点． （1）求证：四边形ODCE是正方形； （2）如果AB＝5，AC＝3，求内切圆⊙O的半径． 【分析】（1）根据正方形的判定定理证明； （2）根据勾股定理求出AB，根据切线长定理得到AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE，结合图形列式计算即可． 【解答】（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OD⊥BC，OE⊥AC， 又∠C＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∵OD＝OE， ∴四边形ODCE是正方形． （2）解：设⊙O的半径为r， ∵四边形ODCE是正方形， ∴OD＝DC＝CE﹣r， 在RtABC中， BC4， 则BD＝4﹣r，AE＝3﹣r， ∵⊙O与△ABC各边相切于点D，E，F， ∴AE＝AF＝3﹣r，BF＝BD＝4﹣r， ∵AB＝AF+BF＝5， ∴3﹣r+4﹣r＝5， 解得：r＝1， ∴内切圆的半径是1． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握切线长定理、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【拓展思考】 6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）求证：DE＝CD； （3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OD交BC于H，根据圆周角定理和切线的判定即可证明； （2）连接BD，由点E是△ABC的内心，得到∠ABE＝∠CBE，∠DBC＝∠BAD，推出∠BED＝∠DBE，根据等角对等边得到BD＝DE，即可得到结论； （3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图， ∵点E是△ABC的内心 ∴AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴OD⊥BC，BH＝CH， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， ∴DG是⊙O的切线； （2）证明：连接BD， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DBC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE， 即∠BED＝∠DBE， ∴BD＝DE， ∵， ∴BD＝CD， ∴DE＝CD； （3）解：连接OD，OB，如图， 由（1）得OD⊥BC，BH＝CH， ∵BC＝8， ∴BH＝CH＝4， ∵DE＝2，BD＝DE， ∴BD＝2， 在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2， ∴（2）2＝42+HD2，解得：HD＝2， 在Rt△BHO中， r2＝BH2+（r﹣2）2，解得：r＝5． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 第四周 周五 正多边形与圆 1．若一个正n边形的每个内角为150°，则这个正n边形的边数是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】先求出外角的度数，即可求解． 【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为150°， ∴一个正n边形的每个外角为30°， ∴这个正n边形的边数12， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形外角和为360°是解题的关键． 2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝40°，即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， ∴这个正多边形的边数9． 故选：C． 【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 3．点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 　18°　． 【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴， ∴∠DFG＝90°， ∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角， ∴∠FDG72°， ∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°， 故答案为：18°． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 4．如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝　36°　． 【分析】连接OB，OA多边形是正五边形可求出∠AOB的度数，再根据三角形内角和即可求出∠OAB的度数，利用切线的性质求出∠PAB即可． 【解答】解：连接OB，OA， ∵多边形ABCDEF是正多边形， ∠AOB72°， ∴∠OAB（180°﹣∠AOB）＝54°． ∵直线PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP＝90°． ∴∠BAP＝90°﹣54°＝36°． 故答案为：36°． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、弦切角定理；作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键． 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴， ∵， ∴，即， ∴BM＝CM． 【点评】本题考查的是正方形的性质、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键． 【拓展思考】 6．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． （1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 　：1　； （2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出； （2）首先求得∠EOB的度数，然后利用360°除以∠EOB度数，若所得的结果是整数的即可． 【解答】解：（1）设此圆的半径为R， 则它的内接正方形的边长为R， 它的内接正六边形的边长为R， 内接正方形和内接正六边形的边长比为R：R：1． 故答案为：：1； （2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边， 理由：连接OA，OB，OE， 在正方形ABCD中，∠AOB＝90°， 在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝30°， ∵n12， ∴BE是正十二边形的边． 【点评】考查了正多边形和圆，解决圆的相关问题一定要结合图形，掌握基本的图形变换．找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$