天津市宝坻区第四中学2024-2025学年高二上学期第三次周测数学试题

高二数学第一学期第三次 周测 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 2．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 6．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 二、填空题 9．若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 10．已知直线l的方程为，直线l与坐标轴交于A，B两点，则的面积为 ． 11．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 12．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为 （用一般式表示） 13．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 14．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 三、解答题 15．已知的三个顶点坐标分别是. (1)求边所在的直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 16．如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知点； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 18．如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学第一学期第三次 周测 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义可判断. 【详解】由直线，可得该直线的倾斜角为. 故选：D. 2．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由倾斜角得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即. 故选：B. 3．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过的象限确定斜率及轴截距判断选项即可. 【详解】若直线过第一、二、四象限，则， 选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足． 故选：C. 4．如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 5．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 6．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件用表示出，然后对所得的等式两边平方化简可求得结果. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为， 故选：A. 7．当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到到直线的最远距离为，此时直线垂直于，即可求出直线方程． 【详解】因为直线， 所以可将直线方程变形为， ，解得，， 由此可得直线系恒过点 到直线的最远距离为，此时直线垂直于，， 直线的斜率为， ，， 直线的一般方程为． 故选：A 8．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 二、填空题 9．若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，可得 则直线的倾斜角的大小为. 故答案为：；. 10．已知直线l的方程为，直线l与坐标轴交于A，B两点，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】分别求出直线与坐标轴的交点的坐标，从而可求出的面积. 【详解】直线l的方程为， 令，得，令，得， 不妨令，，则． 故答案为：6 11．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案. 【详解】由于底面，平面，所以， 而底面是矩形，所以， ， ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 12．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可； 【详解】由题意可得，解得交点坐标为， 又所求直线的倾斜角为，故斜率为， 所以直线方程为， 故答案为：. 13．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，先求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可． 【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 由平面，设， 所以， 设， 所以，即，解得， 所以，则， 设直线的夹角为， 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：． 14．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【详解】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 三、解答题 15．已知的三个顶点坐标分别是. (1)求边所在的直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先求出所在的直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （2）先求出的中点坐标，再求出所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出边上的高所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程. 【详解】（1）由， 得所在的直线的斜率， 所以所在的直线的方程：，即， 所以边所在的直线的一般式方程：； （2）由， 得的中点坐标为，所在的直线的斜率， 所以中线所在直线的方程：，即， 所以中线所在直线的一般式方程为； （3）由得，边的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以上的高所在直线的方程为：， 即， 所以边上的高所在直线的一般式方程为. 16．如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理证得，结合线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意知，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．已知点； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可； （2）分类讨论截距是否为0进行求解即可. 【详解】（1）直线的斜率： ， 故过点且与平行的直线方程斜率. 且故直线方程为：，即. （2）过点且在轴和轴上截距相等的直线方程, 当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即； 当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得， 故直线方程为即. 综上得：直线方程为或 18．如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【详解】（1）令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$