第1章 直线与方程(单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一） 单元复习 第1章 直线与方程(单元复习） 目录/CONTENTS 题型突破 核心归纳 知识导图 链接高考 高频考点 课堂检测 知识导图 核心归纳 1.直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则____就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_______与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_____________. x轴正向 向上 0°≤α<180° 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°). (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝________. 正切值 tan α 名称 方程 适用范围 点斜式 ______________ 不含直线x＝x0 斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ___________________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ___________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 4.直线方程的五种形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 ______________ ____________________________ 垂直 v1⊥v2 ___________ ______________ 相交 v1与v2不共线 ________ ______________ 5.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝ ，l4的法向量v2＝ 的位置关系如下表： (A1，B1) (A2，B2) k1＝k2且b1≠b2 k1·k2＝－1 k1≠k2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0 A1A2＋B1B2＝0 A1B2－A2B1≠0 6.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝____________________. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝_________. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_______. 常用技巧或结论 1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀： 1.“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 常用技巧或结论 2.直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R). (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. k1＝k2 k1k2＝－1 题型一：直线方程的求法及应用 题型突破 直线方程的几种形式的转化 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要. 例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2). (1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程； ∵A(0,1)，B(3,2)， 由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3， ∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)， 化为一般式可得3x＋y－3＝0. 15 ∵M(1,1)为AC的中点，A(0,1)， ∴C(2,1)， (2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程. ∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2， 化为一般式可得x－y－1＝0. 题型二：两直线的平行与垂直 一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 3 当2－2a＝－a，即a＝2时， ∴AB和CD不平行； ∴a＝3或a＝－1. ∴直线AB与直线CD平行. ∴AB与CD重合.∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行. 18 (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________. 将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0， 垂直 19 题型三：两直线的交点与距离问题 20 例3　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是 ，则实数a的值为（ ） A.－1 B.5 C.－1或5 D.－3或3 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. C 21 设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上， 将点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程. 题型四：坐标法的应用 利用坐标法证明几何问题的思路 (1)建立平面直角坐标系； (2)设出各点的坐标； (3)列出代数等式，并化简； (4)验证结论成立. 例4　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：AE＝CD. 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，如图，设△ABD和△BCE的边长分别为a和c. 所以AE＝CD. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.直线x＋y＝0的倾斜角为 A.45° 　　　 B.60°　　　 C.90°　　　 D.135° √ 因为直线的斜率为－1，所以tan α＝－1，即倾斜角为135°. 17 18 19 20 21 22 课堂检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为 A.2x－y＋2＝0 B.x＋2y＋2＝0 C.2x－y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 √ 设该直线方程为2x－y＋m＝0， 由于点(0，－2)在该直线上， 则2×0＋2＋m＝0，即m＝－2， 即该直线方程为2x－y－2＝0. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为 A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0 C.－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0 √ 设所求直线上任意一点(x，y)， 则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)， 因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上， 所以3x＋4y＋5＝0. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为　，则P点坐标为 A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2，－1) D.(2,1)或(－1,2) √ 解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1). 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点 A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2) √ 直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2). 又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2). 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是　 ，则m＋n等于 A.0 　　　B.1 　　　 C.－1　　　 D.2 √ 由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2. 17 18 19 20 21 22 解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知P(－1,2)，Q(2,4)，直线l：y＝kx＋3.若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k等于 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的角平分线所在直线的方程为 A.2x－y－6＝0 B.x＋2y－3＝0 C.x＋2y＋3＝0 D.2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线4x＋3y－12＝0，令x＝0，得y＝4， 令y＝0，得x＝3，即B(0,4)，A(3,0). 由图可知∠BAO为锐角， ∴∠BAO的角平分线所在的直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值. 设P(x，y)为∠BAO的角平分线所在的直线上的任意一点， 17 18 19 20 21 22 ∴4x＋3y－12＝5y或4x＋3y－12＝－5y， 即2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0. 由于斜率为负值， 故∠BAO的角平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是 A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2) 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设B点坐标为(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有 A.y－x＝1 B.y＋x＝3 C.y＝2x D.y＝－2x 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解得a＝－1，故方程为x－y＋1＝0. 故所求直线方程为y＝2x或y－x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.直线l1：m2x＋y＋3＝0和直线l2：3mx＋(m－2)y＋m＝0，若l1∥l2，则m可以取的值为 A.－1 　　　B.0 　　　 C.3　　　 D.－2 √ 由m2(m－2)－3m＝0，解得m＝0或m＝－1或m＝3. 经验证，当m＝3时，两条直线重合，舍去. 所以m＝0或m＝－1. 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知点A(－2,0)，B(2,0)，如果直线3x－4y＋m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m可以等于 A.4 　　　B.－4 　　　C.10 　　　D.－10 √ 又P点唯一， ∴Δ＝36m2－100(m2－64)＝0，解得m＝10或m＝－10. 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又点P(x，y)在线段AB上，由图知， 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，则直线 l1恒过定点_________，l1的倾斜角α的取值范围是_______. 17 18 19 20 21 22 (0，－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，直线l2：2x＋3y－6＝0与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,2)，直线l1：y＝kx－3恒过定点P(0，－3)， 17 18 19 20 21 22 由图可知，要使直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于 ，则k的取值范围是_______________________. 17 18 19 20 21 22 －11≤k≤－1且k≠－6 16.在平面直角坐标系中，坐标原点O到过点A(cos 130°，sin 130°)， B(cos 70°，sin 70°)的直线的距离为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据诱导公式可知，B(sin 20°，cos 20°)， 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即sin 10°x－cos 10°y＋cos 10°cos 20°－sin 10°sin 20°＝0， 17 18 19 20 21 22 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(10分)直线l经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且__________. (1)求直线l的方程； 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选①， ∵直线l经过直线l1：x＋y－4＝0与直线l2：x－y＋2＝0的交点P， 17 18 19 20 21 22 ∵直线l平行于直线2x－y－1＝0， ∴设直线l的方程为2x－y＋m＝0， 把P(1,3)代入，得2－3＋m＝0，解得m＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选②， ∵直线l经过直线l1：x＋y－4＝0与直线l2：x－y＋2＝0的交点P， 17 18 19 20 21 22 由题意知直线l的斜率存在，设为k，且k≠0， 则l的方程为y－3＝k(x－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴k＝2， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选①， 在直线l：2x－y＋1＝0中，令x＝0，得y＝1； 17 18 19 20 21 22 (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选②， 在直线l：2x－y＋1＝0中，令x＝0，得y＝1； 17 18 19 20 21 22 ∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 (1)求点P的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)判断AD和CP是否垂直，并证明. kAD·kPC＝－1， ∴AD⊥CP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1)求直线l的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由直线方程的点斜式， 整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0， 17 18 19 20 21 22 (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程. 解得C＝1或C＝－29， 故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 20.(12分)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0， 所以直线l恒过定点(－1，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A，B两点， 17 18 19 20 21 22 (2)过点M(－1，－2)作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程. 所以所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0. 21.(12分)如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B的坐标为(2，－1), C，D均在第一象限. (1)求直线CD的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以m＝±4，由题图可知m>0，所以m＝4， 所以直线CD的方程为x＋2y－8＝0. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A(1,1)，C(4,2)， 17 18 19 20 21 22 又直线AC的方程为x－3y＋2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为1<m<4， 17 18 19 20 21 22    ＝(x1≠x2，y1≠y2) ＋＝1 常见误区 1．求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．斜率公式k＝(x1≠x2)与两点的顺序无关，且两点的横坐标不相等． 3．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 4．两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 平行 _________ k1与k2都不存在 垂直 ____________ k1与k2一个为零、另一个不存在 5．三种距离 点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 |P1P2|＝ ________________________ 点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝______________ 线线距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝_________ ∴kAB＝＝， ∴kBC＝＝1， 由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0. 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，kCD＝－1， 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝， 例2　(1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝______. kAB＝＝－， kAB＝－，CD的斜率不存在. 当a≠2时，kCD＝＝. 得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. ∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴＝，即|a－2|＝3， 则A(－a,0)，C(c,0)，E，D， 由距离公式，得AE＝＝， CD＝＝， 设P(x,5－3x)，则d＝＝， 由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝， 由题可知＝， A.或6 　　　 B. 　　　 C.0 　　　 D.0或 解得k＝0或. 则点P到OA的距离为|y|，到AB的距离为＝. 由角平分线的性质，得|y|＝， 根据题意知 则 解得或 当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x； 当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入点(1,2)可得－＝1， 设P，由PA⊥PB得 ·＝0，整理得25x2＋6mx＋m2－64＝0， 13.已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值是 ________. －  的几何意义是点P(x，y)与点Q(3,0)连线的斜率， 当点P与点B重合时，有最大值， 又kBQ＝＝－，因此的最大值为－. 因为kPA＝1，所以直线PA的倾斜角为， 则l1的倾斜角的取值范围是. 因为两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于， 即两平行直线2x＋y－4＝0与2x＋y＋k＋2＝0的距离不大于， 所以k＋2≠－4，且≤，求得－11≤k≤－1且k≠－6. kAB＝＝ ＝ ＝ ＝＝， 所以经过A，B两点的直线方程为y－cos 20°＝(x－sin 20°)， 即sin 10°x－cos 10°y＋＝0， 所以原点O到过A，B两点的直线的距离d＝＝. ①与直线2x－y－1＝0平行，②直线l在x轴上的截距为－. ∴由解得即P(1,3)， ∴由解得即P(1,3)， ∵直线l在x轴上的截距为－， ∴＝－， 令y＝0，得x＝－. ①与直线2x－y－1＝0平行，②直线l在x轴上的截距为－. ∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×1×＝. 令y＝0，得x＝－.  S＝×1×＝. 18.(12分)如图，正△ABC的边长为6，B(－3,0)，C(3,0)，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于P. 由题意知A(0,3)，E(2，)，D(－1,0)，B(－3,0)， 由lAD：y＝3x＋3， lBE：y＝(x＋3)， 联立解得P， 垂直，证明如下：kAD＝3，kPC＝－， 得y－5＝－(x＋2)， 19.(12分)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－. 由点到直线的距离公式得＝3，即＝3， 所以由题意得 解得 则A，B(0，k－2)， 因为AB的中点为M，所以解得k＝－2， 由题意，得kAB＝kCD＝－， 所以设直线CD的方程为y＝－x＋m，即x＋2y－2m＝0， 因为S▱ABCD＝8，AB＝，所以＝， 设D(a，b)，若BC＝，则AD＝， (2)若BC＝，求点D的横坐标. 所以解得a＝或2， 所以点D的横坐标为或2. 所以AC＝＝， 所以点B到直线AC的距离d＝， 所以S＝AC·d＝|m－3＋2|＝. 22.(12分)已知在△ABC中，A(1,1)，B(m，)，C(4,2)(1<m<4).当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 所以1<<2,0≤2<， 所以S＝－2， 当且仅当＝，即m＝时，S最大. $$