精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷

期中测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 代数式中的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列几组数中，是勾股数的有（ ） ①5、12、13；②13、14、15；③、、（k为正整数）；④ A 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形 6. 计算的结果为（ ） A. –7 B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，∠DAB＝60°，作DH⊥AB于点H，连接OH，则OH的长为（ ） A 2 B. 3 C. D. 8. 如图，在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若∠DAC=62°，则∠OBC的度数为（　　） A. 28° B. 52° C. 62° D. 72° 9. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F，若AB=3，BC=8，则FC的长度为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣﹣的结果是（　　） A. 2b B. 2a C. 2（b﹣a） D. 0 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知平分，，，点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 13 化简：________． 14. 腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_____． 15. 在日常生活中，取款、上网都要密码．为了保密，有人发明了“二次根式法”来产生密码，如：对于二次根式，计算结果为13，中间加一个数字0，就得到一个六位数的密码“169013”，对于二次根式，用上述方法产生的六位数密码是______． 16. 已知y=++9，则（xy-64）2的平方根为______． 17. 如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移8个单位长度到△A'B'C'的位置，则图中阴影部分面积为______． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正确的是_____（填序号） 三、解答题（本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2），，求的值. 20. 如图所示，沿海城市B的正南方向A处有一台风中心，沿AC的方向以30 km/h的速度移动，已知AC所在的方向与正北成30°的夹角，B市距台风中心最短的距离BD为120 km，求台风中心从A处到达D处需要多少小时？（，结果精确到0.1） 21. 如图，在△ABC中，，AC=6，求AB、BC的长． 22. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，G是BC边上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．若DE=4，求EF的长． 23. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形． 24. 如图，在四边形中，，，，为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若平分，，求的长. 25. （1）如图，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长． （2）如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？ 26. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB上点（不与A，B重合），△ADE与△FDE关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG， （1）当∠ADE=15°时，求∠DGC的度数； （2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由； （3）如图2， 当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 代数式中的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数，且分母不等于零列式求解即可. 【详解】由题意得 3-x≥0，且x-1≠0， 解之得 x≤3且x≠1. 故选A. 【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．也考查了不等式解集的数轴表示法. 2. 下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质将选项中的二次根式化成最简二次根式然后比较被开方数即可． 【详解】解：A、=，被开方数不相同； B、=，被开方数不相同； C、与均不能进行化简，被开方数不相同； D、=，=，被开方数相同． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，将选项中的二次根式化成最简二次根式是解决此题的关键． 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据分母有理化对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断． 【详解】解：A、原式＝﹣，所以A选项错误； B、与不能合并，所以B选项错误； C、原式＝，所以C选项错误； D、原式＝9﹣6 +10＝19﹣6 ，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4. 下列几组数中，是勾股数的有（ ） ①5、12、13；②13、14、15；③、、（k为正整数）；④ A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．勾股数是满足 的三个正整数，据此进行判断即可． 【详解】解：满足 的三个正整数，称为勾股数， ④中的数据不是正整数，故不是勾股数； ①满足，故是勾股数； ②，故不是勾股数； ③由于k为正整数，则、、为正整数，且， 故是勾股数， ∴是勾股数的有2组， 故选：B． 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；原说法正确，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形；原说法正确，不符合题意； C．对角线互相平分且垂直四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； D．一个角是直角的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键． 6. 计算的结果为（ ） A. –7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式、二次根式的性质进行化简，再合并即可得出答案 【详解】解：原式． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 7. 如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，∠DAB＝60°，作DH⊥AB于点H，连接OH，则OH的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形四边形相等、OD=OB，且每边长为6，再有∠DAB＝60°，说明△DAB为等边三角形，由DH⊥AB，可得AH=HB（等腰三角形三线合一），可得OH就是AD的一半，即可完成解答． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为24 ∴AD=BD=24÷4=6，OB=OD 由∵∠DAB＝60° ∴△DAB为等边三角形 又∵DH⊥AB ∴AH=HB ∴OH=AD=3 故答案为B. 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形、三角形中位线的知识，考查知识点较多，提升了试题难度，但抓住双基，本题便不难． 8. 如图，在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若∠DAC=62°，则∠OBC的度数为（　　） A. 28° B. 52° C. 62° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB，根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数． 详解】解：连接OB， ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB∥CD，AB=BC， ∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO， 在△AMO和△CNO中， ∵， ∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴AO=CO， ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， ∴∠BOC=90°， ∵∠DAC=62°， ∴∠BCA=∠DAC=62°， ∴∠OBC=90°-62°=28°． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 9. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F，若AB=3，BC=8，则FC的长度为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形点的性质可得AD∥BC，AD=BC，再求出AE的长度，再根据勾股定理列式求出BE的长，然后根据角平分线的定义求出∠BEF=∠DEF，根据两直线平行，内错角相等求出∠BFE=∠DEF，再求出BEF=∠BFE，根据等角对等边可得BE=BF，然后根据FC=BC-BF代入数据计算即可得解． 【详解】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=8， ∵E为AD的中点， ∴AE=AD=×8=4， 在Rt△ABE中，， ∵EF是∠BED的角平分线， ∴∠BEF=∠DEF， ∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠DEF， ∴BEF=∠BFE， ∴BE=BF， ∴FC=BC-BF=8-5=3． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，两直线平行，内错角相等的性质，等角对等边的性质，熟记各性质是解题的关键． 10. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣﹣的结果是（　　） A. 2b B. 2a C. 2（b﹣a） D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知-1＜b＜0＜a＜1，由进行化简. 【详解】解：由图可知-1＜b＜0＜a＜1，原式=|a|-|b|-|a-b|=a+b-a+b=2b， 故选择A. 【点睛】本题考查了含二次根式的式子的化简. 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知平分，，，点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵是的角平分线，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 12. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断； ②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长； ③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断； ⑤由三角形中线的性质可得：． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ， ，， ， 中，， 四边形是平行四边形， ∴ ， 中， 故②正确 ③由②知：， ， 故③正确； ④由②知：是的中位线， ， ， ， 故④正确； ⑤ 故⑤错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理，三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 13. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为. 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行化简，本题属于基础题型． 14. 腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_____． 【答案】6或或． 【解析】 【分析】根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案． 【详解】解：①如图1 当，， 则， ∴底边长为6； ②如图2． 当，时， 则， ∴， ∴， ∴此时底边长为； ③如图3： 当，时， 则， ∴， ∴， ∴此时底边长为． 故答案为6或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 15. 在日常生活中，取款、上网都要密码．为了保密，有人发明了“二次根式法”来产生密码，如：对于二次根式，计算结果为13，中间加一个数字0，就得到一个六位数的密码“169013”，对于二次根式，用上述方法产生的六位数密码是______． 【答案】025005 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟知二次根式的性质是解题的关键．先求出的值，再根据题意即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴产生的六位数密码是025005． 故答案为：025005． 16. 已知y=++9，则（xy-64）2的平方根为______． 【答案】±1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解可得x的值，进而可得y的值，然后可得（xy-64）2的平方根． 【详解】解：由题意得：， 解得：x=7， 则y=9， （xy-64）2=1， 1的平方根为±1， 故答案为±1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 17. 如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移8个单位长度到△A'B'C'的位置，则图中阴影部分面积为______． 【答案】32 【解析】 【分析】由正方形性质可得AD=CD=12，∠DAC=45°，由平移的性质可得AA'=8，A'B'⊥AD，即可求A'E=8，A'D=4，即可求阴影部分面积． 【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=12，∠DAC=45°， ∵把△ABC沿AD方向平移8个单位长度到△A'B'C'的位置， ∴AA'=8，A'B'⊥AD，且∠DAC=45°， ∴A'E=AA'=8， ∵A'D=AD-AA'=4， ∴阴影部分面积=A'E×A'D=8×4=32， 故答案为：32. 【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记平移的性质并用平移距离表示出重叠部分的底与高是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正确的是_____（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断． 【详解】∵E，F分别是BC，AC的中点， ∴EF＝AB，EF∥AB， ∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AB∥CD， ∴EF∥CD，故①正确； ∵∠ADC＝90°，F是AC的中点， ∴DF＝CF=AC， ∵AB=AC，EF＝AB， ∴EF＝DF，故②正确； ∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点， ∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°， ∴∠DFC=90°， ∵EF//AB， ∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°， ∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°， ∴∠FED＝∠FDE＝22.5°， ∵∠FDC＝45°， ∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°， ∴∠FDE=∠CDE， ∴DE平分∠FDC，故③正确； ∵AB＝AC，∠CAB＝45°， ∴∠B＝∠ACB＝675°， ∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误； ∵△ACD是等腰直角三角形， ∴AC2=2CD2， ∴AC=CD， ∵AB=AC， ∴AB＝CD，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2），，求的值. 【答案】(1) ;（2） 【解析】 【分析】（1）运用二次根式运算法则，直接计算即可； （2）首先转化代数式，然后代入即可得解. 【详解】（1） 原式= （2） = 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，熟练运用，即可解题. 20. 如图所示，沿海城市B的正南方向A处有一台风中心，沿AC的方向以30 km/h的速度移动，已知AC所在的方向与正北成30°的夹角，B市距台风中心最短的距离BD为120 km，求台风中心从A处到达D处需要多少小时？（，结果精确到0.1） 【答案】6.9小时 【解析】 【分析】根据30°角所对的边等于斜边的一半得出AB的长度，然后根据直角三角形的勾股定理求出AD的长度，然后根据时间的计算法则求出答案． 【详解】解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°， ∵∠BAD=30°，BD=120km， ∴AB=2BD=240km， 根据勾股定理得：AD==120km， ∵≈1.73， ∴从A到D处需要=4≈6.9小时． 【点睛】本题主要考查的就是直角三角形的性质以及勾股定理的实际应用，属于中等难度的题目．在等腰直角三角形中，三角形的三边长的比值为，含有30°角的直角三角形的三边长的比值为．在解决实际问题的时候，我们首先要明确求的是哪条边的长度，然后利用勾股定理进行计算得出所求的答案． 21. 如图，在△ABC中，，AC=6，求AB、BC的长． 【答案】AB=，BC=＋3 【解析】 【详解】试题分析：过A作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD、AB，计算即可． 试题解析:过A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABC中，∠C=30°，AC=6, ∴AD=AC=3, 根据勾股定理得DC= 在Rt△ADB中，∠B=45°, ∴AD=BC=3, 根据勾股定理得AB= ∴BC=BD＋DC=＋3 . 22. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，G是BC边上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．若DE=4，求EF的长． 【答案】EF的长为1． 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据正方形的性质、直角三角形的性质得出，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出，最后根据勾股定理、线段的和差即可得． 【详解】 ∵正方形ABCD的边长为5 在和中， 故EF的长为1． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、正方形的性质等知识点，找出两个全等三角形是解题关键． 23. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形． 【详解】证明：∵AB＝AC，AD是角平分线， ∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC， ∵AE平分∠FAC， ∴∠FAE＝∠EAC， ∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD， 又∵DE∥AB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE∥BD，AE＝BD， ∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴BD＝DC， ∴AE∥DC，AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． 【点睛】本题是对矩形判定的考查，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键. 24. 如图，在四边形中，，，，为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若平分，，求的长. 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）可证，由勾股定理可求出． 【小问1详解】 证明：∵为中点，即； ∵， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵，为的中点， ∴. ∴平行四边形是菱形 . 【小问2详解】 解：∵平分，∴； ∵，∴， ∴，∴； 在中，，，． 25. （1）如图，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长． （2）如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？ 【答案】（1）AB=10，CD=4.8；（2）BM=30厘米. 【解析】 【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可． （2）连接AC，BD交于点O，根据四边形ABCD是菱形求出AO的长，然后根据勾股定理求出BO的长，于是可以求出B、M两点的距离． 【详解】解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8， 由勾股定理得：AB=  =10， ∵S△ABC= AB•CD= AC•BC，∴CD= = =4.8 （2）.连接AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD， ∴BO= = =5厘米， ∴BD=2BO=10厘米， ∴BM=3BD=30厘米． 故答案为（1）AB=10，CD=4.8；（2）BM=30厘米. 【点睛】本题考查勾股定理，以及三角形面积求法，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理以及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 26. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG， （1）当∠ADE=15°时，求∠DGC的度数； （2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由； （3）如图2， 当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) ∠DGC=45°； (2) ∠DGC=45°不会变化； (3) 四边形AGFM是正方形 【解析】 【分析】（1）根据对称性及正方形性质可得∠CDF=60°=∠DFC，再利用三角形外角∠DFC=∠FDE+∠DPF可求∠DPC度数； （2）由(1)知△DFC为等腰三角形，得出DF=DC，求出∠DFC=45º+∠EDF，由∠DFC=∠DGC+∠EDF可得∠DGC=45º； （3）证明FG=MF=MA=AG，∠AGF=90º，即可得出结论 【详解】(1)△FDE与ADE关于DE对称 ∴△FDE≌△ADE ∴∠FDE＝∠ADE＝15º，AD=FD ∴∠ADF=2∠FDE=30º ∵ABCD为正方形 ∴AD=DC=FD，∠ADC=∠DAC=∠DFE=90º ∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=60º ∴△DFC为等边三角形 ∴∠DFC=60º ∵∠DFC为△DGF外角 ∴∠DFC=∠FDE+∠DGC ∴∠DGC=∠DFC-∠FDE=60-15º=45º (2)不变. 证明: 由(1)知△DFC为等腰三角形，DF=DC ∴∠DFC=∠DCF= (180º-∠CDF) =90º-∠CDF① ∵∠CDF=90º-∠ADF=90º-2∠EDF② 将②代入①得∠DFC=45º+∠EDF ∵∠DFC=∠DGC+∠EDF ∴∠DGC=45º (3)四边形AMFG为正方形. 证明: ∵M为Rt△ADE中斜边DE的中点 ∴AM＝DE ∵M为Rt△FED中斜边DE的中点 ∴FM=DE=AM=MD 由(1)知△AED≌△FED ∴AD=DF，∠ADG=∠FDG △ADG与△FDG中， AD=DF， ∠ADG=∠FDG，DG=DG ∴△ADG≌△FDG， 由(2)知∠DGC=45º ∴∠DGA=∠DGF=45º，AG=FG， ∠AGF=∠DGA+∠DGF=90º ∵DB为正方形对角线， ∴∠ADB=∠45º， ∵∠ADG=∠GDF=∠ADB=22.5º ∵DM＝FM ∴∠GDF=∠MFD=22.5º ∵∠GMF=∠GDF+∠MFD=45º ∴∠GMF=∠DGF＝45º ∴MF=FG ∴FG=MF=MA=AG，∠AGF=90º ∴四边形AMFG为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定. 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$