2.2 直线的方程（十大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 目录 【题型归纳】 2 题型一：点斜式直线方程 2 题型二：斜截式直线方程 2 题型三：两点式直线方程 2 题型四：截距式直线方程 3 题型五：中点坐标公式 3 题型六：直线的一般式方程 3 题型七：直线方程的综合应用 4 题型八：判断动直线所过定点 5 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 5 题型十：直线方程的实际应用 6 【重难点集训】 8 【高考真题】 11 【题型归纳】 题型一：点斜式直线方程 1．（2024·高二·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 2．（2024·高二·全国·课后作业）直线过点（,4），倾斜角为，则直线的点斜式方程为 ． 3．（2024·高二·全国·课后作业）经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 4．（2024·高二·全国·课后作业）直线l经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为 ． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为 ． 题型二：斜截式直线方程 6．（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 7．（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 8．（2024·高二·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）. A． B． C． D． 题型三：两点式直线方程 10．（2024·高二·全国·课后作业）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（    ） A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 11．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 12．（2024·高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 13．（2024·高二·全国·课后作业）经过点､的直线的两点式方程为 . 题型四：截距式直线方程 14．（2024·高二·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 15．（2024·高二·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 16．（2024·高二·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 题型五：中点坐标公式 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 18．（2024·高二·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 19．（2024·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 20．（2024·高二·湖北·阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 题型六：直线的一般式方程 21．（2024·高二·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·高二·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·高二·江苏淮安·期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 . 24．（2024·高二·上海·随堂练习）若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 25．（2024·高二·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线的方程． (1)经过点和； (2)平行于向量，并且经过点． 题型七：直线方程的综合应用 26．（2024·高一·广西桂林·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 27．（2024·高二·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 28．（2024·高二·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 29．（2024·高二·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 题型八：判断动直线所过定点 30．（2024·高二·福建厦门·期中）不论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点的坐标是 . 31．（2024·高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 32．（2024·高二·全国·课后作业）直线经过的定点是 ． 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 33．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 34．（2024·高一·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 35．（2024·高二·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 题型十：直线方程的实际应用 36．（2024·高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 37．（2024·高二·全国·课后作业）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 38．（2024·高二·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 39．（2024·高二·上海浦东新·期中）足球比赛中，攻方队员在守方队员的逼抢下，其行进路线可看作一条直线，已如球门两根立柱的坐标分别为，，直线过两点，．球场的长度、宽度分别100，60（单位：米）． 现攻方队员在行进过程中寻求机会射门，其位置用点表示， （1）若以攻方队员与球门中心（为坐标原点）的距离最近为标准，求点的坐标； （2）若以攻方队员对球门范围的视角最大（即最大）为标准，求点的坐标． （结果保留一位小数） 【重难点集训】 1．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2024·高二·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·广东广州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·全国·课前预习）若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．不能表示过点且斜率为k的直线方程 B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线与y轴的交点到原点的距离为b D．设，，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是 6．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 8．（2024·高二·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高二·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 11．（多选题）（2024·高二·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 12．（2024·高二·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 13．（2024·高二·全国·课后作业）直线l过原点，且垂直于向量．若角的终边落在直线l上，则 ． 14．（2024·高三·全国·专题练习）若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 . 15．（2024·高二·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 16．（2024·高二·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 17．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 18．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 19．（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 20．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知，由确定两个点. (1)写出直线的方程（答案含）； (2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值. 【高考真题】 1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 2．（2003 年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷IV））过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2004年普通高等学枚招生考试数学（文）试题（全国卷II））已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 7．（2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 直线的方程 目录 【题型归纳】 2 题型一：点斜式直线方程 2 题型二：斜截式直线方程 3 题型三：两点式直线方程 4 题型四：截距式直线方程 5 题型五：中点坐标公式 7 题型六：直线的一般式方程 8 题型七：直线方程的综合应用 9 题型八：判断动直线所过定点 12 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 12 题型十：直线方程的实际应用 15 【重难点集训】 18 【高考真题】 28 【题型归纳】 题型一：点斜式直线方程 1．（2024·高二·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 2．（2024·高二·全国·课后作业）直线过点（,4），倾斜角为，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】因为倾斜角为，故直线斜率， 又直线过点（,4），所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 3．（2024·高二·全国·课后作业）经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【解析】设直线的斜率为， 与直线平行的直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为. 由得， 由两直线平行知. 所以所求直线方程为，即； 由两直线垂直知， 所以与直线垂直的直线的点斜式方程为. 故答案为：; 4．（2024·高二·全国·课后作业）直线l经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】依题意直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率或， 所以直线方程为； 故答案为： 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以，故， 又直线l经过点，故直线l的点斜式方程为. 故答案为：. 题型二：斜截式直线方程 6．（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【答案】 【解析】设所求直线斜率为k，则， 即，又在y轴上的截距为4， 则直线为，与y轴交点为. 故答案为：；. 7．（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 8．（2024·高二·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】斜率， 点斜式方程为， 斜截式方程为. 故选：A 9．（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所求的直线与直线垂直，所以，得. 设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点， 求得,所以所求直线的斜截式方程为， 故选：B. 题型三：两点式直线方程 10．（2024·高二·全国·课后作业）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（    ） A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 【答案】B 【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式． 由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式． 故选：B 11．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 12．（2024·高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】过点，直线的两点式方程为 故答案为： 13．（2024·高二·全国·课后作业）经过点､的直线的两点式方程为 . 【答案】 【解析】因为直线经过点､， 由直线的两点式方程可得，可得，即， 所以直线的两点式方程为. 故答案为：. 题型四：截距式直线方程 14．（2024·高二·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】B 【解析】直线，当时，，当时，， 所以直线在轴和轴上的截距分别为，2. 故选：B 15．（2024·高二·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 16．（2024·高二·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【解析】当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 题型五：中点坐标公式 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 18．（2024·高二·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】因A、两点在x轴和轴上，设， 因是线段的中点，则， 故直线的截距式方程为：. 故答案为：. 19．（2024·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线与和，分别交于点和， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得， 所以和，则， 可得直线的方程为，即. 故答案为：. 20．（2024·高二·湖北·阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【解析】由题意，设，由中点坐标公式得，则，则直线l的方程为：. 故答案为：. 题型六：直线的一般式方程 21．（2024·高二·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 22．（2024·高二·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线经过点且斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：D. 23．（2024·高二·江苏淮安·期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 . 【答案】 【解析】直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与，轴围成的三角形面积为. 故答案为： 24．（2024·高二·上海·随堂练习）若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则直线的方程为，即. 故答案为： 25．（2024·高二·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线的方程． (1)经过点和； (2)平行于向量，并且经过点． 【解析】（1）由已知条件可知直线的一个方向向量， 直线的一个法向量． 因此可设直线的一般式方程为， 代入，得， 所求直线的方程为． （2）所求直线平行于向量， 所求直线的斜率为． 又直线经过点， 所求直线的方程为，整理得． 题型七：直线方程的综合应用 26．（2024·高一·广西桂林·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【解析】（1）由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 27．（2024·高二·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 【解析】（1）由题意可知，作出图形如图所示 因为，所以BC的中点为， 因为在BC边上的中线上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的中线所在直线的方程为. （2）由题意可知，作出图形如图所示 因为， 所以直线BC的斜率为， 因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 因为在BC边上的高上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的高所在直线的方程为. 28．（2024·高二·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 29．（2024·高二·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 【解析】（1）设点的坐标为，则， 由题意，，又， 故，解得，，， 所以点的坐标为， 则， 所以直线的方程为， 即； （2）设所求直线为， 点是线段的中点，则， 直线的斜率为， 由于直线与垂直，故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即． 题型八：判断动直线所过定点 30．（2024·高二·福建厦门·期中）不论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点的坐标是 . 【答案】 【解析】直线即，令，得， 所以直线恒过定点. 故答案为：. 31．（2024·高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 【答案】（－1，－1） 【解析】解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由 得 所以定点坐标是（－1，－1）. 【考查意图】直线过定点. 32．（2024·高二·全国·课后作业）直线经过的定点是 ． 【答案】 【解析】由， 则，得，直线过定点. 故答案为： 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 33．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 【解析】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 34．（2024·高一·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【解析】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 35．（2024·高二·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 题型十：直线方程的实际应用 36．（2024·高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【解析】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 37．（2024·高二·全国·课后作业）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 【解析】如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系， 则点A(0，300)，B(x，700)． 设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300， 故点B(300，700)． 设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)， 则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300. 令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)， 故水电站建在P(90，0)处电线用料最省． 38．（2024·高二·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【解析】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 39．（2024·高二·上海浦东新·期中）足球比赛中，攻方队员在守方队员的逼抢下，其行进路线可看作一条直线，已如球门两根立柱的坐标分别为，，直线过两点，．球场的长度、宽度分别100，60（单位：米）． 现攻方队员在行进过程中寻求机会射门，其位置用点表示， （1）若以攻方队员与球门中心（为坐标原点）的距离最近为标准，求点的坐标； （2）若以攻方队员对球门范围的视角最大（即最大）为标准，求点的坐标． （结果保留一位小数） 【解析】建立平面直角坐标系如下图所示，由于直线过两点，，故直线的方程为，化简得. （1）当直线时，攻防队员与球门中心的距离最近，直线的方程为.由解得. （1）设，则， ①当，时，轴，. ②当，时，轴，. ③当且时，，.当且仅当，即时，取得最大值，也即取得最大值，此时. 【重难点集训】 1．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 2．（2024·高二·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 3．（2024·高二·广东广州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率，则该直线的倾斜角为. 故选：B. 4．（2024·高二·全国·课前预习）若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的倾斜角为， 直线的斜率， 直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为． 故选：B. 5．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．不能表示过点且斜率为k的直线方程 B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线与y轴的交点到原点的距离为b D．设，，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是 【答案】A 【解析】对于选项A：由可知，所以不过点,，故选项A正确， 对于选项B：当时，在轴、轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误， 对于选项C：直线与轴的交点为，到原点的距离为，故选项C错误， 对于选项D：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示，   ，， 若直线与线段有交点，则，或， 即或，故选项D错误， 故选：A． 6．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线， 所以可将直线方程变形为， ，解得，， 由此可得直线系恒过点 到直线的最远距离为，此时直线垂直于，， 直线的斜率为， ，， 直线的一般方程为． 故选：A 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】C 【解析】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， 若，则，； 若，则，． 故选：C 8．（2024·高二·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 10．（多选题）（2024·高二·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【解析】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误； 对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确； 故选：AD. 11．（多选题）（2024·高二·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 12．（2024·高二·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 13．（2024·高二·全国·课后作业）直线l过原点，且垂直于向量．若角的终边落在直线l上，则 ． 【答案】/ 【解析】因为直线l过原点，且垂直于向量， 所以直线l的方程为， 当时，取终边上的点，可得， 当时，取终边上的点，可得， 所以若角的终边落在直线l上，则， ． 故答案为： 14．（2024·高三·全国·专题练习）若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 . 【答案】6x－5y－9＝0 【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2， 又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0， 联立直线AC与直线CM方程得 解得 顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ， 由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0， B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0， 联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）. 于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0. 故答案为：6x－5y－9＝0 15．（2024·高二·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【解析】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 16．（2024·高二·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【解析】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 17．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【解析】（1）直线，则直线过定点， ①当，时，设的方程为． 点在直线上，． 若，则， 直线的方程为， 若，则，， 直线的方程为； ②当时，直线过原点，且过点， 直线的方程为， 综上所述，所求直线的方程为或或； （2）令，则；令，则， 直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，， 为坐标原点，设的面积为， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 直线． 18．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述. 19．（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【解析】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 20．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知，由确定两个点. (1)写出直线的方程（答案含）； (2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值. 【解析】（1）由题意知当直线斜率存在时，， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为. 直线的方程为. （2）由和四边形为正方形可知， ， 因为点在直线上， 所以， 所以， 而正方形的面积最大，即最大， 所以当时，，此时图中阴影部分的面积最大. 【高考真题】 1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为， 再将该直线向右平移1个单位可得：，即. 故选：A. 2．（2003 年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确. 故选：C 3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷IV））过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 4．（2004年普通高等学枚招生考试数学（文）试题（全国卷II））已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：. 故选：B 5．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得直线的倾斜角为30°， 所以斜率， 所以直线与轴的交点为， 所以直线的点斜式方程可得：， 即． 故选：D 6．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则直线的方程为， 直线过点，， ， ， ，即， 当且仅当， 即 时取等号， 面积最小值为. 故答案为：. 7．（2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ． 【答案】/ 【解析】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为， 则，所以. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$