专题01 压轴必会：全等三角形八大必会模型强化练-2024-2025学年八年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（苏科版）

专题01 压轴必会：全等三角形八大必会模型强化练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 模型目录 一、倍长中线模型：倍长中线，全等必现。 1 二、截长补短：线段和差，截长补短多可行。 3 三、一线三等角，全等跑不了。 5 四、中点 平行，全等一定行。 7 五、手拉手模型：大手拉小手，全等一定有。 8 六、角平分线模型：角平分线两边作垂线，还是不行，可截等线。 9 七、半角模型：万能旋转，内延外截都可以。 12 八、雨伞模型：对称之经典。 13 一、倍长中线模型：倍长中线，全等必现。 1．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 2．如图，在中 (1)若平分，求证： (2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 4．如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若． (1)猜想BD=________BE； (2)完成（1）的证明过程． 5．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 二、截长补短：线段和差，截长补短多可行。 6．已知:在△ABC中, ∠B=60°,D、E分别为AB、BC上的点,且AE、CD交于点F. (1)如图1,若AE、CD为△ABC的角平分线. ①求证: ∠AFC=120°;②若AD=6，CE=4，求AC的长? (2)如图2,若∠FAC=∠FCA=30°，求证:AD=CE. 7．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． 8．【问题情境】 徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题： 如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC 小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB， 连接DE．（如图2） 小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE（如图3） 请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明． 【变式探究】 “AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4） AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由． 【迁移拓展】 △ABC中，∠B=2∠C．求证：．（如图5） 三、一线三等角，全等跑不了。 9．如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 10．如图，在中，，点在边上，的垂直平分线交于点，若，，则 ． 11．如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 12．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和． 四、中点 平行，全等一定行。 13．如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点．若，，，则的长为（    ）    A．5 B．8 C．11 D．15 15．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． 五、手拉手模型：大手拉小手，全等一定有。 16．如图，在中，于点，是上的动点，且，下列结论：①；②为等腰直角三角形；③四边形的面积为定值；④；⑤平分．其中正确说法的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 17．如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 18．实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 六、角平分线模型：角平分线两边作垂线，还是不行，可截等线。 19．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________．    【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    20．在数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线就是的角平分线． (1)联系三角形全等的条件，通过证明，可知，即平分．则这两个三角形全等的依据是　　；请你写出完整的证明过程； (2)在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，，将全等三角形的一组对应边、分别放在的两边、上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在、上，此时和的交点设为点Q，则射线即为的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由． 21．在学习完三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（HL）后，裘老师带领欧谭数学兴趣小组继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【提出问题】 （1）是角平分线上的点，在上各取一点．如图1，若取，此时显然与不全等．但是与有一定的数量关系，请猜想与的数量关系　　　　　． 【探索研究】 （2）欧谭兴趣小组对图1进行继续研究，他们在图1的基础上绘制了图2、图3，请选择一个图形并添加一个条件，并证明（1）的结论． 你选择图　　　　，添加的条件是　　　　． 【拓展探索】 （3）如图，在中，为的中点．分别在上，且．求证：． 22．在学习完三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法后，小颖对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【提出问题】 (1)是角平分线上的点，在上各取一点．如图1，若取，，此时显然与不全等．但是与有一定的数量关系，请猜想与的关系为______． (2)小颖对图1进行继续研究，在图1的基础上添加辅助线得到了图2、图3，请你先在图2、图3中选择一个图形，并描述辅助线（即添加条件），再证明（1）的结论． 你选择图______，描述辅助线______． 写出证明过程： 七、半角模型：万能旋转，内延外截都可以。 23．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    24．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 八、雨伞模型：对称之经典。 25．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为 ． 27．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 压轴必会：全等三角形八大必会模型强化练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 模型目录 一、倍长中线模型：倍长中线，全等必现。 1 二、截长补短：线段和差，截长补短多可行。 9 三、一线三等角，全等跑不了。 17 四、中点 平行，全等一定行。 22 五、手拉手模型：大手拉小手，全等一定有。 24 六、角平分线模型：角平分线两边作垂线，还是不行，可截等线。 29 七、半角模型：万能旋转，内延外截都可以。 37 八、雨伞模型：对称之经典。 41 一、倍长中线模型：倍长中线，全等必现。 1．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 2．如图，在中 (1)若平分，求证： (2)若为边上的中线，且，求的取值范围． （1）证明：如图，在上取点E，使得，在与中， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：延长到点F，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， ， ， ， ， 在中，， ． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． （1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴ ， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴ ， ∴， ∴． 4．如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若． (1)猜想BD=________BE； (2)完成（1）的证明过程． （1）解： ； 延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示： ∵BE是AC的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵，且，， ∴，， ∵， ∴（AAS）， ∴． 故答案为2； （2）证明：延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示： ∵BE是AC的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵，且，， ∴，， ∵， ∴（AAS）， ∴． 5．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． （1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 二、截长补短：线段和差，截长补短多可行。 6．已知:在△ABC中, ∠B=60°,D、E分别为AB、BC上的点,且AE、CD交于点F. (1)如图1,若AE、CD为△ABC的角平分线. ①求证: ∠AFC=120°;②若AD=6，CE=4，求AC的长? (2)如图2,若∠FAC=∠FCA=30°，求证:AD=CE. （1）①∵AE、CD分别为△ABC的角平分线， ∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA， ∵∠B=60° ∴∠BAC+∠BCA=120°， ∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=180°- (∠BAC+∠BCA)=120°； ②在AC上截取AG=AD=6，连接FG， ∵AE、CD分别为△ABC的角平分线， ∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE， ∵∠AFC=120°， ∴∠AFD=∠CFE=60°， 在△ADF和△AGF中， ∵ ∴△ADF≌△AGF（SAS）， ∴∠AFD=∠AFG=60°， ∴∠GFC=∠CFE=60°， 在△CGF和△CEF中， ∵ ∴△CGF≌△CEF（ASA）， ∴CG=CE=4， ∴AC=10； （2）在AE上截取FH=FD，连接CH， ∵∠FAC=∠FCA=30°， ∴FA=FC， 在△ADF和△CHF中， ∵， ∴△ADF≌△CHF（SAS）， ∴AD=CH，∠DAF=∠HCF， ∵∠CEH=∠B+∠DAF=60°+∠DAF， ∠CHE=∠HAC+∠HCA=60°+∠HCF， ∴∠CEH=∠CHE， ∴CH=CE， ∴AD=CE． 7．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． （1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：在上截取，使得，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴； （3）解：如图5所示：延长到E，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴； （4）解：如图6，连接，过点O作，    ∵，， ∴，， ∵点D是的中点，， ∴，又， ∴，又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．【问题情境】 徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题： 如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC 小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB， 连接DE．（如图2） 小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE（如图3） 请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明． 【变式探究】 “AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4） AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由． 【迁移拓展】 △ABC中，∠B=2∠C．求证：．（如图5） 解：[问题情境]小敏的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2） ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠EAD． 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD=DE，∠ABD=∠AED ∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C， ∴∠EDC=∠C， ∴DE=EC， 即AB+BD=AC； 小捷的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE． ∴∠E=∠BAE． ∵∠ABC=∠E+∠BAE， ∴∠ABC=2∠E． ∵∠ABC=2∠C， ∴∠E=∠C， ∴△AEC是等腰三角形． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC． ∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE ∴∠ADE=∠DAE， ∴EA=ED=AC， ∴AB+BD=AC； [变式探究] AB+BD=AC不成立 正确结论：AB+BD=CD… 理由：如图4，在CD上截取DE=DB，连接AE， ∵AD⊥BC， ∴AD是BE的中垂线， ∴AE=AB， ∴∠B=∠AED． ∵∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C， ∴∠C=∠CAE， ∴AE=EC． 即AB+BD=CD； [迁移拓展] 证明：如图5，过点A作AD⊥BC于D． 由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2， ∴AC2-AB2=CD2-BD2=（CD+BD）（CD-BD）=BC（CD-BD） ∵AB+BD=CD， ∴CD-BD=AB， ∴AC2-AB2=BC（CD-BD）=BC•AB， 即AC2=AB2+AB•BC． 三、一线三等角，全等跑不了。 9．如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． （1）解：由题意得：∵，，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴③， 故答案为： （2）解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ， ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 10．如图，在中，，点在边上，的垂直平分线交于点，若，，则 ． 解：∵AB＝AC＝12， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°−∠B−∠ADB，∠CDE＝180°−∠ADE−∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝12，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝4， 故答案为：4． 11．如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ （1）证明：∵于点M，于点N； ∴； ∴； ∵， ∴； ∴； 在和中， ∴； ∴，； ∴． （2）成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中； ∴； ∴，； ∴； 故成立． 12．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和． 证明：（1）∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）∵的面积为17，， ∴的面积是：， 根据解析（2）同理可证， ∴， ∴． 四、中点 平行，全等一定行。 13．如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 14．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点．若，，，则的长为（    ）    A．5 B．8 C．11 D．15 解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． （1）证明：为中点， ， ． ， 在和中， ； （2）解：平分 ， ． 平分， ， ． 五、手拉手模型：大手拉小手，全等一定有。 16．如图，在中，于点，是上的动点，且，下列结论：①；②为等腰直角三角形；③四边形的面积为定值；④；⑤平分．其中正确说法的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 解：∠ACB=90°，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， 又∵CD⊥AB， ∴AD=DB=CD，∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，∠ADC=∠BDC=∠MDN=90°=∠ADM+∠CDM=∠BDN+∠CDN=∠CDM+∠CDN， ∴∠ADM=∠CDN， ∵∠ADM=∠CDN，AD=CD，∠A=∠BCD=45°， ∴， ∴DM=DN，AM=CN，即①正确； ∴△MDN是等腰直角三角形，即②正确； 四边形MDNC的面积为， ∵， ∴， ∴， 即，则可知该四边形面积为定值，即③正确； ∵AC=BC，AM=CN， ∴CM=AC-AM=BC-AM=BC-AN=BN； ∴在Rt△CMN中，有， 即有，即④正确； ∵△MDN是等腰直角三角形， ∴∠AND=45°为定值， 又∵在M、N运动时，在Rt△CMN中，CM、CN不一定相等， ∴∠CNM不一定等于45°， ∴MN平分∠CND不一定成立，即⑤错误． 故选C． 17．如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． （1）证明：∵菱形与菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∴， （2）连接，如解图（1） ∵菱形与菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上． 证明：连接，将绕点C逆时针旋转到位置，连接、， ∵在菱形，，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴， ∴、、在同一条直线上． 18．实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． （1）同意， 理由如下：∵在等边三角形中， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， （2）（1）的结论成立， 证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接， 在等边，等边中，，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，，， 在等腰直角，等腰直角中，，，， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. （4）过点A作，交延长线于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 六、角平分线模型：角平分线两边作垂线，还是不行，可截等线。 19．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________．    【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点 即 即点到的距离是 故答案为； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又 ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ．    20．在数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线就是的角平分线． (1)联系三角形全等的条件，通过证明，可知，即平分．则这两个三角形全等的依据是　　；请你写出完整的证明过程； (2)在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，，将全等三角形的一组对应边、分别放在的两边、上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在、上，此时和的交点设为点Q，则射线即为的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由． （1）解：在和中， ∵， ∴． 故答案为：； （2）正确，理由是： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即平分． 21．在学习完三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（HL）后，裘老师带领欧谭数学兴趣小组继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【提出问题】 （1）是角平分线上的点，在上各取一点．如图1，若取，此时显然与不全等．但是与有一定的数量关系，请猜想与的数量关系　　　　　． 【探索研究】 （2）欧谭兴趣小组对图1进行继续研究，他们在图1的基础上绘制了图2、图3，请选择一个图形并添加一个条件，并证明（1）的结论． 你选择图　　　　，添加的条件是　　　　． 【拓展探索】 （3）如图，在中，为的中点．分别在上，且．求证：． 解：（1） （2）选择图2，添加于点于点． 证明：平分 ． 在和中，， ． 若选择图3，添加． 在和中，， 证明：， ． （3）如图，在的延长线上找一点，使连接． ∵ ∴， ∵为的中点， ∴ 在和中， ． 组成了一个三角形， ， 又， ． 22．在学习完三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法后，小颖对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【提出问题】 (1)是角平分线上的点，在上各取一点．如图1，若取，，此时显然与不全等．但是与有一定的数量关系，请猜想与的关系为______． (2)小颖对图1进行继续研究，在图1的基础上添加辅助线得到了图2、图3，请你先在图2、图3中选择一个图形，并描述辅助线（即添加条件），再证明（1）的结论． 你选择图______，描述辅助线______． 写出证明过程： （1）观察图形，可猜想， 故答案为：． （2）选择图2，添加条件：于点F，于点E， 证明：∵于点F，于点E， ∴， ∵P是角平分线上的点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2，于点F，于点E． 选择图3，添加条件：在上截取，连接， 证明：∵P是角平分线上的点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，在上截取，连接． 七、半角模型：万能旋转，内延外截都可以。 23．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 八、雨伞模型：对称之经典。 25．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： A. 26．如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为 ． 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 27．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． （）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$