第10讲 概率的进一步认识（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第10讲 概率的进一步认识（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点2．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型强化 题型一．列表法与树状图法 1．（2024•两江新区自主招生）有四张背面完全相同，正面分别写着“诚”、“信”、“友”、“善”的四张卡片，洗匀后背面朝上，小红随机抽取一张卡片后记录卡片上的汉字并放回，洗匀后再次随机抽取一张卡片，则小红两次抽取的卡片上的汉字相同的概率为 　　． 2．（2024•洪山区模拟）根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是　　 A． B． C． D． 3．（2024•雷州市一模）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 　　人； （2）扇形统计图中，　　，等级对应的圆心角为 　　度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 题型二．利用频率估计概率 4．（2024•柳北区校级四模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是　　 A．8 B．16 C．24 D．32 5．（2023秋•武威期末）木箱里装有仅颜色不同的12个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有 　　个． 6．（2024•泉州模拟）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 （1）用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为 　2　； （2）小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 分层练习 一、单选题 1．从3名男生和2名女生共5名候选人中随机选取两人参加演讲比赛，则两人恰好是一男一女的概率是（　　） A． B． C． D． 2．连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好都是背面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字指针的位置固定，转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是（　　）    A． B． C． D． 4．下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果： 移植总数n 5 50 200 500 1000 3000 成活数m 4 45 188 476 951 285 成活的频率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 则在相同条件下这种幼苗成活的概率（精确到百分位）估计为（    ） A．0.95 B．0.94 C．0.9 D．0.951 5．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏.若随机出手一次，则小华获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 6．在1，2，3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是偶数的概率为（　　） A． B． C． D． 7．从数学成绩优秀的甲，乙，丙三名同学中任选两人参加“数学竞赛”，甲被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 8．某校初三8班准备举行班干部竞选活动，张林和王亮准备从“纪律委员”“学习委员”“卫生委员”三个职务中随机竞选一个，则两人恰好选择同一个职务的概率是（    ） A． B． C． D． 9．如图是实验学校停车场示意图，现仅剩下“”“”“”“”四个车位．甲、乙两人从中随机选择一个车位，则两人所选车位不相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 10．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，右表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（    ） 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的概率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 A．0.58 B．0.64 C．0.59 D．0.60 二、填空题 11．如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ． 12．在一个不透明的盒子中装有个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这个球中有个是红球，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出n的值大约是 ． 13．某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ． 14．现将三个完全相同的小球分别标号，，，然后放入一个不透明的口袋中．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球标号和为4的概率为 ． 15．一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上，则甲与乙相邻而坐的概率为 ． 16．如图是两个同心圆，大圆的半径为5，现随机向圆形区域内撒300粒芝麻，并记录芝麻落在小圆区域(含边界处)的次数，经过若干次试验，发现芝麻落在小圆区域的个数稳定在粒左右，则可估计小圆的面积约为 ．(结果用含的代数式表示) 17．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是 ． 18．某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 三、解答题 19．周末小丽与小明相约去新开放的陕西省历史博物馆秦汉馆参观游览，他们观察后发现该馆有A，B两个入口，并有C，D，E三个出口． (1)请问小丽选择B口进入参观的概率为__________； (2)若小丽与小明同时从B口进入，后分散参观，请用列表法或画树状图法，求他们参观结束后，恰好从同一出口走出的概率． 20．二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界举为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义． (1)2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______； (2)老师选出写有“谷雨、芒种”的两张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀重复此动作共三次．请利用画树状图或列表的方法，求小张同学三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率． 21．聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；B：七巧板；C：调查活动；D：无字证明；E：数学园地设计．拟了解学生最喜爱的特色数学作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：    (1)补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）； (2)图2中扇形E的圆心角度数为 度； (3)甲、乙两同学决定从A，B，C，D四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中同一类特色数学作业的概率． 22．高明区某校举行以“请党放心，强国有我”为主题的演讲比赛，最后只有A、B、C、D、E五名同学进入决赛阶段，用画树状图或列表的方法求A、B同学获得前两名的概率． 23．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级名学生中随机抽取名学生，对在年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有本，最多的有本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了本的人数占被调查人数的，根据图中提供的信息： (1)本次调查的样本容量是______； (2)补全条形统计图； (3)估计该校七年级全体学生在年全年阅读中外名著的总本数； (4)在甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两位同学代表学校参加区级阅读竞赛，请用树状图或列表的方法，计算甲、乙二人中至少有一个被选中的概率． 24．为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，B，C，D四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题： (1)参加征文比赛的学生共有 人； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，表示C等级的扇形的圆心角为 ，图中 ； (4)学校决定从本次比赛获得A等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A等级中有男生一名，女生两名．请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 25．2022年寒假里，某学校建议同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．小明随机调查了该校部分同学寒假期间在家做家务的总时间，设被调查的每位同学在家做家务的总时间为a小时，将做家务的总时间分为五个类别：，并将调查结果绘成下列两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： (1)在这次活动中被调查的学生共　　人； (2)计算C类别所占扇形的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (3)该校共有学生1350人，根据抽样调查结果，请你估计寒假里该校有多少名学生在家做家务的时间不低于18个小时． (4)调查的人数中做家务总时间不少于24小时的有4人，其中3个女生，一个男生．学校想从4人中挑选两人参加开学演讲，恰好选中一男一女的概率是多少？ 26．随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：.积极参与，.一定参与，.可以参与，.不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 18 20 4 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 概率的进一步认识（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点2．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型强化 题型一．列表法与树状图法 1．（2024•两江新区自主招生）有四张背面完全相同，正面分别写着“诚”、“信”、“友”、“善”的四张卡片，洗匀后背面朝上，小红随机抽取一张卡片后记录卡片上的汉字并放回，洗匀后再次随机抽取一张卡片，则小红两次抽取的卡片上的汉字相同的概率为 　　． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小红两次抽取的卡片上的汉字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 诚 信 友 善 诚 （诚，诚） （诚，信） （诚，友） （诚，善） 信 （信，诚） （信，信） （信，友） （信，善） 友 （友，诚） （友，信） （友，友） （友，善） 善 （善，诚） （善，信） （善，友） （善，善） 共有16种等可能的结果，其中小红两次抽取的卡片上的汉字相同的结果有4种， 小红两次抽取的卡片上的汉字相同的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 2．（2024•洪山区模拟）根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾桶分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、，画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【解答】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾桶分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， 分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为； 故选：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 3．（2024•雷州市一模）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 　40　人； （2）扇形统计图中，　　，等级对应的圆心角为 　　度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 【分析】（1）根据等级的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）用等级的人数除以总人数，求出的值，再用乘以等级所占的百分比即可； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小永被选中参加区知识竞赛的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）参加知识竞赛的学生共有：（人； 故答案为：40； （2），即； 等级对应的圆心角为：； 故答案为：10，144； （3）小永用表示，其他3名同学分别用、、表示， 根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中小永被选中参加区知识竞赛的有6种， 则小永被选中参加区知识竞赛的概率是． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法、列表法树状图法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键． 题型二．利用频率估计概率 4．（2024•柳北区校级四模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是　　 A．8 B．16 C．24 D．32 【分析】总个数乘以白色球频率的稳定值． 【解答】解：口袋中白球的个数可能是（个， 故选：． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．（2023秋•武威期末）木箱里装有仅颜色不同的12个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有 　8　个． 【分析】设袋子中蓝球有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：设袋子中蓝球有个，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 估计袋子中蓝球有8个； 故答案为：8． 【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸到红球的频率得到相应的等量关系． 6．（2024•泉州模拟）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 （1）用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为 　2　； （2）小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 【分析】（1）直接利用得到摸到红球的频率得出盒子中红球个数； （2）利用树状图求出摸出两个球恰好都是相同颜色的概率． 【解答】解：（1）由表格中摸到红球的频率可得，红球个数：； 故答案为：2； （2）画树状图如图所示， 一共有12种等可能的结果． 摸出两个球恰好都是相同颜色的有4种， （摸出两个球恰好都是相同颜色的）． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率以及列表法求概率，正确列举出所有可能是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．从3名男生和2名女生共5名候选人中随机选取两人参加演讲比赛，则两人恰好是一男一女的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出树状图表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 共有20种等可能的情况，其中两人恰好是一男一女的有12种， 则两人恰好是一男一女的概率是； 故选：C． 【点睛】本题考查用列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键． 2．连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好都是背面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出所有可能出现的情况，看背面都朝上情况数占总情况数的多少即可． 【详解】列举连续投掷两枚质地均匀的硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正背，背正，背背， 所有可能的结果共有4种，所以满足硬币恰好都是背面朝上的概率， 故选：B． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到所求情况数和总情况数是解决本题的关键 ． 3．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字指针的位置固定，转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用概率公式计算求解即可． 【详解】转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是，故选：B． 【点睛】本题考查概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式. 4．下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果： 移植总数n 5 50 200 500 1000 3000 成活数m 4 45 188 476 951 285 成活的频率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 则在相同条件下这种幼苗成活的概率（精确到百分位）估计为（    ） A．0.95 B．0.94 C．0.9 D．0.951 【答案】A 【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． 【详解】解：∵成活的频率的稳定值约为0.95， ∴这种幼苗可成活的概率可估计为0.95， 故选A． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 5．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏.若随机出手一次，则小华获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意，画树状图为： 可知小明出一种，小华则可能出3种可能，只有一种可能获胜，则其获胜的概率为：. 故选C 考点：概率 6．在1，2，3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是偶数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】列举出所有情况，看末位是2的情况占所有情况的多少即可． 解： 共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为，故选A． 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，注意本题是不放回实验． 7．从数学成绩优秀的甲，乙，丙三名同学中任选两人参加“数学竞赛”，甲被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意画出画树状图，可知共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果有种， 甲被选中的概率为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件． 8．某校初三8班准备举行班干部竞选活动，张林和王亮准备从“纪律委员”“学习委员”“卫生委员”三个职务中随机竞选一个，则两人恰好选择同一个职务的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：把“纪律委员”“学习委员”“卫生委员”分别记为A、B、C，画树状图如下：    共有9种等可能的结果，张林和王亮恰好选择同一个职务有3种结果， 则张林和王亮恰好选择同一个职务的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． 9．如图是实验学校停车场示意图，现仅剩下“”“”“”“”四个车位．甲、乙两人从中随机选择一个车位，则两人所选车位不相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选车位不相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 共有12种等可能的结果，其中两人所选车位不相邻的结果有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），共6种， ∴两人所选车位不相邻的概率是． 故选：B． 10．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，右表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（    ） 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的概率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 A．0.58 B．0.64 C．0.59 D．0.60 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.60左右，即为摸出白球的概率． 【详解】观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.60左右，则摸到白球的概率约是0.60． 故选D 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． 二、填空题 11．如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ． 【答案】/0.375 【分析】先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，让黑色瓷砖的块数除以瓷砖总数即可． 【详解】解：∵8块等腰直角三角形瓷砖中有黑色等腰直角三角形瓷砖3块， ∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ， 故答案为：． 【点睛】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 12．在一个不透明的盒子中装有个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这个球中有个是红球，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出n的值大约是 ． 【答案】 【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】 解：由题意可得，， 解得，． 经检验，是所列方程的解， 故估计大约是． 故答案为：． 13．某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ． 【答案】0.8 【详解】15÷20=0.75， 33÷40=0.825， 78÷100=0.78， 158÷200=0.79， 321÷400=0.8025， 801÷1000=0.801. ∴这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.8. 故答案为0.8. 14．现将三个完全相同的小球分别标号，，，然后放入一个不透明的口袋中．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球标号和为4的概率为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意列出表格，通过表格求出所有可能的结果与两次取出小球的标号和为4的两种情况，再利用概率公式即可求解．本题考查了用列表法和树状图法求概率，解题的关键是，结合图表求概率． 【详解】解：根据题意列表： 由上表可知，一共有种可能的结果，期中两次取出小球标号的和为的情况有：、、，种， 两次取出小球标号和为4的情况的概率是：， 故答案为：． 15．一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上，则甲与乙相邻而坐的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和甲与乙相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有：①③，②③，③①，③②，共4种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为， 故答案为：． 16．如图是两个同心圆，大圆的半径为5，现随机向圆形区域内撒300粒芝麻，并记录芝麻落在小圆区域(含边界处)的次数，经过若干次试验，发现芝麻落在小圆区域的个数稳定在粒左右，则可估计小圆的面积约为 ．(结果用含的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据频率乘以大圆的面积，即可求解． 【详解】根据题意，估计小圆的面积约为． 故答案为：． 17．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是 ． 【答案】 【分析】利用树状图法求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有2种情况， ∴转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是：． 故答案是：． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题属于放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【答案】2.8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为千克，设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答． 【详解】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为千克． 设每千克柑橘的销售价为元，则应有， 解得． 所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． 故答案为：2.8 三、解答题 19．周末小丽与小明相约去新开放的陕西省历史博物馆秦汉馆参观游览，他们观察后发现该馆有A，B两个入口，并有C，D，E三个出口． (1)请问小丽选择B口进入参观的概率为__________； (2)若小丽与小明同时从B口进入，后分散参观，请用列表法或画树状图法，求他们参观结束后，恰好从同一出口走出的概率． 【答案】(1) (2)树状图见解析， 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率以及用列表法或画树状图法求概率 （1）用概率公式求概率即可． （2）画出树状图，用概率公式求概率即可． 【详解】（1）解：∵一共有A，B两个入口， ∴小丽选择B口进入参观的概率为， 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有3种， 她们恰好从同一出口走出的概率为． 20．二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界举为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义． (1)2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______； (2)老师选出写有“谷雨、芒种”的两张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀重复此动作共三次．请利用画树状图或列表的方法，求小张同学三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率． 【答案】(1)随机抽取一张卡片，则上面写有“立春”的概率为 (2)三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为 【分析】本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率，掌握画树状图的方法是解本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：共有张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同， 若随机抽取一张卡片，则上面写有“立春”的概率为； （2）把写有“谷雨、芒种”的两张卡片、、画树状图如下： 由树状图可知：共有种等可能的结果，其中三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种， 三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为． 21．聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；B：七巧板；C：调查活动；D：无字证明；E：数学园地设计．拟了解学生最喜爱的特色数学作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：    (1)补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）； (2)图2中扇形E的圆心角度数为 度； (3)甲、乙两同学决定从A，B，C，D四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中同一类特色数学作业的概率． 【答案】(1)见解析． (2)54． (3)见解析． 【分析】（1）通过B的占比计算总人数，进一步算出E组人数； （2）计算E组的人数占比，用周角计算扇形的角度； （3）根据题意，用列表法（或树状图）列出所有等可能结果，计算概率； 【详解】（1）    总人数=，E类人数= （2）E的占比= ∴扇形E的圆心角度数=； （3）    共有16种可能结果，其中选同一类的结果数为4，故概率为． 【点睛】本题考查数据统计的条形图及扇形图、概率的计算；理解条形图、扇形的统计意义，会应用列表法或树状图工具是解题的关键． 22．高明区某校举行以“请党放心，强国有我”为主题的演讲比赛，最后只有A、B、C、D、E五名同学进入决赛阶段，用画树状图或列表的方法求A、B同学获得前两名的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】画树状图如下：    一共有20种等可能性，其中A、B同学获得前两名的可能性有2种， 故A、B同学获得前两名的概率． 【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握根据第一名，第二名画树状图计算方法是解题的关键． 23．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级名学生中随机抽取名学生，对在年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有本，最多的有本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了本的人数占被调查人数的，根据图中提供的信息： (1)本次调查的样本容量是______； (2)补全条形统计图； (3)估计该校七年级全体学生在年全年阅读中外名著的总本数； (4)在甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两位同学代表学校参加区级阅读竞赛，请用树状图或列表的方法，计算甲、乙二人中至少有一个被选中的概率． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)5160本 (4)甲、乙二人中至少有一个被选中的概率． 【分析】（1）在七年级800名学生中随机抽取100名学生，据此可得样本容量； （2）由阅读了6本的人数占被调查人数的30%可求得阅读6本的人数，将总人数减去阅读数是5、6、8本的人数可得阅读7本人数，据此补全条形图； （3）根据样本计算出平均每人的阅读量，再用平均数乘以七年级学生总数即可得答案； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，依据甲、乙二人中至少有一个被选中的结果数，根据概率公式求解． 【详解】（1）解：根据题意，本次调查的样本容量是100， 故答案为：100； （2）解：阅读了6本的人数为（人）， 阅读了7本的人数为：（人）， 补全条形图如图： ； （3）解：∵平均每位学生的阅读数量为：（本）， ∴该校七年级全体学生在2016年全年阅读中外名著的总本数为本； （4）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙二人中至少有一个被选中的结果数为10， 所以甲、乙二人中至少有一个被选中的概率． 【点睛】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．当有两个元素时，可用树状图列举，也可以列表列举． 24．为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，B，C，D四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题： (1)参加征文比赛的学生共有 人； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，表示C等级的扇形的圆心角为 ，图中 ； (4)学校决定从本次比赛获得A等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A等级中有男生一名，女生两名．请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)， (4) 【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数； （2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可； （3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示等级的扇形的圆心角和的值； （4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为， 则， 即参加征文比赛的学生共有30人； （2）解：由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人， 则（人），即B等级的人数为9人 补全条形统计图如下图 ； （3）解：， ∴表示C等级的扇形的圆心角为； ∵ ， ∴； （4）解：依题意，列表如下∶ 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (男，女) (女，女) 女 (男，女) (女，女) 由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种， 所以； 或树状图如下 由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种， 所以． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，求解圆心角，弄清题意是解题的关键． 25．2022年寒假里，某学校建议同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．小明随机调查了该校部分同学寒假期间在家做家务的总时间，设被调查的每位同学在家做家务的总时间为a小时，将做家务的总时间分为五个类别：，并将调查结果绘成下列两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： (1)在这次活动中被调查的学生共　　人； (2)计算C类别所占扇形的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (3)该校共有学生1350人，根据抽样调查结果，请你估计寒假里该校有多少名学生在家做家务的时间不低于18个小时． (4)调查的人数中做家务总时间不少于24小时的有4人，其中3个女生，一个男生．学校想从4人中挑选两人参加开学演讲，恰好选中一男一女的概率是多少？ 【答案】(1)50 (2)，补全图形见解析 (3)270（名） (4)P（恰好选中一男一女） 【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各类别人数之和等于总人数可得D类别人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可； （4）画出树状图，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）在这次活动中被调查的学生共（人）， 故答案为：50； （2）C类别所占扇形的圆心角的度数为， D类别人数为（名）， 补全图形如下： 故答案为：； （3）估计该校在三月份在家做家务的时间不低于18个小时的学生有（名）． （4）由上图可知， 一共有12种等可能结果，其中一男一女的情况有6种， 所以P（恰好选中一男一女） 【点睛】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握频数分布直方图．还考查用列表法或画树形图求随机事件的概率． 26．随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：.积极参与，.一定参与，.可以参与，.不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 18 20 4 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 【答案】（1），8，补图详见解析；（2）这次活动能顺利开展；（3）（两人都是女生） 【分析】（1）先用20除以40％求出样本容量，然后求出a， m的值，并补全条形统计图即可； （2）先求出b的值，用b的值乘以1500，然后把计算的结果与150进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为2，然后根据概率公式计算． 【详解】解：（1））20÷40％=50人， a=18÷50×100%=36%， m=50×16%=8， （2）b=4÷50×100%=8%，（人） ∵∴这次活动能顺利开展. （3）树状图如下： 由此可见，共有12种等可能的结果，其中所选两人都是女生的结果数有2种 ∴（两人都是女生）. 【点睛】此题考查了统计表和条形统计图的综合，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$