精品解析：江西省赣州市石城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

石城县2023-2024学年第一学期期末质量检测九年级 数学试题卷 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 瓮中捉鳖 C. 水滴石穿 D. 守株待兔 3. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( ) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 5. 反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②若，在该图象上，则；③y随x的增大而增大；④若在该图象上，则也此在图象上．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 若、是抛物线上两点，当时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 8. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 9. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过大量摸球实验后，发现摸到红球频率为，则估计红球的个数约为______个． 10. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为______． 12. 如图，已知点A的坐标是，的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，则点P的坐标为________． 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分）． 13. （1）解方程：． （2）如图，已知点，，是上三点，且于点，若半径，，求弦长． 14. 已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）求此抛物线的顶点坐标． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是 　　． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 16. 请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法 （1）如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线； （2）如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线； （3）如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出平分线． 17. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱． （1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙售价单价应定为每箱多少元？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19. 周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 20. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． （1）求证：； （2）求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）求的面积； （3）如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 22. 如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，交于点G，过点D作分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求劣弧的长． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． （3）如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石城县2023-2024学年第一学期期末质量检测九年级 数学试题卷 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意， D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C. 【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，两部分能够完全重合；熟练掌握定义是解题关键． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 瓮中捉鳖 C. 水滴石穿 D. 守株待兔 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、竹篮打水，是不可能事件，符合题意； B、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意； D、守株待兔，随机事件，不符合题意； 故选：A． 3. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程，求出的值，因式分解法解方程求出另一个根即可． 【详解】解：把，代入方程，得：， ∴， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∴方程的另一个根为； 故选A． 4. 如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( ) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得到△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质可知AB=AD，进而得到∠ADB=∠B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答. 【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE ∴△ABC≌△ADE ∴AB=AD ∴∠ADB=∠B=40° ∵∠ADB+∠B+∠BAD=180° ∴∠BAD=180°-40°-40°=100° 故选D 【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 5. 反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②若，在该图象上，则；③y随x的增大而增大；④若在该图象上，则也此在图象上．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得到，则可对①③进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断． 【详解】解：∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴，所以①错误； 在每一象限，y随x的增大而增大，所以③错误； ∵，在图象上， ∴， 而， ∴，所以②错误； ∵， ∴若在该图象上，则也此在图象上，所以④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 6. 若、是抛物线上两点，当时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴是直线，由绝对值的几何意义，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， ∵，则说明数轴上到2的距离比到2的距离大， 当时，图象开口向上，图象上横坐标是的点比横坐标是的点离对称轴远， ∴； 则C、D正确，A、B不确定； 当时，图象开口向下，图象上横坐标是的点比横坐标是的点离对称轴远，故，则D正确，C错误，A、B不确定， 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的性质，绝对值的几何意义，关键是理解绝对值的几何意义． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴a=-2，b= 3， ∴a+b=-2+3=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算，代数式的值，熟练掌握两点关于原点对称时坐标之间的关系是解题的关键． 8. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 9. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过大量摸球实验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据部分的具体数目总体数目相应频率直接计算即可求解，理解实验次数较大时，事件发生的频率即为事件发生的概率是解题的关键． 【详解】解：估计红球的个数约为个， 故答案为：． 10. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度． 【答案】144 【解析】 【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，继而求出∠AOC的度数． 【详解】解：正五边形每个内角：180°－360°÷5＝108°， ∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝(5－2)×180°－90°×2－108°×2＝144°． 【点睛】本题主要考查了五边形的内角和的计算，切线的性质，解决此题的关键是正确的计算． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：∵， ， ， 而， ． 故答案为：． 12. 如图，已知点A的坐标是，的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，则点P的坐标为________． 【答案】，或 【解析】 【分析】分情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别利用圆的基本性质、切线的性质等求解即可． 【详解】解：①过点作与相切，此时，连接，作轴于点， 根据题意易得，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； ②当时，若点位于如图所示位置， ∵ ∴，又， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 满足，此时点的坐标为； ③当时，点的位置如图所示： 过点作轴于点， 由①知，， ∴， ∵，，即为的垂直平分线， 则满足，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关键． 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分）． 13. （1）解方程：． （2）如图，已知点，，是上三点，且于点，若半径，，求弦长． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． （1）利用因式分解法求解即可； （2）连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：原式可化为， 则或， 解得：，． （2）解：连接， ，为的半径， ， ，， ， ， ． 14. 已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）求此抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键． （1）当时，解方程即可得到、的坐标，将代入即可得到点的坐标； （2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ，， ，， 将代入得：， ； 【小问2详解】 解： ， 顶点坐标是：． 15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是 　　． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率、概率公式，（1）利用概率公式求解即可； （2）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果， ∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 16. 请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法 （1）如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线； （2）如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线； （3）如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）如图，连接并延长交于点P即为所求； （3）如图，连接，延长交于点P，连接，可证，进而得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得，故为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接，则平分，说明如下： ∵ 是直径 ∴ 又 ∴ ∴即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求．说明如下：连接， ∵，， ∴ ∴ ∴平分． 【小问3详解】 解：如图，连接，延长交于点P，连接，即为所求． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，全等三角形的性质和判定，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． 17. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱． （1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 【答案】（1）[]或) （2）这种脐橙的售价单价应定为每箱元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）根据销售单价每提高元，日销售量将减少箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 解：设这种脐橙的售价单价定为每箱元，则每箱的销售利润为元， 日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利给顾客， ． 答：这种脐橙的售价单价应定为每箱元． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到值． 【小问1详解】 ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 19. 周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【解析】 【分析】此题考查求抛物线的解析式，二次函数的实际应用，解题的关键是根据实际问题构造数学模型． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入，即可求出抛物线的解析式； （2）对应的的值即为小琴距喷水头的水平距离，结合（1）中结论列一元二次方程，解方程求出对应的的值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 20. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出； （2）求出，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 矩形绕点旋转， ， ， ∴ ≌， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴ ， ∴， ∵ 矩形绕点旋转， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）求的面积； （3）如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，进而可得点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【小问1详解】 ∵B在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把A代入，得； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积; 【小问3详解】 设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，则当时， ∴， 解这个方程，得：， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 22. 如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，交于点G，过点D作分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：是切线； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】对于（1），连接，根据角平分线定义及等边对等角得出，即可得出，进而得出，可得答案； 对于（2），先证明四边形是矩形，再求出，然后根据勾股定理求出r，即可求出，最后根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 证明：连接交交于H， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又点E在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵为直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， 由，即， 解得， 由， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，弧长公式，垂径定理，特殊角三角函数等，构造直角三角形是解题的关键． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． （3）如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键． （1）将，代入，即可求解； （2）设，则，，且，分情况：①当点P位于直线的右侧时，则；②当点P位于直线的左侧及其上时，则，分别化简求得对应的二次函数最值，综合求得最大值即可； （3）由题意可得，设，则，再由点在直线上，即可求的值，进而确定点的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：的面积存在最大值；理由如下： 设，则， ， 令，则，解得， ， ①当点P位于直线的右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， 当时，有最大值，此时； ②当点P位于直线的左侧及其上时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， ∵点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，且位于直线的左侧及其上， ∴， 当时，有最大值，此时； 综上所述，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：存在点，使得，理由如下： 如图2， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， ， 设， ∵右侧， 则， 点在直线上， ， 解得：或， 或； 综上，的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$