精品解析：福建省厦门市湖里区五缘实验学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

2022-2023学年福建省厦门市湖里区五缘实验学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分） 1. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合 . 2. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验． 【详解】解： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键． 3. 如图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出∠1的度数． 【详解】解：如图所示， ∵∠1是△ABC的一个外角 ∴∠1＝∠B＋∠C＝30°+40°＝70°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 4. 把数字写出科学记数法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：数字用科学记数法表示为． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】A、 ，不是最简二次根式； B、 ，不是最简二次根式； C、，是最简二次根式； D、 ，不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 6. 下列计算错误的是（ ） A. a3．a2＝a5 B. a3＋a3＝2a3 C. （2a）3＝6a3 D. a8÷a4＝a4 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法，整式的加法以及积的乘方公式进行计算判断即可． 【详解】解：A、a3．a2＝a5，计算正确，不符合题意； B、a3＋a3＝2a3，计算正确，不符合题意； C、（2a）3＝8a3，计算错误，符合题意； D、a8÷a4＝a4，计算正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘除法，整式的加法以及积的乘方法则，熟练地掌握计算法则是解题的关键． 7. 如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可求得第三边的取值范围，再进一步选择即可得答案． 【详解】解：设第三边长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴，即， ∴此三角形的第三边可能是6， 故选：C． 【点睛】此题考查三角形三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键． 8. 已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( ) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式即可求解. 【详解】设边数为n，则(n-2)×180°=360°， 解得n=4 故选A. 【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知公式的运用. 9. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理解答. 【详解】在△ABC和△DCB中， , ∴(SAS), 故选：A. 【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键. 10. 如图，有A，B两个正方形，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形A，B的面积之和为（　　） A. 11 B. 9 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，根据图形得到a2+b2＝5+2ab，ab＝8，得到答案． 【详解】解：设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b， 由图甲可知，a2﹣b2﹣b(a﹣b)×2＝5，即a2﹣2ab+b2＝5， ∴a2+b2＝5+2ab， 由图乙可知，(a+b)2﹣a2﹣b2＝16，即ab＝8， ∴a2+b2＝5+2ab＝21， 故选：C． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共28分） 11. （1）______________；（2）___________；（3）______________（4）______． 【答案】 ①. 5 ②. 2 ③. 1 ④. 5 【解析】 【分析】（1）由可得答案； （2）由可得答案； （3）由可得答案； （4）由，可得是的平方根，可得答案． 【详解】解：（1）；（2）； （3）；（4）． 故答案为：（1）5；（2）2；（3）1；（5）5 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，零次幂的含义，平方根的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键． 12. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 13. 已知点A与点关于y轴对称，则A点坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点A与点关于y轴对称，则A点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好平面直角坐标系中，点的坐标变化规律． 14. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 15. 如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解． 【详解】解：由题意，，，， 即点O到BC、AB的距离相等， ∴ OB是的角平分线， ∵ ， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键． 16. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为15，则长度的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，连接，，利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵，D为的中点， 根据等腰三角形三线合一的性质， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，两点之间线段最短、等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短来解决最值问题． 三、解答题（本大题有9题，共82分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）先把利用单项式乘以多项式的每一项，然后进行单项式乘法运算； （2）先把化简，再把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．也考查了整式的运算． 18. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接提公因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 19. （1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：其中． 【答案】（1）29；（2）， 【解析】 【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并后，把已知等式变形后代入计算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）， ， 则原式 ； （2）原式 ， 当时， 原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 20. 如图，在中，，平分，求证：． 【答案】 证明：平分， ， 在和中 ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定．根据角平分线的定义得出，根据即可证出答案． 【详解】略 21. 如图，中，． （1）求作，使是以为底的等腰三角形，且使点在边上．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）在（1）所作的图形中，若．求证：． 【答案】（1） 如图所示：即为所求， （2） 证明：为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 为等腰三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于E点，则△AEB满足条件； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再由，推出，再根据三角形内角和定理计算即可，继而由外角的性质可得，在中，可得，即可求证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质． 22. 甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米．B、C两城的距离为400千米． （1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度． （2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，若，则哪一辆车先到达C城，并说明理由． 【答案】（1）甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时； （2）乙车先到达C城． 【解析】 【分析】（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时，再根据时间= 路程速度 即可得出结论； （2）先求出甲乙两车到达C城时间的表达式，再比较其大小即可． 【小问1详解】 解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时， ∵A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，两辆车同时到达C城， ∴ ， 解得， 经检验 是原方程的根，且符合题意； ∴． 答：甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时； 【小问2详解】 ∵乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时， ∴乙车到达C的时间， 甲车到达C的时间， ∵， ∴乙车先到达C城． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，分式的值的大小比较，熟知时间= 路程速度是解答此题的关键． 23. 如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 证明：延长至，使，连接， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 阅读两位同学的探究交流活动过程： a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ① b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： ② ③ ④ c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； d．小亮对第n个等式进行了证明． 解答下列问题： （1）第⑤个等式是_______； （2）第n个等式是_______； （3）请你证明第n个等式成立． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知等式进行类比，即可得出答案； （2）根据已知等式进行总结归纳，即可得出答案； （3）将变形为，变形为，再根据分式的运算法则进行计算，即可证明． 【小问1详解】 解：根据已知等式可知第⑤个等式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：对已知等式进行总结归纳，可知第n个等式是， 故答案为：； 【小问3详解】 证明： ． 所以． 即第n个等式成立． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式总结归纳出第n个等式． 25. 已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足(m-n)2+|m-|=0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E． （1）求∠OAB的度数； （2）设AB＝4，当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值； （3）设AB＝4，若∠OPD＝45°，求点D的坐标． 【答案】（1）∠OAB＝45°．（2） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质即可求得a，b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，据此即可求得； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质可以得到∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，则OC=PE，OC的长度根据等腰直角三角形的性质可以求得； （3）利用等腰三角形的性质，以及外角的性质证得∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等，即可求得OD的长，从而求得D的坐标． 【详解】解：（1）根据题意得： ， 解得：m＝n＝， ∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝90° ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠OAB＝45°． （2）PE的值不变．理由如下： ∵△AOB为等腰直角三角形，且AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC＝45° 又∵OC⊥AB于C， ∵PO＝PD ∴∠POD＝∠PDO 当P在BC上时， ∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE， ∴∠POC＝∠DPE 在△POC和△DPE中， ∴△POC≌△DPE，∴OC＝PE 又 ∴PE＝2； 当P在AC上时，∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE， 则∠POC＝∠DPE． 同理可得PE＝2； （3）∵OP＝PD， ∴， 则∠PDA＝180°﹣∠PDO＝180°﹣67.5°＝112.5°， ∵∠POD＝∠A+∠APD， ∴∠APD＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠BPO＝180°﹣∠OPD﹣∠APD＝112.5°， ∴∠PDA＝∠BPO 则在△POB和△DPA中， ∴△POB≌△DPA（AAS）． ∴PA＝OB＝， ∴DA＝PB＝ ∴OD＝OA﹣DA＝ ∴ 【点睛】此题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质、等腰直角三角形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年福建省厦门市湖里区五缘实验学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分） 1. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 如图中的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 把数字写出科学记数法是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算错误的是（ ） A. a3．a2＝a5 B. a3＋a3＝2a3 C. （2a）3＝6a3 D. a8÷a4＝a4 7. 如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 8. 已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( ) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 9. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有A，B两个正方形，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形A，B的面积之和为（　　） A. 11 B. 9 C. 21 D. 23 二、填空题（本大题共有6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共28分） 11. （1）______________；（2）___________；（3）______________（4）______． 12. 若有意义，则的取值范围是_____． 13. 已知点A与点关于y轴对称，则A点坐标是 _____． 14. 已知是完全平方公式，则的值为______． 15. 如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度． 16. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为15，则长度的最小值为______． 三、解答题（本大题有9题，共82分） 17. 计算 （1） （2） 18. 因式分解 （1） （2） 19. （1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：其中． 20. 如图，在中，，平分，求证：． 21. 如图，中，． （1）求作，使是以为底的等腰三角形，且使点在边上．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）在（1）所作的图形中，若．求证：． 22. 甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米．B、C两城的距离为400千米． （1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度． （2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，若，则哪一辆车先到达C城，并说明理由． 23. 如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 24. 阅读两位同学的探究交流活动过程： a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ① b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： ② ③ ④ c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； d．小亮对第n个等式进行了证明． 解答下列问题： （1）第⑤个等式是_______； （2）第n个等式是_______； （3）请你证明第n个等式成立． 25. 已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足(m-n)2+|m-|=0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E． （1）求∠OAB的度数； （2）设AB＝4，当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值； （3）设AB＝4，若∠OPD＝45°，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $