小升初典型奥数：环形路线问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

环形路线问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 第二部分 典型例题 例题1：明明的速度是280米/分，军军的速度是220米/分。环湖公路一周的长度是5400米，两人同时反方向跑步，估计两人在何处相遇，在图上标出来。经过多少分钟他们会相遇？ 【答案】10.8分钟。 【分析】因为280＞220，所以相遇点靠近军军那一方，然后根据相遇时间＝环湖公路一周的长度÷速度和即可。 【解答】解：因为280＞220，所以相遇点靠近军军那一方，如图： 5400÷（280+220） ＝5400÷500 ＝10.8（分钟） 答：经过10.8分钟他们会相遇。 【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；注意相遇时间＝路程÷速度和。 例题2：小明和小华沿着环湖跑道散步，他们从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是80米/分，小华的速度是90米/分，18分钟后两人相距80米。这条跑道长多少米？（两人均未走完一整圈） 【答案】3140米。 【分析】两人均未走完一整圈，说明两人还没相遇，那么他们走的路程和加上相距的80米就是跑道的长度。根据“路程＝速度×时间”，先分别求出他们两人所走的路程，再加上两人相距的80米，由此解答。 【解答】解：80×18+90×18 ＝（80+90）×18 ＝3060（米） 3060+80＝3140（米） 答：这条跑道长3140米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 例题3：有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？ 【答案】30分钟。 【分析】由于每相遇一次，快者都比慢者多行300米，则甲乙每次相遇时间是：300÷（120﹣100）＝15分钟，甲丙每相遇一次需要300÷（120﹣70）＝6分钟，乙丙每相遇一次需要300÷（100﹣70）＝10分钟，则他们同时相遇需要的时间应是6、10、15的公倍数。6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。 【解答】解：300÷（120﹣100） ＝300÷20 ＝15（分钟） 300÷（120﹣70） ＝300÷50， ＝6（分钟） 300÷（100﹣70） ＝300÷30 ＝10（分钟） 6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。 答：至少30分钟后，三人又可相聚。 【点评】首先根据路程差÷速度差＝追及时间分别求出三人相遇一次需要的时间是完成本题的关键。 例题3：李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。 （1）这个圆形场地的周长是多少？ （2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？ 【答案】（1）3120米；（2）432米。 【分析】（1）用李明和王冬的速度和乘二人走的时间，即可求出这个圆形场地的周长； （2）先用李明2分钟走的路程除以二人的速度差，求出王冬追上李明用的时间；再用王冬的速度乘王冬追上李明用的时间，求出王冬追上李明时走的路程；最后用李明20分钟走的路程减去王冬追上李明时走的路程，即可求出当王冬追上李明的时候距离A点的米数。 【解答】解：（1）（72+84）×20 ＝156×20 ＝3120（米） 答：这个圆形场地的周长是3120米。 （2）72×2÷（84﹣72） ＝144÷12 ＝12（分钟） 72×20﹣84×12 ＝1440﹣1008 ＝432（米） 答：到他追上李明的时候，距离A点432米。 【点评】解答本题需熟练掌握相遇问题和追及问题的解答方法，明确相遇问题公式“路程＝速度和×时间”及追及问题公式“追及距离÷速度差＝时间”，灵活解答。 第三部分 高频真题 1．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 2．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 3．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？ 4．父女二人同时同地同方向在环形跑道上跑步，女儿跑一圈要用6分钟，爸爸跑一圈要用4分钟。至少多少分钟后两人在原地再次相遇？此时女儿和爸爸分别跑了多少圈？ 5．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 6．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 7．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？ 8．一个池塘绕一圈长1200米，小欣走一圈需要15分钟，小亮走一圈需要12分钟。如果两人从同一起点向相反的方向走，几分钟后两人会第一次相遇？ 9．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 10．小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过30秒两人相遇。跑道的周长是多少米？ 11．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 12．如图，公园步道长3000米，小明和小军从步道上一点出发，同时向相反方向跑步。小明每分钟跑155米，小军每分钟跑145米。多长时间后两人第一次相遇？ 13．甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿A﹣B﹣C﹣D﹣A的方向行走．甲的速度每分钟50米，乙的速度是每分钟46米．则甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？ 14．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 15．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 16．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 17．环形跑道长400米，莉莉和强强背向而行，莉莉的速度为6米/秒，强强的速度为4米/秒。当莉莉正面和强强相遇时，立刻转向跑；当莉莉追上强强时，强强立即转向跑，两人第11次碰头时离起点多少米？（按较短计算） 18．悦悦和爸爸、妈妈绕环形跑道跑步进行晨练。若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用3分，妈妈跑一圈用4分，悦悦跑一圈用6分，多少分后，悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇？相遇时，他们三人各跑了几圈？ 19．学校的环形跑道长400米，甲、乙两人同时从跑道的同一地点背向而行。已知甲的速度是120米/分，甲、乙两人的速度比是3：2，他们几分钟后会首次相遇？ 20．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。 （1）爷爷一共走了多少分钟？ （2）环形跑道一周长多少米？ 21．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2019次相遇在哪边？ 22．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 23．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？ 24．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 25．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 26．如图所示，小明从A点出发沿着平行四边形A→B→C→D的方向跑，同时小军也从A点出发沿A→D→C→B的方向跑，两人在E点相遇。已知小明的速度是小军的，且CE长90米，求平行四边形ABCD的周长。 27．如图，一条圆形跑道，AB是直径。甲乙两人分别从A、B两点出发，按箭头方向前进，他们在离A点75米的C点相遇，接着又在离B点25米的D点相遇。圆形跑道的长是多少米？ 28．学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？ 29．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 30．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 31．在一条圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟后两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分钟？ 32．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 33．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 34．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米/分，乙的速度是240米/分．经过多少分钟甲第一次追上乙？ 35．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？ 36．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 37．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟． （1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？ （2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？ 38．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 39．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答） 40．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？ 41．小刚和爸爸在400米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每4分钟跑一圈，小刚每6分钟跑一圈。他们同时从起点朝同一方向出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇？ 42．小颖和小婷每天早上坚持跑步，小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米。 （1）如果她们从400米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒后两人相遇？ （2）如果她们从400米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多长时间后小婷比小颖整整多跑1圈？ 43．如图，A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行（A顺时针方向，B逆时针方向），他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个圆的周长。 44．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 45．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？ 46．甲乙两人在环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，两人同时同地相向而行，1分钟后，两人第二次相遇，求跑道的周长． 47．一个环形跑道长360m，淘淘、壮壮、龙一鸣三人从同一地点同时同方向骑车而行．淘淘每秒行3m，壮壮每秒行4m，龙一鸣每秒行2m．至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？ 48．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？ 49．小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 50．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 51．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 52．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？ 53．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 参考答案与试题解析 1．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】小红的爸爸妈妈同时从起点出发，到他们第一次在起点相遇的时间，是他们各自跑一圈所用时间6分钟和8分钟的最小公倍数。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是： 2×2×2×3＝24 答：他俩24分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】在起点处相遇，就是爸爸用若个8分和妈妈用若干个6分相好相等，从出发到第一次在起点处相遇的时间就是6分和8分的最小公倍数。 2．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 【答案】0.5分钟。 【分析】根据题意，王老师和张老师围着环形跑道向相反方向跑的过程，可以看作相遇问题，第一次相遇二人共行路程和为跑道全长360米；利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入，进行计算即可。 【解答】解：360÷（330+390） ＝360÷720 ＝0.5（分钟） 答：经过0.5分钟两人第一次相遇。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 3．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？ 【答案】7.5分钟。 【分析】如果甲比乙多跑1圈，那么甲就比乙多跑300米，然后除以两者的速度差即可。 【解答】解：300÷（280﹣240） ＝300÷40 ＝7.5（分钟） 答：经过7.5分钟甲比乙多跑1圈。 【点评】解答本题关键是明确甲比乙多跑300米，然后根据“路程差÷速度差＝追及时间”解答即可。 4．父女二人同时同地同方向在环形跑道上跑步，女儿跑一圈要用6分钟，爸爸跑一圈要用4分钟。至少多少分钟后两人在原地再次相遇？此时女儿和爸爸分别跑了多少圈？ 【答案】12，2，3。 【分析】圈数对应时间数，求至少多少分钟后两人在原地再次相遇就是求每圈时间的最小公倍数。再用最小公倍数分别除以每圈时间就等于圈数。 【解答】解：4、6的最小公倍数是12。 12÷4＝3（圈） 12÷6＝2（圈） 答：至少12分钟后两人在原地再次相遇，此时女儿跑了2圈，爸爸跑了3圈。 【点评】明确时间与圈数的对应关系及至少的含义是解决本题的关键。 5．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 【答案】3：1。 【分析】假设环形运动场的周长是300米，反向而行，3分钟后第一次相遇，则两人共行了300米，然后根据“路程和÷相遇时间＝速度和”求出两个人的速度和；同向而行，则6分钟相遇，可知甲比乙多行300米，根据“路程差÷相遇时间＝速度差”求出两个人的速度差，然后根据和差问题公式和比的意义进一步解答即可。 【解答】解：假设环形运动场的周长是300米， 甲乙的速度和为：300÷3＝100（米/分） 甲乙的速度差为：300÷6＝50（米/分） 甲的速度为：（100+50）÷2＝75（米/分） 乙的速度为：（100﹣50）÷2＝25（米/分） 75：25＝3：1 答：甲、乙两人的速度比是3：1。 【点评】完成本题要注意两人同向行时是追及问题，反向行时是相遇问题。 6．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 【答案】爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【分析】张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的，说明爸爸的速度是张伟速度的，并且张伟和爸爸相向而跑，他们相遇时两人的路程和是跑道的。据此解答。 【解答】解：400300（米） （400﹣100）400 ＝100400 ≈57+400 ＝457（米） （400﹣100）300 ＝100300 ≈43+300 ＝343（米） 答：爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【点评】本题考查环形跑道问题，理解同向而跑与相向而跑的意思是解本题的关键。 7．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为两人是反向跑步，第二次相遇就是两人共跑了2圈，每一圈用时100÷2＝50秒，然后根据“速度和×相遇时间＝路程”列式可求出跑道长（5+3）×50＝400（米）． 【解答】解：（5+3）×（100÷2） ＝8×50 ＝400（米） 答：跑道长400米． 【点评】此题属于相遇问题，考查了“速度和×相遇时间＝路程”这一知识．关键是求出一次相遇时间． 8．一个池塘绕一圈长1200米，小欣走一圈需要15分钟，小亮走一圈需要12分钟。如果两人从同一起点向相反的方向走，几分钟后两人会第一次相遇？ 【答案】。 【分析】用一圈的长度除以两人的速度和就得相遇时间。路程÷时间＝速度。据此解答。 【解答】解：1200÷15＝80（米/分） 1200÷12＝100（米/分） 1200÷（100+80） ＝1200÷180 （分钟） 答：分钟后两人会第一次相遇。 【点评】明确相遇问题数量间的关系是解决本题的关键。 9．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑一个来回所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发． 【解答】解：240×2＝480（米） 480÷4＝120（秒）， 480÷5＝96（秒）， 480÷3＝160（秒）， 120、96、160的最小倍数是480； 答：至少经过480秒三人又同时从出发点出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用． 10．小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过30秒两人相遇。跑道的周长是多少米？ 【答案】300米。 【分析】直接根据数量关系式：路程＝速度和×相遇的时间，列式解答即可。 【解答】解：（4+6）×30 ＝10×30 ＝300（米） 答：跑道的周长是300米。 【点评】此题主要考查速度、时间、路程三者之间的关系解决实际问题。 11．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是400÷10＝40米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和为40米/秒，列出方程求解即可． 【解答】解：400÷10＝40（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒，则 x+x+4＝40 2x+4＝40 2x＝36 x＝18 答：原来甲的速度是18米/秒． 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力． 12．如图，公园步道长3000米，小明和小军从步道上一点出发，同时向相反方向跑步。小明每分钟跑155米，小军每分钟跑145米。多长时间后两人第一次相遇？ 【答案】10分钟。 【分析】两人第一次相遇，共行了3000米，然后除以速度和即可。 【解答】解：3000÷（155+145） ＝3000÷300 ＝10（分钟） 答：10分钟后两人第一次相遇。 【点评】解答本题关键是明确：路程÷速度和＝相遇时间。 13．甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿A﹣B﹣C﹣D﹣A的方向行走．甲的速度每分钟50米，乙的速度是每分钟46米．则甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】要使两人在同一边行走，甲乙两人相距距离必须要小于一条边的长度．水池边长：1600÷4＝400米，甲追上乙需要的时间：400÷（50﹣46）＝100分钟，此时甲行了50×100＝5000米，共走了5000÷400＝12条…200米，所以出发之后还要行走200÷50＝4分钟，共计走了100+4＝104分钟；此时甲乙两个人相距400×2﹣104×（50﹣46）＝384米，乙还剩400﹣384＝16米，所以第一次在同一条边上走了16÷46分钟． 【解答】解：1600÷4＝400（米） 400÷（50﹣46）＝100（分钟） 50×100＝5000（米） 5000÷400＝12（条）…200（米） 200÷50＝4（分钟） 100+4＝104（分钟） 故甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟． 400×2﹣104×（50﹣46） ＝800﹣416 ＝384（米） 400﹣384＝16（米） 16÷46（分钟） 答：甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟，第一次在同一边上行走了分钟． 【点评】本题考查环形跑道问题，要理解整个行走过程，理解在一条边上行走的条件． 14．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【答案】7。 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。 【解答】解：400÷24（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒。 x+x+2 2x+2 2x x＝7 答：甲原来的速度是7米/秒。 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。 15．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 【答案】6米。 【分析】兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，则两人速度和是每秒1.3+1.2＝2.5（米），两人每共行一周就相遇一次，则相遇第10次需要时间30×10÷（1.3+1.2）＝120（秒），第十次相遇，妹妹已经走了120×1.2＝144 （米）；144÷30＝4（圈）……24（米），然后用30减去24即可解决问题。 【解答】解：第十次相遇时妹妹已经走的路程： 30×10÷（1.3+1.2）×1.2 ＝300÷2.5×1.2 ＝144（米） 144÷30＝4（圈）……24（米） 30﹣24＝6 （米） 答：妹妹还需走6米才能回到出发点。 【点评】此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程。 16．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）分钟；（2）40分钟。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）小明超出爷爷一整圈，即400米，把400米看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（1÷8+1÷10） ＝1 （分钟） 答：相背而行，分钟后相遇。 （2）1÷（1÷8﹣1÷10） ＝1 ＝40（分钟） 答：相向而行，40分钟后小明超出爷爷整整一圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 17．环形跑道长400米，莉莉和强强背向而行，莉莉的速度为6米/秒，强强的速度为4米/秒。当莉莉正面和强强相遇时，立刻转向跑；当莉莉追上强强时，强强立即转向跑，两人第11次碰头时离起点多少米？（按较短计算） 【答案】0米。 【分析】第一次相遇是正常的相遇，相遇的时间是400÷（6+4）＝40s，据此求出莉莉和强强二人的路程；但是第二次相遇是追及，追及的时间是400÷（6﹣4）＝200s，可求二人各走的路程，得出莉莉刚好走3圈，强强刚好走2圈。同理，算出第三次、第四次的路程。发现，他们是4次为一个周期循环，用11除以4得出余数，余数3刚好是第三次相遇时的情况，回到了原点。据此解题。 【解答】解：第一次相遇： 400÷（6+4） ＝400÷10 ＝40（秒） 莉莉走的路程：40×6＝240（米） 强强走的路程：40×4＝160（米） 第二次相遇：追击问题，追击路程是400米。 400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 相遇后莉莉走了：200×6＝1200（米） 1200÷400＝3（圈） 强强走了：200×4＝800（米） 800÷400＝2（圈） 第三次相遇时，他们回到了起点处。 第四次相遇：追击问题，在起点处相遇。 第五次就是重复第一次的过程，以此类推。 据此，他们是4次为一个周期， 11÷4＝2（个周期）……3 余数是3，表明第三次相遇时，回到了起点处。 故两人第11次碰头时离起点0米。 答：两人第11次碰头时离起点0米。 【点评】本题的重点是求出一共走的时间，进而求出走的路程，从而确定离起点的距离。 18．悦悦和爸爸、妈妈绕环形跑道跑步进行晨练。若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用3分，妈妈跑一圈用4分，悦悦跑一圈用6分，多少分后，悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇？相遇时，他们三人各跑了几圈？ 【答案】12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。 【分析】此题实际上就是求3，4，6的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们在起点第一次相遇的时间；再用他们第一次相遇的时间除以他们各自跑一圈的时间，即可求得各自的圈数。 【解答】解：因为3、4、6的最小公倍数是12， 所以12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇。 12÷3＝4（圈） 12÷4＝3（圈） 12÷6＝2（圈） 答：12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。 【点评】本题考查了公倍数应用题，考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。 19．学校的环形跑道长400米，甲、乙两人同时从跑道的同一地点背向而行。已知甲的速度是120米/分，甲、乙两人的速度比是3：2，他们几分钟后会首次相遇？ 【答案】2分钟。 【分析】从“速度比是3：2”可知：甲速度是3份，乙速度是2份，用120÷3×2＝80米，即求出了乙的速度。两人同时从环形跑道同一地点背向而行，每相遇1次时，两人正好跑一圈，即路程和是400米。根据相遇时间＝路程÷速度和，用400÷（120+80）即可求出首次相遇时间。 【解答】解：120÷3×2＝80（米） 400÷（120+80） ＝400÷200 ＝2（分钟） 答：他们2分钟后会首次相遇。 【点评】明确两人从同一地点背向而行，每次相遇时，两人正好跑一圈是解决本题的关键。 20．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。 （1）爷爷一共走了多少分钟？ （2）环形跑道一周长多少米？ 【答案】（1）20分钟； （2）1800米。 【分析】（1）爷爷相遇后8分钟走的路程就是相遇时小强走的路程，用90乘8求出该路程，则两人相遇时的时间是（720÷60）分钟，再加上8分钟就是爷爷一共走的时间。 （2）根据速度乘时间等于路程，即可求出跑道的周长。 【解答】解：（1）8+90×8÷60 ＝8+12 ＝20（分） 答：爷爷一共走了20分钟。 （2）90×20＝1800（米） 答：环形跑道一周长1800米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 21．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2019次相遇在哪边？ 【答案】CB边。 【分析】根据路程＝速度×时间，相遇时间相同，每次相遇所走的路程比就是速度比，乙的速度是甲的速度的4倍，乙走过的路程也就是甲走过路程的4倍；第一次相遇，两点总路程为正方形两个边长，所以甲走了个边长，即在AD相遇，同理求出之后每次相遇甲走的路程，看相遇点的规律，据此得出结论。 【解答】解：方法1：[2+4×（2019﹣1）]÷（1+4）÷4 ＝（2+4×2018）÷5÷4 ＝（2+8072）÷5÷4 ＝8074÷5÷4 ＝403.7（圈） 故甲与乙第2019次相遇时甲共移动了403.7圈，即相遇点在CB边上。 方法2：设正方形边长为a， 因为乙的速度是甲的速度的4倍， 所以相同时间乙走的路程是甲走的路程的4倍， 第一次相遇，两点走的总路程为2a，则甲走了：2aa，相遇点在AD上，距离A点a； 第二次相遇，两点走的总路程为4a，则甲走了：4aa，aaa，此时相遇点在DC上，距离D点a﹣aa； 第三次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，aa＝a，此时相遇点在C点； 第四次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，此时相遇点在CB上，距离C点a； 第五次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，aaa，a﹣aa，此时相遇点在BA上，距离B点a； 第六次相遇，两人走的总路程为4a，则甲走了a，aaa，a﹣aa，此时相遇点在AD上，距离A点a； …… 可以发现，第六次相遇地点与第一次相遇地点相同，5次为一个循环， 2019÷5＝403……4 所以，第2019次相遇与第四次相遇点相同，在CB边上。 答：它们第2019次相遇在CB边上。 【点评】本题主要考查了环形跑道和多次相遇问题，抓住时间相同时速度比等于路程比，求出前几次相遇点的位置，总结规律，是本题解题的关键。 22．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲的速度是乙的3倍，即甲乙的速度差是50×2＝100米．现在现在甲在乙前面100米，那么甲的追及距离是1000﹣100＝900米，然后再除以甲乙的速度差可得多少分钟后两人相遇． 【解答】解：（1000﹣100）÷（50×2） ＝900÷100 ＝9（分钟） 答：9分钟后两人相遇． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是求出追及距离和速度差． 23．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？ 【答案】415米。 【分析】根据题意，5分后两人第二次相遇，每相遇一次，甲、乙两人就共行400米，那么5分钟跑了两圈，即400×2＝800（米），用路程除以相遇时间可以求出他们的速度和，然后求出甲的速度，再进一步解答即可。 【解答】解：400×2÷5 ＝800÷5 ＝160（米/分钟） （160+6）÷2＝83（米/分钟） 83×5＝415（米） 答：两人第二次相遇时甲一共跑了415米。 【点评】本题的关键是理解5分钟跑了两圈，然后再根据路程÷时间＝速度进一步解答即可。 24．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米； （2）31400平方米。 【分析】（1）根据明明和亮亮从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，相遇时两人走的路程就是圆的周长，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米，用速度和乘4分钟，计算即可得到圆形场地的周长，然后根据圆的周长＝πd，用圆的周长÷3.14即可得到这个圆形场地的直径是多少米； （2）根据圆的面积＝πr2和r＝d÷2，代入数据计算即可得到这个圆形场地的面积。 【解答】解：（1）（73+84）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 【点评】解决本题关键是明确两人走的路程和就是圆的周长，再根据圆的周长和圆的面积公式进行解答即可。 25．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 【答案】7.85。 【分析】不管在哪条跑道，直跑道的长度相等，就不考虑。由题意可知，同一道两个半圆形跑道组成一个圆，这个圆的直径每相邻两道相差2个1.25米，三道的圆周长比二道的圆周长多的长度就得小军提前的距离。 【解答】解：31.85+1.25×4 ＝31.85+5 ＝36.85（米） 31.85+1.25×2 ＝31.85+2.5 ＝34.35（米） 36.85×π﹣34.35×π ＝（36.85﹣34.35）×π ＝2.5×3.14 ＝7.85（米） 答：起跑时小军应该提前小明7.85m。 【点评】明确环形跑道的组成及圆周长的意义是解决本题的关键。 26．如图所示，小明从A点出发沿着平行四边形A→B→C→D的方向跑，同时小军也从A点出发沿A→D→C→B的方向跑，两人在E点相遇。已知小明的速度是小军的，且CE长90米，求平行四边形ABCD的周长。 【答案】780米。 【分析】把相遇的时间看作是单位“1”，则小军比小明多跑了（90×2）米，（即两个CE的距离），小军比小明多跑了（1），用对应的数量除以对应的分率求出小军跑的路程；已知小明的速度是小军的，则小明的路程也是小军的，进而用乘法求出小明跑的路程；最后把二者相加就是平行四边形的周长。据此解答。 【解答】解：90×2÷（1） ＝180 ＝480（米） 480300（米） 480+300＝780（米） 答：平行四边形ABCD的周长是780米。 【点评】此题解答的关键在于求出到达E点处小军多跑的路程，进而解决问题。 27．如图，一条圆形跑道，AB是直径。甲乙两人分别从A、B两点出发，按箭头方向前进，他们在离A点75米的C点相遇，接着又在离B点25米的D点相遇。圆形跑道的长是多少米？ 【答案】400米。 【分析】由于甲、乙两人分别从圆形跑道直径AB两端同时出发相向而行，则第一次相遇时二人共行了半个圆周，甲行了AC＝75米，即每行半个圆周，甲就行75米，第二次相遇，二人共行了1.5个圆周，则甲应该行：75×3＝225（米），即：AD＝225米，又：BD＝25米，所以半个圆周：AB＝AD﹣BD＝225﹣25＝200（米），由此即可求出圆的周长。 【解答】解：跑道的周长为： （75×3﹣25）×2 ＝200×2 ＝400（米） 答；圆形跑道的长是400米。 【点评】本题主要考查了环形跑道，解题的关键是认真分析题意，弄清相遇问题中的数量关系，进行分析解答即可。 28．学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？ 【答案】10分钟。 【分析】首先用小林每分钟跑的路程减去小方每分钟跑的路程，求出两人的速度之差是多少；然后根据“路程÷速度＝时间”，用250除以两人的速度之差，求出经过几分钟小林超过小方1圈即可。 【解答】解：250÷（150﹣125） ＝250÷25 ＝10（分钟） 答：经过10分钟小林超过小方1圈。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之差是多少。 29．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【答案】（1）300米/分钟； （2）3圈。 【分析】（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程，用路程÷相遇时间＝速度和，速度和减去小王的速度，即可求出小张的速度； （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），用路程÷速度差＝追及时间，再进一步即可解答。 【解答】解：（1）500÷1﹣200 ＝500﹣200 ＝300（米/分钟） 答：小张的速度是300米/分钟。 （2）500÷（300﹣200） ＝500÷100 ＝5（分钟） 300×5÷500 ＝1500÷500 ＝3（圈） 答：小张跑3圈后才能第一次追上小王。 【点评】本题关键在于理清在不同的运动过程中，两人的路程和、路程差、速度和、速度差对应的量是多少，然后进行求解。 30．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）6分；（2）30分。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”，分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程÷速度和＝相遇时间”，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程差÷速度差＝追击时间”，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 ＝6（分） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，6分钟后首次相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝30（分） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，30分钟后小明超出爷爷一整圈。 【点评】本题考查了环形跑道的相遇和追及问题，熟练运用：路程、速度、时间三者的关系是解题的关键。 31．在一条圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟后两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分钟？ 【答案】20分钟，30分钟。 【分析】根据题意，第一次相遇后，甲经过4分钟到达B点，也就是甲用4分钟可以走完的路程乙要用6分钟走完；从第一次相遇到第二次相遇，所经过的时间是4+8＝12分钟，也就是两人都走了12分钟，那么甲再走乙12分钟的走过的路程就是走了一圈，甲12分钟走过的路乙可以用12÷6×4＝8分钟走完；这时甲走一圈的时间就是12+8＝20分钟；乙行一圈需要20÷4×6＝30分钟。 【解答】解：甲乙合行一圈需要： 8+4＝12（分钟） 乙行6分钟的路程，甲只需4分钟， 所以，乙行的12分钟，甲需要： 12÷6×4 ＝2×4 ＝8（分钟） 所以，甲行一圈需要： 8+12＝20（分钟） 乙行一圈需要： 20÷4×6 ＝5×6 ＝30（分钟） 答：甲环行一周需要20分钟，乙环行一周需要30分钟。 【点评】本题的关键是求出两人走同一段路程的时间的关系，然后再进一步解答即可。 32．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即7：9；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的（），然后根据分数除法的意义解答即可． 【解答】解：50÷（） ＝50 ＝400（米） 答：学校环形跑道的周长是400米． 【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可． 33．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，分别表示出壮壮的速度（）和爸爸的速度（），然后根据路程和÷速度和＝相遇时间，解答即可． 【解答】解：2小时＝120分钟，1.5小时＝90分钟 1÷（） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时出发，相背而行，至少分钟后相遇． 【点评】此题属于行程问题，明确把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答． 34．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米/分，乙的速度是240米/分．经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑1圈，即600米，根据路程差÷速度差＝追及时间，列式为：600÷（270﹣240）． 【解答】解：600÷（270﹣240） ＝600÷30 ＝20（分钟） 答：经过20分钟甲第一次追上乙． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是理解同时从同一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙，那么甲比乙多跑1圈就是路程差是环形跑道的周长． 35．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？ 【答案】这个环形跑道长500米。 【分析】根据题意得，环形跑道，反向而行则最后还是会相遇，同时出发则两人相遇时用的时间相等，两人都跑了50秒，跑道的长度等于小明行驶的路程加上小亮行驶的路程，可以用速度和乘时间；列式为（4+6）×50，据此解答即可。 【解答】解：（4+6）×50 ＝10×50 ＝500（米） 答：这个环形跑道长500米。 【点评】本题主要考查了行程问题。相遇问题：路程和＝速度和×时间；追及问题：路程差＝速度差×时间。 36．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 【答案】180秒。 【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上张老师时，那么李老师比张老师正好多行360米，然后除以速度差即可。 【解答】解：360÷（6.5﹣4.5） ＝360÷2 ＝180（秒） 答：经过180秒李老师正好比张老师多跑一圈。 【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。 37．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟． （1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？ （2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把环形跑道的长度看作单位“1”，用1分别除以甲乙的时间，表示出甲乙的速度，两人分别在圆形跑道的直径两端上；然后用（相遇时的路程）除以两人的速度和就是相遇时间； （2）同理，甲第一次追上乙，就比乙多行圈（追及距离），然后用除以两人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）（1÷4+1÷6） ＝1.2（分钟） 答：相向而行，1.2分钟后相遇． （2）（1÷4﹣1÷6） ＝6（分钟） 答：同向而行，6分钟后甲能够追上乙． 【点评】环形跑道问题，只要注意行驶的方向，不论是相遇还是追及，都要结合共行的路程和追及距离解答． 38．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 【答案】20分钟。 【分析】如果两人同时同地出发，同方向而行，小红超出小丽一整圈，看作单位“1”，然后用1除以两人的速度差就是追及时间。 【解答】解：1÷（1÷4﹣1÷5） ＝1 ＝20（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，20分钟后小红超出小丽一整圈。 【点评】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。 39．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答） 【答案】见试题解答内容 【分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即400米，设笑笑每分钟跑x米，在20分钟跑20x米，淘气跑了240×20米，然后根据笑笑跑的路程﹣淘气跑的路程＝400米列出方程求解． 【解答】解：设笑笑每分钟跑x米，则： 20x﹣240×20＝400 20x﹣4800＝400 20x＝5200 x＝260 答：笑笑每分钟跑260米． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度得出是解题关键． 40．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？ 【答案】6次。 【分析】先用往返一次的路程除以每步的米数求出各自的步数，再根据狗跑2步等于兔子跑3步，再把狗跑的步数转化为兔子跑的步数，然后进一步解答即可。 【解答】解：兔子跑一个往返需要： 50×2÷1＝100（步） 狗跑一个往返需要： 50×2÷1.5≈67（步） 狗跑的步数相当于兔子跑了： 67÷2×3≈101（步） 因此兔子折返1次领先： 101﹣100＝1（步） 6÷1＝6（次） 答：兔子折返6次后刚好比狗快6米。 【点评】此题解答的关键是求出狗和兔子跑一个来回需要的步数。 41．小刚和爸爸在400米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每4分钟跑一圈，小刚每6分钟跑一圈。他们同时从起点朝同一方向出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇？ 【答案】12分钟。 【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，小刚回到起点用的时间是6分钟的整数倍，则第一次同时回到起点就是6和4的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：6＝2×3 4＝2×2 所以6和4的最小公倍数是：2×3×2＝12（分钟） 答：至少经过12分钟又能在起点相遇。 【点评】灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。 42．小颖和小婷每天早上坚持跑步，小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米。 （1）如果她们从400米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒后两人相遇？ （2）如果她们从400米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多长时间后小婷比小颖整整多跑1圈？ 【答案】（1）40秒；（2）200秒。 【分析】（1）小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米，先求出两人的速度和，再依据“时间＝路程÷速度”即可解答。 （2）根据题意可知，两人速度差为每秒2米，路程差为400米，根据关系式：路程差÷速度差＝追及时间，解决问题。 【解答】解：（1）400÷（6+4） ＝400÷10 ＝40（秒） 答：40秒后两人相遇。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小婷比小颖整整多跑1圈。 【点评】本题主要考查学生依据速度、时间以及路程之间数量关系解决问题的能力。 43．如图，A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行（A顺时针方向，B逆时针方向），他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个圆的周长。 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个圆的周长，小张行了100米；从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个圆的周长，也就是说从第一次相遇到第二次相遇走的路程 是第一次相遇时走的路程的2倍，那么小张走的路 程也就是第一次相遇时走的路程的2倍即100的2 倍，小张共行了100×2＝200米；那么两次相遇一共行了100+200＝300米，比圆的周长少60米，那么圆的周长是300+60＝360米。 【解答】解：100+100×2+60 ＝100+200+60 ＝360（米） 答：这个圆的周长是360米。 【点评】本题考查了环形跑道上的相遇问题，关键是明确每行一个半圆小张就行100米。 44．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】求出6和8的最小公倍数，即可求出她们可以在该起点第一次相遇的时间。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数24，所以24分钟相遇她们可以在该起点第一次相遇。 答：至少24分钟后她们可以在该起点第一次相遇。 【点评】解答本题的关键是求出6和8的最小公倍数。 45．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？ 【答案】6分钟 【分析】悠悠回到起点用的时间是2分钟的整数倍，青青回到起点是3分钟的整数倍，则第一次同时回到起点的时间就是2和3的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：2和3互质， 2×3＝6（分钟） 答：他们6分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】本题灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。 46．甲乙两人在环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，两人同时同地相向而行，1分钟后，两人第二次相遇，求跑道的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】1分钟＝60秒，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，1分钟后，两人第二次相遇，那么每相遇一次多行一个跑道的周长，第一次相遇的时间是60÷2＝30秒，多跑1×30＝30米，所以跑道的周长是30米． 【解答】解：1分钟＝60秒 60÷2＝30（秒） （7﹣6）×30＝30（米） 答：跑道的周长是30米． 【点评】明确距离差÷速度差＝追及时间求出第一次相遇时所路程是完成本题的关键． 47．一个环形跑道长360m，淘淘、壮壮、龙一鸣三人从同一地点同时同方向骑车而行．淘淘每秒行3m，壮壮每秒行4m，龙一鸣每秒行2m．至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程÷速度＝时间这一关系式，先求得淘淘、壮壮、龙一鸣三人骑车1圈所用的时间分别是多少；求至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发；就相当于求他们骑车1圈所用的时间的最小公倍数，然后分解因数解答即可． 【解答】解：360÷3＝120（秒） 360÷4＝90（秒） 360÷2＝180（秒） 120＝30×2×2 90＝30×3 180＝30×2×3 120，90和180的最小公倍数是：30×2×2×3＝360 360秒＝6分钟 答：至少经过6分钟，三人再次从原出发点同时出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用；关键是求出三人骑车1圈所用的时间分别是多少． 48．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？ 【答案】分钟；30分钟。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可； （2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（1÷5+1÷6） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，分钟后相遇。 （2）1÷（1÷5﹣1÷6） ＝1 ＝30（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相向而行，30分钟后小莉超出奶奶整整一圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 49．小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 【答案】（1）400米；（2）200秒。 【分析】（1）两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度，再根据速度和×时间＝路程，可以计算出这个环形跑道长多少米。 （2）如果相遇后两人改为同向而行，属于追及问题，求多少秒后两人能再次相遇，即用环形跑道的长度除以两个人的速度差。 【解答】解：（1）（4+6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：这个环形跑道长400米。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：如果相遇后两人改为同向而行，那么200秒后两人能再次相遇。 【点评】本题考查相遇问题和追及问题，明确时间、路程、速度和之间的关系是解题的关键。 50．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两人同时同地出发反向跑步，两人在第一次相遇时，由于小强的速度比小明的速度快，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方；据此画图即可； （2）在环形跑道上同时同地同向而行，当小明第一次遇时，也就是小明和小强共跑一圈，先求出两人的速度和，再依据时间×速度＝路程列方程即可解答． 【解答】解：（1）150＞130，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方； （2）设x分钟后两人第一次相遇， （150+130）x＝5600 280 x＝5600 x＝20 答：20分钟后两人第一次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据“路程÷速度和＝相遇时间”解决问题． 51．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 【答案】（1）； （2）20。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追击时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝20（分钟） 答：20分钟后小明超出老师一整圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 52．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？ 【答案】4分钟。 【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在P点相遇一次，然后先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘其跑的圈数即可。 【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈， 250÷5×5＝250（秒） 250秒＝4（分钟） 答：从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是4分钟。 【点评】此题属于复杂的环形跑道问题，解答此题的关键是明确圈数比和速度比的关系。 53．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 【答案】62.8米。 【分析】当猫和老鼠第一次相遇时，两者行驶的路程和应该是圆的周长，先依据C＝πd，求出圆的周长，再依据“时间＝路程÷速度”，求出两者第一次相遇时需要的时间，然后求出两者的速度差，最后根据“路程＝速度×时间”即可解答。 【解答】解：3.14×50÷（21.98+9.42）×（21.98﹣9.42） ＝157÷31.4×12.56 ＝5×12.56 ＝10×6.28 ＝62.8（米） 答：当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了62.8米。 【点评】本题解答起来虽然比较复杂，但是只要明确数量间的等量关系，代入数据即可解答。关键在于明白两者行驶的路程和应该是圆的周长，根据圆的周长公式求出圆的周长，再根据关系式：路程＝速度×时间，解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$