专题03 相似三角形的性质【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题03 相似三角形的性质 考点类型 知识一遍过 （一）相似三角形的性质 如图：两个三角形相似，则有对应边成比例 ∵；∴ 如图；两个三角形相似，则有对应角相等 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比 ∵； ∴ 考点一遍过 考点1：相似三角形的性质——求线段 典例1：如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．4 【变式2】如图，已知中，，在中，，且，，则 时，图中的两个直角三角形相似． 【变式3】如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 考点2：相似三角形的性质——求角度 典例2：如图，已知．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 【变式3】如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    考点3：相似三角形的性质——证明比例关系 典例3：如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，若，，，则的长为 .    【变式3】如图，在中，，点在边上，且，点是边上的点，当时，的长为 ． 考点4：相似三角形的性质——求周长 典例4：如图，，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则下列等式一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是 ． 【变式3】如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ． 考点5：相似三角形的性质——求面积 典例5：如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【变式1】中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】如图，在平行四边形中，E为上一点，连接、，且、交于点F，，若的面积是4，则四边形的面积是 ．    【变式3】如图，在边长为1的网格中，点，，都为格点，线段经过点．以为圆心，为半径画弧，弧经过格点交所在格线于点，则阴影部分的面积是 ． 考点6：相似三角形的性质——坐标系问题 典例6：如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 考点7：网格中的相似三角形 典例7：小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.    (1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形； (2)在图2中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）. 【变式1】如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等． (1)在图1中画，使点M，N均落在的边上． (2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形． 【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在方格纸的格点上．    (1)判断和是否相似，并说明理由． (2)，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似（要求写出所有符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）． 【变式3】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 考点8：相似三角形的性质与判定综合 典例8：如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【变式1】如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 【变式2】如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 【变式3】如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的性质 考点类型 知识一遍过 （一）相似三角形的性质 如图：两个三角形相似，则有对应边成比例 ∵；∴ 如图；两个三角形相似，则有对应角相等 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比 ∵； ∴ 考点一遍过 考点1：相似三角形的性质——求线段 典例1：如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【详解】由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 【变式1】如图，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，已知中，，在中，，且，，则 时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，当时，当时，然后利用比例性质求出对应的的长即可． 【详解】解：，，，， ， 当时， ，即， ； 当时， ，即， ， 故答案为：或． 【变式3】如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 考点2：相似三角形的性质——求角度 典例2：如图，已知．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． 由相似可得，利用三角形的外角性质可求得，从而可求的度数． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 【变式1】如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，得出，，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 【变式2】如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”是解题的关键．首先求出线段、、的长度用表示，求出两个三角形对应边的比，进而证明，得出，问题即可解决． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由勾股定理得： ， ， 而 同理可证：，， ， 即， ， ， ， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等等，熟知相似三角形对应角相等是解题的关键． 考点3：相似三角形的性质——证明比例关系 典例3：如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 【变式1】如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键． 【变式2】如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 【变式3】如图，在中，，点在边上，且，点是边上的点，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 分两种情况讨论，当，得，则，由，，求得，则；二是与不平行，且时，则，可证明是等边三角形，则，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 当时， ， ， ，， ， ； 当与不平行时，且时，则， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：或． 考点4：相似三角形的性质——求周长 典例4：如图，，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则下列等式一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答． 【详解】解：、， ， ，本选项错误； 、， ， ，本选项错误； 、， ， ，本选项错误； 、， ， ，本选项正确； 故选：． 【点睛】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答． 【变式1】如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 【变式2】如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是 ． 【答案】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解： ，， ， 与的周长之比是， 点A到的距离与点E到的距离之比是， 故答案为：． 【变式3】如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过作交于，设 由三角形的周长关系可得：再证明：利用相似三角形的性质求解再证明：可得：再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过作交于， 设 为的中点， 即： 解得：或， 经检验：不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 考点5：相似三角形的性质——求面积 典例5：如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵和分别是和的高，若， ∴其相似比为， ∴与的面积的比为． 故选：A． 【变式1】中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．根据题意做出图形，点、分别是、的中点，可得，，则可证得，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得的面积与的面积之比为，然后由三角形的周长比等于相似比，证得的周长与的周长之比为，选出正确的结论即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点，如图， ∴，， ∴，故正确； ∵，， 的面积与的面积之比为，故正确； 的周长与的周长之比为，故错误． 故选：C． 【变式2】如图，在平行四边形中，E为上一点，连接、，且、交于点F，，若的面积是4，则四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】根据四边形是平行四边形得到，得到，结合得到，即可得到，结合的面积是4即可得到四边形的面积，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设高的公比为k，底的公比为m， ∴，，，， ∵的面积是4， ∴， ∴， ∴四边形的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的的性质：相似三角形形对应边之比，对应高之比等于相似比． 【变式3】如图，在边长为1的网格中，点，，都为格点，线段经过点．以为圆心，为半径画弧，弧经过格点交所在格线于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据网格构造直角三角形求出扇形的半径．连接，过点作于点，在中，根据勾股定理求出半径，再根据相似三角形的性质求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， 扇形的半径为， 根据题意得：， 由图像可知，， ， ，即， ， ， 故答案为：． 考点6：相似三角形的性质——坐标系问题 典例6：如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 当与相似时，则可分： ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 考点7：网格中的相似三角形 典例7：小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.    (1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形； (2)在图2中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质可作出点A和B的对应点D和E，使，，，所得即为绕点C顺时针旋转的三角形； （2）根据相似三角形性质取点F，使，，连接，，所得． 【详解】（1）如图，取格点D，E，使，，， 连接，，， 即为所求作； （2）如图，取格点F，使，， 连接，， 即为所求作． 【变式1】如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等． (1)在图1中画，使点M，N均落在的边上． (2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作相似图形和轴对称图形，熟练掌握相似的性质和轴对称的性质是解此题的关键． （1）利用相似图形的定义确定对应点的位置即可； （2）利用相似图形的定义和轴对称图形的定义确定对应点的位置即可． 【详解】（1）如图： 即为所求； （2）如图： 即为所求． 【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在方格纸的格点上．    (1)判断和是否相似，并说明理由． (2)，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似（要求写出所有符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)；； 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，理解题意，根据勾股定理计算边的长度，并理解“三边对应成比例，两三角形相似”是关键． （1）先利用勾股定理计算出两个三角形的所有边长，通过计算对应边的比得到，再根据相似三角形的判定方法即可得到； （2）求以D，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边是否成比例，便可判定是否符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】（1）解：， 理由：根据题意，得，，， ，，， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得，，， ，，， ∴， ∴； 同理，；； 如图，   ． 【变式3】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）①如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； ②如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①点如图所示， ； ②点如图所示， ． 考点8：相似三角形的性质与判定综合 典例8：如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． （）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （）先证明，再根据性质得出，由轴对称的性质可得，可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴ ，， 在和中， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式2】如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                  ∴， 在和中，，     ∴， ∴. 又∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式3】如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】(1) ； ； (2)没有变化，证明见解析； (3)． 【分析】（）利用等腰三角形的性质判断出， ，进而得出，得出，即可得出结论； 同的方法，即可得出结论； （） 利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论； （）判断出点在的延长线上时，最大，再求出 ，即可得出结论； 此题是考查了旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，的大小没有变化； 证明：在中， ∵，， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为， 在中，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$