专题01 整式【六大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题01 整式 考点类型 知识一遍过 （一）单项式 （1）单项式的概念 概念：数字或字母的乘积组成的代数式。单项式包括了“两单”（单独的一个数字、单独的一个字母）和“两积”（数字与字母的乘积、字母与字母的乘积）。 （2）单项式的系数 ①概念：单项式中的数字因数称为系数。 ②单项式系数中的注意事项： ★如果一个单项式是一个数字，那么这个单项式不含系数。 ★如果一个单项式中含有，不是字母，应该作为系数的组成部分。 ★当一个单项式的系数是“”或者“”时，“”可以省略不写，但是“-”号不能不写。 ★当一个单项式的系数是假分数时，一般都化成假分数 （3）单项式的次数 ①概念：单项式中的所有字母的指数之和。 单项式的次数只能是字母的指数之和，（若系数也有指数）千万不能加上系数的指数。例如：在单项式32abc3中，次数应该是（1+1+3=）5次，而不是7次。 （二）多项式 （1）多项式的概念 ①概念：几个单项式的和。 ②相关概念： ★多项式是和的形式，加法是其唯一的一种运算，若多项式中出现“-”号，应看做负号。例如：在多项式中，应看做。 ★单项式是构成一个多项式的最基本单位，每一个单项式都是多项式的一个项，在多项式找某个项时，应该带上这个项的符号。例如：在多项式中，每个项分别为、、、. ★多项式中有时会出现单独的一个数字，这样的单项式（单独的一个数字）被称之为常数项。例如：在多项式中的就属于常数项。 （2）多项式的项（数） ①概念：构成多项式的单项式的个数。 ②注意事项：任何一个多项式的项数都不低于2；例如：在多项式中，共有两个项、，所以项数为2. （3）多项式的次数 ①概念：多项式中次数最高的单项式的次数。 ②注意事项： ★一定不能把所有项的次数之和作为多项式的次数。 ★首先应找到每一个项的次数，再取其中的最高次。例如：在多项式中最高次项为，所以这个多项式的次数为4次。 （4）多项式的名称 多项式中有几个项就被称之为几项式；多项式的次数是几，就被称之为几次式；二者综合就形成了多项式的名称：几次几项式。例如：多项式就应该称为4次4项式。 考点一遍过 考点1：单项式的判断 典例1：下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【变式1】在式子， ，0.5 ，，，中，单项式的个数是（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式2】下列式子：中，单项式共有 个；系数为1的单项式是 ；系数为的单项式是 ；单项式的次数是 ． 【变式3】下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 考点2：单项式的系数、次数 典例2：关于单项式，下列说法中正确的是（    ）． A．系数是 B．次数是4 C．系数是 D．次数是3 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为2 【变式2】单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式3】小明在抄写一个四次单项式时，把字母，的指数漏掉了，请写出原单项式一种可能的情况： 考点3：多项式的判断 典例3：下列代数式，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列式子中不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有 ；是多项式的有 ． 【变式3】已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ （1）其中单项式有 （写序号），它们的系数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． （2）其中多项式有 （写序号），它们的次数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． 考点4：多项式的项、系数、次数 典例4：下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B． 都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 【变式1】下列说法错误的是（    ） A．的次数是4 B．多项式是二次三项式 C．多项式的次数是3 D．的系数是 【变式2】多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 【变式3】下列叙述：①是一次二项式；②的系数为1．次数为2；③0是代数式；④多项式有三项，即、和．其中正确的是 ．（填序号） 考点5：多项式的升幂（降幂）排列 典例5：把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】把多项式按x的降幂排列后，从左边数第二项是（　　） A． B． C．7 D． 【变式2】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【变式3】（1）将多项式按的升幂排列为 ． （2）把多项式按的降幂排列为 ． 考点6：整式——规律探究 典例6：观察下列等式： ①        ②        ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有3个黑点，第②个图案有6个黑点，第③个图案有11个黑点，第④个图案有18个黑点，…，按此规律可知，第⑦个图案中黑点的个数为（    ） A．51 B．50 C．66 D．60 【变式2】【观察思考】 【规律发现】第n个图案中“◎”的个数为 ． 【变式3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数． （1），，，，，，，， ， ， ，…； （2） ， ， ，… 同步一遍过 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是8次 C．是多项式 D．的常数项为2 2．单项式系数和次数说法正确的是（    ） A．系数是，次数是 B．系数是，次数是 C．系数是，次数是 D．系数是，次数是 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去，第2023个图案需要的三角形个数是（    ） A．6070 B．6071 C．6072 D．6073 5．下列计算的结果中正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案的黑色棋子个数是（    ）      A．22 B．23 C．28 D．29 7．如图，有一个起点为的数轴，现有同学将它弯折，虚线上从下往上第一个数为，第二个数为，第三个数为，，则第十个数是（ ） A． B． C． D． 8．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（    ） A． B． C．4 D． 9．若关于，的多项式中不含项，则值是（    ） A． B．3 C． D． 10．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（    ）颗棋子． A．85 B．86 C．87 D．88 二、填空题 11．单项式的系数是 12．已知与是同类项，则 ， ． 13．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为24 ，第二次得到的结果为12 …，请你探索第2021次得到的结果为 ． 14．若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 15．已知，，则 ． 16．有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8．继续依次操作下去．从数串3，9，8开始操作至第2024次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 三、解答题 17．先化简再求值：，其中． 18．先化简，再求值： ，其中a＝2021，b＝－2 19．如图，用图案来表示关于和的多项式，图案1表示的多项式为，已知图案中的字母和的数量有着一定的规律，归纳变化规律，解决下列问题： (1)图案4表示的多项式为______，图案表示的多项式为______（用含的式子表示）； (2)设图案6表示的多项式为，图案7表示的多项式为，化简． 20．小明参加“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为．小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，求的值． 21．阅读材料：我们知道，类似地，可以把看成一个整体，则．“整体思想”是数学学习中一种重要的思想方法，它在代数式化简、多项式的求值等问题中被广泛应用． 探究： (1)我们把看成一个整体，合并，得到的结果是__________． (2)若，求代数式的值． (3)若，，且，，求代数式的值． 22．观察下列各式：，，，… （1）请根据上式填写下列各题： ①= ； ②= ；（n是正整数） ③= ；（n≥2的正整数） （2）计算：． 23．（1）已知的值与x的取值无关，求 的值． （2）已知关于x的四次三项式中不含及项，试写出这个多项式，并求当时，这个多项式的值． 24．一建筑物的地面结构如图所示（图中A，B，C，D均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：    (1)请用含x，y的代数式表示地面总面积； (2)若图中阴影部分的地面（B，C）需要铺地砖，且铺地砖每平方米的平均费用为80元，当时，求铺地砖的总费用为多少元？ 25．对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出该多项式有最小值是2；若将它写成 的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变x的值，研究A，B两个代数式取值的规律； x ―2 ―1 0 1 2 3 18 11 6 3 ■ 3 27 18 11 ※ 3 (1)表中※=___________，■=___________，=___________； (2)观察表格可以发现：若时，，则时， ．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值后移，此时后移值为1． ①若代数式C参照代数式B取值后移，相应的后移值为2，求代数式C； ②已知代数式参照代数式取值后移，求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式 考点类型 知识一遍过 （一）单项式 （1）单项式的概念 概念：数字或字母的乘积组成的代数式。单项式包括了“两单”（单独的一个数字、单独的一个字母）和“两积”（数字与字母的乘积、字母与字母的乘积）。 （2）单项式的系数 ①概念：单项式中的数字因数称为系数。 ②单项式系数中的注意事项： ★如果一个单项式是一个数字，那么这个单项式不含系数。 ★如果一个单项式中含有，不是字母，应该作为系数的组成部分。 ★当一个单项式的系数是“”或者“”时，“”可以省略不写，但是“-”号不能不写。 ★当一个单项式的系数是假分数时，一般都化成假分数 （3）单项式的次数 ①概念：单项式中的所有字母的指数之和。 单项式的次数只能是字母的指数之和，（若系数也有指数）千万不能加上系数的指数。例如：在单项式32abc3中，次数应该是（1+1+3=）5次，而不是7次。 （二）多项式 （1）多项式的概念 ①概念：几个单项式的和。 ②相关概念： ★多项式是和的形式，加法是其唯一的一种运算，若多项式中出现“-”号，应看做负号。例如：在多项式中，应看做。 ★单项式是构成一个多项式的最基本单位，每一个单项式都是多项式的一个项，在多项式找某个项时，应该带上这个项的符号。例如：在多项式中，每个项分别为、、、. ★多项式中有时会出现单独的一个数字，这样的单项式（单独的一个数字）被称之为常数项。例如：在多项式中的就属于常数项。 （2）多项式的项（数） ①概念：构成多项式的单项式的个数。 ②注意事项：任何一个多项式的项数都不低于2；例如：在多项式中，共有两个项、，所以项数为2. （3）多项式的次数 ①概念：多项式中次数最高的单项式的次数。 ②注意事项： ★一定不能把所有项的次数之和作为多项式的次数。 ★首先应找到每一个项的次数，再取其中的最高次。例如：在多项式中最高次项为，所以这个多项式的次数为4次。 （4）多项式的名称 多项式中有几个项就被称之为几项式；多项式的次数是几，就被称之为几次式；二者综合就形成了多项式的名称：几次几项式。例如：多项式就应该称为4次4项式。 考点一遍过 考点1：单项式的判断 典例1：下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，分别分析各代数式，即可求得答案．此题考查了单项式的定义．注意准确理解定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，，中，是多项式；故错误； B、，，全是单项式，故正确； C、，，中，是分式，故错误； D、，，中，是多项式，故错误． 故选：B． 【变式1】在式子， ，0.5 ，，，中，单项式的个数是（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，进而得出答案． 【详解】解：代数式， ，0.5 ，，，中，0.5，，是单项式，故单项式的个数有3个． 故选：B． 【变式2】下列式子：中，单项式共有 个；系数为1的单项式是 ；系数为的单项式是 ；单项式的次数是 ． 【答案】 6 3 【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法得出答案． 【详解】解：单项式有：共6个， 系数为1的单项式是：， 系数为的单项式是：， 单项式的次数是：3． 故答案为：6；；；3． 【点睛】此题主要考查了单项式的次数与系数，正确把握定义是解题关键． 【变式3】下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 【答案】①②③⑦ 【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案． 【详解】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 则是单项式的是①；②m；③；⑦， 故答案为：①②③⑦． 【点睛】本题考查了单项式的定义，熟记定义是解题关键． 考点2：单项式的系数、次数 典例2：关于单项式，下列说法中正确的是（    ）． A．系数是 B．次数是4 C．系数是 D．次数是3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．注意是一个数． 根据单项式的概念及单项式的次数、系数的定义解答即可． 【详解】单项式的系数为：，次数为：． 故选：D． 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为2 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的次数与系数以及单项式的定义，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：A．是单项式，原说法错误，不符合题意； B．的系数是，原说法错误，不符合题意； C．的系数是，次数是4，原说法正确，符合题意； D．的系数为1，次数为3，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式的系数和次数定义是解题的关键．单项式中的数字因数叫做系数，所有的字母指数和叫做次数． 【详解】解：单项式中的数字因数叫做系数，所有的字母指数和叫做次数 故单项式的系数是， 次数是． 故答案为：，． 【变式3】小明在抄写一个四次单项式时，把字母，的指数漏掉了，请写出原单项式一种可能的情况： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的次数，解题的关键是掌握单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和． 【详解】解：∵单项式是一个四次单项式， ∴字母，的指数之和为， 根据题意：，的指数不能为， ∴原单项式为：或或． 故答案为：（答案不唯一） 考点3：多项式的判断 典例3：下列代数式，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，熟练掌握几个单项式的和为多项式，是解答本题的关键． 利用多项式的定义分析每一个代数式，，为多项式，然后选出正确答案． 【详解】解：根据多项式的定义， 是单项式，是多项式，是多项式，不是多项式， 故以上代数式中，多项式有2个． 故选：． 【变式1】下列式子中不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，单项式是指字母和数字之积，几个单项式的和叫做多项式，由此进行判断即可． 【详解】解：A、是多项式，故此选项不符合题意； B、是单项式不是多项式，故此选项符合题意； C、是多项式，故此选项不符合题意； D、是多项式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有 ；是多项式的有 ． 【答案】 ，，8 ， 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，掌握定义是解本题的关键．单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；根据单项式和多项式的定义逐一判断即可． 【详解】题目中是单项式的有：，，8； 故答案为：，，8． 题目中是多项式的有：；，. 故答案为：，. 【变式3】已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ （1）其中单项式有 （写序号），它们的系数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． （2）其中多项式有 （写序号），它们的次数分别是 （按前一空答案的顺序作答）． 【答案】 ①②⑦ 、、 ④⑥ 、 【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答； （2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答． 【详解】解：（1）∵单项式是由数字与字母的积组成的整式， ∴，，是单项式，即①②⑦是单项式， ∴的系数为，的系数为，的系数是， 故答案为：①②⑦；、、； （2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式， ∴，，即④⑥， ∴的次数为，的次数为， 故答案为：④⑥；、． 【点睛】本题主要考查了单项式的定义及其系数的定义，多项式的定义及其系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 考点4：多项式的项、系数、次数 典例4：下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B． 都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 【答案】C 【分析】本题考查了单项式以及多项式的判断、单项式以及多项式的项和次数，根据概念逐项判断即可得到结果，熟练运用概念是解题的关键． 【详解】解：A、中不是整式，故不是多项式，故该选项错误； B、 都不是整式，故不是单项式，故该选项错误； C、，故是一次多项式，项数为2，故该选项正确； D、单项式的次数是4，故该选项错误； 故选：C． 【变式1】下列说法错误的是（    ） A．的次数是4 B．多项式是二次三项式 C．多项式的次数是3 D．的系数是 【答案】C 【分析】根据单项式的次数和系数以及多项式的次数和系数的定义进行判断即可． 【详解】解：A. 的次数是4，说法正确，故此选项不符合题意； B. 多项式是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； C. 多项式的次数是4，原说法错误，故此选项符合题意； D. 的系数是，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了多项式和单项式的系数和次数，关键是掌握单项式和多项式次数和系数的确定方法：根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【变式2】多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 【答案】 7 4 【分析】本题考查多项式的项，解答本题需要我们掌握多项式中次数、项数的定义． 【详解】解：多项式的二次项系数是，三次项系数是7，常数项是，次数最高项的系数是4． 故答案为：，7，，4． 【变式3】下列叙述：①是一次二项式；②的系数为1．次数为2；③0是代数式；④多项式有三项，即、和．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式进行分析即可． 【详解】解：①，分母含未知数，不是多项式，故说法错误； ②的系数为，次数为2，故说法错误； ③0是代数式，说法正确； ④多项式有三项，即、和，故说法正确； 故答案为：③④． 【点睛】此题主要考查了多项式和单项式，关键是掌握多项式和单项式次数的确定方法． 考点5：多项式的升幂（降幂）排列 典例5：把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 【变式1】把多项式按x的降幂排列后，从左边数第二项是（　　） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先按x的降幂排列，再找出第二项即可． 【详解】解：∵多项式按x的降幂排列：， ∴从左边数第二项是． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列． 【变式2】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列． 根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可． 【详解】把多项式按字母的升幂排列是 故答案为：． 【变式3】（1）将多项式按的升幂排列为 ． （2）把多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】（1）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式升幂排列进行排列即可； （2）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式降幂排列进行排列即可． 【详解】解：（1）将看作数，把看作未知数， 按照的次数从低到高排列为， 故答案为：； （2）多项式按的降幂排列为， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的降幂排列，注意掌握把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 考点6：整式——规律探究 典例6：观察下列等式： ①        ②        ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律； 【详解】解：①， ②， ③…… …… 第n（n为正整数）个等式为， 故选：D． 【变式1】下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有3个黑点，第②个图案有6个黑点，第③个图案有11个黑点，第④个图案有18个黑点，…，按此规律可知，第⑦个图案中黑点的个数为（    ） A．51 B．50 C．66 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律探索；第①个图案有个黑点，第②个图案有个黑点，第③个图案有个黑点，第④个图案有个黑点，…，由此规律可得第⑦个图案中黑点个数．找出规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图案有个黑点， 第②个图案有个黑点， 第③个图案有个黑点， 第④个图案有个黑点， …， 第⑦个图案中黑点个数为； 故选：A． 【变式2】【观察思考】 【规律发现】第n个图案中“◎”的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意推导一般性规律，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，第1个图案中“◎”的个数为； 第2个图案中“◎”的个数为； 第3个图案中“◎”的个数为； 第4个图案中“◎”的个数为； …… ∴可推导一般性规律为：第n个图案中“◎”的个数为， 故答案为：． 【变式3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数． （1），，，，，，，， ， ， ，…； （2） ， ， ，… 【答案】 /0.1 【分析】（1）通过观察得出规律：第奇数个位置上的数为序号的相反数，第偶数个位置上的数为序号数的倒数，据此规律进行解答便可； （2）各个位置的数的绝对值为序号数，若序号是3的倍数，则该位置上的数为正，其余位置上的数都为负，据此规律进行解答．此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【详解】解：（1）根据题意可知：第奇数个位置上的数为序号的相反数，第偶数个位置上的数为序号数的倒数， ∴后面三个数依次为，，， 故答案为，，， （2）根据题意可知：各个位置的数的绝对值为序号数，若序号是3的倍数，则该位置上的数为正，其余位置上的数都为负， ∴后面三个数依次为 故答案为： 同步一遍过 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是8次 C．是多项式 D．的常数项为2 【答案】C 【分析】根据单项式的系数的含义可判断A，根据单项式的次数的含义可判断B，根据多项式的定义可判断C，根据多项式的项的含义可判断D，从而可得答案． 【详解】解：的系数是，故A不符合题意； 的次数是6次，故B不符合题意； 是多项式，故C符合题意； 的常数项为，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数，多项式的定义与项的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 2．单项式系数和次数说法正确的是（    ） A．系数是，次数是 B．系数是，次数是 C．系数是，次数是 D．系数是，次数是 【答案】D 【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，分别得出答案即可． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数与系数的确定方法是解题的关键． 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式的加减可直接进行求解． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 4．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去，第2023个图案需要的三角形个数是（    ） A．6070 B．6071 C．6072 D．6073 【答案】A 【分析】根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第2023个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第2023个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：A． 【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律． 5．下列计算的结果中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的运算法则是解题的关键． 6．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案的黑色棋子个数是（    ）      A．22 B．23 C．28 D．29 【答案】D 【分析】根据第个图案的黑色棋子个数归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案的黑色棋子个数是， 第2个图案的黑色棋子个数是， 第3个图案的黑色棋子个数是， 第4个图案的黑色棋子个数是， 归纳类推得：第个图案的黑色棋子个数是， 则第7个图案的黑色棋子个数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 7．如图，有一个起点为的数轴，现有同学将它弯折，虚线上从下往上第一个数为，第二个数为，第三个数为，，则第十个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中数字变化（增加）情况，发现后一个数总是在前一个数的基础上加上一个数，探索加数规律即可． 【详解】解：第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， 第五个数是， 方法一：规律探索， 第个数是 当时，代入上式得： 方法二：第个数是， 故选：A． 【点睛】本题考查探索数字规律技能技巧，耐心统计数据，认真分析数据变化从中找出规律最为关键． 8．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查对题干中差倒数概念的理解，根据a的差倒数是，算出、、，由特殊到一般，找到其变换规律，即可解题． 【详解】解： ， ， ，， 数据以3个一组为循环． 由， ， 故选：A． 9．若关于，的多项式中不含项，则值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先合并同类项，令xy的系数为0即可得出n的值． 【详解】 = = =， ∵多项式中不含项， ∴， ∴n=， 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，关键是掌握合并同类项与去括号法则． 10．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（    ）颗棋子． A．85 B．86 C．87 D．88 【答案】B 【分析】从第3列起每2列的排数相同，列表探究排数与偶数列数的关系为，求出当n=16时前16列棋子总颗数，偶数列箭头是从下往上的，把总颗数减1即得． 【详解】偶数列数与排数表： 偶数列数 排数 2 2 4 3 6 4 8 5 … … n ∴当n=16时，排数为：， ∴前16列共有棋子：（颗）， ∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86． 故选B． 【点睛】本题考查了图形中点的排列规律，解决此类问题的关键是探究排数与偶数列数存在的关系，用探究得到的规律关系解答． 二、填空题 11．单项式的系数是 【答案】-15 【分析】直接利用单项式的系数的概念，单项式中数字因数是单项式的系数分析得出即可． 【详解】解：单项式的系数是：-15． 故答案为：-15． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握相关定义是解题关键． 12．已知与是同类项，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义和二元一次方程组的解法，掌握同类项的定义是解题的关键. 根据同类项的定义，字母相同，相同字母的指数也要相同，得到关于x和y的方程组，解方程组的解即可得出结果. 【详解】解：由题意得：， 整理的：， 解得：， 故答案为， 13．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为24 ，第二次得到的结果为12 …，请你探索第2021次得到的结果为 ． 【答案】8 【分析】按照程序将每次得到的结果重复输入，寻找结果之间的规律，从而找出2021次时的结果． 【详解】按照程序，每次得到结果如下： 第1次：24 第2次：12 第3次：6 第4次：3 第5次：8 第6次：4 第7次：2 第8次：1 第9次：6 第10次：3 第11次：8 …… 根据以上结果以可发现，从第3次开始，结果按6、3、8、4、2、1每6个结果为一个周期进行循环， ∵……3， ∴到2021次时，结果为循环中第3个数，结果为8， 故答案为：8 【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据数据找出规律是解题的关键． 14．若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【答案】3或4或5 【分析】根据多项式的次数：所含单项式的最高次数，项数：所含单项式的个数，进行求解即可．注意，需要分类讨论． 【详解】解：∵多项式是关于x的五次二项式，分3种情况， ①，解得：； ②为同类项，此时，多项式变为，满足题意； ③为同类项，此时，多项式变为，满足题意。 故答案为：3或4或5 15．已知，，则 ． 【答案】2015 【分析】本题考查了代数式求值，由题意得，代入求值即可，熟练掌握整体代入思想是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即：， 故答案为：2015． 16．有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8．继续依次操作下去．从数串3，9，8开始操作至第2024次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】10140 【分析】计算几次操作所得的结果，根据呈现的规律得出答案． 【详解】解：操作第1次，所得到的一个新数串的所有数之和为25=20+5×1； 操作第2次，所得到的一个新数串的所有数之和为30=20+5×2； 操作第3次，所得到的一个新数串的所有数之和为35=20+5×3； 操作第4次，所得到的一个新数串的所有数之和为40=20+5×4； 操作第2024次，所得到的一个新数串的所有数之和为20+5×2024=10140， 故答案为：10140． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的计算方法是正确计算的前提，得出每次操作所得结果的规律性是解决问题的关键． 三、解答题 17．先化简再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】此题主要考查了整式的加减——化简求值，熟练掌握去括号的法则，以及合并同类项是解题关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 18．先化简，再求值： ，其中a＝2021，b＝－2 【答案】，． 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式， ， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 19．如图，用图案来表示关于和的多项式，图案1表示的多项式为，已知图案中的字母和的数量有着一定的规律，归纳变化规律，解决下列问题： (1)图案4表示的多项式为______，图案表示的多项式为______（用含的式子表示）； (2)设图案6表示的多项式为，图案7表示的多项式为，化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别表示出图1到图4的多项式，找到规律，即可求解； （2）根据（1）的规律写出多项式，然后根据整式的加减计算，即可求解． 【详解】（1）解：图案1表示的多项式为， 图案2表示的多项式为， 图案3表示的多项式为， 图案4表示的多项式为， …… 图案表示的多项式为， 故答案为：； （2）解：由（1）得图案6表示的多项式为 图案7表示的多项式为， ∴ 【点睛】本题考查了用代数式表示图形的规律，整式的加减运算，找到规律是解题的关键． 20．小明参加“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为．小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，求的值． 【答案】39 【分析】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案． 【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得： 7 4 ∴， 故答案为：39 21．阅读材料：我们知道，类似地，可以把看成一个整体，则．“整体思想”是数学学习中一种重要的思想方法，它在代数式化简、多项式的求值等问题中被广泛应用． 探究： (1)我们把看成一个整体，合并，得到的结果是__________． (2)若，求代数式的值． (3)若，，且，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减与化简求值，代数式求值； （1）把看成一个整体，直接合并同类项，即可求解； （2）将代数式的值整体代入，即可求解； （3）先计算，然后将式子的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ； 当，， 原式 ． 22．观察下列各式：，，，… （1）请根据上式填写下列各题： ①= ； ②= ；（n是正整数） ③= ；（n≥2的正整数） （2）计算：． 【答案】（1）①；②；③；（2） 【分析】（1）根据题意可得如下规律：连续整数的乘积的倒数等于较小整数的倒数与较大整数的倒数的差，由此可得答案； （2）将每个式子利用（1）中所得规律裂项、求和即可求得答案． 【详解】解：（1）由题意可知： ①； ②；（n是正整数） ③；（n≥2的正整数） 故答案为：①；②；③； （2） ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出连续整数乘积的差等于各自倒数的差的规律，并结合题意加以运用． 23．（1）已知的值与x的取值无关，求 的值． （2）已知关于x的四次三项式中不含及项，试写出这个多项式，并求当时，这个多项式的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先合并同类项，再根据代数式的值与x无关即含x的项的系数为0求出的值，然后代值计算即可； （2）根据代数式的值不含及项，即含及项的系数为0求出的值，据此求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∴； （2）∵关于x的四次三项式中不含及项， ∴， ∴， ∴这个多项式为， ∴当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，熟知不含某项即含某项的系数为零是解题的关键． 24．一建筑物的地面结构如图所示（图中A，B，C，D均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：    (1)请用含x，y的代数式表示地面总面积； (2)若图中阴影部分的地面（B，C）需要铺地砖，且铺地砖每平方米的平均费用为80元，当时，求铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1)平方米； (2)6080元． 【分析】（1）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出四个图形的面积，再相加即可； （2）利用代数式分别表示出两部分阴影面积之和，将代入计算得出阴影部分的面积，再乘以铺地砖每平方米的平均费用为80元，即可得出结论． 【详解】（1）地面总面积为： 平方米； （2）阴影部分的地面面积为： 平方米， 当时, 阴影部分的地面面积为： （平方米）， ∵铺地砖每平方米的平均费用为80元， ∴铺地砖的总费用为: (元) 答：铺地砖的总费用为 6080元. 【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用图示数据表示出相应的长方形的边长是解题的关键． 25．对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出该多项式有最小值是2；若将它写成 的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变x的值，研究A，B两个代数式取值的规律； x ―2 ―1 0 1 2 3 18 11 6 3 ■ 3 27 18 11 ※ 3 (1)表中※=___________，■=___________，=___________； (2)观察表格可以发现：若时，，则时， ．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值后移，此时后移值为1． ①若代数式C参照代数式B取值后移，相应的后移值为2，求代数式C； ②已知代数式参照代数式取值后移，求出的值． 【答案】(1)6；2；2 (2)①，②7 【分析】（1）将x的值分别代入相应的代数式计算即可； （2）①利用代数式A参照代数式B取值后移的定义解答即可； ②由题意可知：，利用配方法将多项式变形后，判定相应的后移值为1，依据题意求得的值，最后代入计算即可得出结论． 【详解】（1）将代入A中得： ； 将代入B中得： ； 将代入B中得： ． 故答案为：6；2；2； （2）① ②设后移值为，由题意知， 解得， ∴ 【点睛】本题主要考查了整式的加减与化简求值，求代数式的值，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$