2023—2024学年人教版数学八年级下册四边形、一次函数经典压轴训练一　

( 四边形、一次函数经典压轴训练一 ) ( 例题精讲 ) 【例1】如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（a，0），B（b，3），C（c，0），且满足（a+b）2++|4﹣c|＝0，线段AB交y轴于点D．点E从O点出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴负半轴方向运动（点E不与点O重合）． （1）求点A、B、C的坐标． （2）如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作EF∥AB，分别作∠CAB，∠OEF的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中，∠AME的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出∠AME的值． （3）在y轴上是否存在这样的E点，使△ACE的面积等于△BCE的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【例2】规定：二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为P（x，y），称P（x，y）为湘一点，将这些湘一点连接得到一条直线，称这条直线是湘一点的专属线． 解答下列问题： （1）已知A（﹣1，2），B（4，﹣3），C（﹣3，1）三点，其中是专属线3x+2y＝6的湘一点的是　 　； （2）设P（0，﹣2），Q（1，﹣）是专属线t2x+hy＝6的两个湘一点，求方程（t2+2）x+（t2+h﹣4）y＝5中x，y的最小的正整数解； （3）已知m，n是实数，且|m|+2＝7，若P（|m|，）是专属线2x﹣3y＝s的一个湘一点，求专属线中s的最大值与最小值的和． 【例3】如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）． （1）求F点的坐标； （2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标； （3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标． 【例4】已知正方形ABCD边长为2，点E是对角线BD上一动点． （1）如图1，对角线AC与BD交于点O，AE平分∠OAD，求线段DE的长度； （2）如图2，当点E在线段DO上运动时，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，求证：EF＝AE； （3）在（2）的条件下，求证：CF＝DE． 【例5】已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问： ①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由． 【例6】在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形“．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）． （1）点E（2，4），F（3，2），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形“的顶点的是　 　； （2）若点M，P的“极好菱形”为正方形，求这个正方形另外两个顶点的坐标； （3）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”． ①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积； ②当四边形MNPQ的面积为12，且与直线y＝x+b有公共点时，请写出b的取值范围． 【例7】若两个一次函数与x轴的交点关于y轴对称，则称这两个一次函数为“对心函数”，这两个与x轴的交点为“对心点”． （1）写出一个y＝2x+6的对心函数：　 　，这两个“对心点”为　 　； （2）直线l1，经过点A（﹣1，0）和B（0，﹣3），直线l1的“对心函数”直线l2与y轴的交点D位于点（0，1）的上方，且直线l1与直线l2交于点E，点C为直线l2的“对心点”，点G是动直线l2上不与C重合的一个动点，且BG＝BA，试探究∠ABG与∠ECA之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，直线l3：y＝x+2与其“对心函数”直线l4的交点F位于第一象限，M．N分别为直线l3、l4的“对心点”，点P为线段MF上一点（不含端点），连接NP；一动点H从N出发，沿线段NP以1单位/秒的速度运动到点P，再沿线段PF以单位/秒的速度运动到点F后停止，点H在整个运动过程中所用最短时间为6秒，求直线l4的解析式． 【例8】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）； （2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论． 【例9】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（3，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC． （1）求直线BC和AB的解析式； （2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例10】如图，已知平行四边形ABCD中，EF垂直平分线段BD，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，求AE的长． ( 总结复习 ) 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． ( 课后作业 ) 1．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为（1，0）∠ABO＝30°，过点B的直线y＝x+m与x轴交于点C． （1）求直线l的解析式及点C的坐标． （2）点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为EF的中点． ①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短． （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知点B的坐标是（﹣8，8），过B作BC⊥x轴于C，在x轴正半轴上截取OA＝2OC，连接AB． （1）求A点的坐标及AB的解析式； （2）过O作OD⊥AB于D，求证：△OAD≌△OBC； （3）C关于y轴的对称点为E，在AB上取F点，连接EF，动点M沿EFB运动，M在EF上的运动速度每秒1个单位长度，M在BF上运动速度每秒2个单位长度，当F在何处时，M运动的时间最短？请求出F的坐标． 参考答案 【例1】如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（a，0），B（b，3），C（c，0），且满足（a+b）2++|4﹣c|＝0，线段AB交y轴于点D．点E从O点出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴负半轴方向运动（点E不与点O重合）． （1）求点A、B、C的坐标． （2）如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作EF∥AB，分别作∠CAB，∠OEF的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中，∠AME的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出∠AME的值． （3）在y轴上是否存在这样的E点，使△ACE的面积等于△BCE的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵（a+b）2++|4﹣c|＝0，（a+b）2≥0，≥0，|4﹣c|≥0， ∴a+b＝0，b﹣2＝0，4﹣c＝0，解得，a＝﹣2，b＝2，c＝4， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（2，3），点C的坐标为（4，0）； （2）∠AME的度数不发生变化， 理由如下：过点M作MN∥AB，∵EF∥AB， ∴EF∥AB∥MN，∴∠AMN＝∠BAM，∠EMN＝∠MEF，∠ADO＝∠OEC， ∵∠ADO+∠DAC＝90°，∴∠DAC+∠OEC＝90°， ∵AM、EM分别为∠CAB，∠OEF的平分线， ∴∠BAM＝∠DAC，∠MEF＝∠OEC， ∴∠AME＝∠AMN+∠EMN＝∠BAM+∠MEF＝（∠DAC+∠OEC）＝45°； （3）存在，理由如下：设点E的坐标为（0，b），∵点E在y轴负半轴上， ∴b＜0，由题意得，AC＝4﹣（﹣2）＝6，OE＝﹣b， △AEC的面积＝×AC×OE＝﹣3b， △BCE的面积＝梯形HOCB的面积+△COE的面积﹣△EBH的面积 ＝×（2+4）×3+×4×（﹣b）﹣×2×（3﹣b）＝﹣b+6， 由题意得，﹣3b＝×（﹣b+6），解得，b＝﹣， 则△ACE的面积等于△BCE的面积的时，点E坐标的坐标为（0，﹣）． 【例2】规定：二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为P（x，y），称P（x，y）为湘一点，将这些湘一点连接得到一条直线，称这条直线是湘一点的专属线． 解答下列问题： （1）已知A（﹣1，2），B（4，﹣3），C（﹣3，1）三点，其中是专属线3x+2y＝6的湘一点的是　 　； （2）设P（0，﹣2），Q（1，﹣）是专属线t2x+hy＝6的两个湘一点，求方程（t2+2）x+（t2+h﹣4）y＝5中x，y的最小的正整数解； （3）已知m，n是实数，且|m|+2＝7，若P（|m|，）是专属线2x﹣3y＝s的一个湘一点，求专属线中s的最大值与最小值的和． 【解答】解：（1）把三点的坐标代入方程3x+2y＝6中，只有B点满足方程， 所以B点是亮点，故答案为B点； （2）把P（0，﹣2），Q（1，﹣）代入隐线t2x+hy＝6中，得，∴， 把代入（t2+2）x+（t2+h﹣4）y＝5中，得3x﹣2y＝5，∴x＝＝y+2﹣ ∵x、y都为正整数，∴最小正整数解为； （3）把P（|m|，）代入专属线2x﹣3y＝s得s＝2|m|﹣3，∵|m|+2＝7， ∴|m|＝﹣2+7，∴s＝﹣4+14﹣3＝14﹣7， ∵≥0，0≤|m|＝﹣2+7，即0≤≤3.5，∴当＝0时，s＝14﹣7有最大值为14，当＝3.5时，s＝14﹣7有最小值为﹣10.5， ∴s的最大值和最小值的和为14﹣10.5＝3.5． 【例3】如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）． （1）求F点的坐标； （2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标； （3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标． 【解答】解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形， ∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠， ∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）． （2）如图2中，连接PF交DE于J． 当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4）， ∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF， ∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6）， ∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）． （3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K． 设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，）， 当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）． 【例4】已知正方形ABCD边长为2，点E是对角线BD上一动点． （1）如图1，对角线AC与BD交于点O，AE平分∠OAD，求线段DE的长度； （2）如图2，当点E在线段DO上运动时，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，求证：EF＝AE； （3）在（2）的条件下，求证：CF＝DE． 【解答】解：（1）过点E作EK⊥AD于点K，如图1， 设OE＝x，∵AE平分∠OAD，∴KE＝OE＝x，则DE＝EK＝x， ∵四边形ABCD为正方形，∴AOD为等腰直角三角形， 则BD＝AD＝2＝2OD＝2（OE+ED）＝2（x+x）， 解得x＝（﹣1），则DE＝x＝2﹣2； （2）过点E作AB的平行线交AD于点G，交BC于点H，过点E作ES⊥AB于点S， ∵BD是正方形ABCD的对角线，故∠EBH＝45°，∴△BEH为等腰直角三角形， 同理△BES为等腰直角三角形，故四边形SEHB为正方形，则SE＝BH＝AG＝EH， 即AG＝EH，∵∠AEG+∠FEH＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，∴∠AEG＝∠EFH， 而∠ESA＝∠EHF＝90°，∴△ESA≌△EHF（AAS），∴AE＝EF； （3）在图2的基础上，过点E作ER⊥CD交于点R，根据正方形的对称性，AE＝EC， 而AE＝EF，∴EF＝EC，则FC＝2CH＝2ER， 则FC＝2HC＝2GD＝2×DE＝DE． 【例5】已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问： ①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝8，∴B（0，8）， 令y＝0，则﹣2x+8＝0， ∴x＝4， ∴A（4，0）， （2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点， ∴﹣2m+8＝n，∵A（4，0），∴OA＝4，∴0＜m＜4 ∴S△PAO＝OA×PE＝×4×n＝2（﹣2m+8）＝﹣4m+16，（0＜m＜4）； （3）存在， 理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB， ∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP， 当OP⊥AB时，此时EF最小， ∵A（4，0），B（0，8），∴AB＝4 ∵S△AOB＝OA×OB＝AB×OP， ∴OP＝＝， ∴EF最小＝OP＝． 【例6】在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形“．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）． （1）点E（2，4），F（3，2），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形“的顶点的是　 　； （2）若点M，P的“极好菱形”为正方形，求这个正方形另外两个顶点的坐标； （3）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”． ①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积； ②当四边形MNPQ的面积为12，且与直线y＝x+b有公共点时，请写出b的取值范围． 【解答】解：（1）如图1中，由题意点M，P的“极好菱形“的顶点，在线段PM的垂直平分线上． 观察图象可知：满足条件的点是点G，故答案为G． （2）如图2所示：∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），∴MP＝2， ∵“极好菱形”为正方形，其对角线长为2，∴其边长为2． ∴这个正方形另外两个顶点的坐标为（1，3）、（3，1）． （3）①如图2所示：∵M（1，1），P（3，3），N（3，1）， ∴MN＝2，PN⊥MN．∵四边形MNPQ是菱形，∴四边形MNPQ是正方形． ∴S四边形MNPQ＝4．． ②如图3所示：∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）， ∴PM＝2，可得Q（﹣1，5），N（5，﹣1），当直线y＝x+b经过点Q（﹣1，5）时，b＝6， 当y＝x+b经过时N（5，﹣1）时，b＝﹣6，∴当四边形MNPQ与直线y＝x+b有公共点时，b的取值范围是﹣6≤b≤6． ∵菱形MNPQ的面积为12， ∴S菱形MNPQ＝•PM•QN＝12，即×2×QN＝12， ∴QN＝6， 【例7】若两个一次函数与x轴的交点关于y轴对称，则称这两个一次函数为“对心函数”，这两个与x轴的交点为“对心点”． （1）写出一个y＝2x+6的对心函数：　 　，这两个“对心点”为　 　； （2）直线l1，经过点A（﹣1，0）和B（0，﹣3），直线l1的“对心函数”直线l2与y轴的交点D位于点（0，1）的上方，且直线l1与直线l2交于点E，点C为直线l2的“对心点”，点G是动直线l2上不与C重合的一个动点，且BG＝BA，试探究∠ABG与∠ECA之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，直线l3：y＝x+2与其“对心函数”直线l4的交点F位于第一象限，M．N分别为直线l3、l4的“对心点”，点P为线段MF上一点（不含端点），连接NP；一动点H从N出发，沿线段NP以1单位/秒的速度运动到点P，再沿线段PF以单位/秒的速度运动到点F后停止，点H在整个运动过程中所用最短时间为6秒，求直线l4的解析式． 【解答】解：（1）y＝2x+6，令y＝0，则x＝﹣3，则这两个“对心点”为（﹣3，0）、（3，0）， 对心函数只要过点（3，0）即可，例如：y＝﹣x+3，故答案不唯一， 故答案为：y＝﹣x+3（答案不唯一）；（﹣3，0）、（3，0）； （2）①当点E在第四象限时（图1左侧图）， 过点B作BH⊥CG于点H，∵BC＝BA＝BG， ∴∠ABO＝∠CBO＝α，∠CBH＝∠GBH＝β， ∠ABG＝∠ABC+∠CBG＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β）， 而∠ECA＝α+β， 即∠ABG+2∠ECA＝360°； ②当点E在第二象限时（图1右侧图），同理可得：∠ABG＝2∠ECA； 综上：∠ABG+2∠ECA＝360°或∠ABG＝2∠ECA； （3）过点F作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线交l3于点P，两平行线交于点H，则此时t最小， 直线l3：y＝x+2，则直线的倾斜角为45°，∴∠HFP＝45°，则PH＝PF， t＝PN+＝PN+PH＝HN＝6， 故点F的纵坐标为6，则点F（4，6）， 将M、F的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：， 故：l4的表达式为：y＝3x﹣6． 【例8】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）； （2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°， ∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE， ∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）． （2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P． ∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°， ∵∠BAE＝∠PAE， ∴∠ABE＝∠APE， ∴AB＝AP，∵AE⊥BD， ∴BE＝PE，∵BF＝FC， ∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）． 【例9】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（3，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC． （1）求直线BC和AB的解析式； （2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，0）∴AO＝3 ∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90° ∴BO＝AO＝3，AB＝2OA＝6，∠OAB＝60°，又∵AB⊥BC ∴∠ACB＝30°∴AC＝2AB＝12∴OC＝AC﹣OA＝12﹣3＝9 ∵OC＝9，OB＝3∴点B（0，3），点C（﹣9，0） 设直线BC解析式y＝kx+b 解得：k＝，b＝3∴直线BC解析式y＝x+3 设直线AB解析式y＝mx+n解得：m＝﹣，n＝3∴直线AB解析式y＝﹣x+3 （2）∵折叠，点O与点B重合∴DE是BO的垂直平分线 ∴EO＝BE，BD＝OD∴∠EBO＝∠EOB，∠DBO＝∠DOB∵BO⊥CO ∴∠EBO+∠ECO＝90°，∠EOB+∠EOC＝90°∴∠EOC＝∠ECO ∴CE＝EO∴CE＝BE同理BD＝DA∴DE＝AC＝6 ∵点A（3，0），点B（0，3），点C（﹣9，0） ∴点E（﹣，），点D（，）设点F（x，0） ∵△EFD是直角三角形，DE是斜边∴DE2＝EF2+DF2． ∴36＝（x+）2++（x﹣）2+解得：x1＝0，x2＝﹣3∴点F（0，0）或（﹣3，0） （3）若BC为边，在BC上方和下方作正方形，如图：四边形BCFE是正方形，四边形BCMN是正方形 过点F作FH⊥AC于点H，过点E作EG⊥BO于点G∵四边形BCFE是正方形 ∴BC＝CF，∠BCF＝90°∴∠BCO+∠FCH＝90°，且∠FCH+∠CFH＝90° ∴∠BCO＝∠CFH且∠BOC＝∠CHF＝90°，BC＝CF∴△BCO≌△CFO（AAS） ∴CH＝OB＝3，HF＝CO＝9∴OH＝9﹣3∴点F（﹣9+3，﹣9） 同理可得△BEG≌△CBO∴BG＝CO＝9，GE＝BO＝3∴OG＝9﹣3∴点E（3，﹣9+3） 同理可得：点M（﹣9﹣3，9），点N（﹣3，9+3） 若BC为对角线，如图：四边形BECF是正方形 过点F作FM⊥CO于点M，作FN⊥BO于点 N∵FM⊥CO，FN⊥BO，BO⊥CO ∴四边形OMFN是矩形∴OM＝FN，ON＝FM∵四边形BECF是正方形 ∴CF＝BF，∠CFB＝90°∵∠CFB＝∠COB＝90°∴点C，点B，点O，点F四点共圆 ∴∠FCO＝∠OBF，且CF＝BF，∠FMC＝∠FNB＝90°∴△FMC≌△FNB（AAS）∴FM＝FN，CM＝BN∴边形FNOM是正方形∴OM＝ON＝FM＝FN∵CM+OM＝9，BN﹣ON＝3 ∴OM＝ON＝，CM＝BN＝∴点F（，） 同理可求点E坐标为（，）， 综上所述：这两点的坐标为（﹣9﹣3，9），（﹣3，9+3）或（，）或（，）． 【例10】如图，已知平行四边形ABCD中，EF垂直平分线段BD，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，AD＝BC， ∴∠ODE＝∠OBF， 在△ODE和△OBF中， ， ∴△ODE≌△OBF（ASA）， ∴DE＝BF， 又∵AD∥BC， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形； （2）如图，过点B作BM⊥AD于M， ∵∠BAD＝135°， ∴∠BAM＝45°，且BM⊥AD，AB＝3， ∴BM＝AM＝3， ∵四边形BEDF是菱形， ∴BE＝DE， ∵BE2＝BM2+EM2， ∴（6﹣AE）2＝（AE+3）2+9， ∴AE＝1 故答案为：1 ( 总结复习 ) 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． ( 课后作业 ) 1．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为（1，0）∠ABO＝30°，过点B的直线y＝x+m与x轴交于点C． （1）求直线l的解析式及点C的坐标． （2）点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为EF的中点． ①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短． （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】（1）解：∵A（1，0）， ∴OA＝1， ∵∠ABO＝30°， ∴0B＝，AB＝2，∴B（O，），设直线l的解析式为y＝kx+， ∵A（1，0）在直线l上，∴k＝﹣，∴y＝﹣x+，∵B（0，）在直线y＝x+m上， ∴m＝，∴直线BC的解析式为y＝x+，∵点C在x轴上，∴C（﹣3，0）． （2）解：如图1，①四边形DEBF为矩形，∵DE∥AB，DF∥BC， ∴四边形BEDF为平行四边形，∴平行四边形BEDF为矩形． ②∵G为EF中点， ∴G为矩形BEDF的对角线的交点，∵要使DG最短，也就是BD最短， ∴只有BD⊥AC时，BD最短，∴CD＝3，∴t＝3； （3） 解：如图2，在坐标平面内是存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， 设P（0，m）且A（1，0），B（0，），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+， 作a∥BP，则直线a的解析式为x＝1， 作b∥AP，则直线b的解析式为y＝mx+，作c∥AB，则直线c的解析式为y＝﹣x+m， ①以AB为对角线时，有，∴Q1（1，﹣m+）， ∵四边形Q1BPA为菱形，∴Q1A＝Q1B，即：Q1A2＝Q1B2， ∴（﹣m+）2＝1+m2，∴m＝，∴Q1（1，），P''（0，）， ②以AB为边时， Ⅰ、BQ为对角线时，∵点A（1，0），B（0，），∴AB＝2， ∵点P是y轴上的点，∴P（0，+2）或P（0，﹣2） ∵AB解析式为y＝﹣x+，∴AP解析式为y＝﹣x++2或y＝﹣x+﹣2， ∵四边形APQB为菱形，∴点Q过点A且PQ∥y轴的直线上， ∴Q2（1，2）或Q3（1，﹣2）； Ⅱ、以BQ为边时，∴P（0，﹣），∴点Q4（﹣1，0）， ∴存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q1（1，），或Q2（1，2），或Q3（1，﹣2）或Q4（﹣1，0）． 2．如图，已知点B的坐标是（﹣8，8），过B作BC⊥x轴于C，在x轴正半轴上截取OA＝2OC，连接AB． （1）求A点的坐标及AB的解析式； （2）过O作OD⊥AB于D，求证：△OAD≌△OBC； （3）C关于y轴的对称点为E，在AB上取F点，连接EF，动点M沿EFB运动，M在EF上的运动速度每秒1个单位长度，M在BF上运动速度每秒2个单位长度，当F在何处时，M运动的时间最短？请求出F的坐标． 【解答】（1）解：如图1中， ∵B（﹣8，8）， ∴OC＝8，BC＝8， ∴tan∠BOC＝＝＝， ∴∠BOC＝60°，∠CBO＝30°，∴OB＝2OC＝16，∵OA＝2OC， ∴OB＝OA＝16，∴A（16，0），∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠BOC＝∠OAB+∠OBA＝60°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有， 解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+． （2）证明：∵OD⊥AB于D，∴∠ODA＝∠OCB＝90°， ∵∠OBC＝∠OAD＝30°，OB＝OA， ∴△OAD≌△OBC（AAS）． （3）解：如图2中，作BH∥AC，FH⊥BH于H． 由题意点M的运动时间t＝EF+BF， ∵BH∥AC， ∴∠FBH＝∠BAC＝30°， ∴FH＝BF， ∴由题意点M的运动时间t＝EF+BF＝EF+FH， 根据垂线段最短可知，当E，F，H共线，且EH⊥BH时，点M的运动时间t的最小值为BC的长＝8，此时F（8，）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$