单元教学设计21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元-高中数学单元教学设计

>> 278 一、单元内容及其解析 （一）单元概念解析 本单元以“先用几何的眼光观察世界，再用坐标法推理、求解和论证”为统领 概念．次级概念包括椭圆、双曲线、抛物线，基础概念包括椭圆的标准方程、双曲 线的标准方程、抛物线的标准方程．除此之外，本单元的内容还涉及椭圆的几何性 质、双曲线的几何性质、抛物线的几何性质、圆锥曲线的应用． （二）单元高考价值解析 在 2020 年、2021 年、2022 年、2023 年四年新高考全国Ⅰ卷中，圆锥曲线内容 分值始终为 22 分即 2 道选填题、1 道解答题．其中，2020 年，2021 年圆锥曲线选 填题均未作为压轴题出现．由此可见圆锥曲线内容在新高考中占分比例较大，存在 石家庄市第五中学  李泽华 单元教学设计 21    基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元 　单元教学设计 21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元　 279 << 出中档题的可能，实属“兵家必争之地”． （三）单元背景解析 圆锥曲线的发展在历史中经历了如下四个阶段： （1）起始阶段：公元前 5 世纪，古希腊人从砍树形成的截痕中发现了椭圆． （2）发展阶段：公元前 4 世纪古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）在研究 倍立方问题时发现了圆锥曲线，用垂直于圆锥锥面一母线的平面去截圆锥，当圆锥 的顶角为锐角、直角、钝角时得到了三种圆锥曲线．公元前 3 世纪，阿波罗尼奥斯 （Apollonius of Perga）完成了经典著作《圆锥曲线论》． （3）繁荣阶段：16 世纪，开普勒（Kepler）发现了行星的运动轨迹是椭圆，伽 利略（Galileo）发现了物体斜抛的运动轨迹是抛物线，1637 年笛卡尔（Descartes） 创立了坐标系从而建立了解析几何学科． （4）成熟阶段：以椭圆方程为例，17 世纪，丹德林（Dandelin）双球实验统一 了椭圆的截口定义与轨迹定义，法国数学家费马（Fermat）在《平面与立体轨迹引 论》中证明了 a x ky k k2 2 2− = > ≠( 0 1)， 表示椭圆．19 世纪英国数学家赖特（Wright） 用“平方差法”推出了我们教材给出的椭圆标准方程 a b x y2 2 2 2+ =1 ． 教师将数学史融入教学内容中，一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方面从 学情角度来看，根据历史发生与历史相似原理，可以预测学生的学习困难．比如， 标准方程的概念、标准方程的推导、截口定义与轨迹定义的统一、几何性质的繁杂、 数学运算的难度等等． （四）单元主线内容解析 按教材的编排圆锥曲线属于几何与代数主线，该主线突出几何直观与代数运算之 间的融合．从整个主线来看，圆锥曲线既是平面解析几何的重点，也是难点，教材首 先安排学习直线的方程与圆的方程，目的是使同学们初步了解研究平面解析几何的基 本过程与方法，渗透“先用几何的眼光观察，再用坐标法解决问题”的思路．在直线 与圆的方程的研究中学生经历了标准方程与一般方程的学习与转化，而在圆锥曲线的 学习中，曲线方程的形式单一化了，教材突出了“标准方程”的主干地位，对一般的 >> 280 　高中数学单元教学设计　 二次方程不做研究，原因是“标准方程”更容易研究曲线的几何性质．三种曲线的研 究均遵循由几何特征建构定义，利用坐标法建立标准方程，在坐标系中通过曲线的标 准方程研究曲线的简单几何性质的规律．需要注意的是教学参考书明确写到椭圆在三 种曲线的学习中起到示范和引领的作用，所以在圆锥曲线的教学过程中，要以椭圆起 始课为例注重教学语言、研究思路与方法的一致性，从而为后续学习中的类比迁移做 铺垫．在圆锥曲线的定值定点问题中以椭圆为基础有两个常用结论，现归结如下： （1）过椭圆 a b x y2 2 2 2+ =1 上一点 P x y( 0 0， )的两条直线 PA 和 PB 分别交椭圆于 A， B 两点，若 k k tPA PB⋅ = ，则直线 AB 过定点       a t b b a t a t b b a t 2 2 2 2 2 2 2 2 + + − − x y0 0， ．特别地，当 PA ⊥ PB 时，t=-1，直线 AB 过定点      a b b a a b b a 2 2 2 2 2 2 2 2 + + − −x y0 0， ．若 a t b 2 2= ，则直线 AB 的斜率为定值 − x y 0 0 ． （2）若 k kPA PB+ = λ，则直线 AB 过定点       x y0 0− − − 2 2 a a a y b x 2 2 2 2 λ λ 0 0， ．若 λ = 0 ， 则直线 AB 的斜率为点 P 处椭圆切线斜率的相反数 a y b x 2 2 0 0 ． 双曲线从方程角度可以被认为是虚椭圆，即 a b x y2 2 2 2+ =( i) 1 ，只需将“bi”代 “b”．椭圆中的一些结论在双曲线中可以马上得到． （1）过双曲线 a b x y2 2 2 2− =1 上一点 P x y( 0 0， )的两条直线 PA 和 PB 分别交双曲线于 A，B 两点，若 k k tPA PB⋅ = ，则直线 AB 过定点      a t b b a t a t b b a t 2 2 2 2 2 2 2 2 + + − −x y0 0， ．特别地，当 PA ⊥ PB 时，t=-1，直线 AB 过定点       a b b a a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 + − − − − x y0 0， ．若 a t b 2 2= − ，直线 AB 的斜率为定值 − x y 0 0 ． 　单元教学设计 21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元　 281 << （2）若 k kPA PB+ = λ，则直线 AB 过定点       x y0 0− − + 2 2 a a a y b x 2 2 2 2 λ λ 0 0， ．若 λ = 0 ， 则直线 AB 的斜率为 − a y b x 2 2 0 0 ． 二、单元目标 （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用． （2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单 几何性质． （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质． （4）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质． （5）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想，提高作图水平 和运算能力． （6）了解椭圆、双曲线、抛物线的简单应用． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元教学约需 17 课时，具体分配如下：椭圆及其标准方程约需 2 课时；椭圆 的简单几何性质约需 1 课时；椭圆的应用约需 1 课时；双曲线及其标准方程约需 1 课时；双曲线的简单几何性质约需 1 课时；双曲线的应用约需 1 课时；椭圆与双曲 线的统一性约需 1 课时；直线与椭圆、双曲线的位置关系约需 2 课时；抛物线及其 >> 282 　高中数学单元教学设计　 标准方程约需 1 课时；抛物线的简单几何性质约需 1 课时；抛物线的应用约需 1 课 时；圆锥曲线中的定值定点问题约需 2 课时；圆锥曲线中的最值问题约需 2 课时． （二）教学评价 评价目标 评价类型 评价标准 A 评价标准 B 评价标准C 先 用 几 何 的 眼 光 观 察 世界 表现型 能说出日常生活中圆锥曲线应 用的常见例子，能熟练写出椭 圆、双曲线、抛物线的第一定 义，并能指出其中的要点、易 错点 只能死记硬背椭圆、 双曲线、抛物线的 第一定义，对定义 中参数与距离之间 的关系无法厘清 无法准确记忆椭 圆、双曲线、抛物 线的第一定义，将 三种曲线的定义 记混记错 用 坐 标 法推理 表现型 能独立准确地完成圆锥曲线中 一部分有一定难度的选填题， 正确率较高，定义、性质运用 得当，善于迁移其他知识 通过教师指导和同 学帮助能够完成一 部分有一定难度的 圆 锥 曲 线 选 填 题， 定义、性质运用不 熟练，作图不规范 作图随意，原始设 相当困难，圆锥曲 线简单几何性质 的记忆出现偏差 用 坐 标 法 论 证 和求解 综合型 能当堂顺利推导出椭圆、双曲 线、抛物线的标准方程，能用 直线与圆锥曲线方程联立的方 法独立准确地完成部分有相当 难度的圆锥曲线解答题、选填 题，善于将题目中的几何关系 转化为代数关系 无法当堂全部推导 出椭圆、双曲线、抛 物线的标准方程，做 圆锥曲线综合性大 题时出现计算问题， 对题目中的几何关 系的转化不到位 课堂上无法推导 出任何一个椭圆、 双曲线、抛物线的 标准方程，做圆锥 曲线综合性大题 时出现较为严重 的畏难情绪 椭圆及其标准方程的教学难点在于截口定义与轨迹定义的统一、椭圆标准方程的 推导；椭圆的简单几何性质的教学难点在于离心率 e 的理解，即为什么离心率是 a c 而 不是别的；椭圆的应用的教学难点在于直线与椭圆方程联立得到的弦长公式；双曲线 及其标准方程的教学难点在于双曲线方程的推导与化简；双曲线的简单几何性质的教 学难点在于双曲线渐近线的理解及其求法；双曲线的应用的教学难点在于直线与双曲 线的交点个数问题；椭圆与双曲线的统一性的教学难点在于椭圆、双曲线的第二定义 及其第三定义（认识到双曲线是特殊的“虚椭圆”）；直线与椭圆、双曲线的位置关 系的教学难点在于将几何关系转化为代数方程的几种方法；抛物线及其标准方程的教 学难点在于抛物线几何特征的发现；抛物线的简单几何性质的教学难点在于参数的几 何意义和离心率 e=1 的理解；抛物线的应用的教学难点在于直线与抛物线方程联立后 　单元教学设计 21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元　 283 << 点坐标的转化；圆锥曲线中的定值定点问题的教学难点在于数学运算及结论的记忆； 圆锥曲线中的最值问题的教学难点在于数学运算和最值问题的坐标转化． 四、课时典例分析 第1课时  椭圆及其标准方程 （一）教学内容 章引言，椭圆及其标准方程． （二）教学目标 （1）能说明椭圆为什么是圆锥曲线，并举出几个实际生活中椭圆的例子． （2）了解椭圆截口定义与轨迹定义的统一性． （3）掌握椭圆的第一定义，并以此推导出椭圆的标准方程． （4）能辨析椭圆的标准方程与一般方程 （三）教学重点、难点 教学重点：椭圆的定义，椭圆的标准方程． 教学难点：丹德林双球实验得到椭圆截口定义与轨迹定义的统一性，椭圆标准 方程的推导． >> 284 　高中数学单元教学设计　 （四）教学过程设计 1. 活动 1：概念的引入 问题 1 ：将装有水的圆台型一次性纸杯倾斜放置，此时水面的形状是什么？行 星绕太阳运行的轨道、圆形物体在平行光斜照下的影子的形状又是什么？到底什么 形状称为椭圆？人们是怎么发现椭圆的？为什么椭圆称为圆锥曲线？带着这些问题 我们一起来阅读一段材料和章引言． 数学的研究对象最初都是从实际事物中抽象出来的．最早是古希腊人在砍木头 的截痕中发现了椭圆．随后数学家就将树木抽象成圆锥，将锯子抽象成平面，让平 面从不同的角度去截圆锥，得到了各种各样的曲线，这就是圆锥曲线这个名称的由 来．人们对椭圆的研究可以追溯到古希腊时期．公元前 4 世纪古希腊数学家梅内克 缪斯在研究倍立方问题时发现了圆锥曲线，用垂直于圆锥锥面一母线的平面去截圆 锥，当圆锥的顶角为锐角、直角、钝角时得到了三种圆锥曲线．其中在锐角圆锥中 截得的曲线就是椭圆．之后很多数学家也投身于圆锥曲线的研究中，其中阿波罗尼 奥斯在《圆锥曲线论》中提出了一种新的方式来产生圆锥面，用垂直于圆锥的轴的 平面去截圆锥就得到了一个圆，接下来只需要把平面渐渐倾斜就得到了一个椭圆． 1822 年，比利时数学家丹德林利用圆锥的两个内切球巧妙证明了椭圆上的点到两个 定点的距离之和为定值． 师生互动：引导学生回答出椭圆后，教师介绍圆锥曲线的历史与应用，借助信 息技术演示． 设计意图：引入中的圆台是圆锥的一部分，这为后续丹德林双球实验做好了 铺垫．生活例子和数学历史激发了学生学习的内驱力．先借助信息技术让学生对 椭圆形状的形成有一个直观认识，再借助坐标系研究椭圆方程即“数”的形成． 在起始部分学生的认知难点在于截口定义与轨迹定义的内在联系，通过认知冲突 引出接下来学习的内容． 2. 活动 2：概念的形成 问题 2 ：数学家丹德林是如何利用圆锥的两个内切球来证明椭圆上的点到两个 定点的距离之和为定值的呢？为此我们先复习一下直线与圆的有关内容．在平面内， 　单元教学设计 21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元　 285 << 过圆外一点作圆的切线，有几条？切线长有什么关系？ 师生互动：学生回答老师点拨． 追问 1 ：类比平面内的结论，在空间中，我们过球外一点作球的切线，切线有 几条，切线长仍然相等吗？这些切点形成的图形是什么？我们在圆锥中放置两个大 小不同的内切球，圆锥母线与两个内切球的位置关系是怎样的？ 师生互动：教师在语言上重视类比，引导学生发现在空间中过球外一点作球的 切线，切线长也相等，切点形成的轨迹是圆． 追问 2 ：不妨设小球上切点形成的圆是 C1，大球上切点形成的圆为 C2．C1 和 C2 所在平面的关系是什么？假设圆锥的一条母线交圆 C1 于点 E，交圆 C2 于点 G， 那么 EG 与这两个小球的位置关系如何？ 师生互动：学生按要求回答，随后教师通过信息技术介绍丹德林双球实验（如 图），引导学生发现两种定义的内在联系． 启动斜面动画 启动P点动画 停止P点动画 停止斜面动画 PF1+PF2=5.81+1.8=7.6 问题 3 ：下面我们一起进入被认为是极具有影响力的几何学实验之一—丹德 林双球实验．通过章引言我们知道用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，圆锥轴 与截面所成角为锐角时，所得交线即为椭圆．在圆锥内放两个大小不同的小球，使 得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．此时两个小球与截面有几个切点？ 生：2 个． 追问 3 ：不妨将这两个点设为 F1 ， F2 ．在椭圆上任取一点 M，那么 MF1 ， MF2 与两个小球的位置关系是什么？过点 M 作追问 2 中的 EG，你能发现哪些结论？ >> 286 　高中数学单元教学设计　 师生互动：教师提问学生，学生回答，教师引导学生发现 MF1 ，ME 都与小球相 切， MF1 ，ME 长度相等，同理 MF2 ，MG 长度也相等． 追问 4 ：那么当点 M 在椭圆截面上运动时，哪些量保持不变？椭圆上的点 M 又 满足什么样的几何特征？之前学习过圆上的点到一个定点的距离等于定长，你能类 比圆上点满足的几何性质得到椭圆上任意一点满足的几何性质吗？ 师生互动：教学语言应注意变化中的不变量，小组讨论展示，学生发现运动时 EG 保持不变，即 MF MF ME MG EG1 2+ = + = ．教师引导学生自己说出椭圆的轨迹定 义：椭圆上任意一点到两个定点的距离之和为定值． 设计意图：设计追问引导学生发现实验过程中椭圆上点运动时不变的规律， 归纳出椭圆的几何特征，破解教学难点，认识截口定义与轨迹定义的一致性，为 随后的动手实验做铺垫． 3. 活动 3：概念的深化 问题 4 ：刚刚我们通过丹德林双球实验发现，椭圆上的点到两个定点的距离之 和为定值．反过来想，到两个定点距离之和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗？能不 能将这个性质作为椭圆的定义呢？如果不能，还需要添加什么限定条件？带着这个 问题，请你们同桌合作，一边画图，一边思考，利用细绳和两个图钉尝试画出一个 椭圆．可以参考教材第 105 页探究． 师生互动：学生两两结对，一人将绳头系在两个图钉上，钉在纸上抓牢，一人 画．教师随机请两位同学上台投屏展示． 追问 5 ：需不需要增加条件，以确保一定能画出椭圆？ 师生互动：小组讨论交流后展示，教师引导学生发现图钉就是两个定点，绳长 就是定长．椭圆上任意一点到两个定点的距离之和是一个常数，我们把它记作 2a． 换个角度看，椭圆上任意一点 M 与 F1 ， F2 组成三角形，或 M 在 F1 F2 的延长线上， 即 MF MF a F F1 2 1 2+ = >2 ．当 2a F F= 1 2 时，M 在 F1 F2 上；当 2a F F< 1 2 时，M 不存在． 追问 6 ：自己能不能写出椭圆定义呢？试试看． 师生互动：学生独自默写，平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的和等于常数 2a （大于 F F1 2 ）的点的轨迹叫做椭圆．教师抽取一位同学投影展示，再补充 F F1 2， 叫做 　单元教学设计 21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元　 287 << 椭圆的焦点，两焦点间的距离 F F1 2 称为焦距，用 2c 来表示． 设计意图：通过学生动手实验和小组展示深化椭圆的轨迹定义，加强学生对 椭圆定义的理解，渗透“先用几何的眼光观察”这一思想． 4. 活动 4：概念的巩固应用—坐标转化，化简方程 问题 5 ：知道了椭圆的定义，我们需要根据定义来求椭圆方程．求曲线方程的 五个步骤是什么？ 师生互动：学生回答，教师引导，五个步骤即建系设点，条件集合，坐标表示， 化简方程，检验必要性． 追问 7 ：如何建系？如何设点？椭圆上的点满足的条件集合是什么？该条件可 以用坐标表示吗？ 师生互动：小组讨论交流并展示，教师引导学生以 F F1 2 为 x 轴，以 F F1 2 的中垂线 为 y 轴，以 F F1 2 的中点为原点建立坐标系．这样建系充分利用了椭圆的对称性．我们可 以预测到，这样建系得到的椭圆方程会比较简洁．根据对称性，除了将 F F1 2， 放在 x 轴 上，还可以将其放在 y 轴上．先讨论 F F1 2， 在 x 轴上的情况．由 F F c1 2 = 2 知， F F1 2， 的 坐标是 F c F c1 2( 0) ( 0)− ， ， ， ．将 M 的坐标设为 ( )x y， ，根据椭圆的定义知，M 到两焦点 F F1 2， 的距离之和为 2a，即MF MF a1 2+ = 2 ， ( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + − + = 2 2 2 2 ． 追问 8 ： ( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + − + =2 2 2 2 这个式子如何化简呢？如何去掉所有 根号呢？请同学们探究运算思路，设计运算程序，动手计算，计算完后在小组内交 流、探讨． 师生互动：教师引导学生先移项再平方．随后学生展示运算流程． >> 288 　高中数学单元教学设计　 ⇒ + + = − − + + − + ⇒ − = − + ⇒ − + = − + + ⇒ − + = − ⇒ + = ( ) 2 ( )x c y a x c y ( ( ) 4 4 ( ) ( ) a cx a x c y a a cx c x a x a cx a c a y a a c x y a c x a y a a c x c y a a x c y x c y + + = − − + 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) − ( ) 1 ( ) 追问 9 ：我们由定义出发推导、化简得到的方程可以称为椭圆的方程吗？它在 坐标系中一定表示椭圆吗？ 师生互动：学生回答还需要验证椭圆上点的坐标都满足方程．因为时间问题教 师可将这个问题留到课后思考，在下节课按小组展示． 设计意图：本部分的教学难点在于方程的化简，学生自主想到移项后再平方 的难度比较大，通过教师引导或者小组讨论并展示的方式，可以帮助学生设计计 算思路，提升数学运算的核心素养． 5. 活动 5：概念的巩固应用—数形结合，深化理解 问题 6 ：现在我们观察教材第 106 页的图 3．1-3，你能从中找出 a c a c， ， 2 2− 表示的线段吗？ 师生互动：预计学生能回答出 PF PF a OF OF c OP OQ a c1 2 1 2= = = = = = −， ， 2 2 ． 教师引导学生发现 OA OB a= = ，从而发现 a c a c， ， 2 2− 都有明显的几何意义，在坐 标轴上都有具体点与之对应．不妨令 a c b2 2 2− = ，就得到 a b x y2 2 2 2+ =1 ，这就是焦点 在 x 轴上的椭圆的标准方程，此时椭圆的焦点是 F c F c1 2( 0) ( 0)− ， ， ， ． 问题 7 ：类比之前学习的圆的标准方程和今天学习的焦点在 x 轴上的椭圆的标 准方程 a b x y2 2 2 2+ =1 ，阅读下面的资料卡，从数形结合的角度出发，你能说说“标准 方程”的标准体现在什么地方吗？ 资料卡：“标准”在《现代汉语词典》中有两种解释：①衡量事物的准则：技术 　单元教学设计 21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元　 289 << 标准，实践是检验真理的唯一标准．②本身合于准则，可供同类事物比较核对的： 标准音，标准时．与之相对的则是“一般”，“一般”的释义如下：①一样；同样． ②数量词．一种：别有一般滋味．③普通；通常：一般性，一般化，一般情况． 师生互动：小组讨论并展示．预计学生回答出能从圆的标准方程中看出圆心、 半径，能从椭圆的标准方程中看出 a b， ．教师引导学生从词典的语义学解释中得 知，标准方程即为衡量同类曲线其他形式方程的准则，其本身合乎准则，易于凸 显曲线的优良结构与性质，可供同类曲线其他形式方程进行比较与核对，以向之看 齐．例如，我们学过的圆的标准方程本身就易于凸显圆的基本几何要素，可作为 其他形式方程朝之转化的准则．我们通过圆的标准方程可以条件反射式地得到圆的 圆心和半径，通过标准方程我们将圆在坐标系中“可视化”了．而一般方程则强 调不同方程之间的共性，把曲线方程按照某种特征聚类合并，数学上通常以方程 未知数的个数和最高次数为依据将方程归类．例如，一切直线方程都可看成二元 一次方程，因此二元一次方程就是直线方程的一般式；一切圆的方程都可转化为 x y Dx Ey F D E F2 2 2 2+ + + + = + − >0 4 0( )．在高中我们只研究圆锥曲线的标准方 程，其标准位置就是原点，通过 a b x y2 2 2 2+ =1 ，我们发现取 x = 0 时， y b= ± ，即椭圆 过点 (0 )，b 和 (0 )，− b ；取 y = 0 时， x a= ± ，椭圆过点 ( 0)a， 和 ( 0)−a， ，所以椭圆过 点 (0 )，b ， (0 )，− b ， ( 0)a， ， ( 0)−a， ．这反映了椭圆的标准方程在坐标系内的“可 视化”． 追问 10 ：当椭圆焦点是 F c F c1 2(0 ) (0 )， ， ，− 时，大家结合图形猜想一下椭圆方 程是什么呢？ 师生互动：学生回答 a b y x 2 2 2 2 + =1 ，教师讲解椭圆标准方程的两种形式，并组织 学生推导验证． 追问 11 ：根据标准方程，如何确定椭圆焦点的位置？ 师生互动：学生回答，教师引导学生根据 y2，x2 项的分母判断，分母大的项对 应的轴就是焦点所在的位置． 设计意图：类比圆的标准方程，通过对椭圆标准方程概念的辨析，引出焦点 在 y 轴上的椭圆的标准方程，既破解了教学难点也解释了为何圆锥曲线不研究一 >> 290 　高中数学单元教学设计　 般方程．“可视化”可以作为整个圆锥曲线方程教学的统一教学语言，“可视化” 的方程体现了整条主线以数形结合为始终的思想． 6. 小结及反思 回顾本节课，请回答以下问题： （1）椭圆起源于何处？你能举出几个日常生活中的椭圆例子吗？ （2）请默写椭圆的定义，该定义与章引言中的截口定义的本质是不是一致的？ （3）椭圆的标准方程有几种？请默写，并分析其中参数的几何意义．参数之间 的关系是什么？哪个参数最大？ 本节课额外破解的教学难题有截口定义与轨迹定义的统一，圆锥曲线方程的研 究思路、直线和圆方程的研究思路存在差异性的原因等，运用的方法有小组讨论， 提供数学史和词义解释的阅读资料卡，互助动手操作实验，信息技术展示．这些方 法符合学生的最近发展区，视觉、听觉、动手操作三维结合可以帮助学生深刻理解 椭圆的定义与标准方程．本节课的教学语言与环节设计可以为后面的课时提供参考， 以上是本节课的优点．本节课的不足：第一，时间安排紧凑，课堂检测题偏多，可 以适当减少；第二，在丹德林双球实验统一截口定义与轨迹定义的环节中，部分学 生对动点的直观想象能力差，难以跟上课堂节奏，小组讨论的时间可以适当延长． 7. 作业 作业 1 ：教材第 109 页练习第 1 ～ 2 题． 设计意图：第 1 题检测学生能否将定义内化；第 2 题检测学生对标准方程的 掌握，第（3）问涉及在不确定椭圆焦点时要分类谈论的思想． 作业 2 ：教材第 115 页第 1 ～ 6 题． 作业 3（选做作业）：教材第 115 页第 9 ～ 10 题． 　单元教学设计 21 基于一体化教学语言的圆锥曲线大单元　 291 << 参考文献 [1] 中华人民共和国教育部 . 普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）[S].2 版 . 北京： 人民教育出版社，2020 . 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