单元教学设计20 随机变量及其分布-高中数学单元教学设计

259 << 一、单元内容及其解析 本单元是必修课程概率内容的延续．通过本单元的学习，可以帮助学生了解条 件概率及其与独立性的关系，能进行简单计算；感悟离散型随机变量及其分布列的 含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象；理解伯努利（Bernoulli）试验， 掌握二项分布，了解超几何分布；感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机 变量；基于随机变量及其分布解决简单的实际问题． 按照《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》的要求，在高中数学 选择性必修课程中，概率的内容和内容解析如下． （一）单元内容 1. 随机事件的条件概率 内容要求：结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率； 了解条件概率与独立性的关系；会利用乘法公式计算概率；会利用全概率公式计算 石家庄市第一中学  刘春香 单元教学设计 20    随机变量及其分布 >> 260 　高中数学单元教学设计　 概率；了解贝叶斯公式． 随机事件的条件概率是概率论的重要概念之一．由条件概率可以得到两个不独 立事件的概率乘法公式、全概率公式，它们是求很多复杂事件概率的有力工具． 在高中数学必修课程中，我们学习了概率的基本概念，结合古典概型，研究了 简单随机事件及其概率的计算方法，运用集合语言研究了随机事件的表示和概率的 一些性质．随着研究的深入，我们需要研究一些较复杂的随机事件的概率，即在某 些限制条件下的随机事件的概率．结合古典概型，研究随机事件的条件概率得到概 率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的概率是概率学习的深化和 提高．条件概率顾名思义是指在一个事件 A 已经发生的条件下另一个事件 B 发生的 概率．已知事件 A 发生，试验的样本点属于 A ，因此 A 成为新的样本空间，所以条 件概率 P B A( | )本质上是在缩小的样本空间 A 上事件 AB 的概率．从概念体系上看， 无条件概率 P B( )可以看成特殊的条件概率 P B( |Ω )，显然条件概率同样具有概率的 三条基本性质．在古典概型中条件概率很容易通过缩小样本空间得到，条件概率的 概念及其相关公式对于一般随机事件的概率都适用，具有普遍意义．若两个事件的 发生是有先后次序的，则先发生的事件可以是后发生事件的条件，这为我们处理较 复杂概率问题提供了方法． 有些随机事件 B 的概率求解比较困难，如果附加一个条件后变得容易计算，那 么可以用一组两两互斥且与事件 B 有联系的事件 A1，A2，…，An，将事件 B 表示为 B A B A B A B= 1 2  … n ，再利用概率的加法公式和乘法公式求得事件 B 的概率．将 这种思想一般化，构建一个公式就得到了全概率公式．利用全概率公式求事件的概 率，充分体现了化难为易的转化思想．贝叶斯公式又称为逆概率公式，用来描述两 个条件概率之间的关系，被广泛应用于各个领域，是许多统计推断的基础． 2. 离散型随机变量及其分布列 通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其 数字特征（均值、方差）． 研究随机现象的规律性，第一步是建立试验的样本空间，用样本空间的子集表示 随机事件，进而根据样本空间的特征建立概率模型，计算事件的概率．第二步是建立 一系列概率运算法则（公式），求复杂事件的概率．在此基础上，引入随机变量，量 化地描述各种随机现象；利用数学工具和方法，系统全面地研究随机现象的规律；建 立概率模型，解决实际问题；研究随机变量的数字特征，为决策提供依据． 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 261 << 在有些随机试验中，样本点与某个数量指标有关，可以直接建立样本点与实数 之间的对应关系；对某些与数值没有直接联系的随机试验，可以根据需要建立由样 本空间到实数集的一个对应关系，这样就可以利用随机变量来统一刻画随机现象的 规律了．现实世界中有各种各样的随机现象，它们的复杂性差异很大．从随机试验 的样本空间看，有的只包含有限个样本点，有的包含可列的无限个样本点，有的包 含不可列的无限个样本点．定义于不同样本空间上的随机变量常见的有离散型和连 续型两类．本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量及其分布列．教材通过创 设具体的随机试验情境，引导学生归纳试验中的数值指标（变量）的共同特征，领 悟随机变量是样本空间到实数集的映射，用分布列描述随机变量取值的概率规律， 理解利用随机变量可以更好地刻画随机现象．对于离散型随机变量，除了随机变量 的可能取值以及取值的概率外，在实际决策中，我们还关心这个随机变量的均值、 方差等特征．引入随机变量的概念后，可以用随机变量的表达式表示相关的随机事 件，类比函数的表示方法表示离散型随机变量的分布列，计算随机变量的数字特征， 从而进行决策．重要的是随机变量是更高层次上的抽象，可以按照随机变量的类型， 用不同的数学工具表示随机变量的概率分布，从而建立各种概率分布模型． 随机变量和普通变量有着本质的区别，随机变量的定义与函数的定义类似．通 过具体实例，学生能更好地理解用随机变量刻画随机现象，感悟随机变量与随机事 件的关系，体会随机思想在解决实际问题中的作用，提升数学抽象、逻辑推理、数 学运算核心素养． 3. 二项分布与超几何分布 通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单 的实际问题；了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 二项分布是一种常见的分布，19 世纪以前的概率与统计可以说是二项分布的 “天下”． 在生活中，保险业是较早应用概率论的领域，有关保险的问题涉及大量的二项分 布计算问题．另外，在很长的一个时期内，统计方法在社会问题中的应用主要限于人 口统计，特别是出生的男、女婴儿的性别比例问题，这也是一个典型的二项分布问题． 教材通过具体的问题情境，归纳概括 n 重伯努利试验的特征，由特殊到一般推导其分 布列，探究二项分布的均值和方差；通过比较有放回和不放回随机抽样中次品数的分 布，抽象超几何分布的特征，推导超几何分布的均值，讨论二项分布与超几何分布的 联系与区别，并进行简单应用．这个过程用到了事件的表示、概率的运算法则、组合 >> 262 　高中数学单元教学设计　 计数等知识，以及由特殊到一般的推理方法．在教学时教师要让学生独立思考、相互 交流，充分经历这个探究过程，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养． 4. 正态分布 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方 图的几何直观，了解正态分布的特征．了解正态分布的均值、方差及其含义．正态 分布是概率论中重要的连续型概率模型，由于《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》不要求对一般的连续型随机变量及其分布进行讨论，因此教材从一 组误差数据出发，了解连续型随机变量，借助误差频率直方图刻画误差分布，建立 正态分布模型．本节的主要内容为正态密度曲线、密度函数、正态分布的特征随机 变量落入某个区城内的概率表示、正态分布的均值和方差、 3σ 原则及简单应用． 通过本节内容的学习，体会依据频率与概率的关系，由经验模型建立理论模型 的思想，以及刻画连续型随机变量概率分布的方法． （二）内容解析 本单元内容属于《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》选择性必 修课程的“主题三　概率与统计”，是必修课程概率知识的延续．在必修课程的概 率中，学生在掌握相关知识的过程中，对于如何构建随机现象的研究路径、抽象概 率的研究对象、建立概率的基本概念、发现概率的性质、探索和形成研究具体随机 现象的思路和方法、应用概率知识解决实际问题等，积累了比较丰富的经验．本单 元教学以学生掌握的必修课程的概率知识技能、思想方法及积累的活动经验为基础， 以发展学生数学学科核心素养为宗旨，设计合理的逻辑结构，突出重点内容，便于 学生把握知识结构，有利于学生达成学业标准提出的要求． 本单元的教学重点如下： （1）条件概率的概念，事件的独立性与条件概率的关系，概率的乘法公式和全 概率公式． （2）离散型随机变量及其分布列的概念． （3）离散型随机变量的均值和方差的意义、性质及应用． （4） n 重伯努利试验，二项分布及其数字特征，超几何分布及其均值，简单 应用． （5）正态分布的特征，概率的表示，正态分布的均值、方差及其含义． 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 263 << 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． （2）结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． （3）结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． （4）结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． （5）了解贝叶斯公式． （6）通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分 布列． （二）目标解析 基于上述目标，我们对随机变量及其分布的教学应该有下面的基本认识： （1）从简化概率的计算出发，引入概率计算公式，渗透概率思想．概率论的重 要研究课题之一，是希望从已知的简单事件的概率推算出未知的复杂事件的概率． 在必修课程中我们已经得到了求和事件概率的加法公式，以及两个相互独立事件的 积事件概率的乘法公式．一个自然的问题是，当随机事件 A 和 B 不相互独立时，如 何计算 P AB( )呢？此时条件概率将扮演重要角色．条件概率在理论和实际中都有重 要的应用，同时是比较抽象、学生难理解的概念之一．教材采取“问题情境—思考 探究—抽象概括”的方式，结合古典概型的实例介绍条件概率；通过列举试验的样 本空间，比较事件有条件和无条件时的概率，让学生认识到如果附加某个事件 A 发 生的条件，试验的可能结果一定是 A 中某些样本点，而 A 的对立事件一定不会发生 >> 264 　高中数学单元教学设计　 ．因此，求条件概率的本质就是在缩小的样本空间 A 上计算事件的概率，据此抽象 概括得出条件概率的定义．将条件概率公式变形即可得到乘法公式，乘法公式为计 算积事件的概率提供了简便方法．《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修 订）》包含全概率公式和贝叶斯公式的内容．用简单事件的运算表示复杂事件，利用 概率的性质及概率公式简化概率的计算，这种思想方法具有一般性．为了更好地理 解全概率公式的思想方法，教材设置了一个摸球问题（教材第 49 页思考栏目），求 事件 R2 =“第 2 次摸到红球”的概率．这个问题的困难之处是，第 2 次摸球受到第 1 次摸球结果的影响，而第 1 次摸球的结果具有随机性，但是如果已知第 1 次摸到 红球或蓝球的条件下，容易求得 R2 的概率（条件概率）．于是利用第 1 次摸球的结 果，将 R2 分解为两个互斥事件的和事件，即 R R R B R2 1 2 1 2=  ，其中 R1 =“第 1 次摸 到红球”， B1 =“第 1 次摸到蓝球”，然后利用概率的加法公式和乘法公式顺利求得 P R( 2 )．将这种方法一般化就得到全概率公式． （2）理解用随机变量刻画随机现象规律的思想方法，提升数学抽象素养．概率 是从量化的角度研究随机现象的统计规律性的，根据随机试验建立样本空间，运用 概率计算公式求出随机事件的概率，进而描述、解决与随机现象有关的理论、应用 问题． 但是，这种方法只是孤立地考虑个别事件的概率，研究方法缺乏一般性．解决 这个问题的关键是引入随机变量及其分布的概念．随机变量的引入是概率论发展史 上的重大事件，也是概率研究对象的进一步抽象．随机变量是对随机试验可能结果 的量化表示，本质上是样本空间到实数集的映射．有了随机变量的概念就可以根据 随机变量的类型，选择适当的数学工具描述其概率分布和构造其数字特征，从而进 行概率决策．现实世界中的随机现象多种多样，有的简单，有的复杂，与之相对应 的随机变量也有各种不同的类型．概率论主要研究两类常见的随机变量：离散型随 机变量与连续型随机变量．在高中课程中，我们只研究取有限个值的离散型随机变 量与服从正态分布的连续型随机变量． 对随机事件，我们不仅关心试验会出现什么结果，也要知道这些结果将以多大 的概率出现．对于离散型随机变量也一样，我们不仅要知道它的所有可能取值，还 要知道它取这些值的概率，分布列就是描述离散型随机变量取值概率的工具．教材 采用从特殊到一般的方式，得出分布列的概念并类比函数的表示方法，用表格、公 式或图形表示分布列，类比概率的基本性质探究分布列的性质，由分布列计算复杂 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 265 << 事件的概率等．在这个过程中学生初步体会了用离散型随机变量描述随机现象的好 处及一般方法，提升了数学抽象的素养． （3）构造离散型随机变量的数字特征，进行概率决策．随机变量的概率分布完 整地描述了随机变量的规律性，但在实际问题中，我们往往还需要知道一些从某个 方面刻画随机变量特征的数值．例如，一批产品的次品率为 P，随机抽取 n 件，其 中的次品数 X 是一个离散型随机变量．在某些假定之下，可以得到 X 的分布列，但 有时我们更关心次品数的平均值是多少．对某一物理量进行测量，测量误差是一个 连续型随机变量，我们既需要知道测量的平均误差，也关心误差分布的离散程度． 如果平均误差接近 0，而且离散程度较小，说明测量结果比较精确．这些例子表明， 一些与随机变量有关的数值，虽然不能完整地描述随机变量的规律性，但能集中反 映随机变量在某些方面的重要特征．在高中我们主要研究离散型随机变量的均值 （期望）、方差这两个数字特征． 统计中的随机抽样，本质上是对某个随机变量进行的 n 次观测．将抽样所得的 n 个观测值整理成频率分布表，通过计算可得观测值的平均数（样本均值）．根据频 率的稳定性、频率与概率的关系，将随机变量的均值定义为样本均值的稳定值，形 式上就是随机变量的可能取值与其概率乘积之和，这也是教材采用的随机变量均值 的展开过程．这种展开方式有如下优点： ①揭示了随机变量的均值与样本均值的关系． ②在未知随机变量的分布列的情况下，可以用样本均值估计随机变量的均值． 利用随机变量的均值进行决策，适用于大量重复试验的场合．例如，保险公司 面对大量的保险客户，估计平均理赔金额，设计合理的费率是有意义的．仅就一次 试验来说，用期望值决策的结果未必是最好的． （4）抽象随机试验的特征，构建概率模型，落实数学建模素养．现实世界中有 各种各样的随机现象，我们可以通过不同的概率模型对它们进行刻画．在众多概率 模型中，离散型的二项分布、连续型的正态分布等都是人们重点研究的． 伯努利在其生命的最后两年写作的《猜测术》是一部概率论发展史上里程碑式 的著作，他在论及重复操作的博弈中有关概率的计算时，着重解决了具有一般规律 性的概率计算问题．例如，将一枚骰子抛掷 5 次，他首次指出在每次重复中所涉及 的事件概率不变，且各次试验相互独立，他还明确给出了独立事件的概率乘法定理， 严格证明了二项分布的概率公式．现在，人们将符合这种条件的试验模型称为伯努 利概型． 二项分布和超几何分布作为两个特殊的离散型随机变量的分布，在多数概率论 >> 266 　高中数学单元教学设计　 与数理统计教材中都是作为例子出现的．本套教材的安排是，在学习了离散型随机 变量及其分布列、数字特征的一般性知识后，分别研究二项分布和超几何分布，这 样安排一是为了体现其重要性，二是为了突出模型特征的抽象及分布列的推导过程， 落实数学抽象和数学建模等核心素养． 达成上述目标的标志如下： （1）能结合具体实例，借助公式计算概率，能用条件概率的定义解释具体问题， 并能用条件概率的定义计算随机事件的条件概率． （2）能根据事件的独立性、条件概率的意义，描述“事件 A 和 B 独立的充分必 要条件是条件概率等于无条件概率”，并能根据定义进行推理． （3）能根据条件概率的定义归纳概率乘法公式，能说出条件概率的三条基本性 质，会利用概率的乘法公式计算概率． （4）会利用概率的加法公式和乘法公式归纳得到全概率公式，能用全概率公式 计算较复杂的概率问题． （5）能通过实例了解贝叶斯公式，知道它是描述两个条件概率之间的关系的． （6）结合本单元的学习，能够用数学的眼光看待随机事件的概率，能用概率的 一般概念解释具体现象，能够通过条件概率和独立性等数学概念分析复杂问题，寻 找解决复杂问题的方法，在学习过程中重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学 运算素养． （7）能通过建立样本点与实数之间的关系，知道随机试验样本空间 Ω 中的每一 个样本点 ω都有唯一的实数 Χ ω( )与之对应．会根据概率的性质获得离散型随机变 量分布列的性质，会求简单的离散型随机变量的分布列．在此过程中提升数学抽象、 逻辑推理、数学运算等素养． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元教学约需 10 课时，具体分配如下（仅供参考 )： 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 267 << （1）条件概率与全概率公式：约 2 课时． （2）离散型随机变量及其分布列：约 1 课时． （3） 离散型随机变量的数字特征：约 2 课时． （4） 二项分布与超几何分布：约 2 课时． （5）正态分布：约 1 课时． （6）小结：约 2 课时． （二）教学评价 在高中数学课程中，“随机变量及其分布”在发展学生的数学抽象、数学建模、 逻辑推理等核心素养方面具有不可替代的作用．在实施教学的过程中，教师要根据 学生的特点，结合丰富、典型的案例，充分展开揭示概念本质的抽象归纳过程，分 析随机试验的本质特征，构建概率模型，渗透研究概率问题的一般思想方法，提高 学生应用随机思想解决实际问题的能力．同时，加强与信息技术的融合，加深学生 对概率分布的理解． 1. 学情分析 在本单元的学习中，由于具体问题中的许多条件概率问题与我们的直觉相悖， 因此往往很难迅速得到正确的答案，这也是概率问题不同于其他数学问题之处．因 此，学生在学习条件概率概念时可能会产生困惑，对于条件概率定义的理解会存在 偏差．由于古典概型的条件概率计算总可以通过缩小样本空间转化为非条件概率的 计算，因此学生在学习心理上可能会不自觉地拒绝接受条件概率的概念．另外，独 立性是概率论中极其重要的概念，独立性的概念可以用条件概率描述，但在实际操 作中两个随机事件的独立性的判断往往是基于学生的经验的，所以学生容易忽视独 立性与条件概率之间的关系；学生还可能混淆两个事件相互独立与两个事件互斥的 概念，并由此引发概率公式运用错误的问题． 2. 应对方法 在概率的教学中，教师应引导学生通过具体实例，理解可以用随机变量更好 地刻画随机现象，感悟随机变量与随机事件的关系；理解随机事件独立性与条件概 率之间的关系；通过二项分布、超几何分布、正态分布的学习，理解随机变量及其 分布． 在教学过程中，教师应引导学生在利用所学知识解决一些实际问题的基础上， >> 268 　高中数学单元教学设计　 适当进行严格、准确的描述；要运用类比、由特殊到一般、直观想象、计算验证等 方法，培养学生的推理能力． 教师要特别关注学生是否树立起随机思想意识，学生是否了解概率研究的一般 思想方法．例如，在构建试验的样本空间、定义随机事件及概率的基础上，用一系 列概率运算法则（加法公式、乘法公式、全概率公式等）求事件的概率．然后进一 步抽象，引入随机变量的概念，利用数学工具研究更多的概率模型，进行概率决策． 教师应关注学生能否把握各知识之间的内在联系及逻辑结构、重要概念的意义 及生成过程，如条件概率、随机变量、均值和方差等，以及能否理解二项分布、超 几何分布、正态分布等概率模型的特征，是否能利用计算机软件求分布列或相关 概率． 3. 结合以上学情，确定本单元的教学重点、教学难点如下： （1）条件概率意义的理解，全概率公式的应用． （2）对随机变量概念的理解，用随机变量描述随机现象的规律． （3）对离散型随机变量均值、方差的意义的理解． （4）在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布和超几何分布． （5）描述正态分布随机变量的概率分布． 四、课时典例分析 第1课时  条件概率 （一）教学内容 条件概率、概率的乘法公式． 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 269 << （二）教学目标 结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关 系；能计算简单随机事件的条件概率． （三）教学重点、难点 教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及其应用． 教学难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较． （四）教学过程设计 1. 活动 1：概念的引入 当两个事件 A 和 B 相互独立时， P AB P A P B( ) ( ) ( )= ．如果事件 A 和 B 不相互独 立，如何计算 P AB( ) 呢？是否也有一个一般的公式呢？ 下面我们先来看一个相关的 问题． 问题 1 ：某个班级有 45 名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表 所示． 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表． （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？ 师生互动：先由学生尝试自主完成上面的问题，要求学生在每一个问题中用符 号表示样本空间和相关的事件，分析是否满足古典概型的条件． 在问题（1）中，随机选择一人做代表，则样本空间 Ω 包含 45 个等可能的样本 >> 270 　高中数学单元教学设计　 点．设 A =“选到团员”， B =“选到男生”，则 n A n B n( ) = = =30 25 45， ，( ) (Ω ) ． 根据古典概型知识可知，选到男生的概率 P B( ) = = = n n B ( ) 45 9 ( ) 25 5 Ω ． 对于问题（2），引导学生分析“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是 “在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生”的概率，记为 P B A( | )．此时相当于以 A 为 样本空间来考虑事件 B 发生的概率，而在新的样本空间中事件 B 就是积事件 AB ，包 含的样本点数 n AB( ) =16 ．根据古典概型知识可知， P B A( | ) = = = n AB n A ( ( ) ) 16 8 30 15 ． 追问 1 ：事件 A 的发生是如何改变样本空间的？是扩大了样本空间，还是缩小 了样本空间？ 师生互动：教师引导学生思考、交流、总结． 设计意图：通过具体实例，引入条件概率的直观概念，使学生认识到在事件 A发生的条件下，会缩小样本空间，条件概率P B A( | )本质上是在新的样本空间A 中事件AB的概率，即P B A( | ) = n AB n A ( ( ) ) ．运用图表，能够使学生直观理解有关概 念，进行条件概率的计算． 问题 2 ：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选 择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 师生互动：如果用 b 表示男孩， g 表示女孩，首先要求学生用集合语言表示样 本空间和问题中涉及的事件，判断问题 2 是否满足古典概型的条件，然后引导学生 进行互动交流． 样本空间Ω ={bb bg gb gg， ， ， }，且所有样本点都是等可能的，因此问题 2 是古 典概型问题．设 A =“选择的家庭中有女孩”，则 A bg gb gg= { ， ， }； B =“选择的家 庭中两个小孩都是女孩”，则 B gg= { }． （1） 根 据 古 典 概 型 知 识 可 知， 该 家 庭 中 两 个 小 孩 都 是 女 孩 的 概 率 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 271 << 是 P B( ) = = n n B ( ( Ω ) ) 1 4 ． （2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生”的概率，记为 P B A( | )．此时 A 成为样本空间，事件 B 就是积事件 AB ．根据古典概型知识可知， P B A( | ) = = n AB n A ( ( ) ) 1 3 ． 设计意图：通过问题1和问题2，引导学生发现对于一般的古典概型，在事件 A发生的条件下，事件B发生的概率都是P B A( | ) = n AB n A ( ( ) ) ． 2. 活动 2：概念的形成 问题 3 ：结合以上两个问题，你能探索条件概率 P B A( | ) 与 P A( )， P B( )， P AB( )之间的关系吗？ 师生互动：若已知事件 A 发生，则 A 成为样本空间．此时，事件 B 发生的概率 是 AB 包含样本点数与 A 包含样本点数的比值，即 P B A( | ) = n AB n A ( ( ) ) ．因为 P B A( | ) = = = n AB n P AB n A P A ( ( ) ) n AB n n A ( ( ( ( Ω Ω ) ) ) ) ( ( ) ) ， 所以在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率可以通过 P AB P A ( ( ) ) 来计算． 于是，给出一般的条件概率的定义：一般地，设 A ， B 为两个随机事件，且 P A( ) > 0 ，我们称 P B A( | ) = P AB P A ( ( ) ) 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概 率，简称条件概率． 设计意图：由具体实例抽象概括共同特征以形成数学概念，是数学抽象的重 >> 272 　高中数学单元教学设计　 要表现形式，也是重要的数学思想方法．条件概率的定义不再局限于古典概型， 对于一般的概率模型都成立，这也是数学概念的一般性的体现． 3. 活动 3：概念的深化 问题 4 ：在以上问题的探究过程中，我们发现 P B A( | )与 P B( )一般不相等．如 果 P B A( | )与 P B( )相等，那么事件 A 与 B 应满足什么条件？为什么？ 师生互动：教师引导学生根据 P B A P B( | ) = ( ) 的直观意义，先猜结果，再说明 理由．然后通过师生互动交流，教师进行归纳总结．有的学生可能跳过直观猜想的 步骤，直接根据条件概率的定义及事件独立性的定义，得出结论，这时教师可要求 学生进行直观解释． 直观上看，当事件 A 与 B 相互独立时，事件 A 发生与否不影响事件 B 发生的概 率，这等价于 P B A P B( | ) = ( )成立． 事实上，若事件 A 与 B 相互独立，即 P AB P A P B( ) = ( ) ( )，且 P A( ) > 0 ，则 P B A P B( | ) = = = P AB P A P B P A P A ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )；反之，若 P B A P B( | ) = ( )，且 P A( ) > 0 ，则 P AB P A ( ( ) ) = P B( )，所以有 P AB P A P B( ) = ( ) ( )，即事件 A 与 B 相互独立．因此，当 P A( ) > 0 时，当且仅当 A 与 B 相互独立时，有 P B A P B( | ) = ( )． 追问 2 ：对于任意两个事件 A 与 B ，如果已知 P A( ) 与 P B A( | )，如何计算 P AB( )呢？ 师生互动：教师引导学生通过对条件概率公式进行变形，得到计算 P AB( )的公 式，即对任意两个事件 A 与 B ，若 P A( ) > 0 ，则 P AB P A P B A( ) = ( ) ( | )，我们称此式 为概率的乘法公式．同理，若 P B( ) > 0 ，则 P AB P B P A B( ) = ( ) ( | )． 设计意图：通过对问题的进一步深入探究，得到两个事件A，B相互独立的 充要条件，并推导出概率的乘法公式．掌握了条件概率的定义、条件概率与独立 性的关系、概率的乘法公式，就初步具备了解决较复杂概率问题的能力． 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 273 << 4. 活动 4：概念的巩固应用 例 1 ：在 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中随机抽出 1 道题， 抽出的题不再放回．求： （1）第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题的概率； （2）在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率． 师生互动：教师先进行示范性分析，强调 “抽出的题不再放回”的意义，具体 如下：如果把“第 1 次抽到代数题”和“第 2 次抽到几何题”作为两个事件，由于 “抽出的题不再放回”，所以两个事件是不独立的，那么问题（1）就是积事件的概 率，问题（2）就是条件概率．可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概 率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率． 接着，由学生独立完成．在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题 过程，具体如下： （1）明确指出要计算随机事件的概率，就要将随机事件用符号表示出来，如设 A =“第 1 次抽到代数题”， B =“第 2 次抽到几何题”． （2）对于问题（1），“第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题”就是事件 AB ．根据古典概型的知识可知， n (Ω ) = =A 2052 ，因为 n AB( ) = × =A A 61 13 2 ，所 以 P AB( ) = = = n AB n ( (Ω ) ) 20 10 6 3 ． （3）对于问题（2），“在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题”的 概率就是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率．显然 P A( ) = 5 3 ．利用条件概 率公式，得 P B A( | ) = = = P AB P A ( ( ) ) 10 5 3 3 1 2 ． （4）在分析了学生的各种解法后，教师需指出可以在缩小的样本空间 A 上求 P B A( | )．在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为 P B A( | ) = 1 2 ．又 P A( ) = 5 3 ， 利用乘法公式可得 P AB P A P B A( ) = = × =( ) ( | ) 5 2 10 3 1 3 ． 最后，要求学生将自己的解题过程与教师的进行对比分析，找出不足，进行反 >> 274 　高中数学单元教学设计　 思．教师进行解法的总结． 追问 3 ：通过以上例题的解答，请问求条件概率一般有几种方法？你认为条件 概率有什么性质？ 师生互动：学生思考并回答问题，教师进行总结． （1）求条件概率一般有两种方法：一种是基于样本空间 Ω，先计算 P A( ) 和 P AB( )，再利用条件概率公式求 P B A( | )；另一种是根据条件概率的直观意义，增 加了“ A 发生”的条件后，样本空间缩小为 A ，求 P B A( | )就是以 A 为样本空间计算 AB 的概率． （2）条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 P A( ) > 0 ，则 ① P A(Ω =| 1) ； ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P B C A P B A P C A(  | | |) = +( ) ( )； ③设 B 和 B 互为对立事件，则 P B A P B A( | 1 |) = − ( )． 设计意图：通过具体问题分清条件概率与积事件概率的联系与区别，归纳求 条件概率的两种方法，总结条件概率的基本性质． 例 2 ：已知 3 张奖券中只有 1 张有奖，甲、乙、丙 3 名同学依次不放回地各随 机抽取 1 张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 师生互动：本例题由学生自主完成，教师引导学生关注“他们中奖的概率与抽 奖的次序有关吗？”这个问题的本质是计算甲、乙、丙中奖的概率，如果概率相等， 那么与抽奖次序无关；如果概率不相等，那么与抽奖次序有关． 分析过程如下：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考虑甲、乙、丙 3 名同学的中奖概率是否相等．因为只有 1 张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中 奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙 中奖的概率． 如果用 A ， B ， C 分别表示甲、乙、丙中奖的事件，那么 B AB= ， C AB= ． 这种表示事件的方法是学生学习的难点，教师可以借助图形，引导学生从事件 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 275 << 的运算角度理解．由于只有 1 张奖券有奖，所以 A，B，C 两两互斥， A B C=  ， B A C=  ．所以 AB B C B B= =(  ) ， AB B C A C C= =(  )( ) （当有 2 张奖券有奖 时，这种表示不正确）．然后逐步进行计算． （1） P A( ) = 1 3 ； （2） P B P AB P A P B A( ) = = = × =( ) ( ) ( | ) 2 1 13 2 3 ； （3） P C P AB P A P B A( ) = = = × =( ) ( ) ( | ) 2 1 13 2 3 ． 最后得到 P A P B P C( ) = =( ) ( )，所以中奖的概率与抽奖的次序无关． 追问 4 ：如果是放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况 会有什么改变？ 师生互动：教师引导学生对放回随机抽样与不放回随机抽样中奖的概率进行比 较，得出结论，在抽奖问题中，无论是放回还是不放回，中奖的概率都与抽奖的次 序无关． 设计意图：通过一个简单的具体问题，把对问题的判断转化成概率的计算， 根据概率计算的结果做出正确判断．这个问题可以利用古典概型概率公式解决， 安排在本节课的意图是让学生体会用乘法公式计算概率，具有解题思路清晰、运 算量小等优点． 例 3 ： 银行储蓄卡的密码由 6 位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时， 忘记了密码的最后 1 位数字．求： （1）任意按最后 1 位数字，不超过 2 次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后 1 位是偶数，不超过 2 次就按对的概率． 师生互动：教师要求学生分析例 3 中的问题，用集合语言表示相关的事件，尝 试自主解决问题，并实时将解题过程中的困难，通过师生互动呈现，生生、师生之 间相互帮助加以解决． 教师在分析中，应重点提示学生，最后 1 位密码“不超过 2 次就按对”等价于 “第 1 次按对，或者第 1 次按错但第 2 次按对”．因此，可以先把复杂事件用简单事 件表示，再利用概率性质求解． >> 276 　高中数学单元教学设计　 在例题讲解时，教师要指出相比例题 2 ，例题 3 涉及的事件更多．如果设 Ai = “第 i 次按对密码” (i =1 2， )，对于问题（1），要求学生能够准确表示事件“不超过 2 次就按对密码”，即 A A A A= 1 1 2 ( )．计算复杂事件的概率的关键是将事件划分成 互斥事件的和，做到化繁为简．事件 A1 与事件 A A1 2 互斥，由概率的加法公式及乘法 公式，得 P A P A P A A P A P A P A A( ) = + = + = + × =( 1 1 2 1 1 2 1) ( ) ( ) ( ) ( | ) 10 10 9 5 1 9 1 1 ． 因此任意按最后 1 位数字，不超过 2 次就按对的概率为 1 5 ． 在问题（2）的讲解中，教师指出若设 B=“最后 1 位密码是偶数”，则 P A B P A B P A A B( | | |) = + = + × =( 1 1 2) ( ) 1 4 1 25 5 4 5 ． 设计意图：通过具体实例，学生进一步感受计算复杂事件的概率的方法，将 复杂事件分解为简单事件，利用互斥事件概率的加法公式、乘法公式、条件概率 等求概率． 5. 小结及反思 教师引导学生回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题： （1）什么是条件概率？条件概率与积事件的概率有什么关系？ （2）对于随机事件 A，B，请你说一说“事件 A，B 同时发生”与“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生”的区别，这两个事件的概率有什么关系？哪个概率 较大？ （3）求条件概率一般有几种方法？ （4）条件概率有哪些性质？如何运用条件概率的性质求较复杂事件的概率？ 设计意图：通过以上四个问题，梳理本节课的核心内容和主要方法，使学生 能在整体上把握条件概率的含义，能运用条件概率的知识进行概率计算． 在本节课的教学中，教师通过解题思路的启迪与解题方法的引导，使学生学会 　单元教学设计 20 随机变量及其分布　 277 << 了如何审题，如何分析，如何找思路，如何选择解题方法，如何规范化地把解决问 题的过程呈现出来．同时，使学生学会了分析归纳的思想方法，初步形成了解决问 题的思维过程．通过本节课的学习，实现了传授新知和提高能力的双重目的．同时， 在教学中教师应该给学生留出自我发展的时间和空间，结合本节课的教学目标设计 适当的学生活动，发展学生的数学学科核心素养，同时注重数学思想方法的渗透， 使学生具有一定的运用能力． 6. 作业 作业 1 ：教材第 48 页练习第 1 ～ 2 题． 作业 2 ：教材第 52 ～ 53 页习题 7.1 第 1，2，3，6，9，10 题． 作业 3 ：从一副不含大小王的 52 张扑克牌中，每次随机抽取 1 张扑克牌，抽出 的牌不再放回．已知第 1 次抽到 A 牌，求第 2 次抽到 A 牌的概率． 设计意图：考查学生对条件概率概念的了解和条件概率计算的掌握． 作业 4 ：袋子中有 10 个大小相同的小球，其中 7 个白球、3 个黑球．每次从袋 子中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回．求： （1）在第 1 次摸到白球的条件下，第 2 次摸到白球的概率； （2）2 次都摸到白球的概率． 设计意图：考查学生对条件概率概念的了解，以及对条件概率与积事件概率 的区别与联系的了解．