单元教学设计19 转化思想在不等式教学中的渗透-高中数学单元教学设计

>> 246 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 不等式． （二）内容解析 不等式是人教 A 版高中数学必修第一册第二章中的内容，本单元的学习可以使 学生由熟知的等式性质类比得出不等式的基本性质，本单元的难点是建立二次函数 与一元二次不等式的联系，本单元的重点内容是基本不等式的几何解释，教师需注 重学生对不等式数学本质的理解和思想方法在教学中的渗透，提升学生的数学建模 核心素养． 河北省高邑县第一中学  崔戏花 单元教学设计 19    转化思想在不等式教学中的渗透 　单元教学设计 19 转化思想在不等式教学中的渗透　 247 << 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 1. 等式与不等式 通过初中学习的等式的性质，理解不等式的定义，掌握不等式的性质． 2. 基本不等式 掌握基本不等式 a b+ 2 ≥ ab （a>0，b>0），通过身边的具体实例，学生学会利 用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题；“1”的代换法的应用；三角换元法 求最值（同角三角函数基本关系式的应用）． （二）目标解析 1. 函数与方程 以初中学过的二次函数知识为背景，学会利用二次函数的图象判断一元二次方 程实数根是否存在并学会判断一元二次方程实数根的个数，了解方程实数根与函数 的零点之间的关系． 2. 函数与不等式 （1）让学生体会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二 次不等式的实际意义；能借助二次函数图象求解一元二次不等式，会用集合或区间 表示一元二次不等式的解集． （2）能熟练作出二次函数的图象，了解一元二次不等式、二次函数及一元二次 >> 248 　高中数学单元教学设计　 方程之间的关系． （3）学会解含参不等式，掌握分式不等式和绝对值不等式的解法． （4）了解函数的“上凸”与“下凹”性的符号解释（不等式表示形式）． 3. 不等式与平面几何 （1）掌握人教 A 版高中数学必修第二册平面向量及其应用一章中数量积最值 的求法．通过初中完全平方公式得到向量数量积表达式的变形形式，即极化恒等式 a b a b a b⋅ = + −1 4 （ ） （ ）  + 2 2 ，学会用极化恒等式解决有关数量积最值的问题． （2）会用三点共线和平面向量基本定理求最值（共线向量基本定理、平面向量 基本定理都是通过将研究的向量用基底表示，从而将问题简化，将平面几何问题、 物理问题转化为向量问题，将实际问题转化为向量问题，通过对运动变化过程分析 将最值问题转化为特殊位置的问题，从而直观地解决问题）． （3）通过解三角形体会不同数学对象的相互转化（边角互化），体会物理问题、 实际问题与向量问题的转化． （4）将直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系的问题，通过代数运 算转化为不等式问题，从而将几何问题转化为代数问题，借助坐标法将几何元素特 征转化为代数表达形式，实现了图形语言和符号语言之间的转化． 4. 不等式与恒成立问题 恒成立问题是学生进入高中经常感到困惑的地方，学生对于求最大值还是最小 值总是混淆，因此可以通过定量分析，将恒成立问题转化为最值问题来解决． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 1. 不等式的概念（4 课时） （1）由等式的性质类比不等式的性质，初步掌握比较大小的方法（作差法比较 　单元教学设计 19 转化思想在不等式教学中的渗透　 249 << 大小的基本事实依据）． （2）利用完全平方公式得出一类重要不等式，由重要不等式的特殊形式，得到 基本不等式，会用不等式的性质对基本不等式加以证明，利用几何图形引导学生将 a b+ 2 ， ab 和图形中的几何线段建立起联系，通过观察几何线段长短变化的规律， 获得基本不等式的几何解释． （3）通过基本不等式的简单应用，建立基本不等式的模型思维，培养用数学的 眼光看问题和解决问题的能力，提升数学建模素养． （4）通过“1”的代换法，引导学生掌握基本不等式的应用，体会数字“1”在 解决问题中带给学生的乐趣． 2. 一元二次不等式的解法（4 课时） （1）通过实际问题情境，体会提炼出一元二次不等式的过程，了解一元二次不 等式的实际意义． （2）类比一元一次不等式的解法，通过图象获得解一元二次不等式的方法，这 里十字相乘法分解因式属于初高中衔接内容，需要给学生补充． （3）类比一元二次不等式的解法，将高次不等式、分式不等式、绝对值不等式 转化为学生已学过的整式不等式求解，这里需要给学生补充序轴标根法． （4）通过二次函数的图象和零点体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等 式的关系，补充根与系数的关系． 3. 不等式的延伸（6 课时） （1）利用完全平方公式推导数量积的表达式（极化恒等式）借助数形结合法解 决数量积的最值问题． （2）利用三点共线和平面向量基本定理求最值． （3）利用正余弦定理解决三角形中的最值问题（化边为角或化三角函数为 边长）． （二）教学评价 （1）不等式的概念教学侧重让学生把握数学的本质和思维方式，利用转化的方 法，将未知化为已知．对于初次接触高中学习的高一学生来说，无论是知识密度、 课堂容量，还是学习时间安排都较初中有一定的梯度，由具体到抽象的鸿沟跨越， >> 250 　高中数学单元教学设计　 使大部分学生需要一定的适应时间． （2）一元二次不等式的解法和基本不等式教学需关注学生的数学建模能力的塑 造，核心素养的提升，将实际情境转化为相应的函数模型或不等式模型，学生对基 本不等式这个重要的数学模型的理解有一定的难度． （3）不等式的延伸部分要关注学生阅读能力的提升，大部分学生（特别是阅读 积累量小的学生）由初中题目叙述简洁直白，到高中多个知识点的融合，以及多种 符号的植入需要一定时间去接受并熟悉，这导致学生很难正确而快速理解题意，其 中符号语言、图形语言、自然语言这三种语言之间的转化是数学重点． （4）基本不等式教学关注学生的数学运算素养，特别是求最值时为什么需要验 证相等条件（是不是能省略？如何解决等号取等的问题？学生是否真正理解“一正 二定三相等”的条件？） （5）不等式性质的应用教学应关注学生对数学运算不变性的运用，这是学生通 过类比学习新知识的根本． 四、课时典例分析 第1课时  基本不等式 （一）教学内容 基本不等式的定义和几何解释． （二）教学目标 （1）让学生经历基本不等式从发现到归纳的过程，尝试从具体实例中提炼出基 本不等式，通过特殊实例抽象一般结论的方法，培养和发展学生的数学抽象素养． （2）让学生经历基本不等式的证明过程，学会用分析法证明基本不等式，充分 体会数学的严谨性，逐步提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 　单元教学设计 19 转化思想在不等式教学中的渗透　 251 << （3）让学生经历探索基本不等式的几何解释这一过程，准确理解基本不等式的 几何直观，体会利用代数计算和图象（形）结合的运算思路，发展学生的直观想象 素养． （4）让学生学会利用基本不等式解决简单的求最值问题，正确把握基本不等 式的使用条件“一正二定三相等”，体会数学的灵活性，逐步发展学生的数学运算 素养． （三）教学重点、难点 教学重点：基本不等式的定义． 教学难点：基本不等式的几何解释． （四）教学过程设计 1. 活动 1：概念的引入 设置情境，提出问题． 介绍数学家欧拉（Euler），分析、代数、几何都是欧拉伟大的贡献．欧拉很小 的时候，就利用“周长相等的四边形中正方形面积最大”帮助他的父亲改造了羊圈， 这显示了欧拉的数学天赋． 师生互动：设置探究思考题：观察现实生活中自来水管的横截面，想一想它为 什么是圆的？引导学生思考讨论，得出结论． 设计意图：通过数学家欧拉的故事，渗透数学文化，培养学生学习数学、热 爱数学的兴趣，让学生体会学数学的有用性，渗透利用找凑定值求最值的思想． 2. 活动 2：概念的形成 展示重要不等式 a b a∈ ∈R R， ， 2 + b2 ≥ 2ab（当且仅当 a=b 时取“=”）的实际 意义，通过多媒体展示第 24 届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图的历史背景． 师生互动：我们可把会标抽象成如图所示的四个全等的直角三角形，设直角三 角形的两条直角边长为 a b a b， ( )≠ ，那么正方形的边长为 a b2 2+ ．这样四个直角三 >> 252 　高中数学单元教学设计　 角形的面积的和为 2ab ，而正方形的面积为 a b2 2+ ，由于正方形 ABCD 的面积大于 四个直角三角形的面积和，于是我们就等到一个不等式 a b ab2 2+ > 2 ． A Bb D a C 设问 1 ：如果用 a 代替 a ，用 b 代替 b，就得到 a b ab+ ≥2 ，即 ab≤ a b+ 2 ①，当且仅当 a b= 时，等号成立．我们称不等式①为基本不等式． 设问 2 ：当 a，b 分别取下列值时，基本不等式 ab≤ a b+ 2 成立吗？ （1） a b=4 =10， ；（2） a b= =3 2 ， 10 ；（3） a b=4 =4， ． 师生互动：学生通过演算，判断 a，b 取不同数值时不等式是否成立． 设计意图：从实际问题出发抽象概括不等式模型，由字母代换得到基本不等 式模型，最后利用具体数值演算，加深学生对基本不等式的认识． 3. 活动 3：概念的深化 a b+ 2 为正数 a，b 的算术平均数（也叫正数 a，b 的等差中项）， ab 为正数 a， b 的几何平均数（也叫正数 a，b 的正的等比中项）．基本不等式用自然语言表示： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 通过教师分析基本不等式的结构特征（结合等差中项和等比中项的知识）得到 基本不等式的代数解释，加深学生对基本不等式的认识，利用多种方法，培养学生 的发散思维． 师生互动：通过重要不等式 a b ab2 2+ ≥2 的特殊形式得到基本不等式，能否根据 不等式的性质导出基本不等式呢？ 　单元教学设计 19 转化思想在不等式教学中的渗透　 253 << 设问 1 ：学生可利用两个实数大小关系的基本事实，用作差法证明上式．教 师在肯定学生的做法之后，给学生简单介绍分析法并且引导学生用分析法写出证明 过程． 设问 2 ：引导学生体会分析法这种证明方法，拿结论去探索结论成立的原因， 也就是从所求（证）的结论出发，通过寻找使结论成立的充分条件，最后归结（转 化）为判定一个显然成立的条件（可以是已知条件、某个定理、已学定义、基本 事实）． 设计意图：引领学生体会分析法常用于寻找解题思路，是一种逆推的方法． 设问 3 ：参考以上证明过程，你能介绍一下分析法的证明思路吗？ 学生可思考讨论后回答．由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件的，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的 推理都用“要证……”“只要证……”“只需证……”的格式，当推导到一个明显成 立的条件之后，指出“显然……成立”． 设计意图：作差法应该是学生最有可能想到的方法，但教师仍需要给学生介 绍“分析法”，即从求证的结论出发，逆向探索不等式成立需具备的充分条件， 其渗透的基本思想：由未知探索需知，由需知推向已知．在数学中，条件探究题 一般用分析法进行逆向推理来寻求解题思路．分析法是学生寻找解题思路的基本 方法． 4. 活动 4：概念的巩固应用 （1）通过几何解释，加深学生的直观理解． 设问 1 ：如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是直径 AB 上一点，设 AC=x，BC=y， 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD，BD，你能利用所学圆的知识得到基本不等 式的几何解释吗？ >> 254 　高中数学单元教学设计　 E D O B A C 师生互动：通过动手画图，学生直观感受到“变”与“不变”．教师引导学 生总结，半径即为 AO=OB= x y+ 2 ，半弦长 CD xy= ，由半径不小于任一半弦 长（基本事实：圆中直径不小于任意一条弦长，当且仅当弦过圆心时，两者相等） 知， x y+ 2 ≥ xy ． 设计意图：学生自己发现基本不等式的几何解释较困难，给出几何图形后， 引导学生先将 xy， x y+ 2 与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在 变化中的大小关系，从而得到基本不等式的几何解释，图形展示可增强学生的视 觉直观效果，这样逐步渗透利用图形直观解决问题的思路． （2）例题讲解，巩固训练． 例 1 ：已知 x > 0 ，求 2x + 1 x 的最小值． 设问 1 ：观察本题要求最小值的代数式的结构特征，能否利用基本不等式求 2x + 1 x 的最小值？ 师生互动：学生讨论思考后回答． 教师总结：本题要求最小值的代数式是和的形式，且 2 2x ⋅ =1 x ，由于 2x + 1 x 表 示的是 2x 与 1 x 的算术平均数的 2 倍，而 2x 与 1 x 的几何平均数 2x ⋅ 1 x 是一个定值， 符合基本不等式要求和的最值需找积的定值的规律，因此可以利用基本不等式求解． 　单元教学设计 19 转化思想在不等式教学中的渗透　 255 << 解： 因 为 x > 0 ， 所 以 2 2 2 2 2x x+ ≥ ⋅ =1 1 x x ， 当 且 仅 当 2x = 1 x ， 即 2 1x x2 = =， 1 2 时，等号成立． 所以所求的最小值是 2 2 ． 设 问 2 ： 在 上 述 解 答 过 程 中， 是 否 必 须 验 证“ 当 且 仅 当 2x = 1 x ， 即 2 1x x2 = =， 1 2 时，等号成立”？ 设问 3 ：当 y0 < 2 2 时，有 2x y+ ≥ 1 x 0 ，这时能否说 y0 ，是 2x + 1 x （ ）x > 0 的最 小值？ 设问 4 ：通过本题的解答，你能说说满足什么条件才能够利用基本不等式求最 小值吗？ 师生互动：学生小组讨论后回答． 教师总结：如果两个正数的积为定值，当这两个数相等时，可以求得它们的和 的最小值． 设计意图：引导学生根据代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问 题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生解决代数式的最值 问题规范过程． （3）基础练习，检测评价． 例 2 ：已知 a b> >0 0， ， ab =1 ，则 a b+ 的最小值为 ． 例 3 ：已知 a b> >0 0， ， a b+ = 2 ，则 ab 的最大值为 ． 例 4 ：已知 0 2< <x ，求 x x(2 )− 的最大值． 设问 1 ：最值的意义是什么？ 设问 2 ：例 4 是例 3 的延伸拓展，能否用例 3 的思路解决例 4 的问题？ 设计意图：通过以上练习，可以帮助学生理解如何直接应用基本不等式解决 问题，设置三道例题，逐步强化基本不等式的应用条件，并由学生发现和总结公 >> 256 　高中数学单元教学设计　 式变形形式，形成解决最值问题的不等式模型，进一步增强学生的建模意识、整 体化归思想意识．由题目出发，总结易错和注意事项，加深学生对于基本不等式 使用条件和使用过程的理解，增强学生的获得感、满足感． （4）构建模型，总结升华． 例 5 ：已知 a > 0 ， b > 0 ． （1）若 ab m= ，求 a b+ 的最小值； （2）若 a b m+ = ，求 ab 的最大值． 师生互动：由教师分析已知条件后，引导学生利用自然语言描述这两个问题， 让学生自己组织语言总结结论．规范书写证明过程后展示学生的解题过程，师生共 同补充完善． 解：（1）因为 a，b 都是正数，所以 a b+ 2 ≥ ab ， 所以 a b m+ ≥2 ，当且仅当 a b m= = 时， a b+ 取得最小值 2 m ． （2）当和 a b+ 等于定值 m 时， ab≤ a b+ 2 = m 2 ，所以 ab≤ m 4 2 ，当且仅当 a b= = m 2 时，积 ab 取得最大值 m 4 2 ． 设问：反思例 5 的解题思路，你能概括用基本不等式可以解决什么样的问 题吗？ 师生互动：学生思考后回答． 教师总结：若两个正数的积为定值，求它们的和的最小值，或者若两个正数的 和为定值，求它们的积的最大值的问题，能够用基本不等式解决． 设计意图：通过解决以上设问，引导学生认识基本不等式“和”与“积”两 类式子之间的转化，归纳和提炼出解决最值问题的思路．定向训练采取“固有模 式识别训练”方法，即训练学生在遇到新问题时，善于观察分析问题，抓主要特 征，进而将其转化为具体的数学模型，精准定位解题思路，选择合适的解题方法 ．特别是积或和为字母常数的形式，注意从具体到抽象，理解字母常数的意义． 　单元教学设计 19 转化思想在不等式教学中的渗透　 257 << 5. 小结及反思 （1）什么是基本不等式？如何推导基本不等式的等价变形形式？ （2）基本不等式的符号表示是什么？如何用图形语言解释？ （3）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要 注意哪些事项？ （4）本节课用到的数学思想方法有哪些？ 师生互动：引导学生自己总结本节课的收获和需要注意的地方．从知识层面和 思想方法层面分别总结本节课的收获． 设计意图：引导学生总结知识和方法技巧，认真梳理课堂内容，形成知识框 架结构和思想方法体系．特别要注意引导学生学会研究一个代数对象由特殊到一 般的研究过程． 反思：本节课是基本不等式的入门课，自然语言、符号语言和图形语言之间的 转化是学生不熟悉的地方，基本不等式的几何解释是需要教师帮助学生突破的难点， 即由符号表示上升到理论特征（学习方法的总结，特别应加强学生的总结概括能力 训练）． 6. 作业 作业 1 ：教材第 48 页习题 2.2 第 1 ～ 2 题． 作业 2 ：证明圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． 设计意图：巩固基础，训练方法，选择性地满足不同认知学生知识和方法层 面的需求，限时训练，提高学生的学习效率和学习质量，从而解释自来水管的横 截面为什么是圆形，而不是正方形的 作业 3 ：已知 x>0，a>0 且 a 为常数，求 2x + a x 的最小值及相应的 x 值． 作业 4 ：已知 0 < <x 1 2 ，求 x x(1 2 )- 的最大值及相应的 x 值． 作业 5 ：已知 a>0，b>0，求 1 ab + a b+ 2 的最小值． >> 258 　高中数学单元教学设计　 设计意图：考查学生利用基本不等式解决简单的最值问题的能力．掌握“配 凑法”的应用，学会 ab与a b+ 2 之间的转化，化“二元”为“一元”．