单元教学设计18 平面向量基本定理及坐标表示大单元-高中数学单元教学设计

>> 230 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 向量是高中数学几何与代数主题的开篇内容．向量既有数的运算属性，又有形 的几何特征．《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》指出：“向量既是 代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．向量是描述直线、 曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具．” 数学必修课程与选修课程中的向量，重在突出几何直观与代数运算之间的融合， 体现向量的工具性和应用价值．向量的应用离不开向量的运算．在本单元中，向量 的运算以两种方式发挥作用：一是显性的，此时向量是一种运算对象，其强大的运 算体系是向量应用性的保障；二是隐性的，此时向量是用代数方法研究几何问题的 工具，以向量为工具对几何对象进行再认识、再研究，可以形成问题解决的新视角、 新方法，使向量的应用价值得以充分体现． 石家庄市第二十二中学  董松艳 单元教学设计 18    平面向量基本定理及坐标表示大单元 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 231 << 平面向量基本定理是向量研究中最具理论价值和实用价值的定理，它承上启下， 在向量运算中发挥着至关重要的核心作用．为了突出定理的基础性地位，将本小节 内容独立成单元进行研究． （二）内容解析 越是基础的东西，越能反映数学本质，统领性越强，越易于形成方法论．平面 向量基本定理揭示了对平面的基础性、结构性的认识，为运用向量法解决几何问题 带来了极大的方便． 1. 单元知识结构 2. 教学内容解析 在新授课阶段，教学聚焦于新知探究和结构初建，具有一定的层次性和线性． （1）知识主线：在单元教学中，第一“明理”，从向量分解的表面现象挖掘出 深刻的数学内涵，由特殊到一般获得定理；第二“论道”，让学生理解运算对象在 不断扩充，运算形式在不断发展，分类构建向量的坐标运算法则，实现“由形到数” 的思维突破；第三“求实”，理解法则是运算的基础，运用法则探索运算思路，获得 运算结果；第四“领悟”，以数辅形，以形助数，构建用向量法解决几何问题的基本 程序，体会向量的工具作用；第五“拓展”，运用类比思想，尝试超前定义空间向量 基本定理及坐标运算，培养学生发散思维和学科创新能力． （2）探究主线：在单元教学中，通过情境创设和问题驱动，引导学生追根溯源， >> 232 　高中数学单元教学设计　 通过作图探究、操作确认、抽象概括、推理论证，层层递进发现定理、应用定理． 在探究活动中，让学生自主发现研究对象、寻找研究路径、总结研究方法、提炼研 究成果，进而积累行为探究和数学思维的活动经验． （3）逻辑主线：用基本定理构建向量代数化的理论基础；将平面向量的坐标表 示及线性运算的坐标表示集中处理，相关性质集中呈现，构建向量坐标化的运算体 系，实现向量的完全代数化；以“用向量法解决平面几何问题”为中心设计教学， 分课时连续、相互支撑，使课堂教学在局部范围内整体性更强，使知识的横纵向联 系更紧密． 3. 教学重点 基于以上分析，本单元的教学重点确定如下：平面向量基本定理的证明、理解 和简单应用；向量运算的坐标表示；用向量法解决简单的几何证明、平行、垂直、 夹角、长度及综合性问题． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）理解平面向量基本定理的意义及作用． （2）会选择恰当的基底表示平面向量． （2）理解平面向量的正交分解及坐标表示． （3）会利用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘、数量积运算． （4）会用坐标表示向量的模长、夹角、共线、垂直的充要条件并能简单应用． （5）能用坐标法解决简单平面几何证明和计算的问题． （6）知识迁移，通过类比引入空间向量及其基本定理，初步发展空间想象能力， 培养化归能力． （7）培养规范表达、严谨的思维品质，积累数学探究经验，发展直观想象、数 学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 233 << （二）目标解析 达成上述目标的标志如下： （1）树立模型意识：善于提取基本图形，能将所求向量放入恰当的三角形、平 行四边形等基本图形中，灵活运用几何法则进行向量的线性运算． （2）树立目标意识：善于选择已知长度和夹角（特别是具有垂直关系）的向量 作为基底表示所求向量，探究解题方向． （3）树立坐标意识：当图形具有对称或直角条件时，善于建立恰当的平面直角 坐标系，借助向量工具将几何元素代数化，通过向量的代数运算解决几何问题． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 第 1 课时：理论奠基—平面向量基本定理的发现和论证，向量分解的简单 应用． 第 2 课时：体系构建—向量加法、减法、数乘、数量积、模长、夹角及平行、 垂直的坐标表示． 第 3，4 课时：综合应用—向量与平面几何、三角函数、不等式的综合应用． （二）教学评价 本单元从以下维度进行教学评价： >> 234 续  表 　高中数学单元教学设计　 评价对象和维度 水平一 水平二 水平三 知识理解 能在作图验证的过程中 直观感知定理的存在性 和唯一性 会 用 规 范 的 数 学 语 言 表 述 定 理， 能 从 多 角 度 理 解 定 理 的 内涵意义 能用符号语言严格推理证 明定理的存在性和唯一性 并推广至空间 知识应用 有目标意识，能规范化 思考．在基础问题中， 能借助基本定理和向量 的线性运算，用已知基 底进行指定向量的分解 能自主选择已知长度 和夹角的向量作为基 底，在叠加图形中， 通过化归，推理论证， 设定合理的解题程序 完成指定向量的分解 形成模型意识，自主确 定运算对象和运算方向， 善于在复杂图形中提取 基本图形，能将多个向 量用同一基底表示并进 行相关运算 运算素养 能根据向量坐标的定义 推 导 向 量 的 坐 标 运 算 法则，能在简单情境中 正确进行向量加法、减 法、数乘、数量积的坐 标运算 能在关联的情境中， 通过建立合理的坐标 系，将几何元素坐标 化，使之成为确定的 运算对象，并能进行 简单的代数相关运算 形成向量法意识，在综 合的情境中，善于构造 运算对象，把几何问题 转化为向量的运算问题， 用程序化的坐标运算解 决相关问题 思维策略 有抽象概括的意识和能 力，能归纳用向量法解 决 几 何 问 题 的“ 三 步 曲”，并能在简单的几何 问题中初步应用 有逻辑推理和数学抽 象能力，善于化归， 由形到数、由数到形， 用几何方法或代数方 法解决与向量有关的 推理和计算问题 在分析解决问题的过程 中，善于分析运算条件、 探究运算方向、选择运算 方法、设计运算程序，算 理准确，运算简洁，策略 优化 四、课时典例分析 第1课时  理论奠基—平面向量基本定理 （一）教学内容 平面向量基本定理的探究、发现、证明及简单应用． 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 235 << （二）教学目标 （1）经历探索和抽象平面向量基本定理的过程，理解定理的意义，发展逻辑推 理素养． （2）会选择恰当的基底表示平面内的向量，能解决简单的平面几何证明问题． （3）体会定理的基础性作用和向量法程序化的特点，优化解题策略． （三）教学重点、难点 教学重点：平面向量基本定理及其应用． 教学难点：平面向量基本定理的探究和证明． （四）教学过程设计 1. 活动 1：情境创设，引入定理 Flash 动画演示：在“贪吃蛇”游戏中，操作“上下左右”四个键，贪吃蛇能够吃到 平面上任意一个位置的食物：当贪吃蛇位于点 A 时，先向右移动 5 格、再向上移动 3 格 就可以吃到点 B 处的食物；先向左移动 2 格、再向下移动 3 格就可以吃到点 C 处的食物． 师生互动：你能从向量角度理解贪吃蛇游戏吗？ 学生解释：将贪吃蛇向四个方向移动 1 格分别看作四个向量 e e e e1 2 3 4， ， ， ，将 贪吃蛇的起始位置到食物所在位置的位移看作一个向量，那么，贪吃蛇沿四个方向 行进就可吃到任何一个位置的食物，这可以理解为“用这四个向量可以表示平面内 的任意向量”，比如  AB = +5 3e e1 2 ，  AC = +2 3 . e e3 4 追问 1 ：这四个向量的个数能减少吗？ 师生互动：这四个向量之间存在明确的关系： e e e e3 1 4 2= − = −， ，所以仅用 e e1 2， 两个互相垂直的向量就可以表示出   AB AC= + = − −5 3 2 3e e e e1 2 1 2， ，因而这四个 向量的个数可以减少． 追问 2 ：这两个互相垂直的向量称为平面内向量的一个基底，基底一定要互相 垂直吗？ >> 236 　高中数学单元教学设计　 师生互动：不需要．比如，将 e2 旋转一定的角度，无论向量  AB 的位置在哪里， 我们都可以通过平行四边形法则，把  AB 用 e e1 2， 表示出来． 追问 3 ：在学习过程中，你遇到过类似的表示吗？ 师生互动：物理中力的分解与贪吃蛇的位移表示类似． 教师提炼：贪吃蛇的位移及力的分解，都可以看作平面向量的分解．平面内的 向量是无穷无尽的，能不能找到几个向量（基底）做“代表”，用它们把平面内所 有向量表示出来？我们多次接触过这种“化繁为简”的思想，比如，用“东南西北” 四个方向来研究所有的方向，用“0 ～ 9”十个数字来表示所有的实数，用有序实数 对（横纵坐标）来表示平面内的所有点等．那么，最少需要找到几个向量做“代表” 才能表示出平面内的所有向量呢？ 设计意图：动画引入，激发兴趣；学科关联，类比迁移；将情境数学化，营 造思维环境． 2. 活动 2：问题驱动，探究定理 如图，已知 e e1 2， 是平面内两个不共线的向量，a 是平面内任一向量， 你能用 e e1 2， 表示向量 a 吗？请尝试操作，并说明你的方法和发现． 学生独立作图，交流展示（如图），探究向量分解的方法，教师巡视． C C N N B O O B A A M M e2 e2 e1 e1 a a a b M M C CN N O OA A B e2 e2 e1 e1 a a c d e1 e2 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 237 << 学生就 a 与 e e1 2， 不同的位置关系下的分解展开探究，获得方法与结论．方法 如下： （1）在平面内任取一点 O，作 OA e OB OC    = = =1 2， ，e a ； （2）过点 C 作直线 OB 的平行线交直线 OA 于点 M，作直线 OA 的平行线交直 线 OB 于点 N，则 OC OM ON    = + ； （3） 由 OM  与 e1 共 线， ON  与 e2 共 线 知， 存 在 实 数 λ λ1 2， ， 使 得 OM ON   = =λ λ1 1 2 2e e， ． 故当 e e1 2， 不共线时，存在实数 λ λ1 2， ，使得 a e e= +λ λ1 1 2 2 师生互动：当 e e1 2， 是平面内两个共线的向量时，上述结论还成立吗？学生分小 组交流、分类讨论，形成如下共识： 当 a 非零且与 e1 ，或 e2 均不共线时，存在 λ2 =0 或 λ1 =0 使结论成立；当 a = 0 时，存在 λ λ1 2= = 0 使结论成立；当 a 与 e e1 2， 均共线时，只能表示一维共线向量， 结论不成立；当 a 与 e e1 2， 均不共线时，结论不成立． 教师点评：向量分解的作图方法相同、运算依据相同、表达形式形同；既关注 一般，又关注特殊． 设计意图：操作探究，关注通法；全面考查，完善思维，验证定理的存在性 和定理成立的条件． 3. 活动 3：抽象概括，归纳定理 基于以上分析，平面内任一向量 a，都可以用形如 a e e= +λ λ1 1 2 2 （ e e1 2， 不共线） 的形式来表示．那么，这种表达形式唯一吗？ 师生互动：证明向量分解的唯一性． 证明：如果向量 a 还可以分解为 a e e= +µ µ1 1 2 2 的形式， 那么 λ λ µ µ1 1 2 2 1 1 2 2e e e e+ = + ，则 (λ µ λ µ1 1 1 2 2 2− + − =)e e( ) 0 ． 因为 e e1 2， 不共线，所以必有 λ µ1 1− = 0 且 λ µ2 2− = 0 ，所以 λ µ1 1= 且 λ µ2 2= ． >> 238 　高中数学单元教学设计　 （假设 λ µ1 1− 与 λ µ2 2− 不全为零，不妨设 λ µ1 1− ≠ 0，则有 e e1 2= λ µ λ µ 2 2 1 1 − − ，故 e e1 2， 共线，这与 e e1 2， 不共线矛盾，故有且只有一对实数 λ λ1 2， ，使得 a e e= +λ λ1 1 2 2 ） 设计意图：学生凭直觉认同表达形式是唯一的，但无法证明结论的正确性． 引导学生转换思维方式，采用反证法进行解释和证明，培养思维的灵活性和严密 的逻辑推理能力． 4. 活动 4：揭示内涵，理解定理 教师利用几何画板动态展示向量的分解过程，帮助学生进一步认知向量分解的 存在性和唯一性，学生尝试用规范的数学语言叙述定理． 平面向量基本定理：如果 e e1 2， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ λ1 2， ，使 a e e= +λ λ1 1 2 2 ． 师生互动：学生用自己的语言表述对定理的理解：任何两个不共线的向量都可 以做基底；基底确定则向量的分解唯一确定，基底变化则分解形式随之而变化；平 面内的所有向量都可以通过同一个基底联系在一起． 教师提炼：选定一个点 A，用向量  AP 可以精准刻画点 A、点 P 的相对位置；取 直线上的定点 A 和直线的一个方向向量 a，借助数乘 λ λa（ ）∈R 就能定性刻画这 条直线；在平面内任取定点 A 和平面的一个基底 a，b，就可以用定点 A 和 λ λ1 2a b+ ( λ λ1 2， ∈R ) 来刻画平面内任意点 P，进而刻画整个平面．至此，平面内的几何元 素都可以用向量来定性刻画和定量表示，都成为可运算的对象．在问题解决过程中， 这种表示发挥着重要的基础性作用，我们称其为平面向量基本定理． 师生互动：你能将定理拓展到空间，得到空间向量基本定理吗？ 学生探究：如果 e1，e2，e3 是空间里三个不共面的向量，那么对于空间里任一 向量 a，有且只有一组有序实数 λ λ λ1 2 3， ， 使得 a e e e= + +λ λ λ1 1 2 2 3 3 ． 设计意图：通过对比向量在一维直线、二维平面、三维空间上的分解，实现 思维的层级跃迁，并初步体会空间向量的分解实质是转化为不同平面内向量的分 解，促进对定理基础性作用的理解． 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 239 << 5. 活动 5：学以致用，巩固定理 例 1 ：如图，向量 OA  ， OB  不共线，且  AP = tAB  ，请你尝试用 OA  ， OB  表示 OP  ． 解：以 { }OA OB   ， 为基底． 因为   AP t AB= ，所以OP OA AP OA t AB OA t OB OA t OA tOB           = + = + = + − = − +( ) (1 ) ． 师生互动：学生独立完成，教师巡视指导．学生体会问题解决的关键是以 { }OA OB   ， 为基底表示 OP  ，进而归纳重要结论：P，A，B 三点共线的充要条件是 OP mOA nOB    = + （m+n=1）． 例 2 ：（1）在 △ABC 中，   AN NC= 1 3 ， P 是 BN 上一点，若    AP AB mAC= + 11 3 ， 则实数 m 的值为 ； （2）已知 P A B C， ， ， 四点共面，若    AP AB AC= +2 1 3 3 ，则 △ABP 与 △ACP 的 面积之比是 ； （3） △ABC 中，   BC BM= 3 ， P 为 AM 上一点，    BP BA BC= + > >λ µ λ µ( 0 0)， ， 则 λ µ 3 1 + 的最小值为 ． 设计意图：强化用基底表征运算对象的意识，结合几何特征探究运算思路， 求得运算结果． 例 3 ：如图，CD 是 △ABC 的中线，AB=2CD．用向量法 证明：ABC 是直角三角形． 师生互动：学生独立探寻解决问题的思路，对有困难的学 生，教师引导其将问题进行分解：应该证明哪两条线段垂直？ 能不能把这两条线段用同一个基底表征出来？怎样选择基底？ 怎样用向量法证明两直线垂直？你还有其他证明方法吗？ 例 4：如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的 中点．探索 AE，BF 有怎样的位置关系，并用向量法证明结论． P O A B C DA B CFD A B E >> 240 　高中数学单元教学设计　 设计意图： （1）引导学生借助向量表征相关的几何元素，将位置关系判断问题转化成向 量代数运算问题． （2）基于任务优选解决问题的策略，对比综合法和向量法，体会用将“数量 积为零，两向量垂直”程序化的方法解决垂直问题更简洁． 6. 小结及反思 师生共同提炼用向量法解决简单几何问题的“三步曲”： 由几何图形到向量 恰当的向量运算 由向量到几何关系 由形 到数 由数 到形 （1）核心知识：平面向量基本定理． （2）核心方法：向量法、归纳法． （3）数学思想：数形结合、化归． （4）核心素养：数学抽象、逻辑推理． 7. 作业 作业 1 ：教材第 27 页，第 1 ～ 3 题． 作业 2 ：教材第 37 页综合运用第 13，15 题． 作业 3 ：△ABC 中， D 为 AB 的中点， E 为 CD 的中点，设  AB = a ，  AC = b ， 用 a，b 表示向量  AE = ． 作 业 4 ： 在 扇 形 OAB 中， ∠ =AOB 60° ， C 为 弧 上 的 一 个 动 点， 若 OC xOA yOB    = + ，则 x y− 的取值范围是 ． 作业 5 ：在直角梯形 ABCD 中， AB CD ， Ð = 90ADC ° ， AB = 3 ， AD = 2 ， E 为 BC 的中点，若   AB AC× = 3 ，则   AE BC× = ． 作业 6 ：已知 △ABC 是边长为 1 的等边三角形，    AP AB AC= + 1 2 l ， λ∈    0，1 3 ，那么下列关于点 P 的说法正确的是 （填序号）． ①点 P 不在 △ABC 以外的区域； 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 241 << ②点 P 的轨迹是一条线段； ③点 P 的轨迹长是 1 3 ； ④点 P 的轨迹长是 1 2 ． 第2课时  体系构建—平面向量运算的坐标表示 （一）教学内容 定义向量的坐标，构建向量的坐标运算体系，并能简单应用． （二）教学过程设计 1. 活动 1：问题驱动，理性思考 给定平面内两个不共线的向量 e1，e2，由平面向量基本定理知，平面内任意向量 a  ，均可以表示为 a e e= +λ λ1 1 2 2 ，能不能用一个更为简洁的基底来研究所有的向量呢？ 师生互动： （1）选取互相垂直的向量作为基底（给出向量正交分解、正交基底的概念）． （2）选取互相垂直的单位向量作为基底（给出单位正交基底的概念）． 设计意图：温故引新，直奔主题，由一般到特殊，明确探究方向． 2. 活动 2：操作探究，挖掘内涵 将图中各向量以单位正交向量 e1，e2 为基底进行正交分解． e2 a=3e1 2e2 b= 2e1 3e2 c=2e1 0e2 d=0e1 2e2 e2 e2e1 e1 e2 e1 e1 a b c d >> 242 　高中数学单元教学设计　 师生互动：学生在学案上作图，操作探究．师生共同梳理得出结论：如果将单 位正交基底 {e1，e2} 放入平面直角坐标系中，将其方向分别指向 x 轴、y 轴正方向， 类比点的坐标，可以定义向量的坐标． 设计意图：动手操作，理性思考．由表及里，发现共性；由形到数，挖掘内 涵．至此，为定义向量的坐标做足了铺垫，向量的坐标呼之欲出，向量的代数化 近在咫尺． 3. 活动 3：抽象概括，定义坐标 a iO j x y 如图，在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取 {i，j} 作为基底．对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知， 有且只有一对实数 x，y，使得 a i j= +x y ，我们把有序数对（x，y）叫做向量 a 的坐标， 记作 a =（ ， ）x y ，此式也叫做向量 a 的坐标表示． 显然， i j= = =(1 0) (0,1) (0 0).， ， ， ，0 设计意图：理解向量坐标定义的逻辑性、合理性和简约性．至此，向量实现 了“量化”表示． 师生互动：探究向量的坐标形式与点的坐标之间的内在联系．学生独立思考， 小组交流、论证，得到以下结论： 结论 1 ：若点 P （ x , y ），则 OP  =（ x ， y ）． 结论 2 ：若 A x y B x y（ ， ）， （ ， ）1 1 2 2 ，则  AB =（ x x2 1− ， y y2 1− ）． 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 243 << 设计意图： （1）数形结合，紧扣定义，结合图形之间的几何关系求向量的坐标，注意结 论之间的联系． （2）体会平面内相等向量对基底的分解方式相同及“相等向量的坐标对应相 等”的思想． 4. 活动 4 例 1 ：已知 a =（1，3）， b =（2，1），计算 a b+ ， a b− ，2a． 设计意图：多维度切入，原理清晰，策略优化，为推理一般性运算法则提供 直接经验． 5. 活动 5 设 a =（ x1 ， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ），探究向量运算的坐标表示形式并说明方法 和依据． 师生互动：学生独立探究，演算论证，用文字语言叙述其内涵；教师通过实物 投影展示学生的探究过程，板书向量坐标运算的法则和性质：①向量加法； ②向量 减法；③向量数乘： λ λ λa x y= ( )， ；④向量的数量积；⑤模长公式；⑥向量的夹 角公式；⑦向量平行的充要条件；⑧向量垂直的充要条件；⑨向量相等的充要条件 （具体内容略），师生共同构建的向量的运算体系结构图如下： 代数 向量代数化 基底运算 方程与函数思想 几何 坐标运算 向量加、减法的几何意义 数乘的几何意义 数量积的几何意义 长度的计算、平行的判断 夹角和投影的计算、垂直的判断 三角形、平行四边形法则 常用性质 >> 244 　高中数学单元教学设计　 设计意图：让学生一气呵成自主探究向量坐标运算的法则，模长、夹角、平 行和垂直充要条件的坐标表示，体会定理和定义的作用，展现学生思维的创造 性，体现大单元教学的整体性、逻辑性和深入性．至此，实现了向量的完全“代 数化”． 师生互动：设 a b= =(x y z x y z1 1 1 2 2 2， ， ， ， ，) ( )，请你尝试探究空间向量运算的 坐标表示． 设计意图：由平面到空间，由二维到三维，类比探究，超前学习，培养学生 的创新意识和能力． 6. 活动 6 例 2 ：（1） 基 础 练 习： 已 知 平 面 向 量 a =（ ， ）2 4 ， b = −（ ， ）1 2 ， 则 | |a b− = ；若 （ ） （ ）a b a b+ −λ  ，则 λ = ；若 （ ） （ ）a b a b+ ⊥ +λ µ ，则 λ µ， 满足的关系是 ；若 c a a b b= − ⋅（ ） ，则 c = ． （2）素养提升：已知向量 OA  =（2，3），把 OA  绕点 O 逆时针旋转 120º 得到 OA  1 ，求 OA  1 的坐标． 设计意图： （1）体会向量坐标运算体系“有效能算”的逻辑性、程序性和优越性，发展 数学运算核心素养． （2）在向量旋转问题中，将“向量与基底”同时旋转，由旋转前后向量与基 底的相对位置不变知，对基底的分解方式不变，妙用整体思想，展现平面向量基 本定理在问题解决过程中的基础性作用和关键性作用． 7. 小结及反思 （1）一个概念：平面向量的坐标． （2）九个法则：向量的坐标运算及性质表示． 　单元教学设计 18 平面向量基本定理及坐标表示大单元　 245 << （3）三种思想：特殊与一般、数形结合、化归思想． （4）四种素养：几何直观、数学抽象、逻辑推理、数学运算． 8. 作业 作业 1 ：教材第 33 页练习第 1 ～ 5 题． 作业 2 ：教材第 37 页综合运用． 作业 3 ： 已 知 平 面 向 量 a b a b b b= = + ⋅ =（ ， ）， （， ），（ ）m m2 1 | |2 ， 则 实 数 m = ． 作业 4 ：已知向量 a b c= = =（， ）， （ ，）， （ ， ）1 2 3 1 1λ ，若 a b− 2 与 c 共线，则 a 在 c 方向上的投影向量的坐标为 ． 作业 5 ：设 a，b，c 是 单 位 向 量， 且 a b⊥ ， 则 （ ）（ ）a c b c− ⋅ − 的 最 小 值 为 ． 作业 6 ：在 △ABC 中， ∠ =A 90° ， AB AC= = 4 ，点 M 为 AC 的中点，点 P 在边 BC 上运动，则   AP MP⋅ 的最小值为 ．