单元教学设计16 基于特殊与一般思想方法的大单元-高中数学单元教学设计

203 << 一、单元内容及其解析 特殊与一般的思想方法体现在高中数学各个知识主线中，包括函数、几何与代 数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，在教学中，以函数主线 为载体渗透特殊与一般的思想方法，能加强知识之间的联系，有效形成知识网络， 避免“只见树木，不见森林”．因此，本单元教学设计以函数主线为例，探究特殊与 一般的思想方法在函数主线中的应用． （一）单元内容 （1）在必修第一册第三章函数的概念形成过程中，利用四个特殊的实际问题， 抽象归纳出函数的一般概念，然后用函数的定义描述一次函数、二次函数和反比例 函数． （2）在必修第一册第三章函数的基本性质中，通过观察三个特殊函数的图象， 归纳总结出函数的单调性、最大（小）值和奇偶性． 石家庄市藁城区第一中学  杨伟力 单元教学设计 16    基于特殊与一般思想方法的大单元 >> 204 　高中数学单元教学设计　 （3）在必修第一册第三章幂函数的图象与性质的研究中，通过画出五个特殊函 数的图象，归纳总结出幂函数的图象与性质． （4）必修第一册第四章指数与对数、指数函数和对数函数，都是通过具体的实 例抽象形成一般概念的． （5）必修第一册第四章“4.2.2 指数函数的图象和性质”及“4.4.2 对数函数的图 象和性质”，讲解函数性质的具体应用，运用由特殊到一般、函数与方程的思想方法 解读不同函数增长的差异，以及函数的零点与方程的解． （6）必修第一册第五章三角函数概念、图象与性质的内容依然是由特殊例子抽 象出一般的概念和规律，其中对“5.6 函数 y A x= +sin( )ω ϕ ”中的图象的平移、伸缩 变换的研究，通过几个特殊数据抽象到一般结论． （7）选择性必修第二册第四章数列部分，通过几个特殊的例子，抽象归纳出数 列、等差数列、等比数列的一般概念，由现实的案例归纳推理出等差数列、等比数 列的前 n 项和公式． （8）在选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”中，5.1.1 以跳水 运动员的瞬时速度和抛物线的切线斜率引出导数的概念及几何意义，由跳水问题引 出用导数研究函数单调性的一般性． （二）内容解析 高中数学始终坚持“归纳式”呈现内容，其目的是落实以数学知识发生发展过 程为载体进行“思维的教学”这一数学课程的核心任务，使学生不仅学会知识，还 受到研究方法的训练从而培养学生的思维能力，逐步发展学生独立解决问题的能力， 实际上，这就是在进行“数学思维方式”的教学，也就是把数学核心素养落实到知 识的学习过程中，所以，课堂教学一定要体现教材的这一编写意图，为学生安排一 个“具体实例—观察、实验—比较、分类—分析、综合—抽象、概括”的过程，使 学生有机会通过自己的类比、归纳而得出一般规律，获得函数的概念与性质． （1）概念：能根据函数的一般概念，从具体问题中抽象出正比例函数、反比例 函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等特殊函数 模型，能将从观察特殊函数值表现的特征发现函数的单调性与奇偶性的研究过程， 运用到研究事物发展的一般规律上去． （2）图象与性质：对于函数的图象与性质，要用代数运算和函数图象研究函数 　单元教学设计 16 基于特殊与一般思想方法的大单元　 205 << 的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质．这里既要注意体现研究数学性质的 一般思路，又要注意函数性质的特殊性—变化中的规律性、不变性．在研究方法 上，加强了通过代数运算和图象直观揭示函数性质的引导和明示，特别是在单调性 的研究中，构建了一个从具体到抽象、从特殊到一般的过程，引导学生归纳概括出 用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，从而为提升学生的数学运算、直观想象、 数学抽象等核心素养奠定了基础． （3）数列：能由一些具体实例归纳出等差数列、等比数列的概念；能在具体的 情境中，根据数列的前几项猜想、归纳出数列的通项公式或求和公式，根据部分项 的特征与性质归纳出数列一般项的特征与性质；能将研究特殊数列的思想方法推广 到一般数列中，并能体会“归纳—猜想—验证”在数学发现中的重要作用；能用演 绎的思想方法，将一般情形下的数列的性质、结论、方法应用到特定的数列之中． （4）一元函数的导数的概念：能通过平均速度的极限是瞬时速度，函数图象的 割线斜率的极限是切线的斜率，抽象出函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，并 进一步抽象出导数的概念． 基于上述分析，本单元的教学难点如下： （1）从感性认识到理性认识：高中给出函数的概念，将学生对基本函数的概念 从感性认识上升至理性认识，用抽象的数学符号来表示和研究，对学生是有一定难 度的． （2）基本函数的图象与性质：由于学生作图能力的不足，函数本身的抽象，学 生很难对函数的性质理解透彻，灵活运用更具有一定的难度． （3）导数概念的理解：导数的概念是利用极限的思想引导学生理解的，这对学 生来说有一定的难度，从“定量”的角度刻画函数的变化对学生理解有一定的挑战． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）理解特殊与一般的思想方法在函数主线中的应用． >> 206 　高中数学单元教学设计　 （2）在函数授课中有意识地渗透特殊与一般的思想方法，提升学生的数学抽象 素养，培养学生的数学思维和推理论证能力． （二）目标解析 （1）从具体实例中抽象出函数概念，从一些特殊函数值所具有的特征发现函数 的性质，在具体情境中抽象出熟悉的函数模型等，都是学生体会数学抽象的重要过 程，因此，在此基础上让学生观察、发现、归纳、概括，既是学生进行数学抽象的 思维过程，也是对学生数学抽象能力的评价过程． （2）以函数概念和性质的基本问题为载体，重视对思想方法的评价．注重结合 发现函数性质和运用函数模型刻画现实世界事物的变化规律，运用函数解决实际问 题等具体问题情境，突出对函数与方程、数形结合、分类与整合、特殊与一般等数 学思想方法的评价． （3）能在具体情境中抽象出指数、对数、指数函数、对数函数、函数零点等概 念和性质；能通过特殊到一般、具体到抽象的方法概括出指数函数和对数函数的概 念、图象和性质以及它们之间的逻辑关系；能够在实际情境中抽象出有关指数函数 和对数函数的问题，并加以解决． （4）能在具体情境中抽象出三角函数的概念，能利用特殊到一般、具体到抽象 的方法概括出三角函数的定义、图象和性质以及它们之间的逻辑关系，能概括出函 数 y A x= +sin( )ω ϕ 的图象特征，及其与正弦函数图象之间的关系；能在熟悉的情境 或新的情境中抽象出有关三角函数的问题，并加以解决． （5）重视对思想方法的评价，以数列的概念、等差数列和等比数列的基本问题 为载体，突出评价学生用函数的观点看数列的概念、发现和理解数列的性质、认识 数列的应用等；注重结合具体问题情境，通过对研究等差数列和等比数列的类比方 法和多种思维方式的评价，融入对函数与方程、特殊与一般、化归等数学思想方法 的评价，强调研究数列的性质或解决数列问题的基本量思想和通性通法，淡化特殊 的运算技巧． （6）重视对学生的抽象概括能力和数学思维品质的评价．例如，学生能否根据 具体实例归纳并抽象出导数的概念，领悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维 规律，理解一元函数的导数在函数单调性研究中的依据，熟练掌握利用一元函数的 导数研究函数单调性的具体步骤． 　单元教学设计 16 基于特殊与一般思想方法的大单元　 207 << 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本大单元教学共安排 12 课时． （二）教学评价 1. 函数的概念 第 1 节：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数的概念，教学评价：学生 能回归函数的定义，运用集合元素对应的观点理解这四类常见的基本函数的概念． 第 2 课时：指数、对数的概念，教学评价：学生如何理解无理指数幂，如何从 运算的角度理解对数的概念，是本节课的教学难点． 第 3 课时：指数函数、对数函数的概念，教学评价：学生能通过具体的实例回 归函数的定义，运用集合元素对应的观点理解这两类基本函数的概念． 第 4 课时：三角函数的概念，教学评价：学生能利用角的终边与单位圆的交点 坐标和角形成的对应关系理解三角函数的概念． 2. 函数的图象与性质 第 1 课时：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数的图象与性质，教学评 价：学生能通过熟悉的函数图象掌握这四类基本函数的各种性质． 第 2 课时：指数函数与对数函数的图象与性质，教学评价：学生能通过具体的 指数函数和对数图象归纳总结出这两类基本函数的各种性质． 第 3 课时：不同函数增长的差异，教学评价：学生能利用函数图象和表格，通 过几个具体函数增长变化的比较，理解三类不同函数增长的差异． >> 208 　高中数学单元教学设计　 第 4 课时：三角函数的图象与性质，教学评价：学生已经熟悉几类基本函数的 图象与性质，而三角函数图象与性质的重点是理解函数的周期性，体会用整体代换 的思想研究函数 y A x= +sin( )ω ϕ 的图象与性质． 3. 数列 第 1 课时：数列、等差数列、等比数列的概念，教学评价：学生能从函数的角 度理解数列的概念及性质，会运用累加法和累乘法理解等差数列、等比数列的概念． 第 2 课时：等差数列、等比数列的前 n 项和，教学评价：让学生经历利用等差 数列的性质推导出“倒序相加法” 的求和过程，通过对等比数列前 n 项和公式的观 察，利用等比数列的定义分析掌握求等比数列前 n 项和的“错位相减法”． 4. 一元函数的导数 第 1 课时：导数的概念，教学评价：必须让学生充分经历导数的概念及其几何 意义的生成过程，通过典型丰富的实例抽象概括出导数的概念和一般切线的概念， 进而得出导数的几何意义，至少让学生经历四次由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程． 第 2 课时：用导数研究函数单调性的一般步骤，教学评价：应强调利用导数研 究函数的单调性、极值、最大（小）值等性质的一般步骤，体现程序化思想，由此 让学生体会导数是研究函数性质的基本工具，是普适性方法． 四、课时典例分析 第3课时  不同函数增长的差异 （一）教学内容 不同函数增长的差异． 　单元教学设计 16 基于特殊与一般思想方法的大单元　 209 << （二）教学目标 （1）能借助信息技术，利用函数图象和表格，对三类常见增长类型的函数增长 的情况进行比较，体会它们增长的差异． （2）体验指数函数、一次函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实 际问题中的作用，体会数学的情感价值． （3）培养学生由特殊到一般、由具体到抽象的归纳推理能力、数据分析能力和 科学探索的精神，渗透数学的核心素养． （三）教学重点、难点 教学重点：认识指数函数、一次函数、对数函数增长的差异． 教学难点：比较指数函数、一次函数、对数函数增长的差异． （四）教学过程设计 1. 活动 1：创设情境，激发兴趣 请大家计算三个式子“ 1.01365 ≈， 1365 =， 0.99365 ≈”的结果，我们发现虽然底 数只差 0.01，但是结果的差距可真大呀！所以我们经常用这组数据来激励学生努 力学习，“积跬步以致千里，积怠惰以致深渊”，那我们就从这节课开始，每天多 努力一点儿，实现人生的超越．下面学习今天的课题：在区间 （ ， ）0 + ∞ 上，函数 y a a y kx k y x a= > = > = >（ ）， （ ）， （ ）x 1 0 log 1a 增长的差异． 2. 活动 2：复习旧知，提出问题 （1）如图①，当 a >1 时，指数函数 y a= x 是单调 函数，当 x > 0 时，底数 a 越 大，函数值的增长就越 ； （2）如图②，当 x > 0 ， k > 0 时，一次函数 y kx= 是单调增函数， k 越 ，函数 值的增长就越快； （3）如图③，当 a >1 时，对数函数 y x= loga 是单调 函数，当 x >1 时，底数 >> 210 　高中数学单元教学设计　 a 越 ，函数值的增长就越快． 通过观察可以看到，这三类函数的增长是有差异的，那么这种差异的具体情况 到底怎样呢？ 1 1 2 2 3 3 O y x 3 2 1 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 O y x 2 1 1 2 3 y=2x y=3x 1 1 2 2 3 3 O y x 3 2 1 1 2 3 y=4x y=2x y=log 3 x y=log 2 x a b c 3. 活动 3：实验探究，揭示真相 探究 1 ：下面我们先来研究指数函数 y a a= >（ ）x 1 与一次函数 y kx k= >（ ）0 在 定义域内增长方式的差异，我们采用由特殊到一般、由具体到抽象的研究方法． 以函数 y = 2x 与 y x= 2 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异． 分析： （1）在区间 （ ， ）−∞ 0 上，指数函数 y = 2x 的值恒大于 0，一次函数 y x= 2 的值 恒小于 0，所以我们重点研究在区间 （ ， ）0 + ∞ 上它们的增长差异． （2）借助信息技术，列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作图如下： x y = 2x y x= 2 0.50.5 1 1 1 2 3 4 5 6 1.5 2 2.5 3 3.5O y x 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 … … … （3）观察两个函数图象及其增长方式，得出如下结论： 结论 1 ：函数 y = 2x 与 y x= 2 的图象有两个交点（1，2）和（2，4）； 　单元教学设计 16 基于特殊与一般思想方法的大单元　 211 << 结论 2 ：在区间（0，1）上，函数 y = 2x 的图象位于函数 y x= 2 的图象之上； 结论 3 ：在区间（1，2）上，函数 y = 2x 的图象位于函数 y x= 2 的图象之下； 结论 4 ：在区间（2，3）上，函数 y = 2x 的图象位于函数 y x= 2 的图象之上． 综上，虽然函数 y = 2x 与 y x= 2 都是单调增函数，但是它们的增长速度不同，函 数 y x= 2 的增长速度不变，但是函数 y = 2x 的增长速度在改变，先慢后快． 请大家进一步思考在更大的范围内两个函数图象的关系． 思考：如图，随着自变量取值越来越大，函数 y = 2x 的图象几乎与 x 轴垂直，函 数值快速增长，函数 y x= 2 的增长速度保持不变，和函数 y = 2x 的增长速度相比微不 足道． 200 5 10 15 20 400 600 O y x 800 1 000 总结 1 ：函数 y = 2x 与 y x= 2 在 （ ， ）0 + ∞ 上增长快慢的不同如下： 虽然函数 y = 2x 与 y x= 2 在 （ ， ）0 + ∞ 上都是单调增函数，但它们的增长速度不 同． 随着 x 的增大，函数 y = 2x 的增长速度越来越快，会超过并远远大于函数 y x= 2 的增长速度．尽管在 x 的一定范围内， 2 2x < x ，但由于函数 y = 2x 的增长最终会快于 函数 y x= 2 的增长，因此，总会存在一个 x0 ，当 x x> 0 时，恒有 2 2 x > x ． 我们继续研究指数函数、一次函数增长差异的一般结论：指数函数的底数变小 增长速度变慢，一次函数的系数变大增长速度变快，这样还会出现指数函数增长超 越一次函数增长的情况吗？举个例子：我们将指数函数的底数 2 换成 1．01，将一 次函数的系数 2 换成 10，来验证一下． 教师利用几何画板在同一直角坐标系中画出函数 y =1.01x ， y x=10 的图象，通 过观察感受指数函数、一次函数增长的差异从而验证结论． >> 212 　高中数学单元教学设计　 学习小组自主合作探究：在 a >1 的前提下，让指数函数的底数继续变小，在 k > 0 的前提下，让一次函数的系数继续变大，无论 k 比 a 大多少，可以任意赋值， 四人一组，设定实验方案，两人计算，两人记录并比较数据变化情况，验证猜想是 否依然成立． 学生可以利用计算器计算函数值，完善表格里的数据． 自变量x 函数值（保留两位小数） 指数函数y = 一次函数y = 通过实验探究，你能总结出一般性的结论吗？（学生回答） 总结 2 ：一般地，指数函数 y a a= >（ ）x 1 与一次函数 y kx k= >（ ）0 的增长差异 都与上述情况类似．即使 k 远远大于 a ，指数函数 y a a= >（ ）x 1 的值虽然在 x 的一定 变化范围内会小于一次函数 y kx k= >（ ）0 的值，但总会存在一个 x0 ，当 x x> 0 时，指 数函数 y a a= >（ ）x 1 的增长速度会远远超过一次函数 y kx k= >（ ）0 的增长速度． 设计意图：学习小组自主合作探究，放开学生思维，让学生任意赋值探讨， 给足学生研究的时间，让学生真正体会“无论k比a大多少，尽管在x的一定变化 范围内，ax会小于kx，但由于 ax 的增长快于 kx 的增长，因此总存在一个 x0，当 x x> 0时，就会有a kx x > ”这句话的意义，这不仅充分体现了由特殊到一般、由具 体到抽象的归纳推理的数学思想，还体现了数形结合、函数与方程的思想． 探究 2 ：下面我们再来研究对数函数 y x= loga （a>1）与一次函数 y kx= （k>0） 增长方式的差异． 以函数 y x= lg 与 y x= 10 1 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异． 分析：借助信息技术，列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作图如下： 　单元教学设计 16 基于特殊与一般思想方法的大单元　 213 << x y x= lg y x= 10 1 1 10 20 30 40 50 60 2 3 4 5 6 O y x 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 … … … 观察两个函数图象及其增长方式，得出如下结论： 总结 3 ：虽然函数 y x= lg 与 y x= 10 1 在 （ ， ）0 + ∞ 上都是单调增函数，但它们的 增长速度存在明显的差异，函数 y x= 10 1 的增长速度不变，函数 y x= lg 的增长速度在 变化．随着 x 的增大，函数 y x= 10 1 的图象离 x 轴越来越远，而函数 y x= lg 的图象越 来越平缓，就像与 x 轴平行一样． 我们继续研究一次函数、对数函数增长差异的一般结论：对数函数的底数变小 增长速度变快，一次函数的系数变小增长速度变慢，这样还会出现一次函数增长超 越对数函数增长的情况吗？举个例子：我们将对数函数的底数 10 换成 1.5，将一次 函数的系数 2 换成 0.01，来验证一下． 教师利用几何画板在同一直角坐标系中画出函数 y x= log1.5 ， y x= 0.01 的图象， 通过观察感受对数函数、一次函数增长的差异从而验证结论． 学习小组自主合作探究：在 a >1 的前提下，让对数函数的底数继续变小，在 k > 0 的前提下，让一次函数的系数继续变小，无论 a 比 k 大多少，可以任意赋值， 四人一组，设定实验方案，两人计算，两人记录并比较数据变化情况，验证猜想是 否依然成立． 学生可以利用计算器计算函数值，完善表格里的数据． 自变量x 函数值（保留两位小数） 对数函数y = 一次函数y = >> 214 续  表 　高中数学单元教学设计　 自变量x 函数值（保留两位小数） 对数函数y = 一次函数y = 通过实验探究，你能总结出一般性的结论吗？（学生回答） 总结 4 ：对于对数函数 y x a= >log 1a （ ） 和一次函数 y kx k= >（ ）0 ，在区间 （ ， ）0 + ∞ 上，随着 x 的增长，对数函数 y x= loga （a>1）增长得越来越慢，其图 象就像渐渐地与 x 轴平行一样，尽管在 x 的一定变化范围内， loga x 可能会大于 kx，但由于 loga x 的增长慢于 kx 的增长，因此总存在一个 x0 ，当 x x> 0 时，就会 有 loga x kx< ． 例 1 ：已知函数 f x x( ) lg= ， g x x( ) 0.3 1= − 的图象如图所示． O y xx2 C2 C1 x1 （1）试根据函数的增长差异指出曲线 C1 ， C2 分别对应的函数； （2）比较两个函数的增长差异（以两个函数图象交点为分界点，对 f x（ ） ， g x（ ） 的大小进行比较）． 设计意图：通过类比推理，由具体到抽象探究，任意赋值画图，利用由特殊 到一般、数形结合、函数与方程的数学思想，让学生更清楚地总结出结论：尽管 在 x 的一定变化范围内，loga x可能会大于kx，但由于loga x的增长慢于 kx 的增长， 因此总存在一个x0，当x x> 0时，就会有loga x kx< ． 探究 3 ：类比上述过程探究指数函数 y a= x （a>1）、一次函数 y kx= （k>0）和对 数函数 y x= loga （a>1）的函数增长差异． （1）画出指数函数 y = 2x 、一次函数 y x= 2 和对数函数 y x= lg 的图象，并比较它 　单元教学设计 16 基于特殊与一般思想方法的大单元　 215 << 们的增长差异：随着 x 值的增大，对数函数 y x= lg 的增长速度越来越慢，一次函数 y x= 2 的增长速度保持不变，指数函数 y = 2x 的增长速度越来越快，当 x < 2 时，函 数 y = 2x 和 y x= 2 的增长快慢各有千秋，当 x > 2 时，函数 y = 2x 的增长超越了函数 y x= 2 的增长． （2）试着概括指数函数 y a a= >（ ）x 1 、一次函数 y kx k= >（ ）0 和对数函数 y x a= >log 1a （ ） 的 增 长 差 异： 在 区 间 （ ， ）0 + ∞ 上， 尽 管 函 数 y a a= >（ ） x 1 ， y kx k= >（ ）0 和 y x a= >log 1a （ ） 都是单调增函数，但它们的增长速度不同，而且不 在同一个“档次”上，随着 x 的增大，函数 y a a= >（ ）x 1 的增长速度越来越快，会超 过并远远大于函数 y kx k= >（ ）0 的增长速度，而函数 y x a= >log 1a （ ） 的增长速度则 会越来越慢，因此，总存在一个 x0 ，当 x x> 0 时，就有 loga x kx a< < x ． （3）讨论交流“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的含义． ①指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像 与 x 轴垂直一样； ②直线上升：增长速度不变，是一个固定的值； ③对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与 x 轴平行一样． 例 2 ：下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是 （　　） A. y = ex B. y x= ln C. y x= 2 D. y = e−x 4. 小结及反思 让学生谈谈本节课的收获，用自己的语言归纳，教师引导． （1）知识层面：由特殊到一般、由具体到抽象研究了指数函数 y a a= >x ( 1) 、一 次函数 y kx k= >( 0) 、对数函数 y x a= >log 1a ( )在定义域上的不同增长方式． （2）能力层面：以后会经常用到“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”，把握 了不同函数增长方式的差异，就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模 型刻画现实问题的变化规律，学以致用． 设计意图：提炼重点，画龙点睛． >> 216 　高中数学单元教学设计　 对本节课教学设计的进一步思考：对于三类特殊函数的处理，能不能直接以问 题的形式呈现，让学生讨论解决，以充分体现“先学后教，以学定教”的理念，充 分调动学生学习的积极主动性． 本节课运用数形结合、类比推理、由特殊到一般、函数与方程等数学思想，培 养了学生由具体到抽象的归纳推理能力、数据分析能力、科学探索的精神，渗透了 数学学科的核心素养． 5．作业 作业：教材第 139 页练习第 1 ～ 4 题．