单元教学设计15 一元二次函数、方程和不等式大单元-高中数学单元教学设计

>> 188 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 函数主线，作为高中数学的四大主线之一，不只是函数的概念与性质以及各种 具体的函数，还是一种函数观点，涉及用函数的观点去看方程、不等式．因此不等 式内容不再是独立的知识板块，而是作为高中数学学习的预备知识，放在学习完集 合之后、学习函数之前进行学习．在初中阶段，学生学过等式的性质和不等式的基 本性质，在高中阶段学生再次深入学习，以完成初高中数学学习的过渡，为学生整 个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备． （二）内容解析 在“函数的观点”下，我们可以通过函数把等式与不等式联系在一起，此时学 石家庄市第十五中学  李会金 单元教学设计 15    一元二次函数、方程和不等式大单元 　单元教学设计 15 一元二次函数、方程和不等式大单元　 189 << 生还没学习函数，对函数的认识只有运动观点下变量说的定义方式，仅有一次、二 次、反比例函数的知识储备．在初中学生学过用一次函数的观点看一次方程与一次 不等式，加上学生的思维还处在以具体形象思维为主的阶段，所以在预备知识部分， 我们是以具体的二次函数、一元二次方程和一元二次不等式来进行研究的，这可以 让学生学习如何使用函数的观点看方程与不等式，体会数学的整体性与严谨性，感 悟函数的重要性，形成函数的观点，体会“函数观点”的含义．而不等式的变形离 不开等式的性质与不等式的性质，在解决最大值或最小值的实际问题时，基本不等 式这一工具常常会被用到，于是将这一单元分成两个小单元：一个是相等关系与不 等关系，一个是从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式． 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》认为相等关系、不等关系 是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．等式的性质与不等式的 性质是解决不等问题的理论依据，也是证明函数单调性和基本不等式的依据．在高 中阶段学习的不等式的性质，又是在初中阶段学过的等式的性质、不等式的性质的 延续，高中不再只是通过直观感知操作验证，更侧重从思想方法的角度研究问题， 让学生从中感悟高中阶段数学的课程特征，这对学生形成“函数的观点”，体会数学 的整体性与严谨性，感悟函数的重要性，体验数学的思考方式，提升发现和提出问 题、分析和解决问题的能力，有着重要的作用． 在相等关系与不等关系这一小单元中，内容包括等式与不等式的性质、基本不 等式．等式的性质与不等式的性质是将来分析与解决问题的运算基础，基本不等式 是解决很多最大值或最小值问题的基本工具，所以这一小单元的内容在数学中是非 常重要的基础内容．本小单元的教学重点是证明不等式的性质，以及发现并证明基 本不等式． 在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式这一小单元中，内容包括从函 数观点看一元二次方程和从函数观点看一元二次不等式．函数的观点是指运动变化 的观点、联系的观点、对应思想、数形结合思想等等．这是用数学的眼光看世界， 用数学的方法认识世界，用数学的语言表达世界的具体体现，是一种联系的辩证观， 数与形统一的整体观，也是分析变量问题经常使用的思想．因此这对学生体会数学 的整体性，掌握研究数学问题的思想方法有着重要作用．本小单元的教学重点是理 解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，掌握一元二次不等式的解法． 从整体上看，本单元的知识结构如图所示． >> 190 　高中数学单元教学设计　 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 1. 相等关系与不等关系小单元的学习目标 （1）从情境中理解不等式的概念，理解等式和不等式的共性与差异．通过梳理 等式的性质，用类比的学习方法掌握不等式的性质，从而发展学生的数学抽象素养． （2）证明不等式的性质，证明并掌握基本不等式，渗透研究数学对象的基本路 径，以发展学生的逻辑推理素养． （3）通过学习能掌握基本不等式，能在具体实例中使用基本不等式解决简单的 最大值或最小值问题，发展学生的数学建模素养． 教学重点：发现、猜想并证明、掌握不等式的性质，渗透研究数学对象的基本 路径，掌握基本不等式． 2. 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式小单元的学习目标 （1）类比初中学过的从一次函数的图象看一元一次方程的方法，学会结合一元 二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点 与方程根的关系，发展学生的直观想象素养． （2）通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的 现实意义，能够借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，并能够用集合表示 一元二次不等式的解集，发展学生的数学抽象与数学运算素养． 　单元教学设计 15 一元二次函数、方程和不等式大单元　 191 << （3）借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系， 并学会应用函数的观点分析具体问题． 教学重点：理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，掌握一元 二次不等式的解法． （二）目标解析 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》提出相等关系与不等关系 的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等 式．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习，可以帮助学生用一元二 次函数认识一元二次方程和一元二次不等式．通过梳理初中数学的相关内容，理解 函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性． 相等关系和不等关系在现实中处处存在，要让学生认识到这一点，可以给学生 提供生活中的情境，让学生从情境中理解不等式的概念，而不是由教师告诉学生不 等式的概念；不等式性质的学习过程则要关注学生学习路径的形成，如何类比等式 的性质，不同的学习方式对学生的学习能力的发展是不一样的，这个类比的过程可 以从学生自己梳理等式的性质入手，学生自主类比猜想验证可以更有效地发展数学 抽象素养，这样在证明不等式性质的过程中就能够有效地渗透研究数学对象的基本 路径，发展学生的逻辑推理素养． 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式这一单元，同样地，也是类比从 一次函数的观点看一元一次方程与一元一次不等式的研究方法，学生在初中学习时， 对这种研究方法的认识很浅，此时教师需要引导学生思考一次函数与一元一次方程 及一元一次不等式之间的关系，帮助学生熟悉从函数的观点看方程与不等式，再从 具体的情境中抽象出一元二次不等式求解问题，使得从函数的观点看方程与不等式 的引入自然而不突兀． >> 192 　高中数学单元教学设计　 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 在初中，学生已经学过等式的性质、一元一次不等式的解法与一部分不等式的 性质．但是初中阶段的数学知识相对具体，更多的是通过实验观察，得出结论，而 高中阶段的数学知识相对抽象，更注重知识之间的逻辑关系，更突出逻辑推理过程 中的数学思想，学生在后续学习中，更注重运用基本知识与数学思想分析问题，同 时在这个过程中学生能够感悟数学的整体性与连续性．当学习这一部分内容时，学 生进入高中的时间不长，抽象思维的能力不够强，对初高中数学学习内容差异尚没 有足够的认识，高中数学学习习惯还没形成，所以在学习这一部分知识时，学生会 感觉高中所学的内容与初中所学的内容没什么差异，因而不理解为什么要费那么大 的劲去证明，也就不够重视不等式性质的证明，这导致数学的学习方法停留在背知 识点的层面上，而不能逐步上升到逻辑推理的思维层面上．同时，学生在这个阶段 缺少代数证明的经验，会对正确运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形感 到困难；学生的数学建模能力不足，在面对实际问题时，学生不能准确建立方程模 型，将其转化成熟悉的可利用基本不等式解决的问题，也不能准确理解其中所蕴含 的数学思想方法． 因此，在相等关系与不等关系这一小单元中，教学难点如下： （1）猜想不等式的性质，验证并通过运算证明不等式的性质． （2）用分析法证明基本不等式，以及用基本不等式解题． （3）在利用基本不等式解决实际问题时，如何理解和识别实际问题中的数量关 系，建立适当的数学模型，将实际问题转化成利用基本不等式求最大值或最小值的 问题． 突破教学难点的方法：首先梳理清楚初中学过的等式的性质，类比等式的性 　单元教学设计 15 一元二次函数、方程和不等式大单元　 193 << 质，猜想出不等式可能的性质，通过具体的例子验证，然后进行严格的证明；面对 实际问题则需要做好理解实际问题的文字意思，将文字转化成数学符号这个“翻译” 工作． 学生在初中学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，学过用一次函数的观 点认识一元一次方程和一元一次不等式，因此学生对这种“函数的观点”并不陌生， 但是初中主要都是通过具体的例子来说明的，还达不到理解“函数的观点”的层面， 要上升到抽象函数的高度，对刚上高一的学生来说，更是不容易的． 因此，在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式这一小单元中，教学难 点在于从具体的例子中抽象出一般规律，并让学生体会用函数的观点认识方程和不 等式的数学思想方法，认识函数的重要性，体会数学的整体性． 突破教学难点的方法：通过具体的一次函数、一次方程与一次不等式，概括出 三者之间的关系，类比这种方法，看具体的二次函数图象与一元二次方程、一元二 次不等式之间的关系，再抽象出一般的二次函数与一元二次方程、一元二次不等式 之间的关系，最后推广成函数、方程、不等式之间的关系． 基于以上分析，相等关系与不等关系这小一单元，建议用 4 课时；从函数观点 看一元二次方程和一元二次不等式这一小单元，建议用 2 课时． （二）教学评价 本单元对学生的评价包括基本知识、基本技能和基本活动经验、数学思想几个 维度． 对于学生学习水平的评价建议如下： 1. 相等关系与不等关系 水平一：①知道实数的基本事实，能够理解实数大小关系与运算关系的转化， 能够正确使用作差法比较两个实数的大小．②能够在熟悉的情境中，抽象出不等关 系，并能够用恰当的数学语言表达出来；能够类比等式的性质猜想不等式的性质， 能够理解不等式性质的前 7 条性质的证明，能够记住不等式的 9 条性质．③能够准 确说出重要不等式和基本不等式的内容，能够用作差法证明这两个不等式，能够直 接使用两个不等式解决没有范围限定的最值问题．④能够正确使用不等式的性质解 决简单的不等式证明问题． 水平二：①能够在数轴上表示实数的基本事实，能够在数轴上解释实数大小关 >> 194 　高中数学单元教学设计　 系与运算关系的转化．②能够在关联的情境中，抽象出不等关系，并能够用恰当的 数学语言表达出来；能够理解不等式性质的第 8，9 条两条性质的证明，能够理解 9 条不等式性质之间的逻辑关系．③能够理解联想、归纳、猜想、类比是发现和提出 数学命题的重要途径，能够通过举反例说明猜想的某些结论不成立．④能够用几何 图形理解基本不等式． 水平三：①能够感悟学习过程中的数学思想，形成相应的知识体系．②能够用 数学原理解释自然现象．③对于较复杂的数学问题，能够借助分析法将其转化成相 应不等式问题，探索解决的方法并用数学语言准确表达论证过程．④能够用几何图 形理解基本不等式解决最值问题时条件中“定”的意义． 2. 从函数观点看一元二次不等式和一元二次方程 水平一：能够记住“三个二次”的关系，会解一元二次不等式；知道韦达定理， 能完成二次三项式的配方，能正确画出二次函数的图象． 水平二：能够理解研究过程中的数学思想，感悟从一次函数的观点看一次方程 与一次不等式类比到“三个二次”的思维过程；会解决简单的实际问题． 水平三：能够求解带字母的二次不等式，能够用函数的观点分析一般函数、方 程与不等式的关系，感悟数学学习的整体性． 四、课时典例分析 第1，2课时  等式与不等式的性质 （一）教学内容 相等关系与不等关系是构建方程、不等式的基础，方程、不等式是解决实际问 题的数学模型，不等式不仅是初中学习的重要内容，也是后面学习函数等知识的基 础，不等式的性质的应用贯穿整个数学学习的各个分支，起着承上启下的作用． 根据前面的分析，本单元设计了以下五个任务： 任务 1 ：从具体问题中抽象出不等式和重要不等式． 　单元教学设计 15 一元二次函数、方程和不等式大单元　 195 << 任务 2 ：从关于实数的基本事实入手，梳理等式的性质，类比等式的性质猜想 验证并证明不等式的性质． 任务 3 ：从具体情境中抽象出基本不等式． 任务 4 ：证明基本不等式． 任务 5 ：应用不等式的性质与基本不等式解决问题． 其中任务 1、任务 2 对应教材的 2.1 节内容，是一个微小单元，用 2 课时完成； 任务 3、任务 4 和任务 5 对应教材 2.2 节内容，也是一个微小单元，用 2 课时完成． 下面以 2．1 节内容的 2 课时为例进行分析． （二）教学目标 任务 1、任务 2 对应的学习内容和学习目标如图所示． 由图可直观地看出 2．1 节的教学重点：从实数的基本事实中掌握比较两个实数 大小的一种方法；证明不等式的性质；体会类比的数学思想，发展学生的数学运算 和逻辑推理的素养． 具体地，任务 1、任务 2 分 2 课时完成学习，第 1 课时复习实数的基本事实， 认识实数大小与不等关系之间的联系，掌握作差法比较两个实数大小的步骤；在经 历从具体问题抽象出不等式的过程中，理解不等式的意义，在体会不等式是刻画现 实世界不等关系的一种数学模型的过程中，发展学生的数学建模素养；从几何模型 中抽象出重要不等式；梳理等式的性质并猜想、证明不等式的基本性质；通过类比 等式的性质猜想不等式的性质，在验证与证明不等式性质的过程中，体会数学学习 的重要方法—观察、类比、联想、猜想、论证，在进一步探索等式与不等式的共 性与差异的过程中，发展学生的逻辑推理的素养．第 2 课时利用不等式的基本性质 继续证明不等式的常用性质；应用不等式的性质解决简单的证明问题，发展学生的 逻辑推理素养以及数学建模素养． >> 196 　高中数学单元教学设计　 （三）教学重点、难点 教学重点：发现、掌握不等式的性质，渗透研究数学对象的基本路径． 教学难点：不等式性质的证明及综合应用． （四）教学过程设计 1. 活动 1（用不等式表示不等关系）：情境引入，整体感知 出示生活中的几张图片（如图），以及问题 1，让学生说明含义并用数学式子表 达，引出本单元的学习内容．带领学生阅读章头引言和章头图，使学生对本章知识 框架有初步的整体认识． 问题 1 ：请用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系． （1）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2.5% ，蛋白质 的含量 p 应不少于 2．3%； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 师生互动：帮助学生认识到不等关系在现实生活中大量存在，这些关系可以通 过不等式表达出来；在学生阅读章头引言之后，教师给学生介绍本单元的整体结构； 在学生对本单元要学习的知识框架有了初步的认识之后，教师提出问题 2． 问题 2 ：某种杂志原以 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本．据市场调查，杂 志的单价每提高 0.1 元，销售量就可能减少 2 000 本．如何定价才能使提价后的销售 总收入不低于 20 万元？ 请思考：生活中大量存在的不等关系，除了需要用不等式表达外，还需要做 什么？ 　单元教学设计 15 一元二次函数、方程和不等式大单元　 197 << 问题 3 ：如果一杯咖啡不够甜，可以选择加糖的方式，使咖啡变得更甜．这一 现象怎么用一个不等式表示出来呢？又如何证明这一不等式呢？ 师生互动：学生在独立阅读问题的基础上表达自己的理解，教师引出学习的主 题．初中学过一些不等式的性质，这些性质为什么是对的？还有没有其他不等式的 性质？ 设计意图：通过具体问题抽象出不等关系，了解不等式的概念；通过问题 2 和问题 3，学生意识到求解不等式或证明不等式需要使用的知识是不等式的性质， 这说明了学习本节课的必要性和重要性． 2. 活动 2（学会用作差法比较实数的大小）：温故知新，初步感知 问题 4 ：实数有哪些基本事实？ 问题 5 ：回顾实数的几何意义，如何直观地表示实数？在数轴上如何直观地刻 画两个实数的大小关系？ 问题 6 ：在数轴上如何描述实数的基本事实？ 师生互动：学生通过数轴上的点完成对问题 4 到问题 6 的回答，教师引导学生 意识到可以通过作差法比较实数的大小． 设计意图：通过这三个问题，学生清晰地认识到任意两个实数的基本事在 本质上反映了实数的大小顺序与运算性质之间的关系，同时认识到代数与几何 总是相依相伴的，逐渐养成运用动态观点分析问题的思维习惯，尽快适应高中 学习，掌握高中数学学习方法．这三个问题帮助学生清晰地认识到任意两个实数 之间的大小关系是a b> ，a b= 或a b< ，三者必居其一，且只居其一；而a b− > 0， a b− = 0，a b− < 0是实数的运算性质．实数的大小关系与运算性质可以在数轴上 通过几何直观表示出来，是比较两个实数大小的作差法的依据，也为证明不等式 的性质提供了理论依据． 在此基础上学生独立完成例 1． 例 1 ：比较 (x x+ +2 3)( )和 (x x+ +1 4)( )的大小． 师生互动：学生在课前自学的基础上独立完成例 1，学生代表发言，说明问题 类型、解决方法和其中的理论依据．教师引导学生从图形的角度认识例 1，再通过 >> 198 　高中数学单元教学设计　 GeoGebra 直观演示（如图）． |BC|=2 xx y B C 0345678 1 1 2 2 3 3 4 2 1 1 2 3. 活动 3（抽象出重要不等式，感受数形结合的魅力）：文化传承，抽象 概括 播放视频，介绍我国古代数学家赵爽，他利用弦图剪拼的方法证明了勾股定理， 渗透中国的传统文化，了解数学文化，增强民族自豪感，也增强数学的学习兴趣． 下图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数 学家赵爽的弦图设计的，颜色明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 你能找出图中的一些相等关系和不等关系吗？ a b 师生互动：在教师的引导下，学生通过观察图形，利用面积关系得出重要不等 式： a b ab2 2+ ≥2 ，分析等号成立的条件：当且仅当 a b= 时，等号成立，并用完全 平方公式和两个实数的基本关系证明重要不等式． 设计意图：通过这个活动，学生体会到两个实数大小关系在解决不等式问题 中的应用，这为下一课时的基本不等式做好了准备． 　单元教学设计 15 一元二次函数、方程和不等式大单元　 199 << 4. 活动 4（梳理等式的性质及其研究脉络）：合作探究，类比猜想 问题 7 ：请同学们梳理一下等式的性质并分析其研究脉络． 师生互动：学生通过合作互助的方式完成等式的性质的梳理（如表），教师引 导学生分析发现等式性质的研究脉络． 等式的性质 1．若a b= ，则b a= ． 2．若a b= ，b c= ，则a c= ． 3．若a b= ，则a c b c+ = + ． 4．若a b= ，则ac bc= ． 5．若a b= ，c d= ，则a c b d+ = + ． 6．若a b= ，c d= ，则ac bd= ． 7．若a b= ≠ 0，则 1 1 a b = ． 8．若a b= ，则a bn n= （n∈N*）． 9．若a b= ，则 n na b= （n∈N*）． 设计意图：等式的性质包括相等关系的特性和等式运算中的不变性．第 1、 2 条是相等关系自身的特性，即自反性、传递性，其他 7 条都是等式运算中的不 变性，第 3、4 条分别是等式的加法运算性质和乘法运算性质，从这两条出发， 通过一般化、特殊化与逆向思考等可以得到其余 5 条性质．当学生理解的这些内 在的研究逻辑脉络时，类比猜想以及证明不等式的性质就不再只是形式上的类 比了，而是内在逻辑上的类比．这样可以更有效地促进学生的逻辑推理素养的 发展． 5. 活动 5：代入验证，感性认识 猜想不等式的性质，并用数值检验猜想是否正确． 问题 8 ：类比等式的性质，猜想不等式的性质． 师生互动：学生通过类比等式的性质，猜想不等式的性质，教师帮助学生检查， 发现不合适的地方，指导学生通过代入数值检验修正，写出正确的不等式性质． 设计意图：通过类比，学生比较容易写出一系列不等式的性质，但是对于有 条件的不等式的性质，容易忽略条件，此时让学生经历代入数值检验的过程，可 >> 200 　高中数学单元教学设计　 以让学生认识数学研究的常用方法：类比—猜想—代入数值检验—逻辑证明． 6. 活动 6（证明不等式的性质）：逻辑证明，理性认识 师生互动：在代入不同数值检验并修正猜想后，得到不等式的性质（如表）， 利用实数的基本事实证明不等式的性质．教师引导学生体会数轴上的点与实数的对 应关系以及实数的基本事实在证明不等式性质中的应用，并回答问题 3． 不等式的性质 1．若a b> ，则b a< ；若b a< ，则a b> ． 2．若a b> ，b c> ，则a c> ． 3．若a b> ，则a c b c+ > + ． 4．若a b> ，c > 0，则ac bc> ；若a b> ，c < 0，则ac bc< ． 5．若a b> ，c d> ，则a c b d+ > + ． 6．若a b> > 0，c d> > 0，则ac bd> >（ ）0 ． 7．若a b> > 0，则 b a 1 1 > >（ ）0 ． 8．若a b> > 0，则a bn n> >（ ）0 （n n∈ ≥N*， 2）． 9．若a b> > 0，则 n na b> >（ ）0 （n n∈ ≥N*， 2）． 设计意图：让学生类比等式的性质及其研究脉络研究不等式的性质．具体地 说，类比等式性质的前 4 条性质，可以得到不等式性质的前 4 条基本性质—自 反性、传递性、加法性质和乘法性质，再类比等式性质的研究脉络可得到其他 5 条性质，第 5，6 条性质分别是同向加、同向乘性质，第 7 条性质在教材中没有 直接列入不等式的性质中，但是在例题和习题中经常用到，而顺着研究脉络很容 易得到同向加性质与同向乘性质，再特殊化可得到第 7 条倒数性质和第 8 条乘方 性质，因此它们也补充到了性质中．除了一般化和特殊化，我们还可以改变思维 方向，将乘方性质逆向思考，得到第 9 条开方性质，对于开方性质，教材是在习 题中以拓广探索的形式给出了n = 2时的情形，学生猜想到更一般的情形还是比较 容易的，但是对一般情形的证明，对学生来说是个难点，这里需要给学生介绍反 证法，让学生体会这种否定之否定的思想、以退为进的策略，反证法既实现了化 未知为已知的效果，又体现了“舍弃全局又赢得全局”的美妙境界． 　单元教学设计 15 一元二次函数、方程和不等式大单元　 201 << 例 2 ：已知 a b> > 0 ， c < 0 ，求证 a b c c > ． 例 3 ：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但采光标准规 定，窗户面积与地板面积的比值需不小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条 件越好．若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变 差了？ 解：设窗户面积为 n (n > 0)，地板面积为 m (m > 0)，则 10 1 ≤ < m n 1 ． 设增加的窗户面积和地板面积均为 t t( > 0)，由 m n <1 ，得 m n> ， 所以 mt nt> ，所以 mt mn nt mn+ > + ，即 m n t n m t( + > +) ( )． 所以 m t m n t n+ + > ，即住宅的采光条件变好了． 7. 小结及反思 学生回顾本节课的内容，在单元学习完成后再简要回顾本单元的学习过程与学 习内容：用什么样的方法抽象概括出不等式的性质？用什么样的方法证明了不等式 的性质？利用不等式的性质我们解决了哪些问题？在分析问题的过程中我们遇到了 哪些障碍，又是如何突破这些障碍的？ 8. 作业 绘制思维导图，完成下列作业． 作业 1 ：比较 x x2 + +5 6 和 2 5 9x x2 + + 的大小． 作业 2 ：已知 a，b，c，d 均为实数，给出四个命题：①若 a b> ， c d> ，则 a c b d+ > + ；②若 a b> ， c d> ，则 a c b d− > − ；③若 a b> ， c d> ，则 ac bd> ； ④若 a b> > 0 ， c < 0 ，则 a b c c > ．其中正确的序号是 ． 作业 3 ：已知 a b> > 0 ， c d> > 0 ，证明： a c b d ac bd + + > ． 作业 4 ：如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的垂线，切 分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两个正方形的边长分别为 a ， b ，问：切 分出的两个正方形面积之和与两个矩形面积之和的大小关系如何？ >> 202 　高中数学单元教学设计　 a b 作业 5 ：已知正数 x ， y 满足 1 1 x y + = 2 ，求 x y+ 2 的最小值． 设计意图：教师让学生绘制自己的思维导图，课后形成自己的知识网络图， 以加深其对本节课知识的认识，通过作业评价学生的学习水平．