单元教学设计13 基于直观想象的立体几何中的最值问题-高中数学单元教学设计

167 << 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 研究立体几何中的最值问题． （二）内容解析 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》指出：“高中数学课程以学 生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核 心素养．”该标准同时提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运 算、数据分析六个数学学科核心素养，其中直观想象是指借助几何直观和空间想象 感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养． 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支．在研究 单元教学设计 13    基于直观想象的立体几何中的最值问题 河北师范大学附属中学  范志会 >> 168 　高中数学单元教学设计　 “大小”的过程中，立体几何的最值问题（长度、面积、体积）是教学中经常遇到的 内容，解决这类问题，通常需要学生具备直观想象的能力，即根据图形之间的联系， 观察其变化，借助其自身几何性质来解决问题． 本单元的教学重点是简单几何体的性质运用及相关面积、体积的计算． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）掌握简单几何体的相关面积、角度、体积的公式计算． （2）观察图形位置关系，提升直观想象素养． （二）目标解析 达成上述目标的标志如下： （1）能准确计算出既定图形的相关面积、角度、体积． （2）在具体的问题情境中，立体几何的最值往往体现在距离、角度、面积、体 积等方面，能洞察图形之间的位置关系，想象出最值时几何体之间的临界状态． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元教学大约需要 2 课时，内容涉及立体几何中图形面积、体积最值以及图 　单元教学设计 13 基于直观想象的立体几何中的最值问题　 169 << 形间的角度最值等问题． （二）教学评价 在学习本节课之前，学生已经学习了立体几何初步，对基本立体图形、立体图 形的直观图、简单几何体的表面积与体积、空间点线面之间的位置关系有了一定了 解并具备了相关基础知识，尤其对空间直线、平面的平行和垂直关系较为熟悉，基 于此，要求学生能准确使用上述知识点并能将其应用于问题情境中． 立体几何中最值问题的难点在于平面上画出的立体图形所表达的位置关系是不 精确的，甚至是模糊不清的，这也是造成学生求解困难的根本原因．鉴于此，通过 教师的提问，探索几何体的形状变化，将其关键平面中的几何关系，从立体图形中 抽离出来，形成精确的平面图形，进而解决立体几何中的最值问题，达到培养学生 的直观想象的数学素养的目的． 四、课时典例分析 第1课时  体积最值问题 （一）教学内容 研究多面体、旋转体中的体积最值问题． （二）教学目标 （1）掌握简单多面体、旋转体的几何性质及体积的公式计算． （2）通过观察与思考，在几何体位置交互变化的过程中寻找临界状态，提升直 观想象素养． >> 170 　高中数学单元教学设计　 （三）教学重点、难点 教学重点：正方体、球体、锥体的相关性质及体积的公式． 教学难点：在几何体的动态变化中发现取得最值的临界状态． （四）教学过程设计 1. 活动 1：问题引入 “将一个棱长为 6 cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零 件的体积．” 师生互动：教师提出问题，让学生独立思考分析，并提出解决方案． 学生回答：正方体磨制成球体，是一个从外向内，削棱去角的过程，也可以看 作正方体内含有一个球，该球不断膨胀直至与正方体六面同时相切，此时半径不能 再变大，达到极值态势，其轴截面如图所示． 球的直径即为正方体的棱长，从而 Vmax = π× = π 4 3 3 36 cm3 3（ ） ． 教师提炼：本题一方面考查直观想象力，即能够想到最值状态；另一方面考查 把立体几何问题转化为平面几何问题的化归的思维方式． 设计意图：题目选自教材习题，入手简单，能够打开学生的思维方式，引导 学生由浅入深、循序渐进． 2. 活动 2：知识迁移 例 1 ：已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积 为 ． 　单元教学设计 13 基于直观想象的立体几何中的最值问题　 171 << 师生互动：教师提出问题，让学生独立思考，由上面的引例，进行知识的迁移， 从而解决问题． 学生回答：相对于上面的引例，本题把正方体改成了圆锥，不变的是球与圆锥 侧面、底面同时相切时半径最大，变化的是切面，底面是平面，侧面是曲面，如果 把圆锥的侧面理解为由母线组成的，就转化成了直线和圆相切的问题． 教师活动：要求学生画出球体积最大时的轴截面． 学生活动：学生通过画图，培养直观想象力，养成化归思维方式，把空间问题 转化为平面问题．展示学生画的图． A B O E F P 学生回答：设 O 为球心，AB 为底面圆直径，PE 垂直平分 AB，OF ⊥ PA 于 F，OE=OF=r（r 为球的半径），易知 Rt△PFO ∽ Rt△PEA，从而 PO OF PA AE = ，即 3 12 − − 3 1 r r = ，解得 r = 2 2 ，所以 Vmax = π× = π 4 2 2 3 2 3        3 ． 设计意图：在教材习题的基础上，本题的问题情境略加变通，直观想象力的 素养考核目标不变．所不同的是，本题加大了对几何图形自身几何性质的运用和 数学运算能力的考查力度． 3. 活动 3：由浅入深 例 2 ：如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 PA⊥平面 ABCD，过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E，若三棱锥 E-BCD 的体积取到最大值，则四棱锥 P-ABCD 的高为 ． >> 172 　高中数学单元教学设计　 B A E C D F P 师生互动： 教师提出问题：三棱锥 E-BCD 的体积如何变化？ 学生回答：由于三角形 BCD 固定，其面积不变，因此，三棱锥 E-BCD 体积的 大小随 E 点到底面 ABCD 的距离的变化而变化． 教师追问：如何求三棱锥 E-BCD 的高呢？ 学生活动：学生独立思考．由于此题已进入几何图形变化的思考维度的深水区， 教师可以考虑让学生结组进行探究活动，进行充分的讨论交流，从不同的角度分析 问题，从而找到解决问题的方案．独立思考，有助于培养学生克服困难、独立完成 任务的品质；合作探究，碰撞思维火花，求变创新，有利于学生取长补短、培养合 作探究的团队意识． 学生回答：考虑点 E 在底面 ABCD 内的射影．如图，已知 PA，PC 分别是平 面 ABCD 的垂线、斜线，故 AC 是 PC 在底面 ABCD 内的射影，因此，点 E 在底面 ABCD 内的射影 F 一定落在线段 AC 上． 师生互动：EF 的大小决定了三棱锥 E-BCD 体积的大小，体积的最值问题转化 成线段的长度的最值问题，结合以往的解题经验，我们需要探究点 E 的变化规律， 请同学们思考． 学生活动：要对点 E 的轨迹进行研究，就需要让学生回到问题的起点，挖掘题 目的已知条件和结论之间的关系，尤其是已知条件中的垂直关系． 学生回答：设 AC 与 BD 交于 O 点，由 PC ⊥平面 BDE，OE 在平面 BDE 内， 可知 EC ⊥ OE，此时，O，C 为定点，∠OEC 始终为 90º，显然，点 E 的轨迹是以 OC 为直径的圆． 学生辨析 1 ：“点 E 的轨迹是以 OC 为直径的圆”的说法不正确，应该是半圆． 学生辨析 2 ：点 E 的轨迹是不含直径两端点的半圆，且在平面 PAC 内． 学生活动：进一步讨论探究，并画出直观图，展示学生画的图． 　单元教学设计 13 基于直观想象的立体几何中的最值问题　 173 << O C A P E F 学生回答：从图中可以看出，满足三棱锥 E-BCD 体积最大条件时的点 E 的 临界状态就是上半圆的至高点，过点 E 作 EF ⊥ OC 于 F，则 EF CF PA CA = = 1 4 ，又 EF= 4 2 ，因此 PA= 2 即为所求． 教师提炼：此题考查我们能否在变化中找到不变量，点 P，E 看似两个动点，其 实不然，由题目中的已知条件容易看出，若点 P 确定，则点 E 也确定；反过来，若 点 E 确定，则点 P 也随之而确定．更为重要的一个不变量是 ∠OEC=90º，这是找到 最值临界状态的关键所在，想到了它，找到了它，背后隐藏的圆就现身了，从而看 出了 E 点最高处的位置． 设计意图：教学遵循由浅入深、循序渐进的原则，以带领学生进入深度思维 空间，不同层级的思考维度都有涉及，在本题的解决过程中，有独立思考，有讨 论探索，有辨析等环节，它们作为学生的基本活动经验的获得，重在突破难点， 培养学生的直观想象素养． 4. 活动 4：巩固应用 例 3( 多选题 )：下列物体中，能被整体放入棱长为 1 m 的正方体容器（容器壁 厚度忽略不计）内的有 （ ） A. 直径为 0.99 m 的球体 B. 所有棱长均为 1.4 m 的四面体 C. 底面直径为 0.01 m，高为 1.8 m 的圆柱体 D. 底面直径为 1.2 m，高为 0.01 m 的圆柱体 答案：ABD． 例 4 ：设 A B C D， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ABC 为等边三 >> 174 　高中数学单元教学设计　 角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D ABC− 体积的最大值为 （ ） A. 12 3 B. 18 3 C. 24 3 D. 54 3 答案：B． 设计意图：通过前面的学习，当堂检查学生分析问题、解决问题的能力．设 置两个选择题，第一个是多选题，入手简单，难度分层递增，第二个是单选题， 以球体为外围情境，和前面的引例、例题遥相呼应，让学生感到熟悉又有所创新． 5. 小结及反思 （1）小结． 学生活动：回顾知识获得，谈学习过程体会，从不同角度进行总结． 教师提炼：本节课主要研究了几何图形的形状、大小及相对位置关系，这也是 立体几何所研究的主要对象，从提出问题到解决问题，基于直观想象，利用化归的 思想把空间问题转化为平面问题，从而突破难点，找到问题的本质． （2）反思．在备课时，教学设计用来预设和指导课堂教学环节，但是在课堂教 学实际生成过程中，会有变数，解决问题的途径不止一条，允许学生发散思维，综 合运用所学知识，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，这就需要留给优秀 学生充足的时间独立思考、探究创新，需要留给思维较为困难的同学充足的时间讨 论交流，提升思维品质，达到培养直观想象素养的目的． 6. 作业 作业 1 ：已知正方体的棱长为 1，每条棱所在的直线与平面 α 所成的角都相等， 则平面 α 截此正方体所得截面面积的最大值为 （ ） A. 3 3 4 B. 2 3 3 C. 3 2 4 D. 2 3 作业 2 ：在正方体 ABCD-A'B'C'D' 中，点 O 为底面 ABCD 对角线 BD 的中 点，点 P 为棱 CC' 上一动点，则直线 OP 与平面 A'BD 所成角的正弦值的最小值 为　　　　． 设计意图：刻画几何图形的有关大小和位置的关系，以及面积、角度等方 面，学生通过本节课的学习，初步掌握了研究此类问题的方法．以上作业的布 置，既巩固和评价了所学知识，又为下一课时做好了准备．