单元教学设计12 基于五点法破解三角函数的图象与性质-高中数学单元教学设计

153 << 石家庄市第二十四中学  孙丽敏 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 1. 内容出处 本单元教学属于将人教A版高中数学必修第一册第五章“三角函数”中的 5.4“三 角函数的图象与性质”与“5.6 函数 y A x= +sin( )ω ϕ ”两节内容整合而设计的单元教 学案例．学习阶段为高一上学期． 2. 内容及地位 （1）内容． ①参数 A k， ， ，ω ϕ 对函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象的影响． ②用整体变量代换法研究函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的性质． ③由函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的部分图象求其中的参数以及解决较复杂的求参数 单元教学设计 12    基于五点法破解三角函数的图象与性质 >> 154 　高中数学单元教学设计　 取值范围的问题． （2）地位．函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象和性质是“三角函数”一章中十分重 要的知识内容，它可以融合三角函数的图象与性质、三角恒等变形两大板块的知识， 综合考查学生掌握三角函数的图象与性质、公式的情况．另外，此函数是学生接触 周期和图象平移、伸缩变换的工具函数，对提升学生化归能力、数形结合素养的作 用十分明显． （二）内容解析 函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 是三角函数中一类非常重要的函数，研究它的图象和性 质不仅仅得到了一类新函数的性质，更重要的是在研究过程中对正弦函数这个重要 的周期函数的图象和性质进行了应用，也就是既巩固了旧知识，又锻炼了思维能力， 同时获得了新知识． 人教 A 版高中数学必修第一册第五章“三角函数”中的 5.4“三角函数的图 象与性质”介绍了由单位圆和正弦函数定义相结合得到正弦曲线的方法，在此基 础上提出了五点（画图）法：“在函数 y x x= ∈ πsin [0 2 ]， ， 的图象上，以下五个 点：（0，0），            π π 2 2 ， ， ， ， ， ， ，1 ( 0) 1 (2 0)π − π3 在确定图象形状时起关键作用．描 出这五个点，函数 y x x= ∈ πsin [0 2 ]， ， 的图象形状就基本确定了．因此，在精确 度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到 正弦函数的简图，这种近似的‘五点（画图）法’是非常实用的．”这是在教材中 第一次出现五点（画图）法，在这一节的最后配了一道例题来巩固这种作图方法 ．在其后的“5.6 函数 y A x= +sin( )ω ϕ ”中五点法又一次出现了，即例题先用平 移、伸缩变换的方法作出函数 y x= −2sin 3     π 6 的图象，又用五点法作出此函数的简 图．而函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的周期性和单调性都是用定义推理来求解的．函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 中各参数的意义和作用是用单位圆作函数图象的过程来解释的． 由此看来，在教材内容的安排中，五点法并没有被作为研究函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象和性质的主要依据，但是教材中的练习题却出现了大量的作图题，由此可见， 　单元教学设计 12 基于五点法破解三角函数的图象与性质　 155 << 教材是想通过同学们多次自己动手画图加深对函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象和性质 的印象和理解．本单元教学正是基于此种情况考虑，让学生以多次作图的直观感 知为前提，从五点法的角度再一次理解函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象和性质以及 各参数在图象中的作用，这为同学们提供了理解和求解函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的 图象和性质的另一个角度．基于这样的认识，我们的单元教学就从同学们亲自动 手多次应用五点法作函数图象的过程入手，通过反复列表、描点、画图使学生对 此类函数图象有一个直观的认识，通过将其与正弦曲线做对照让学生在作图过程 中体会参数对函数图象的影响，从而得到 A k， ， ，ω ϕ 的作用．本单元研究的函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的性质主要有单调性、对称性和最值．根据五点法作图的过程可 知函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象上的点与正弦函数图象上的点是一一对应的，当 我们把 ω ϕx + 看成一个整体，不妨设为 t 时，函数 y A t k= +sin 中的每一个 t 便有 唯一一个函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 中的 x 与其相对应，那么函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的很多特征和性质就可以对应到函数 y A t k= +sin 上了，这样我们就可以通过研究 y A t k= +sin 的性质得到 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的性质．因为函数 y A t k= +sin 的图象和 性质比较容易得到，所以函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的性质研究起来就更方便了．用五 点法作图可以体会到函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象上的点与函数 y A t k= +sin 图象上 的点的一一对应关系，正是利用这种对应关系我们可以把复杂函数的性质转化为简 单函数的性质，这体现了数学中的化归思想．而由图象求参数，由性质求参数或参 数的取值范围便是对以上知识的综合应用．在教材中有关函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图 象和性质的题目散布在本章的很多个例题和课后练习题中． 基于以上分析，本单元的教学重点如下： （1）函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 中各个参数的几何意义． （2）函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的单调区间、最值、图象的对称轴和对称中心的 求法． （3）给出函数图象会求其解析式，以及解决较复杂的求函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的参数或参数取值范围的问题． >> 156 　高中数学单元教学设计　 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）掌握用五点法画函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 简图的步骤． （2）掌握函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 中各个参数的几何意义． （3）掌握图象变换的方法． （4）会求函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的单调区间、最值、图象的对称轴和对称中心． （5）给出函数图象的部分信息会求其解析式． （6）会解决较复杂的求函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的参数或参数取值范围的问题． （7）体会化归思想和数形结合思想． （二）目标解析 达成上述目标的标志如下： （1）能用列表、描点、连线的方法绘制函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象．明确五 点法作图找的是哪五个点，及如何找到这五个点． （2）理解参数 ω 影响的是函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象的横向伸缩以及周期， 参数 φ 影响的是函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象的左右平移，参数 A 影响的是函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象的纵向伸缩，参数 k 影响的是函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象 的上下平移． （3）会用两种方法进行由函数 y x= sin 的图象到函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象 的变换．尤其要理解横向先伸缩后平移和先平移后伸缩的不同． 　单元教学设计 12 基于五点法破解三角函数的图象与性质　 157 << （4）能用整体变量代换法求函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的单调区间、最值、图象 的对称轴和对称中心，并能结合五点法作图深刻理解整体变量代换法的本质． （5）由函数 y x= sin 图象上的点与函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象上的点的一一对 应关系，根据图象写出解析式，知道参数 ω多由周期求得，参数 φ多由最值点求得， 参数 A 和参数 k 多由最大值和最小值的关系求得． （6）能深刻理解五点法作图，在解决复杂函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的问题时能将 其转化成简单函数 y x= sin 的问题，从而找到突破口． （7）能体会到几乎所有关于函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的问题的解决都体现了化归 的思想，体现了基本函数 y x= sin 图象上的点与复杂函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象上 的点的一一对应关系． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 第 1 课时：用五点法作出函数 y x y x y x y x= = = = +sin sin 3 sin sin， ， ，1 2 3       π ， y x= 2sin ， y x y x= + = + +sin 3 2sin 3 3，      π 3 的图象，在作图过程中对比得出参数的 几何意义，并理解平移、伸缩变换． 第 2 课时：通过五点法作图理解用整体变量代换法求函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的 单调区间、最值、图象的对称轴和对称中心的原理． 第 3 课时：由图象求解析式中的参数以及解决较复杂的求参数或参数取值范围 的问题． >> 158 　高中数学单元教学设计　 （二）教学评价 1. 核心知识评价要求 内容 知识点 难度 评价要求 了解 理解 掌握 图象变换 用五点法作函数y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象 较易 √ 各个参数对函数图象的影响 一般 √ 由图象变换得到函数y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象 较难 √ 函数性质 理解用整体变量代换法求函数性质的原理 较难 √ 求函数的单调区间、最值、图象的对称轴和对称中心 一般 √ 综合应用 由图象求参数 一般 √ 由性质求参数或参数的取值范围 较难 √ 2. 思想方法评价要求 思想方法 评价要求 数形结合 能用五点法绘制函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象 ；能由给定函数的部分图象求 得参数 ；能利用函数 y x= sin 图象上的点和函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 图象上的 点的一一对应关系研究复杂函数y A x k= + +sin( )ω ϕ 的性质 化归 能利用整体变量代换法将复杂函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的问题转化为简单函数 y x= sin 的问题 　单元教学设计 12 基于五点法破解三角函数的图象与性质　 159 << 四、课时典例分析 第1课时  图象变换 （一）教学内容 （1）用五点法作函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象． （2）利用绘制的图象探究几个参数在图象中的作用． （二）教学目标 （1）会用五点法画出函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的图象． （2）从点的变化的角度理解函数 y A x k= + +sin( )ω ϕ 中参数的几何意义． （3）从点的变化的角度理解平移、伸缩变换的规律． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：用五点法作函数图象；理解参数在图象中的作用． （四）教学过程设计 1. 活动 1 请同学们用列表、描点、连线的五点法画出函数 y x= sin 和 y x= sin 3 在一个周期 >> 160 　高中数学单元教学设计　 内的简图． 师生互动：学生按部就班作图，教师查看指导． 问题 1 ：大家从五点法作图取点的过程和最终的两个图象对比，说说 x 的系数 ω对函数 y x= sinω 图象的作用． 函数 y x= sin 的图象在 [0 2 ]， π 上的每一个点都有函数 y x= sin 3 在     0，2 3 π 上的 一个点与之对应．从整体上观察，函数 y x= sin 3 的图象可以看成是把函数 y x= sin 的 图象以（0，0）为不动点横向缩短得到的．仔细观察每一个点发现，函数 y x= sin 中 的 x从 0 到 π 2 的变化过程对应着函数 y x= sin 3 中的 x从 0 到 π 6 的变化过程．以此类推， 函数 y x= sin 中的 x 从 π 2 到 π的变化过程对应着函数 y x= sin 3 中的 x 从 π 6 到 π 3 的变化 过程；函数 y x= sin 中的 x 从 π到 3 2 π 的变化过程对应着函数 y x= sin 3 中的 x 从 π 3 到 π 2 的变化过程；函数 y x= sin 中的 x 从 3 2 π 到 2π的变化过程对应着函数 y x= sin 3 中的 x 从 π 2 到 2 3 π 的变化过程． 我们用特殊点来体会这种变换，感受会更加明显，具体的特殊点如下： （1） y x= sin ：（0，0），      π 2 ，1 ， (π， 0)，      3 2 π ， −1 ， (2 0π， )； （2） y x= sin3 ：（0，0），      π 6 ，1 ，      π 3 ， 0 ，      π 2 ，−1 ，      2 3 π ， 0 ． 在这些特殊点中除了（0，0）点外，其余每一个点的横坐标之间都是 3 倍的关系 ．所以函数 y x= sin 3 的图象是由函数 y x= sin 的图象以（0，0）为不动点横向缩短为 原来的 1 3 得到的，即横坐标缩短为原来的 1 3 ，纵坐标不变．所以ω对函数 y x= sinω 图 象的作用就是图象的横向伸缩． 设计意图：学生要亲自动手画图，亲历图象形成的过程，并在画图过程中体 　单元教学设计 12 基于五点法破解三角函数的图象与性质　 161 << 会两个函数图象上的点的一一对应关系，由此理解函数y A x k= + +sin( )ω ϕ 中参数 ω的作用． 问题 2 ：由上面的规律判断如何由函数 y x= sin 的图象得到函数 y x sin 1 2 的 图象． 猜想：把函数 y x= sin 的图象上的点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变就 得到了函数 y x sin 1 2 的图象． 大家用五点法作出函数 y x sin 1 2 的图象来对比验证一下． 设计意图：用问题 1 得到的结论猜想问题 2，并动手画图验证，能更全面地 认识参数ω的作用． 本活动小结：函数 y x= sinω 的图象是由函数 y x= sin 的图象以（0，0）为不动 点伸缩得到的．当 ω >1 时，横坐标缩短为原来的 ω 1 ；当 0 1< <ω 时，横坐标伸长 为原来的 ω 1 倍． 2. 活动 2 请同学们用列表、描点、连线的五点法画出 y x= +sin      π 3 在一个周期内的图象． 师生互动：学生动手画图，教师查看指导． 问题 3 ：说说函数 y x= sin 的图象与函数 y x= +sin      π 3 的图象的关系． 从点的角度观察两个函数的坐标之间的关系发现，函数 y x= +sin      π 3 的图象是 由函数 y x= sin 的图象向左平移 π 3 个单位长度形成的． >> 162 　高中数学单元教学设计　 设计意图：体会参数ϕ对函数y A x k= + +sin (ω ϕ ) 图象的影响． 本活动小结：函数 y x= +sin( )ϕ 的图象是由函数 y x= sin 的图象左右平移得到的 ．当 ϕ > 0 时，图象向左平移 ϕ 个单位长度；当 ϕ < 0 时，图象向右平移 −ϕ 个单位 长度． 3. 活动 3 用五点法画出函数 y x y x  2sin sin 3， 的图象，并说说它们与函数 y x= sin 的 图象的关系． 师生互动：学生动手画图，教师查看指导． 函数 y x 2sin 的图象是由函数 y x= sin 的图象以（0，0）为不动点纵向伸长为 原来的 2 倍得到的，也就是纵坐标变为原来的 2 倍．函数 y x sin 3 的图象是由函 数 y x= sin 的图象向上平移 3 个单位长度得到的． 设计意图：体会参数 A 和参数 k 对函数y A x k= + +sin (ω ϕ ) 图象的影响． 本活动小结：A 影响图象的纵向伸缩，k 影响图象的上下平移，它们都是与 y 有 关的量． 4. 活动 4 用五点法作出函数 y x= + +2sin 3 3     π 3 的图象，并将其与函数 y x= sin 的图 象比较，说说通过怎样的平移、伸缩变换可以由函数 y x= sin 的图象得到函数 y x= + +2sin 3 3     π 3 的图象． 师生互动： （1）教师用动画演示变换过程，演示两种变换过程：一种先平移后伸缩，一种 先伸缩后平移，让学生充分体会两种变换过程的不同． （2）从特殊点的角度用两种方法再次理解图象的变换过程． 　单元教学设计 12 基于五点法破解三角函数的图象与性质　 163 << 设计意图：把四个参数合并到一个函数中理解，彻底弄懂参数自身的作用和 相互之间的影响，从而学会图象变换． 5. 小结及反思 A 影响函数 y A x k= +sin（ ）+ω ϕ 图象的纵向伸缩， ω影响图象的横向伸缩，k 影 响图象的上下平移， ϕ影响图象的左右平移． 6. 作业 作业 1 ：请用思维导图的方式总结本节课的主要内容和结论． 作业 2 ：请用五点法和图象变换两种方法绘制函数 y x= −sin 2     π 6 的图象，并写 出过程． 作业 3 ：已知函数 y x 3sin2 的图象为 C ，为得到函数 y x= +3sin 2     π 5 的图象， 只需把 C 上的所有点 （ ） A. 向左平移 10 π 个单位长度 B. 向右平移 10 π 个单位长度 C. 向左平移 π 5 个单位长度 D. 向右平移 π 5 个单位长度 作业 4 ：为了得到函数 y x= +3sin 2     π 4 的图象，只需将函数 y x 3cos 2 的图象 （ ） A. 向左平移 π 4 个单位长度 B. 向右平移 π 4 个单位长度 C. 向右平移 8 π 个单位长度 D. 向左平移 8 π 个单位长度 >> 164 　高中数学单元教学设计　 第3课时  图象与性质的综合应用 （一）教学内容 （1）根据给出的函数的部分图象求参数． （2）较复杂的求参数或参数取值范围的问题． （二）教学目标 （1）会通过图象求函数的参数． （2）能解决较复杂的求参数或参数取值范围的问题． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：根据给出图象求参数；较复杂的参数求值或求取值范围问题． （四）教学过程设计 1. 活动 1 例 1 ： 请 大 家 根 据 如 图 所 示 的 函 数 图 象， 求 函 数 y A x= +cos( )ω ϕ + k A     > > <0 0， ，ω ϕ π 2 中的参数． O x 1 1 3 y  3  12 　单元教学设计 12 基于五点法破解三角函数的图象与性质　 165 << 师生互动：对比余弦函数的图象可知，此函数图象纵向伸长为原来的 2 倍， 向下平移了 1 个单位长度，且其周期为 π，所以 A=2，k=-1， ω = 2 ．又因为 点      12 π ，1 对应余弦函数的点 (2 1kπ， )（ k ∈Z ），所以 12 π × + = π2 2ϕ k ，解得 ϕ = − + ππ 6 2k ．因为 ϕ < π 2 ，所以 ϕ = − π 6 ． 设计意图：因为前两节的铺垫和学习，学生已经对函数y A x k= + +sin（ ）ω ϕ 的图象和参数之间的对应关系有了一定的了解，本题就是利用学生已有的知识解 决新的问题，即本题是已知图象求参数的问题． 2. 活动 2 例 2 ：函数 g x x（ ） （ ）（ ， ， ）= + > ∈ πsin 0 0 2ω ϕ ω ϕ [ ] 的部分图 象如图所示，且 g x( ) 在 [0 2， π]上恰有一个最大值和一个最小值（其 中最大值为 1，最小值为 -1），求 ω 的取值范围． 师生互动：学生独立思考，然后同学之间进行交流，最后找代表分析讲解，教 师做总结，依然强调五点法作图的原理和整体变量代换法． 对比正弦函数的图象，此图象上的点         0， 2 3 对应于正弦函数图象上的点        2 3 3 2 π + π2k ， （ k ∈Z ） ， 所 以 ω ϕ× + = + π0 22 3 π k ， 解 得 ϕ = + π2 3 π 2k ． 因 为 ϕ ∈ π[ ， ]0 2 ， 所以 ϕ = 2 3 π ．利用整体变量代换法，把 ω ϕx + 看成一个整体，当 x∈ π[0 2， ] 时， ω ωx + ∈ π +2 2 2 3 3 3 π π π     ， 2 ，我们只需保证正弦函数在     2 2 3 3 π π ， 2π +ω 上只有一个最大 值1和一个最小值-1就可以了． 所以 5 2 7 2 3 2 π π π ≤ π + <2 ω ，解得 12 12 11 17 ≤ <ω ． 设计意图：本题的难度继续增加，题目提供的信息越少，学生从图象提取信 O x y 3 2 >> 166 　高中数学单元教学设计　 息的能力就应越强．通过一步步增强题目难度锻炼学生的思维能力和独立解决问 题的能力． 3. 活动 3 例 3 ：已知函数 y x= + >sin( )( 0)ω ϕ ω ，当 x = - π 6 时， f x( ) 取得最大值，且 f x( ) 在      7 4 6 3 π π ， 上单调递减，求 ω的最大值． 师生互动：由五点法可知，形如 y x= +sin( )ω ϕ 的函数的最大值点和最小值点 之间相差 T 2 ，且从最大值最小值点到点之间是单调递减的．设 x kT k1 = − + ∈ π 6 ( )Z 时，y 取最大值，则 x kT k2 = − + + ∈ π 6 2 T ( )Z 是与其相邻的最小值点．在两点之间 函数单调递减．所以由题意可得，      7 4 6 3 π π ， ，⊆ [x x1 2 ] 即可，得到不等式组如下：      − + ≤ − + ⋅ + ⋅ ≥ π π π π π π π 6 6 6 2 3 k 1 2 2 4 2 7 ω ω ω k ， ， 解得 ω的最大值为 6． 设计意图：由定量求值转换成求范围，变化的量增多，难度继续增大，逐步 加深对五点法画图和整体变量代换的理解． 4. 小结及反思 五点法以及由其衍生出的整体变量代换法是解决形如 y A x k= + +sin( )ω ϕ 的函数 性质的常用方法，它体现了化归思想和数形结合思想． 5. 作业 作业 1 ：整理课堂上你认为有难度的习题，并做小结和反思． 作业 2 ：已知函数 y a x x= + ∈ −π πcosω ， ，[ ]（其中 a， ω为常数，且 ω > 0 ）有 且仅有三个零点，求 ω的取值范围．