单元教学设计11 基于坐标法研究与直线有关的几何问题-高中数学单元教学设计

139 << 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 本单元的主要内容包括通过直线的方程判断两条直线的位置关系，以及利用坐 标法计算直线的交点坐标、距离等．另外基于深度学习的教学理念本单元将酌情增 加一些知识点：①平行直线系和定点直线系；②轴对称和中心对称问题；③最值问 题；④用坐标法证明平面几何问题． （二）内容解析 1. 内容的本质 平面内两条不重合的直线有相交和平行两种位置关系．如果两条直线相交，可 以联立方程组把交点坐标求解出来；反之，可以通过方程组的解的情况，推出两条 石家庄市第二十四中学  韩永升 单元教学设计 11    基于坐标法研究与直线有关的几何问题 >> 140 　高中数学单元教学设计　 直线的位置关系．其本质就是在平面直角坐标系中，直线上的点与方程的解建立了 一一对应的关系：直线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在这条 直线上，因此，两条直线的交点坐标就是这两条直线的方程组成的方程组的解． 度量是几何的本质所在，而长度是度量的根本，两点之间线段最短是欧几里得 几何的本质所在，把两点所确定的线段长定义为这两点之间的距离，以此为基础解 决几何中的各种距离问题，两点间距离公式是解析几何的基本公式之一，点到直线 的距离公式是知识的交汇点，承上启下． 2. 蕴含的思想方法 解析几何的两个主要问题：一是求曲线的方程，二是由方程研究曲线（几何性 质及位置关系）．本单元主要学习坐标法这一核心方法，突出体现通过方程研究直 线的几何性质、位置关系和几何度量的方法．通过坐标法研究几何关系和几何度量 体现了解析几何的基本思想．本部分以直线渗透解析几何的研究体系，是从特殊到 一般的思想体现．推导两点间距离公式的过程蕴含着降维转化的思想方法．以形引 数、以数辅形体现了数形结合的思想方法． 3. 培养的数学核心素养 本单元利用方程和坐标研究几何关系就是把几何问题建立为代数模型并进行求 解，通过代数模型的求解让学生体会运算在解决几何问题中的作用，培养学生直观 想象、数学运算和逻辑推理等素养． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． （2）探索并推导平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两条平行直 线之间的距离公式，并能够合理利用公式研究几何问题． （3）能综合利用坐标法解决与直线有关的最值、对称和几何证明等问题． 　单元教学设计 11 基于坐标法研究与直线有关的几何问题　 141 << （二）目标解析 达成上述目标的标志如下： （1）学生能求出两条相交直线的交点坐标，并能根据方程组解的个数判断两条 直线的位置关系． （2）学生能说出推导点到直线的距离公式的思路，能改进求法或能说出不同求 法的依据，能合理运用距离公式求距离，以及解决相关的几何问题． （3）学生具备利用坐标法解决几何问题的思维意识和解题能力，能通过几何关 系简化方程设法，能解决最值、对称和几何证明等问题． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 第 1 课时：两条直线位置关系的判断和交点坐标的求法． 第 2 课时：两点之间的距离． 第 3 课时：点到直线的距离． 第 4 课时：两条平行直线之间的距离． 第 5 课时：对称问题和最值问题． （二）教学评价 （1）在函数内容的学习中，虽然学生可以通过解方程组求出两个函数图象交点 的坐标，但是对于其在解析几何中的含义依然理解不清，这是第一个教学问题．这 要通过教师点拨，加深学生对方程与曲线对应关系的认识和理解． （2）学生虽然在平面几何中已经知道“点到直线的距离”的定义，但是需要按 步骤将定义代数化，在推导距离公式的过程中运算变形是困难的，这是第二个教学 >> 142 　高中数学单元教学设计　 问题．这涉及数学运算和数学抽象等核心素养，因此需要教师在关键节点点拨，引 导学生反思计算过程，改进计算方法，合理应用计算技巧． （3）虽然学生在空间向量与立体几何里就知道距离的几何前提是垂直，也知 道可以通过向量的模来表达距离，但是具体如何运用投影向量计算点到直线的距离 （教材给出的第二种推导）是非常困难的，这是第三个教学问题．这需要设置一系列 问题链，引导学生数形结合，按照步骤循序渐进． 本单元的教学重点：利用方程确定直线的位置关系；利用公式计算几何中的距 离、角度等． 本单元的教学难点：点到直线距离公式的推导；直线系的设法；对称问题和最 值问题． 本单元对于核心知识、思想方法和关键能力等方面的评价分为三个层级，且高 一级的要求包含低一级的要求． （1）初级：熟练记忆公式，并能够利用公式解决相应的几何问题，大致掌握坐 标法的步骤和解题技能，具备一定的数学运算素养． （2）中级：理解公式的主要推导方法，能利用距离公式联系代数和几何；能利 用代数运算研究几何图形，并能用几何关系引导代数运算的思路；理解数形结合、 化归的数学思想． （3）高级：能熟练通过坐标法将几何问题和代数问题进行互化，能熟知公式的 各种推导方法，能合理地对各种距离进行几何转化；具备一定的数学直观、数学运 算、逻辑推理、数学建模和抽象概括等数学核心素养；能充分领悟数形结合、化归、 由特殊到一般、函数与方程等数学思想． 　单元教学设计 11 基于坐标法研究与直线有关的几何问题　 143 << 四、课时典例分析 第3课时  点到直线的距离 （一）教学内容 点到直线的距离． （二）教学目标 （1）经历点到直线的距离公式的推导过程，知道点到直线的距离公式的特点， 深化公式的应用．体会数形结合、由特殊到一般、分类讨论和化归的数学思想． （2）体会向量法与坐标法、三角形面积法的差异，能比较三种方法的不同特点， 发展直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养． （3）在求解、转化、归纳的过程中，学生有机会进一步学习坐标法，体会其定 量分析几何问题的优越性，领会数学的严谨性，培养勇于探索的科学精神． （三）教学重点、难点 教学重点：点到直线的距离公式的应用． 教学难点：点到直线的距离公式的推导． >> 144 　高中数学单元教学设计　 （四）教学过程设计 1. 活动 1：研究概念和特例 问题 1 ：直线外一点到直线的距离是什么？ 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 设计意图：明确点到直线的距离的定义，确定研究方向． 问题 2 ：试求点 P（ ， ）1 0 到直线 l x y： + = 2 的距离． 学生不难发现，点 P 到直线 l 的距离就是点 P 与垂足 Q 两点之间的距离，这样点 线问题就转化成了点点问题．学生展示研究结果． 解：如图，直线 PQ 与直线 l 垂直，直线 l 的斜率为 -1，因此直线 PQ 的斜率 为 1． O P Q y x 1 1 1 2 2 3 3 由此，求得直线 PQ 的方程为 y x= −1 ，解方程组   x y y x + = = −1 2 ， ， 得      x y = = 3 2 1 2 ， . 所以 Q     3 1 2 2 ， ，利用两点间距离公式，得 | | 1 0PQ = − + − =           3 1 2 2 2 2 2 2 ， 所以点 P(1 0)， 到直线 l x y： + = 2 的距离为 2 2 ． 设计意图：由特例进行研究，培养学生用坐标法解决几何问题的习惯和 能力． 　单元教学设计 11 基于坐标法研究与直线有关的几何问题　 145 << 2. 活动 2：推导公式 问题 3 ：已知点 P x y( )0 0， ，直线 l Ax By C A B： ，+ + = ≠ ≠0( 0 0) ，如何求点 P 到 直线 l 的距离？ 学生自主完成并展示研究结果． 解：因为直线 PQ 与直线 l 垂直，直线 l 的斜率为 − B A ， 所以直线 PQ 的斜率为 B A ． 由此，求得直线 PQ 的方程为 y y x x− = −0 0 B A ( ) ，整理，得 Bx Ay Bx Ay− = −0 0 ． 解方程组   Bx Ay Bx Ay Ax By C − = − 2 + + = 1 0 0 0， （ ） . （ ） （1）×A+（2）×B 得 ( ) 0A B x AC ABy B x2 2 2+ + + − =0 0 ， 整理，得 x = B x ABy AC 2 0 0− − A B2 2+ ． 同理可得 y = − + −ABx A y BC0 0 A B2 2+ 2 ． 所以 Q       B x ABy AC ABx A y BC2 20 0 0 0− − − + − A B A B2 2 2 2+ + ， ． 利用两点间的距离公式，得 | |PQ x y= − + − = = = = +                         ( ) ( ) ( )( ) A Ax By C B Ax By C A x ABy AC ABx B y BC A B Ax By C B x ABy AC ABx A y BC B x ABy AC A x B x ABx A y BC A y B y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + + 0 0 0 0 − − − + − − − − − − + − − − A B A B ( ) + + + + + 2 2 2 2 A B + + 2 2 2+ 0 0 A B A B2 2 2 2 ( )A B + + ( ) 2 2 2 A B + 2 2 2+ 0 0 2 2 2 2 )2 >> 146 　高中数学单元教学设计　 = | |Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ． 所以点 P 到直线 l 的距离公式为 d = Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ． 设计意图：由特殊到一般，加强学生用坐标法研究几何问题的能力，适应坐 标法研究的运算要求，加深学生对公式的识记． O P(x0，y0) Q y x l 追问 1 ：在问题 3 的解题过程中出现了 B A ，若 A = 0 ，即直线 l By C： + = 0 平行 于 x 轴（如图），点 P x y( )0 0， 到直线 l 的距离还满足 d = Ax By C0 0 A B + + 2 2+ 吗？ 此时，点 P x y( )0 0， 到直线 l 的距离 d y= + =0 C B B | |By C | | 0 + ， 所以当 A = 0 时，还满足 d = | |Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ． 追问 2 ：在问题 3 的解题过程中出现了 − B A ，若 B = 0 ，即直线 l Ax C： + = 0 垂 直于 x 轴（如图），点 P x y( )0 0， 到直线 l 的距离还满足 d = Ax By C0 0 A B + + 2 2+ 吗？ 　单元教学设计 11 基于坐标法研究与直线有关的几何问题　 147 << O P(x0 y0) Q y x l 此时，点 P x y( )0 0， 到直线 l 的距离 d x= + =0 C A A | |Ax C | | 0 + ， 所以当 B=0 时，还满足 d = | |Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ． 一般地，点 P x y( )0 0， 到直线 l Ax By C： + + = 0 的距离 d = | |Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ． 问题 4 ：在上述方法中，利用坐标法求出点 Q 的坐标是将点线距离转化为点点 距离的关键，怎样可以避开这一难点呢？ 思路 1 ：如图，在 △P SR0 中借助等面积法求解． O P0 y x S Q l R 思路 2 ：利用向量投影法求平面内点到直线的距离． 学生分小组进行尝试，教师巡视，指导学生合理变形，耐心计算，并请学生展 示研究过程． 展示 1 ： 解：在此只研究不与坐标轴平行的情况． 将 x x= 0 代入直线方程，得 y = − Ax C0 B + ，所以点 S x     0，− Ax C0 B + ， >> 148 　高中数学单元教学设计　 同理可得点 R y     − By C0 A + ， 0 ． 所以 P S y0 0= − − = Ax C Ax By C0 0 0 B B + + +| ， P R x0 0= + = By C Ax By C0 0 0 A A + + + ， 所以 RS Ax By C= + = + +Ax By C Ax By C0 0 0 0+ + + + A B A B 2 2 | |0 0 A B2 2 2 2 + ， 由等面积法，得 d = = = P S P R0 0 SR · Ax By C Ax By C0 0 0 0 Ax By C + + + + 0 0 A B + + × A B A B A B 2 2 2 2 2 2 + + | |Ax By C0 0+ + ． 展示 2 ： 解：易知直线 l 的一个方向向量为 (B A，− )，所以直线 l 的一个法向量为 n = （A，B），设 Q x y( ， )为直线上 l 任意一点，则  PQ = − −( )x x y y0 0， ，如图，  PQ 在法 向量 n 上投影的绝对值就是点 P 到直线 l 的距离． y n Q x P 1 1 2 2 3 4 5 3 4 1 1 O 所以 d PQ PQ= = = = =   A x x B y y Ax By Ax By( ) cos | | · - + - + - -0 0 0 0 θ A B A B2 2 2 2+ + ( ) | | ·| |  PQ   PQ PQ· ·n n n | |n ， 　单元教学设计 11 基于坐标法研究与直线有关的几何问题　 149 << 因为点 Q（x，y）在直线 l 上，所以 Ax By C+ = − ，所以 d = Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ． 设计意图：类比立体几何中距离的求法，分别通过等面积法和向量投影法进 行推导，简化过程，对坐标法在三维空间和二维平面中的使用进行对比，提高用 代数方法解决几何问题的能力． 问题 5 ：公式有什么结构特征？ 公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把点的坐标代入直线方程中了， 这体现了公式与直线方程的关系．特别地，如果点在直线上，点到直线的距离为 0， 此时，公式中的分子为 0，整个式子也等于 0，运算结果与实际相符．这么一来，这 个公式可以表示平面内任意点和直线之间的距离． 注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正．分母则是 x，y 系数 的平方和的算数平方根． 3. 活动 3：应用公式 点 P x y( )0 0， 到直线 l Ax By C： + + = 0 的距离公式为 d = Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ． 我们证明了上面点到直线的距离公式，那么请同学们利用这个公式尝试解决下 面的问题． 例 1 ：（1）求点 P( 2 3)− ， 到直线 l x y：3 4 3+ = − 的距离． （2）求点 P( 1 2)− ， 到直线 l x：3 2= 的距离． 解：（1）点 P( 2 3)− ， 到直线 l x y：3 4 3 0+ + = 的距离 d = = 3 ( 2) 4 3 3× − + × + 3 42 2+ 9 5 . （2）点 P( 1 2)− ， 到直线 l x：3 2 0− = 的距离 d = = 3 ( 1) 2× − − 3 02 2+ 5 3 . 设计意图：巩固对点到直线的距离公式的识记，注意先把直线的方程化成一 般式再应用公式． 例 2 ：已知 △ABC 的三个顶点分别是 A(1 3)， ， B(3 1)， ， C( 1 0)− ， ，求 △ABC 的 >> 150 　高中数学单元教学设计　 面积． 解：由两点间的距离公式，得 AB = (3 1) (1 3) 2 2− + − =2 2 ． 因为直线 AB 的方程为 1 3 3 1 y x − − − −3 1 = ，化简，得 x y+ − =4 0 ， 所以点 C 到直线 AB x y+ − =4 0 的距离 h = = − + −1 0 4 1 12 2+ 5 2 . 因此， S AB h△ABC = 2 2 5. 1 1 5 2 2 = × × = 2 设计意图：应用公式解决平面几何问题，巩固坐标法的应用，感受坐标法科 学量化研究的特点，体会数学工具性学科的作用． 例 3 ：已知直线 l 经过点 A（1，0），求点 P（2，1）到直线 l 的距离 d 的 最大值． 学生自主解决，并展示思路与过程． 展示 1 ： 当直线的斜率 k 不存在时，直线方程为 x=1，此时 d=1 ； 当直线的斜率 k 存在时，设直线方程为 y k x= −( 1) ，即 kx y k− − = 0 ， 此时 d = = = =| 2 1 | | 1| 2 1 ( 1) 2k k k k k k k k k − − − − + + − 2 2+ +1 1 2 2 k k2 2+ +1 1 = −1 k 2 2k +1 ． 设 t = k 2 2k +1 ，若 k t= =0 =0，则 k 2 2k +1 ；若 k ≠ 0 ，则 t = = k 2 2 2k +1 k + 1 k ． 因为 k + ∈ −∞ − + ∞1 k ( 2] [2 )， ， ，所以 k + 2 1 k ∈ −[ 1 0) (0 1]， ， ． 综上所述， t∈ −[ 1 1]， ，所以 1 [0 2]− ∈ k 2 2k +1 ， ，所以 d ∈  0 2， ． 故点 P（2，1）到直线 l 的距离 d 的最大值是 2 ． 展示 2 ：如图，由垂线段最短可得 d AP≤ = 2 ，所以点 P（2，1）到直线 l 的 　单元教学设计 11 基于坐标法研究与直线有关的几何问题　 151 << 距离 d 的最大值是 2 ． 1 2 1 O y P A x 设计意图：用两种方法解决问题，可以相互印证，体现了数形结合的数学思 想．由两种方法相互对比可知经过坐标法转化为函数模型的研究可以给予几何问 题更加全面的分析，体现了用代数方法解决问题的严谨性． 4. 小结及反思 本节课的核心内容就是推导点到直线的距离公式，利用特殊情况探究体现了由 特殊到一般的思想；利用多种方法推导公式可以巩固方法，加深学生对公式的理解 和认识，体现数形结合、化归的数学思想．在解决有关最值的问题时，分别利用函 数方法和几何推理方法可以培养学生的推理、运算等数学核心素养． 5. 作业 作业 1 ：教材第 77 页练习第 1 ～ 3 题． 作业 2 ：点（-1，2）到直线 x y− + =2 0 的距离为 （ ） A. 2 2 3 B. 2 2 C. 2 2 5 D. 1 2 作业 3：若点（a，2）到直线 x y− + =1 0 的距离是 2 2 ，则实数 a 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. 0 2或 D. −3 3或 作业 4：若点 P 在直线 x y+ − =4 0 上，O 为坐标原点，则 OP 的最小值是（ ） A. 10 B. 2 2 C. 6 D.2 作业 5 ：若直线 2 0x y+ = 与 x my+ + =1 0 垂直，则点（m，1）到直线 x y+ +3=0 >> 152 　高中数学单元教学设计　 的距离为 （ ） A. 2 2 B. 2 C. 3 2 2 D. 1 2