单元教学设计10 韦达定理在高中数学中的应用-高中数学单元教学设计

129 << 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 韦达定理的内容、应用及使用技巧． （二）内容解析 韦达定理是法国数学家弗朗索瓦 · 韦达（F．Viete）建立的方程的根与系数关系 的定理． 在我省现阶段中学数学教材中，韦达定理最早出现在冀教版九年级上册数学教 材第 45 页选学内容“24．3 一元二次方程根与系数的关系”中，并且在教材中韦达 定理这个名称没有出现．在中考试题中，韦达定理也很少涉及．人教 A 版高中数学 教材在必修第二册第 81 页的阅读与思考内容中，从代数基本定理出发给出了一元二 石家庄市第一中学  周燕 单元教学设计 10    韦达定理在高中数学中的应用 >> 130 　高中数学单元教学设计　 次、一元三次方程根与系数的关系．一直以来，在高中阶段韦达定理被默认为学生 已有的常识，专项的课时和相关训练没有被设置，《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》对其也没有提出明确要求．但由于韦达定理与一元二次方程和 圆锥曲线密切相关，现已成为高考的必考知识点． 鉴于上述原因，在高中数学教学内容中增加韦达定理的相关知识和应用，是非 常有必要的．在教学中，让学生熟知韦达定理的对称性结构，利用韦达定理的“正 用、逆用和变形用”解决相关问题即为本单元的教学重点． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）掌握一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，发展逻辑推理素养． （2）能够在不同的情境下，灵活运用韦达定理解决问题，发展数学抽象和数学 运算素养． （二）目标解析 达成上述目标的标志如下： （1）了解韦达定理的证明方法和使用的前提，理解韦达定理的结构特征，能够 正用和逆用韦达定理解决相关的数学问题． （2）能够应用韦达定理解决求参数的值或取值范围等相关问题，掌握用韦达定 理求对称式和非对称式的值的方法，可以用韦达定理解决直线与圆锥曲线相交的相 关问题，能够通过韦达定理解决一元二次方程根的分布问题． 　单元教学设计 10 韦达定理在高中数学中的应用　 131 << 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元教学建议用时 4 课时，具体安排如下： 韦达定理的对称性应用 1 课时 利用韦达定理解决一元二次方程根的分布问题 1 课时 探究韦达定理在圆锥曲线中的应用 2 课时 （二）教学评价 学生在初中对韦达定理已有初步认识，但当时在教材上韦达定理的名称并未出 现，我们称其为“一元二次方程根与系数的关系”．学生在初中也未做过相关系统训 练，中考也很少涉及韦达定理，所以学生对韦达定理并不熟悉，在学习中可能会遇 到以下难点： （1）如何利用韦达定理的对称性结构解决“设而不求”的问题？韦达定理研究 的是代数方程根与系数的关系，在形式上具备对称性的结构特征，在利用韦达定理 解决含对称性结构的问题时，要重点体现这种对称性结构整体代换的优势，避免繁 杂的运算． （2）如何利用韦达定理的结构，结合符号法则，解决与一元二次方程根的分布 相关的问题？在教学中，要通过对一元二次方程根的正、负分布和可以转化为根的 正、负分布问题的探究，引导学生体会由特殊到一般的研究问题的方法，注意培养 学生数学思维的严谨性． （3）如何利用韦达定理解决圆锥曲线中与斜率、中点、弦长、数量积等知识相 关的问题？在教学中，要通过对具体问题的解决过程的分析，让学生在解答解析几 >> 132 　高中数学单元教学设计　 何的相关问题时，能够辨析不同情况下的应对策略，从简化运算、“设而不求”的角 度，合理使用韦达定理，同时注意提升学生的运算素养． 针对上述难点，对本单元的教学设计过程给出以下单元评价建议： （1）知识理解评价要求．了解韦达定理的证明方法和使用的前提，理解韦达定 理的结构特征，能够正用和逆用韦达定理解决相关的数学问题． （2）实践探索评价要求． ①能够在具体的数学情境中，根据实际问题的需要，获取韦达定理的相关信息． ②可以根据相关问题情境，结合韦达定理，选用最优解法解决实际问题． ③可以解决多种方法、多种知识参与的涉及韦达定理的复杂综合问题． （3）思维方法评价要求． ①能够灵活运用韦达定理的相关知识和方法解决开放性、探究性等问题． ②尝试对数学问题实施变式，大胆提出数学猜想，进而证明． 四、课时典例分析 第3，4课时  探究韦达定理在圆锥曲线中的应用 （一）教学内容 韦达定理与圆锥曲线的综合运用． （二）教学目标 （1）通过研究和直线与圆锥曲线相交相关的几何问题，如垂直、中点、弦长、 面积、向量等，引导学生掌握韦达定理在解决这类问题中的作用和操作流程，体会 韦达定理的整体代换功能，提升学生的数学抽象和运算的数学素养． （2）引导学生探究韦达定理在不同条件下的使用技巧，掌握韦达定理在对称性 和非对称性结构下的应用．学生能够通过独立思考、交流合作等方式，完善知识体 　单元教学设计 10 韦达定理在高中数学中的应用　 133 << 系，丰富技能和方法，提升数学核心素养． （三）教学重点、难点 教学重点：韦达定理的结构特征，利用韦达定理解决对称性和非对称性结构的 问题． 教学难点：利用韦达定理解决非对称性结构的问题． （四）教学过程设计 1. 活动 1：情境引入 我们知道，在处理直线与圆锥曲线的综合问题时，一般都会联立直线与曲线方 程，消元得到一个一元二次方程．如果直接求根的话，运算会非常繁杂，那么我们 如何利用韦达定理来简化运算呢？下面就来研究这个问题． 问题 1 ：已知直线 l 与抛物线 y x2 = 4 交于 A ， B 两点，且满足 OA OB O⊥ ( 为坐 标原点），证明：直线 l 过定点． 师生互动： （1）学生在教师的引导提问下，独立思考并结合小组讨论解决具体操作环节中 的关键问题，并总结共性规律． 引导问题可设置如下：怎么设直线方程？选择哪种方式对 OA OB⊥ 进行等价转 化？在减少变量时，选择直线方程代换还是曲线方程代换？ （2）通过生生、师生讨论，明确直接利用韦达定理解决和直线与圆锥曲线相交 相关的几何问题的大致步骤：设直线方程—联立直线方程与圆锥曲线方程—消元— 寻找题干中几何条件的等价转化信息—变量代换—通过韦达定理进行代数运算—将 运算结果转化为几何解释． 教师提炼：在进行消元时，通常以直线方程代换居多．需要注意的是，若选择 消去 y ，则把直线设为斜截式；若选择消去 x ，则把直线设为 x my t= + 的形式．而 如果曲线为抛物线，也可以用曲线方程代换，这样处理会更加简单．例如，本题中 抛物线方程为 y x2 = 4 ，其中 x 可代换为 y 4 2 ． >> 134 　高中数学单元教学设计　 设计意图： （1）明确利用韦达定理解决和直线与圆锥曲线相交相关的问题的大致步骤， 避免解题过程中思维的盲目性． （2）通过“问题链”将整个解决问题的过程串联起来，引导学生掌握研究此 类问题的一般思路与方法． （3）通过解决问题的过程提升学生的逻辑思维和数学运算素养． 2. 活动 2：熟练运用 问题 2 ：设椭圆 C y：x 2 2 + =2 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两 点，点 M 的坐标为（2，0）．设 O 为坐标原点，证明：∠ = ∠OMA OMB ． 师生互动： （1）学生通过分析题干的等价转化信息，知道可以用如下两种方法求解： 方法一  ∠ = ∠ ⇔OMA OMB 直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补⇔ k kMA MB+ = 0 ． 方 法 二  ∠ = ∠ ⇔OMA OMB tan tan∠ = ∠OMA OMB ⇔ 2 2− − y y1 2 x x1 2 = − ， 其 中 A x y B x y（ （1 1， ）， ，2 2） ． （2）教师提炼：由于直线方程与椭圆方程联立后的方程是关于 x 或 y 的二次方 程，韦达定理中的两根之和与两根之积都是单独的 x 或 y 的形式，而此时的坐标表达 式并非直接的韦达形式，因此需要进行代换或配凑．常见的配凑形式如下： ① x x x x x x1 2 1 2 1 2− = + −( ) 4 2 ； ② x x x x x x1 2 1 2 1 2 2 2 2+ = + −( ) 2 ； ③ x x x x 1 1 1 1 2 + = 2 x x1 2+ ； ④ x x x x x x x x x x x x x x x x x x1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 + = = = − 2 2 2 2+ + − +( ) 2 ( ) 2 ． 　单元教学设计 10 韦达定理在高中数学中的应用　 135 << 设计意图： （1）巩固利用韦达定理解决和直线与圆锥曲线相交相关的问题的解题方法． （2）总结直接利用韦达定理解决对称性结构问题的配凑技巧，并要求学生熟 练掌握多种等价转化形式． 3. 活动 3：变式提升 问题 3 ：设双曲线 C y a： （ ） a x2 2 − = > 2 1 0 与直线 l x y： + =1 相交于两个不同的 点 A，B．直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且   PA PB= 12 5 ，求 a 的值． 师生互动： （1）学生通过分析题干中的等价转化信息   PA PB= 12 5 ，可以得到 x x1 2= 12 5 ，然 后利用配凑或转换的方式将结构转化为韦达定理的对称形式，进而消元解题． 方法一  设 A x y B x y( (1， ， ，1) 2 2 ) ，将 x x1 2= 12 5 代入 x x1 2+ = 1 − − 2a a 2 2 ， x x1 2⋅ = 1 − − 2a a 2 2 ， 可得 17 2 12 1 x2 = − − a a 2 2 ， 12 1 5 2x2 2 = − − a a 2 2 ，消去 x2 ，得 a 2 289 2 a − 2 1 60 = ． 又a > 0 ，∴ a = 17 13 ． 方法二  由 x x1 2= 12 5 可得 x x1 2 = 12 5 ，取倒数相加，得 x x x x x x x x x x x x x x x x x x1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 + = = = − = + 2 2 2 2+ + − +( ) 2 ( ) 2 12 5 5 12 ， 代入韦达定理可得 a 2 289 2 a − 2 1 60 = ，后同（方法一）． （2）教师引导学生辨析已知条件，按规范步骤解决几个核心问题，并讲解“非 对称韦达”的结构特征，引导学生通过小组讨论，总结解决方法． 问题 4 ：已知点 F 为椭圆 E：x y 4 3 2 2 + =1 的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点， >> 136 　高中数学单元教学设计　 过 F 作直线 l 与椭圆交于 M，N 两点（不与 A，B 重合），记直线 AM 与 BN 的斜率 分别为 k k1 2， ，证明： k k1 2 为定值． 师生互动：学生在解题过程中，可将直线 l 设为x ty= +1．令M x y N x y( (1， ， ，1) )2 2 ， 则通过直线方程代换后可得 k y x y ty ty y y k y x y ty ty y y1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 = = = ( 2) ( 1) ( 2) ( 3) 3+ + + − − − ，教师可引导学生通 过和积互换、配凑等方式解决“非对称韦达”类型的问题． 方法一  由韦达定理，得 ty y y y1 2 1 2= + 3 2 ( ) ，则 k ty y y k ty y y1 1 2 1 2 1 2 2 = = = = + − 3 33 3 9 2 2 2 3 1 3 2 2 2 ( ) 3 ( ) y y y y y y y y y y 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 + + + + − + 1 ． 方法二  由韦达定理，得 y y1 2+ = − 4 3t+ 6t 2 ， y y1 2 = − 4 3t+ 9 2 ，所以 k ty y y k ty y y y y1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 = = = = − + +( ) + 3 3 − + + − + 4 3 4 3 4 3+ + + 9 6 3 − + − + t t t 4 3 4 3 t t t2 2 2 + + 9 9t t t t2 2 3 3y y2 2 y y2 2 1 ． 设计意图：创设认知冲突情境，从对称式到非对称式，引导学生主动建立认 知结构，顺利完成从非对称式到对称式的转化，让学生在数学学习中通过独立思 考、小组合作等方式提升数学素养． 4. 小结及反思 问题 5 ：请梳理利用韦达定理解决圆锥曲线综合问题的一般思路与方法．对于 “非对称韦达”结构的题目有哪些转化方法？ 师生互动：教师引导学生独立回顾、思考，然后进行小组内、小组间的交流讨 论，最后教师点评、总结． 设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法． 　单元教学设计 10 韦达定理在高中数学中的应用　 137 << 5. 作业 作业 1 ：经过椭圆 x 2 2 + =y2 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 60°的直线 l ，直线 l 与椭 圆相交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长． 作业 2 ：过抛物线 y x2 = 的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA ， OB ． （1）求证：直线 AB 恒过定点； （2）求弦 AB 的中点 N 的轨迹方程； （3）求 △ABO 面积的最小值． 作业 3 ：设椭圆 C a b： （ ） a b x y2 2 2 2+ = > >1 0 的左焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，   AF FB= 2 ． （1）求椭圆 C 的离心率； （2）如果 | |AB = 15 4 ，求椭圆 C 的方程． 作业 4 ：设椭圆 C y：x 2 2 + =2 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两 点，点 M 的坐标为 （ ， ）2 0 ． （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，直线 l 不与 x 轴重合，求 ∠ ∠ OMB OMA 的值． 作业5：在平面直角坐标系xOy中，已知离心率为 1 2 的椭圆C a b： （ ） a b x y2 2 2 2+ = > >1 0 的左、右顶点分别是 A ， B ，过右焦点 F 的动直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点， △ABM 的面积的最大值为 2 3 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 AM 与定直线 x t t= >( 2) 交于点 T ，记直线 TF ， AM ， BN 的斜率分 别是 k0 ， k1 ， k2 ，若 k1 ， k0 ， k2 成等差数列，求实数 t 的值． 作 业 6 ： 已 知 椭 圆 E： a b x y2 2 2 2+ =（ ＞ ＞ ）1 0a b 的 左、 右 焦 点 分 别 为 >> 138 　高中数学单元教学设计　 F c F c c1 2(− >， ， ，0 0 ( 0).) ( ) 点 M 在 E 上， MF F F MF F2 1 2 1 2⊥ ，△ 的周长为 6 4 2+ ，面 积为 1 3 c. （1）求 E 的方程． （2）设 E 的左、右顶点分别为 A，B，过点      3 2 ，0 的直线 l 与 E 交于 C，D 两点 （异于点 A，B），记直线 AC 的斜率为 k1 ，直线 BD 的斜率为 k2 ， ． 从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答过程． ①求直线 AC 和 BD 交点的轨迹方程； ②判断是否存在实常数 λ，使得 k k1 2= λ 恒成立； ③过点 C 作关于 x 轴的对称点 C′，连接 C D′ 得到直线 l1 ，试探究：直线 l1 是否 恒过定点．