单元教学设计9 空间立体几何-高中数学单元教学设计

115 << 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》（新课程标准）明确指出： “在空间向量与立体几何的教学中，应重视以下两方面：第一，引导学生运用类比的 方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广过程，探索空间向量与平面向量的共 性和差异，引发学生思考维数增加所带来的影响；第二，鼓励学生灵活选择运用向 量方法与综合几何方法．从不同角度解决立体几何问题（如距离问题），通过对比体 会向量方法的优势．”在新课程标准背景下，立体几何的教学发生了重大的变革，需 要教师能积极引导学生理解向量基本定理的本质，感悟“基”的思想，并运用它解 决立体几何中的问题，这对立体几何的教与学提出了新的要求． 石家庄市第一中学  王超男 单元教学设计 9    空间立体几何 >> 116 　高中数学单元教学设计　 （二）内容解析 新课程标准明确，在高中数学教学过程中，不仅要实现本章的教学目标，还要 整合相关章节、相关内容，使学生对某块知识具备整体连贯性、宏观性的认识，这 是单元教学的优势．而空间向量与立体几何相结合，采用单元设计教学法，打破了 传统中学数学解决问题的单一性、局限性，加强了立体几何部分知识的整合与渗透， 进而提高了学生解决立体几何问题的能力． “立体几何初步”位于人教 A 版高中数学必修第二册第八章． （1）必修第二册第八章中的“8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系”、选择 性必修第一册第一章中的“1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系”，分别从 几何角度介绍了三者之间的位置关系，而后又具体到代数角度即从空间坐标的角度 将几何图形代数化了． （2）必修第二册第八章中的“8.5 空间直线、平面的平行”介绍了空间中直线、 平面的特殊位置关系—平行，即介绍了直线、平面平行的定义、判定及性质；选 择性必修第一册第一章 1.4.1 中的“空间中直线、平面的平行”从空间向量的角度介 绍了如何利用向量确定空间中的直线、平面的平行． （3）必修第二册第八章中的“8.6 空间直线、平面的垂直”介绍了空间中直线、 平面的另一种特殊位置关系—垂直，即介绍了直线、平面垂直的定义、判定及性 质；选择性必修第一册第一章 1.4.1 中的“空间中直线、平面的垂直”从空间向量的 角度介绍了如何利用向量确定空间中的直线、平面的垂直． （4）必修第二册第八章中的 8.4.2 介绍了异面直线所成的角；选择性必修第一册 第一章“1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题”介绍了如何将几何问题数据化、代 数化解决问题． （5）必修第二册第八章中的 8.5 中介绍了直线与平面的一般位置关系，即线面 角问题；选择性必修第一册第一章中的“1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题”介 绍了线面角问题的代数化解决方法． （6）必修第二册第八章中的 8.6 介绍了平面与平面的夹角即二面角的平面角的 求解方法；选择性必修第一册第一章中的“1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题” 介绍了面面角问题的代数化解决方法． 　单元教学设计 9 空间立体几何　 117 << 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）综合几何方法借助对图形的直观感受，从基本事实、定义、定理等出发， 通过逻辑推理解决立体几何问题，所以学生需要具备良好的空间想象能力以及对空 间图象的认知感． （2）向量方法则通过建立立体图形与空间向量的联系，将立体几何问题转化成 空间向量问题来代数化解决问题． （二）目标解析 （1）建立空间图象的认知感． （2）充分理解、掌握空间中点、线、面的基本事实、定义、定理． （3）能用向量语言描述直线与平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． （4）能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直、 平行关系． （5）能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理． （6）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的平面的距离问题和简 单的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中 的作用． >> 118 　高中数学单元教学设计　 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 第 1 课时：运用类比的方法，探索空间向量与立体几何的共性与差异． 第 2 课时：鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法． 第 3 课时：引导学生对比向量方法与综合几何方法的优劣． 第 4 课时：利用空间向量求解立体几何中的距离问题． 第 5 课时：综合几何方法与向量方法的对比应用． （二）教学评价 （1）从直观感知到操作确认，再到思辨论证：首先让学生感知空间中点、线、 面的位置关系，然后理解、掌握线与面的特殊位置关系—平行与垂直的判定与 性质． （2）从图形语言到自然语言，再到符号语言：首先由图形感知空间中点、线、 面的位置关系，然后用自然语言准确描述点、线、面的位置关系，接着将定义数学 化，即用数学符号描述点、线、面的位置关系，让学生经历从直观到抽象的过程， 体会三种语言的使用． （3）利用向量表示几何关系，将空间几何关系转化成向量语言，即代数语言解 决几何问题：解决空间中的距离问题以及相应的线线角、线面角、面面角问题． 　单元教学设计 9 空间立体几何　 119 << 四、课时典例分析 第5课时  综合几何方法与向量方法在解决空间角问题中的应用 （一）教学内容 利用综合几何方法和向量方法解决立体几何问题．利用综合几何方法解题对学 生的空间想象能力、推理能力有更高的要求，强调培养学生实际应用所学知识的能 力．而向量方法的应用在高考试题（特别是解答题）中占据越来越重要的地位，求 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的问题成了试题中必不可少的内容． 这根源于用空间向量求夹角的实际应用价值． 本节课就针对立体几何题中的求夹角问题进行深入探究． （二）教学目标 （1）理解求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角的综合几何方法． （2）理解并掌握空间向量中的方向向量与直线的关系、法向量与平面的关系． （3）理解并掌握在向量方法中如何利用方向向量及法向量求解空间中的夹角 问题． 达成上述目标的标志如下： （1）学生能在直线与直线所成角的定义的基础上，将直线与直线所成的角借助 相应辅助线找到并求解． （2）学生能在直线与平面所成角的定义的基础上，将直线与平面所成的角借助 相应辅助线找到并求解． （3）学生能在平面与平面所成角的定义的基础上，将平面与平面所成的角借助 >> 120 　高中数学单元教学设计　 相应辅助线找到并求解． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：掌握求直线的方向向量与平面的法向量的方法；掌握直线的 方向向量与直线的关系；掌握平面的法向量与平面的关系；掌握利用向量方法求解 空间角问题的核心思想及其原理． （四）教学过程设计 1. 活动 1 师：我们学习了空间角的定义以及相应的求法，现在请同学们思考，空间角都 包括哪些角及如何求解空间角？ 生 1 ：求异面直线所成的角可以采用向量方法，即利用直线的方向向量求异面 直线所成的角；也可以采用直接法，即利用定义求异面直线所成的角． 生 2 ：求直线与平面所成的角可以采用向量方法，即直线的方向向量及平面的 法向量的夹角的余弦值的绝对值和直线与平面所成角的正弦值相等；也可以采用等 体积法或直接法即定义直接求． 生 3 ：求二面角的平面角可以采用直接法，即二面角的平面角的定义；也可以 采用三垂线定理；还可以采用向量方法，即利用空间向量中的法向量的夹角求二面 角的平面角． 师：非常好，很全面，那么究竟利用什么方法求解空间角更加合适呢？我们这 节课就来梳理下． 设计意图：帮助同学们回忆空间角的定义及其具体求解方法，这更有利于本 节课的开展． 2. 活动 2 （1）异面直线所成的角． 例 1：如图，若在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠A AC1 =∠BAC ＝ 60º，平面 A1ACC1 ⊥ 　单元教学设计 9 空间立体几何　 121 << 平面 ABC，AA1=AC=AB，则异面直线 AC1 与 A1B 所成角的余弦值为 ． yx A A1 B1 C1 B M C z 师生互动： 师：下面哪位同学来说一下具体做法？ 生 1 ：（空间向量方法）令 M 为 AC 的中点，连接 MB，MA1，由题意知△ABC 是等边三角形， 所以 BM ⊥ AC，同理，A1M ⊥ AC． 因为平面 A1ACC1 ⊥平面 ABC，平面 A1ACC1 ∩ 平面 ABC ＝ AC，BM ⊂ 平面 ABC， 所以 BM ⊥平面 A1ACC1． 因为 A1M ⊂ 平面 A1ACC1，所以 BM ⊥ A1M，所以 AC，BM，A1M 两两垂直． 以 M 为坐标原点， MA  ， MB  ， MA  1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系． 设 AA1 ＝ AC ＝ AB ＝ 2，则 A（1，0，0），B（0， 3 ，0），A1（0，0， 3 ）， C1（-2，0， 3 ）． 所以  AC1 ＝ (-3，0， 3 )，  A B1 ＝ (0， 3 ， − 3 )， 所以 cos〈  AC1 ，  A B1 〉＝ 2 3 6 − × 3 ＝ − 4 2 ， 故异面直线 AC1 与 A1B 所成角的余弦值为 4 2 ． 生 2 ：（综合几何方法）如图，取 AC1 的中点 O ， BC 的中点 M ，连接 OM AM， ， 则∠AOM 或其补角即为异面直线 AC1 与 A1B 所成的角． O A B1 C1 B M C A1 >> 122 　高中数学单元教学设计　 由生 1 的方法知，∠A AC1 为斜线 AA1 与平面 ABC 所成的角． 由三余弦定理可知， cos cos cos∠ = ∠ ⋅ ∠A AB A AC CAB1 1 ，即 cos∠ =A AB1 1 4 ． 设 AA1 =AC=AB=2， 在 △A AB1 中， 由 余 弦 定 理 的 推 论 可 知 A B1 = 6 ， 即 OM A B= =1 6 2 21 ， 又易知 AO AM= = 3 ，所以在 △AOM 中，由余弦定理可知 cos∠ =AOM 4 2 ． 故异面直线 AC1 与 A B1 所成的角的余弦值为 4 2 ． 师：两位同学的方法非常好，那么请同学们思考，哪种方法更好，或者你会选 择利用哪种方法？ 生 3 ：综合几何方法的思维量较大，而空间向量方法的运算量更大，如果出现 运算错误，全盘皆输． 师：说得很生动，确实是这样的，综合几何方法侧重逻辑思维的严密性，而空 间向量方法的侧重点则落在了运算上，所以同学们在运算中要非常慎重． 设计意图：带领同学们梳理求解异面直线所成角的两种思路和方法． （2）直线与平面所成的角． 例2：如图①，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD ＝ 60º，点 E 是边 AB 的中点， 将 △ADE 沿 DE 折起到 △A DE1 的位置，连接 A1B，A1C，得到如图②所示的四棱 锥 A1-BCDE． AB B C C D D E E A1 （1）证明：平面 A1BE ⊥平面 BCDE； （2）若 A1E ⊥ BE，连接 CE，求直线 CE 与平面 A1CD 所成角的正弦值． （1）证明：连接 BD，如图所示． 　单元教学设计 9 空间立体几何　 123 << AB C D E 因为四边形 ABCD 为菱形，且 ∠BAD ＝ 60º， 所以△ABD 为等边三角形，所以 DE ⊥ AB， 所以 DE ⊥ BE，DE ⊥ A1E（AE）． 因为 BE ∩ A1E ＝ E，BE，A1E ⊂ 平面 A1BE， 所以 DE ⊥平面 A1BE．因为 DE ⊂ 平面 BCDE， 所以平面 A1BE ⊥平面 BCDE． （2）解：方法一（向量方法）　因为平面 A1BE ⊥平面 BCDE，平面 A1BE ∩ 平 面 BCDE ＝ BE，A1E ⊥ BE，A1E ⊂ 平面 A1BE，所以 A1E ⊥平面 BCDE． 以 E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(0，0，1)，C(2， 3 ，0)， D(0， 3 ，0)，E(0，0，0)， z y x B C D E A1 所以  A D1 ＝ (0， 3 ，-1)，  A C1 ＝ (2， 3 ，-1)，  EC ＝ (2， 3 ，0)． 设平面 A1CD 的法向量为 n ＝ (x，y，z)，则    n n ⋅ = − = ⋅ = + − =   A D y z A C x y z 1 1 2 3 0 3 0， . 令 y ＝ 1， 则 n ＝ (0，1， 3 )． 所以 cos〈n，  EC 〉＝ n n ⋅  EC  EC ＝ 2 7 3 ＝ 14 21 ， 所以直线 CE 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 14 21 ． 方法二（直接法）  过 E 作 EM A D⊥ 1 ， 链 接 CM， 因 为 CD EM⊥ ， 所 以 EM A CD⊥ 平面 1 ，所以∠ECM 为直线 CE 与平面 A1CD 所成的角． 易知 ME EC= = 2 3 ， 7 ，所以 sin∠ =ECM 14 21 ． >> 124 　高中数学单元教学设计　 方法三（等体积法）  设 E 到平面 A CD1 的距离为 h ，则直线 CE 与平面 A1CD 所 成角的正弦值为 CE h ． 在三棱锥 E A CD− 1 中，底面 A CD1 的面积 S△A CD1 = 2 ，转换三棱锥的顶点为 A1 ， 易知 A E CDE1 ⊥ 平面 ，即 A E1 为三棱锥 A1-ECD 的高，底面 CDE 的面积 S△CDE = 3 ， 所以 VA ECD1− = × × = 1 3 3 3 3 1 ． 由 V V hSE A CD A ECD A CD− −1 1 1= = = 1 3 3 3△ 得， h = 2 3 ． 所以直线 CE 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 CE h = =2 7 3 14 21 ． 师：对于直线与平面所成角的求解，等体积法也是一种直接法，是我们常用的 方法．同学们要选择适合自己的方法求解，并且在利用空间向量求解直线与平面所 成的角时，要特别注意是向量的夹角的余弦值的绝对值和直线与平面所成角的正弦 值相等． 设计意图：带领学生梳理求解直线与平面所成角的三种通用方法，以及利用 向量方法求解直线与平面所成角的过程中需要注意和容易失分的点． （3）平面与平面所成的角． 例 3 ：（2022·新高考全国Ⅰ卷）如图，直三棱柱 ABC A B C− 1 1 1 的体积为 4， △A BC1 的面积为 2 2 ． B C1 B1 A1 C D A 　单元教学设计 9 空间立体几何　 125 << （1）求 A 到平面 A BC1 的距离； （2） 设 D 为 A C1 的 中 点， AA AB1 = ， 平 面 A BC1 ⊥ 平 面 ABB A1 1 ， 求 二 面 角 A BD C− − 的平面角的正弦值． 解：（1） 在 直 三 棱 柱 ABC A B C− 1 1 1 中， 设 A 到 平 面 A BC1 的 距 离 为 h， 则 V S h h V S A A VA A BC A BC A ABC ABC ABC A B C− − −1 1 1 1 1 1= ⋅ = = = ⋅ = = 1 2 2 1 1 4 3 3 3 3 3△ △ 1 ，解得 h = 2 ，所 以 A 到平面 A BC1 的距离为 2 ． （2）方法一 （向量方法）  如图，取 A B1 的中点 E，连接 AE． 因为 AA AB1 = ，所以 AE A B⊥ 1 ． B y z x C1 B1 A1 C D E A 又平面 A BC1 ⊥ 平面 ABB A1 1 ，平面 A BC1 ∩ 平面 ABB A A B1 1 1= ，且 AE ⊂ 平面 ABB A1 1 ，所以 AE ⊥平面 A BC1 ． 在直三棱柱 ABC A B C− 1 1 1 中， BB1 ⊥平面 ABC ，由 BC ⊂平面 A BC1 ， BC ⊂平面 ABC 可得 AE BC⊥ ， BB BC1 ⊥ ． 又 AE BB, 1 ⊂平面 ABB A1 1 且相交，所以 BC ⊥平面 ABB A1 1 ， 所以 BC BA BB， ， 1 两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图． 由（1）知 AE = 2 ，所以 AA AB1 = = 2 ， A B1 = 2 2 ，所以 BC = 2 ， 所 以 A A B C（ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）0 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 01 ， 所 以 A C1 的 中 点 为 D（，，）1 1 1 ， >> 126 　高中数学单元教学设计　 所以  BD =（，，）1 1 1 ，   BA BC= =（ ， ， ）， （ ， ， ）0 2 0 2 0 0 ． 设平面 ABD 的一个法向量为 m = (x y z， ， )，则    m m ⋅ = + + = ⋅ = =   BD x y z BA y2 0， 0， ，所以可 取 m = −(1 0 1， ， )． 设平面 BDC 的一个法向量为 n = (a b c， ， )，则    n n ⋅ = + + = ⋅ = =   BD a b c BC a2 0， 0， ，所以可 取 n = −(0 1 1，， )， 所以 cos m n， = = = m n m n⋅ ⋅ 2 2× 1 1 2 ， 所以二面角 A BD C− − 的平面角的正弦值为 1− =     1 3 2 2 2 ． 方法二（综合几何方法） 由方法一可知， BC AC= =2 2 2， ． 因 为 在 矩 形 A ACC1 1 中， AD DC AB BC BD= =，且 ， 为 公 共 边， 所 以 △ △ABD CBD≅ ， 所以过 △ABD 内的点 A 作 BD 边上的高 AE ，连接 CE （如图），则由三角形全 等可知， CE BD⊥ ． E B C1 B1 A1 C D A 由二面角的平面角的定义可知，∠AEC 即为二面角 A BD C− − 的平面角． 在 △AEC 中，由余弦定理可求∠AEC 的大小． 师：以上就是我们利用综合几何方法以及向量方法求解空间角的过程，在做题 过程中，要灵活选择方法． 　单元教学设计 9 空间立体几何　 127 << 3. 小结及反思 在立体几何中，求解空间中的异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题 是立体几何的核心考点，也是高考中的高频考点，而综合几何方法与向量方法是两 种较常见的解决方法，对比两种解决方法以及解决思路，它们各有特色． （1）综合几何方法：用综合几何方法解决问题的依据是相关定义、定理，该方 法在认识图形的基础上，通过观察、想象、推理等过程，经过严密的逻辑推理，以 定义、定理为证明的依据，给出严格的证明过程，将立体几何平面化、平面几何数 据化来计算相应长度、角度等．利用综合几何方法，需要学生具备良好的空间想象 能力以及合理的逻辑推理能力．该方法对学生的数学素养要求较高，特别是线面角、 面面角问题用综合几何方法解决的难度较大． （2）向量方法：向量方法在立体几何中，通过直线的方向向量、平面的法向量 解决空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，这一方法一般根据 空间向量的“三步曲”—转化、运算和翻译解决问题，即先建立图形与向量之间 的关系，将图形数据化；然后将立体几何中的位置关系、角度关系转化成数据，进 行运算；最后翻译成几何语言，得到空间中夹角、距离、长度等数量关系．整个过 程充分体现了数学中的数形结合与化归的思想．以“数”研究“形”，让学生充分体 会用空间向量解决立体几何问题的工具性作用，深切感悟数形结合的思想． 对比综合几何方法，我们不难发现空间向量方法不仅减少了添加辅助线构造三角形 和烦琐的论证的过程，还由于有了平面的法向量这一知识，大大简化了求解过程，也为 应用计算机解决此类问题开辟了道路，并为将其拓展到解决多维空间问题奠定了基础． 在研究过程中我们始终要把对法向量的理解和求法向量的方法放在重要位置， 真正理解法向量的自由性、求法向量的方法，把握法向量的方向（很多人由于不重 视掌握法向量的方向，而产生错误）．在应用法向量求二面角的平面角时要注意当 两条法向量同指向或同背向半平面时，它们的夹角与二面角的平面角是互补关系， 否则是相等关系．在应用法向量求直线与平面所成的角，法向量与直线同指向或同 背向平面时，它们的夹角与所求直线与平面所成的角的余角大小相同，否则与所求 直线与平面所成的角的余角的补角大小相同．不能只简单地让学生看图形判断结论， 要知道立体几何的图形反映的并不是空间中的真实信息，而仅仅是其示意图，因此 仅凭图形判断经常会发生错误． 将必修第二册第八章与选择性必修第一册第一章中的解决立体几何问题的综合 几何方法与向量方法有机结合，形成单元教学模块，通过综合几何方法与向量方法 >> 128 　高中数学单元教学设计　 的对比教学，能够更好地体现立体几何教学的整体性、逻辑性和完整性；能够使学 生从“形”到“数”对立体几何有多维度、多角度的认识；能够多层次地发展和培 养学生的数学核心素养，为学生的可持续发展与终身学习打下坚实的基础． 4. 作业 作业 1：（2022·大庆模拟）如图，已知棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1，E， F，G 分别为 AB，CD1，AD 的中点，则异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为 (　　) A.0 B. 10 10 C. 2 2 D.1 E F G B C1D1 B1 A1 CD A 作业 2 ：如图，四棱锥 P － ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面 ABCD．设平 面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l． B CD P A （1）证明：l ⊥平面 PDC； （2）已知 PD ＝ AD ＝ 1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的 最大值． 作业 3 ：（2021·新高考全国Ⅰ卷）如图，在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD ⊥平 面 BCD，AB=AD，O 为 BD 的中点． B C O E D A （1）证明：OA ⊥ CD； （2）若△OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE=2EA，且二面 角 E-BC-D 的平面角的大小为 45º，求三棱锥 A-BCD 的体积．